九年级数学第六章《图形的相似》解答题（含答案）

第六章《图形的相似》解答题专练

1.(2018・百色)已知AD为。。的直径，BC为。。的切线，切点为M,分别过

A,D两点作BC的垂线，垂足分别为B,C,AD的延长线与BC相交于点E.

(1)求证：△ABMs^MCD；

(2)若AD=8,AB=5,求ME的长.

2.(2018•甘孜州)如图，AD是AABC的外接圆。。的直径，点P在BC延长线

上，且满足NPAC=NB.

(1)求证：PA是。。的切线；

(2)弦CE_LAD交AB于点F,若AF・AB=12,求AC的长.

3.(2018•日照)如图所示，。。的半径为4,点A是。。上一点，直线I过点A；

P是。。上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB±I于点B,交。0于点

E,直径PD延长线交直线I于点F,点A是质的中点.

(1)求证：直线I是。。的切线；

(2)若PA=6,求PB的长.

4.(2018•巴中)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(-3,-3),点B

(-1,-3),点C(-l,-1).

(1)画出△ABC；

(2)画出aABC关于x轴对称的△AiBiCi，并写出Ai点的坐标：；

(3)以0为位似中心，在第一象限内把4ABC扩大到原来的两倍，得到4A2B2c2,

并写出A2点的坐标：.

5.(2018•南通)如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，AD和过点C的切线

互相垂直，垂足为D,且交。O于点E.连接OC,BE,相交于点F.

(1)求证:EF=BF；

(2)若DC=4,DE=2,求直径AB的长.

6.(2018•大连)如图，四边形ABCD内接于。0,NBAD=90。，点E在BC的延长

线上，且NDEC=NBAC.

(1)求证：DE是。0的切线；

(2)若AC〃DE,当AB=8,CE=2时，求AC的长.

7.(2018•梧州)如图，AB是。M的直径，BC是。M的切线，切点为B,C是

BC±(除B点外)的任意一点，连接CM交。M于点G,过点C作DC1BC

交BG的延长线于点D,连接AG并延长交BC于点E.

(1)求证：△ABEs/^BCD；

(2)若MB=BE=1,求CD的长度.

8.(2018・乐山)如图，P是。。外的一点，PA、PB是。0的两条切线，A、B是

切点，PO交AB于点F,延长B。交。。于点C,交PA的延长交于点Q,连结

AC.

(1)求证：AC/7PO；

(2)设D为PB的中点，QD交AB于点E,若。。的半径为3,CQ=2,求处的

BE

值.

9.（2018・莱芜）已知^ABC中,AB=AC,ZBAC=90°,D、E分别是AB、AC的中

点，将AADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度a(0。＜。＜90。)得至“△ADE,

连接BD，、CE\如图1.

(1)求证：BD'=CE'；

(2)如图2,当a=60。时，设AB与DF交于点F,求电的值.

FA

B

B图1图2C

10.(2018•葫芦岛)如图，AB是。。的直径，AC=BC，E是OB的中点，连接CE

并延长到点F,使EF=CE.连接AF交。。于点D,连接BD,BF.

(1)求证：直线BF是。。的切线；

(2)若OB=2,求BD的长.

11.(2018•宁夏)已知：^ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,-2),B(-5,

-4),C(-1,-5).

(1)画出^ABC关于x轴对称的△AiBiCi；

(2)以点O为位似中心，将^ABC放大为原来的2倍，得到4A2B2c2，请在网

格中画出4A2B2c2,并写出点B2的坐标.

12.(2018•宁夏)已知：AB为。。的直径，延长AB到点P,过点P作圆。的切

线，切点为C,连接AC,且AC=CP.

(1)求NP的度数；

（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E,且DE・DC=20,求。。的面

积.（71取3.14）

OJETTB

13.（2018•乌鲁木齐）如图，AG是NHAF的平分线，点E在AF上，以AE为直

径的。。交AG于点D,过点D作AH的垂线，垂足为点C,交AF于点B.

（1）求证：直线BC是的切线；

（2）若AC=2CD,设。。的半径为r,求BD的长度.

14.（2018•东营）（1）某学校"智慧方园"数学社团遇到这样一个题目：

如图1,在aABC中，点0在线段BC上，NBAO=30。，ZOAC=75°,AO=M，

BO：C0=l：3,求AB的长.

经过社团成员讨论发现，过点B作BD〃AC,交A0的延长线于点D,通过构造

△ABD就可以解决问题（如图2）.

请回答：ZADB=°,AB=.

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3,在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AC1AD,A0=%,

ZABC=ZACB=75°,BO：OD=1：3,求DC的长.

D（图2）

C（图3）

15.（2018•福建）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8.线段AD由线

段AB绕点A按逆时针方向旋转90。得到,4EFG由4ABC沿CB方向平移得到,

且直线EF过点D.

（1）求NBDF的大小；

（2）求CG的长.

16.（2018•遵义）如图，AB是半圆。的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂

直平分线交半圆于点D,交AC于点E,连接DA,DC.己知半圆。的半径为3,

BC=2.

（1）求AD的长.

（2）点P是线段AC上一动点，连接DP,作NDPF=NDAC,PF交线段CD于点F.当

△DPF为等腰三角形时，求AP的长.

17.（2018•苏州）问题1：如图①，在Z^ABC中,AB=4,D是AB上一点（不与A,

B重合），DE〃BC,交AC于点E,连接CD.设aABC的面积为S,aDEC的面

积为S'.

（1）当AD=3时，i_=；

S

（2）设AD=m,请你用含字母m的代数式表示".

S

问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4,AD〃BC,AD=J-BC,E是AB上一点

2

（不与A,B重合），EF〃BC,交CD于点F,连接CE.设AE=n,四边形ABCD

的面积为S,4EFC的面积为S，.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n

的代数式表示乙.

S

18.（2018•贵港）已知：A、B两点在直线I的同一侧，线段A。，BM均是直线I

的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM,将BM沿直线I向右平移，在平

移过程中，始终保持NABP=90。不变，BP边与直线I相交于点P.

（1）当P与0重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC.求证：

四边形0cBM是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证：处里；

PBBM

（3）若AO=2加，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长.

19.（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE1AP,

DF1AP,垂足分别是点E、F.

（1）求证:EF=AE-BE；

（2）连接BF,如果空=迈.求证：EF=EP.

BFAD

20.（2018•昆明）如图1,在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP<CP）,Z

APB=90°.将4ADP沿AP翻折得到AAD，P,PD，的延长线交边AB于点M,过

点B作BN/7MP交DC于点N.

(2)请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；

(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若以=工，求变的值.

AD2AE

21.(2018•资阳)已知：如图，在RtaABC中，NACB=90。，点M是斜边AB的

中点，MD〃BC,且MD=CM,DELAB于点E,连结AD、CD.

(1)求证：△MEDs^BCA；

(2)求证：4AMD❷△CMD；

(3)设AMDE的面积为Si，四边形BCMD的面积为S2，当S2=AISI时，求cos

5

ZABC的值.

C

D

22.(2018•包头)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,E是AD上的一个动

(1)如图1,连接BD,。是对角线BD的中点，连接0E.当OE=DE时，求AE

的长；

(2)如图2,连接BE,EC,过点E作EFLEC交AB于点F,连接CF,与BE交

于点G.当BE平分NABC时，求BG的长；

(3)如图3,连接EC,点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点

D落在EC上的点D'处，过点D作D，N，AD于点N,与EH交于点M,且AE=1.

①求S包丫.曳的值;

SAEMN

②连接BE,△D'MH与aCBE是否相似？请说明理由.

23.（2018•烟台）如图，已知D,E分别为^ABC的边AB,BC上两点，点A,C,

E在。D上，点B,D在。E上.F为加上一点，连接FE并延长交AC的延长

线于点N,交AB于点M.

（1）若NEBD为a,请将NCAD用含a的代数式表示；

（2）若EM=MB,请说明当NCAD为多少度时，直线EF为。D的切线；

（3）在（2）的条件下，若AD=E，求朋的值.

MF

24.（2018•盐城）【发现】如图①，已知等边AABC,将直角三角板的60。角顶点

D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于

点E、F.

（1）若AB=6,AE=4,BD=2,则CF=；

（2）求证：△EBDs/\DCF.

【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、

AC的两个交点E、F都存在，连接EF,如图②所示，问：点D是否存在某一

位置，使ED平分NBEF且FD平分NCFE?若存在，求出世的值；若不存在，

BC

请说明理由.

【探索】如图③，在等腰^ABC中，AB=AC,点。为BC边的中点，将三角形透

明纸板的一个顶点放在点。处（其中/MON=NB）,使两条边分别交边AB、

AC于点E、F（点E、F均不与AABC的顶点重合），连接EF.设NB=a,则^

AEF与4ABC的周长之比为（用含a的表达式表示）.

A

BD

25.（2018•张家界）如图，点P是。0的直径AB延长线上一点，且AB=4,点M

为篇上一个动点（不与A,B重合），射线PM与。。交于点N（不与M重合）.

（1）当M在什么位置时，^MAB的面积最大，并求出这个最大值；

（2）求证：△PANs^PMB.

26.（2018・大庆）如图，AB是。0的直径，点E为线段OB上一点（不与0,B

重合），作ECLOB,交。。于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线

于点P,作AF_LPC于点F,连接CB.

（1）求证：AC平分NFAB；

（2）求证:BC2=CE«CP；

（3）当AB=4A/5且空=3时，求劣弧加的长度.

27.（2018•呼和浩特）如图，已知BCJ_AC,圆心。在AC上，点M与点C分别

是AC与。。的交点，点D是MB与O0的交点，点P是AD延长线与BC的交

点，且必幽.

APAO

(1)求证：PD是。。的切线；

(2)若AD=12,AM=MC,求”■的值.

MD

28.(2018•遂宁)如图，过。0外一点P作。0的切线PA切。。于点A,连接

P0并延长，与。。交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于

点N,连接AC、CM.

(1)求证：CM2=MN«MA；

(2)若NP=30°,PC=2,求CM的长.

29.(2018・邵阳)如图1所示，在四边形ABCD中，点O,E,F,G分别是AB,

BC,CD,AD的中点，连接OE,EF,FG,GO,GE.

(1)证明：四边形OEFG是平行四边形；

(2)将aOGE绕点。顺时针旋转得到△OMN,如图2所示，连接GM,EN.

①若0E=仃,OG=1,求理■的值；

GM

②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM,EN的长在旋转过程中始终相等.(不

要求证明)

c

30.（2018•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个

三角形叫做比例三角形.

（1）已知4ABC是比例三角形，AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC

的长；

（2）如图1,在四边形ABCD中,AD〃BC,对角线BD平分NABC,NBAC=NADC.求

证：^ABC是比例三角形.

（3）如图2,在（2）的条件下，当NADC=90。时，求毁的值.

AC

31.（2018•襄阳）如图（1）,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE±BC,

垂足为点E,GF1CD,垂足为点F.

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断：地的值为：

BE

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（（TVaV45。），如图（2）所示，试

探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,F三点在一条直线上时，如图（3）所示，

延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2&,贝UBC=.

图⑴图Q）图（3）

32.（2018•黄石）在AABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C

重合）.

（1）如图1,若EF〃BC,求证：,△延E

S/kABC福"AC

（2）如图2,若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由;

（3）如图3,若EF上一点G恰为aABC的重心，迪金，求也处的值.

AB4SAABC

33.（2018•郴州）在矩形ABCD中，AD>AB,点P是CD边上的任意一点（不含

C,D两端点），过点P作PF〃BC,交对角线BD于点F.

求证：4DEF是等腰三角形；

（2）如图2,将4PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF',连接P'C,F'B.设旋

转角为a（0Q<a<180"）.

①若(TVaVNBDC,即DF'在NBDC的内部时，求证：△DP'CS^DF'B.

②如图3,若点P是CD的中点，△DFB能否为直角三角形？如果能，试求出此

时tanNDBF'的值，如果不能，请说明理由.

34.(2018•常德)已知正方形ABCD中AC与BD交于。点，点M在线段BD上,

(1)如图1,当M在线段BO上时，求证：MO=NO；

(2)如图2,当M在线段OD上，连接NE,当EN〃BD时，求证：BM=AB；

(3)在图3,当M在线段OD上，连接NE,当NELEC时，求证：AN2=NC*AC.

35.(2018•眉山)如图①，在四边形ABCD中，AC_LBD于点E,AB=AC=BD,点

M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.

(1)求证：BN平分NABE；

(2)若BD=1,连结DN,当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；

36.(2018•威海)如图1,在四边形BCDE中，BC±CD,DELCD,AB_LAE,垂

足分别为C,D,A,BCWAC,点M,N,F分别为AB,AE,BE的中点，连接

(1)如图2,当BC=4,DE=5,tanNFMN=l时,求空■的值;

AD

(2)若tanNFMN=L,BC=4,则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程;

2

(3)连接CM,DN,CF,DF.试证明^FMC与4DNF全等；

(4)在(3)的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出.

37.(2018•南京)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A

作AFLDE,垂足为F,。。经过点C、D、F,与AD相交于点G.

(1)求证：△AFGs/\DFC；

(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求。。的半径.

38.(2018•嘉兴)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这

个三角形叫做“等高底"三角形，这条边叫做这个三角形的"等底".

(1)概念理解：

如图1,在4ABC中，AC=6,BC=3,ZACB=30°,试判断4ABC是否是"等高底”

三角形，请说明理由.

(2)问题探究：

如图2,AABC是“等高底"三角形，BC是"等底”，作aABC关于BC所在直线的

对称图形得到△A'BC,连结AA，交直线BC于点D.若点B是aAAt的重心，

求旭的值.

BC

(3)应用拓展:

如图3,已知11〃k，li与I2之间的距离为2.“等高底”△ABC的"等底"BC在直线

11上，点A在直线12上，有一边的长是BC的&倍.将AABC绕点C按顺时针

方向旋转45。得到△A'B'C,At所在直线交I2于点D.求CD的值.

图3

39.（2018•湖州）已知在Rt^ABC中，ZBAC=90°,ABNAC,D,E分别为AC,

BC边上的点(不包括端点)，且匹=&±m,连结AE,过点D作DM_LAE,垂

BEBC

足为点M,延长DM交AB于点F.

(1)如图1,过点E作EHLAB于点H,连结DH.

①求证：四边形DHEC是平行四边形；

②若求证：AE=DF；

2

(2)如图2,若m=3,求处的值.

5AE

40.(2018•泰安)如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O,E是BD上一点,

EF〃AB,ZEAB=ZEBA,过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G.

(1)NDEF和NAEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

(2)找出图中与4AGB相似的三角形，并证明；

(3)BF的延长线交CD的延长线于点H,交AC于点M.求证：BM2=MF»MH.

B

答案与解析

1•【分析】（1）由AD为直径，得到所对的圆周角为直角，利用三角关系得到一

对角相等，进而利用两对角相等的三角形相似即可得证；

（2）连接。M,由BC为圆的切线，得到0M与BC垂直，利用锐角三角函数定

义及勾股定理即可求出所求.

【解答】（1）证明：:AD为圆。的切线，

/.ZAMD=90",

VZBMC=180",

/.Z2+Z3=90",

VZABM=ZMCD=90°,

.,.Z2+Zl=90°,

.*.Z1=Z3,

则△ABMs.CD：

（2）解:连接OM,

VBC为圆0的切线，

AOMlBC,

VAB1BC,

，sin/E=^QL即卷=型,

AEOEAO+OEOE

VAD=8,AB=5,

即OE=16,

4+OEOE

根据勾股定理得：ME=-^0^2_Q]^2=2=4-

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，以及切线的性质,

熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

2.【分析】（1）先判断出NCAD+/D=90。，进而判断出NCAD+/PAC=90。，即可

得出结论；

(2)先判断出NB=NACF,进而判断出△ABCsaACF,得出比例式即可得出结

论.

【解答】(1)...AD是。0的直径

，ZACD=90°；

/.ZCAD+ZD=90°

VZPAC=ZPBA,ND=NPBA,

AZCAD+ZPAC=90°,

，NPAD=90°,

APAlAD,

•.•点A在上，

，PA是。。的切线

(2)VCF1AD,

.,.ZACF+ZCAD=90°,

VZCAD+ZD=90°,

/.ZD=ZACF,

/.ZB=ZACF,

VZBAC=ZCAF,

/.△ABC^AACF,

••-A-F二--AC,

ACAB

.*.AC2=AF«AB

VAF»AB=12,

.*.AC2=12,

，AC=2我.

【点评】此题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性

质，判断出NB=NACF是解本题的关键.

3.【分析】(1)连接DE,0A.想办法证明OA_LBF即可；

(2)作。H_LPA于H,只要证明△AOHS^PAB,可得里即可解决问题.

PAPB

【解答】(1)证明：连接DE,OA.

VPD是直径，

/.ZDEP=90°,

VPB±FB,

NDEP=NFBP,

，DE〃BF,

VAD=AE，

/.OA±DE,

/.OA±BF,

直线I是。0的切线.

(2)解：作OH_LPA于H.

VOA=OP,OH±PA,

；.AH=PH=3,

,.•OA〃PB,

AZOAH=ZAPB,

,/ZAHO=ZABP=90",

/.△AOH^APAB,

•-•0A-一AH,

PAPB

•-•一4“_一3,

6PB

.♦.PB=2.

2

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、切线的判定等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考

题型.

4.【分析】(1)根据A、B、C三点坐标画出图形即可;

(2)作出A、B、C关于轴的对称点4、Bi、Ci即可；

(3)延长OC到C2,使得0c2=2OC,同法作出A2，B2即可;

【解答】解：(1)4ABC如图所示;

(2)△AiBiJ如图所示；Ai(-3,3),

(3)4A2B2c2如图所示；A2(6,6).

—_r--T--r-r-MyrT-

(i•■itiiiJilt)

故答案为(-3,3),(6,6).

【点评】本题考查作图-位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识，属于中考常考题型.

5.【分析】(1)根据题意和平行线的性质、垂径定理可以证明结论成立；

(2)根据题意，利用矩形的性质和勾股定理可以解答本题.

【解答】(1)证明：•.•OCJ_CD,AD1CD,

，OC〃AD,ZOCD=90°,

/.ZOFE=ZOCD=90o,

VOB=OE,

，EF=BF；

(2)••・・••AB为。。的直径，

AZAEB=90°,

VZOCD=ZCFE=90°,

...四边形EFCD是矩形，

；.EF=CD,DE=CF,

VDC=4,DE=2,

，EF=4,CF=2,

设。0的为r,

VZOFB=90°,

/.OB2=OF2+BF2,

即P=(r-2)2+42,

解得，r=5,

.,.AB=2r=10,

即直径AB的长是10.

【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理，解答

本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解

答.

6.【分析】(1)先判断出BD是圆。的直径，再判断出BDLDE,即可得出结论;

(2)先判断出AC±BD,进而求出BC=AB=8,进而判断出△BCDS/\DCE,求出

CD,再用勾股定理求出BD,最后判断出△CFDsaBCD,即可得出结论.

【解答】解：(1)如图，

连接BD,VZBAD=90°,

二点。必在BD上，即：BD是直径，

，NBCD=90°,

/.ZDEC+ZCDE=90°,

VZDEC=ZBAC,

/.ZBAC+ZCDE=90o,

VZBAC=ZBDC,

AZBDC+ZCDE=90°,

/.ZBDE=90°,即：BD±DE,

•.•点D在。。上,

ADE是。。的切线；

(2)；DE〃AC,

VZBDE=90°,

/.ZBFC=90o,

，CB=AB=8,AF=CF=1T\C,

2

VZCDE+ZBDC=90°,ZBDC+ZCBD=90",

/.ZCDE=ZCBD,

VZDCE=ZBCD=90°,

/.△BCD^ADCE,

•BCCD

，，CD=CE，

•­•8---C-D,

CD-2

，CD=4,

在RtABCD中，BD=^BC2+CD2=475

同理：△CFDS^BCD,

•••CFiCD，

BC-BD

•CF4

8475

/.CF=8病,

5_

.,.AC=2AF=36恒

5

【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切

线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键.

7.【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；

（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE,根据三角形相似求得GH,得到MB、

GH和CD的数量关系，求得CD.

【解答】（1）证明：:BC为。M切线

二ZABC=90°

VDC±BC

/.ZBCD=90°

AZABC=ZBCD

VAB是。M的直径

，ZAGB=90°

即：BG±AE

，NCBD=NA

.,.△ABE^ABCD

(2)解：过点G作GH±BC于H

VMB=BE=1

，AB=2

AAE=VAB2+BE2=V5

由(1)根据面积法

AB・BE=BG・AE

5

由勾股定理：

AG=M,GE=匹

55

VGHZ/AB

；iGH_GE

AB^AE

在

.GH5

，，-TW

5

，GH=2

5

XVGH^AB

HC_GHQ

BC^MB

同理：里乌②

BCDC

①+②，得

HC+BH=GHGH

BC=MBhDC

•GHGH,

..瓦农口

，CD=Z

3

【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似.解

答时，注意根据条件构造相似三角形.

8.【分析】(1)根据切线长定理得出PA=PB,且P。平分NBPA,利用等腰三角形

三线合一的性质得出PO_LAB.根据圆周角定理得出AC_LAB,进而得到AC:〃

P0；

(2)连结OA、DF.先用勾股定理计算出AQ=4,再计算出PA=PB=6,利用切线

长定理可得到F点为AB的中点，易得DF为aBAP的中位线，则DF=J_PA=3,

2

DF〃PA,利用DF〃AQ得到△DFESAQEA,所以坐=迪二1,设AE=4t,FE=3t,

FEDF3

则AF=AE+FE=7t,于是BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t,最后计算处.

BE

【解答】(1)证明：YPA、PB是。。的两条切线，A、B是切点，

，PA=PB,且P0平分NBPA,

.\PO±AB.

:BC是直径，

AZCAB=90°,

AAC1AB,

，AC〃PO；

(2)解：连结OA、DF,如图，

VPA.PB是。。的两条切线，A、B是切点，

,NOAQ=NPBQ=90。.

在RSOAQ中，OA=OC=3,，0Q=5.

由QA2+OA2=OQ2,得QA=4.

在RtZ\PBQ中，PA=PB,QB=OQ+OB=8,

由QB2+PB2=PQ2,得82+PB2=(PB+4)2,

解得PB=6,

；.PA=PB=6,

VOP±AB,

.,.BF=AF=XAB.

2

又YD为PB的中点，

；.DF〃AP,DF」PA=3,

2

.,.△DFE^AQEA,

••A•EI-_--A-Q-—_4—)

FEDF3

设AE=4t,FE=3t,则AF=AE+FE=7t,

BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t,

•••,AE_，—4t—_—2一.

BElOt5

【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过

半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了勾股定理和相似

三角形的判定与性质.

9.【分析】（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD，=AE，，然后再利用SAS

证明△BhAgaCE'A,最后，依据全等三角形的性质进行证明即可；

（2）连接DDT先证明△ADD，为等边三角形，然后再证明△△ABD，为直角三角

形，接下来，再证明△BFD，SZV\FE，，最后，依据相似三角形的性质求解即可.

【解答】解：⑴证明：•..AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点，

，AD=BD=AE=EC.

由旋转的性质可知：NDAD，=NEAE，=a,AD，=AD,AE，=AE.

.•.AD'=AE',

.♦.△BD'A四△CE'A,

.•.BD，=CE'.

(2)连接DD，.

•.•/DAD，=60。，AD=AD\

.•.△ADD，是等边三角形.

，NADD'=NAD'D=60°,DD'=DA=DB.

，NDBD'=NDD'B=30°,

.'.NBD'A=90°.

•.•ND'AE'=90°,

，NBAE，=30。，

NBAE'=/ABD',

XVZBFD^ZAFES

/.△BFD,^AAFE,,

•BF二BD'二BD，

，，AF=AE/=AD/

•.,在Rt^ABD，中，tan/BAD，=^^=V^,

AD，

警愿.

AF

【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、

旋转的性质，发现△BFD'sZ^AFE，是解题的关键.

10•【分析】（1）证明△OCEg^BFE（SAS）,可得/OBF=/COE=90°,可得结论；

（2）由（1）得：△OCEg/XBFE,则BF=OC=2,根据勾股定理得：AF=2代，利

用面积法可得BD的长.

【解答】（1）证明：连接0C,

VAB是。0的直径，AC=BC，

，NBOC=90°,

YE是OB的中点，

，OE=BE,

在△OCE和Z\BFE中，

f0E=BE

­•N0EC=NBEF，

CE=EF

AAOCE^ABFE(SAS),

.,.ZOBF=ZCOE=90°,

直线BF是。0的切线；

(2)解：VOB=OC=2,

由(1)得：△OCE之aBFE,

；.BF=OC=2,

•*,AF=VAB2+BF2=V42+22=2^>

•0ABF=/AB・BF.AF・BD，

4X2=2依・BD,

.•.BD=3叵

【点评】本题考查圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常

考题型.

1L【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点得出即可；

（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案.

【解答】解:（1）如图所示：△AiBiJ即为所求：

(2)如图所示：Z\A2B2c2即为所求;B2(10,8)

【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键.

12.【分析】(1)连接OC,由PC为圆的切线，利用切线的性质得到NOCP为直

角，利用等边对等角及外角性质求出所求即可；

(2)连接AD,由D为弧AB的中点，利用等弧所对的圆周角相等，再由公共角

相等，得到三角形ACD与三角形EAD相似，由相似得比例求出AD的长，进

而求出AB的长，求出OA的长，求出面积即可.

【解答】解：(1)连接OC,

•.•pc为。。的切线,

AZOCP=90°,即N2+NP=90°,

VOA=OC,

，NCAO=N1,

VAC=CP,

.,.ZP=ZCAO,

又YN2是△AOC的一个外角，

/.Z2=2ZCAO=2ZP,

.•.2ZP+ZP=90°,

AZP=30°；

(2)连接AD,

：D为第的中点，

/.ZACD=ZDAE,

/.△ACD^AEAD,

,必匹，即AD2=DC«DE,

DEAD

VDC*DE=20,

，AD=2娓，

V^=BD，

.*.AD=BD,

VAB是。0的直径，

RtAADB为等腰直角三角形,

/.AB=2\T10，

OA=ly\B=V10»

S0o=n*OA2=lOn=31.4.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，以及切

线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

13.【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD〃AC,证明0D

1CB,可得结论；

（2）在RtZ\ACD中，设CD=a,则AC=2a,AD=倔，证明△ACDs/VkDE,表示

a=4r,由平行线分线段成比例定理得：毁典，代入可得结论.

5BCAC

【解答】（1）证明：连接。D,

VAG是NHAF的平分线，

，NCAD=NBAD,

VOA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

.,.ZCAD=ZODA,

，OD〃AC,

VZACD=90°,

/.ZODB=ZACD=90°,即ODJ_CB,

•.•D在。。上，

二直线BC是。。的切线；

(2)解：在RtaACD中，设CD=a,则AC=2a,AD=倔,

连接DE,

VAE是。0的直径，

，NADE=90°,

由NCAD=NBAD,ZACD=ZADE=90°,

.,.△ACD^AADE,

；iAD_AC；

,,同而，

即述a二2a,

2rV5a

•••od---4r，

5

由(1)知：OD〃AC,

理应，即BD二r,

BCACBD+a2a

【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相

似三角形的性质列方程解决问题是关键.

14.【分析】（1）根据平行线的性质可得出NADB=NOAC=75。，结合NBOD=NCOA

可得出△BODs^cOA,利用相似三角形的性质可求出0D的值，进而可得出

AD的值，由三角形内角和定理可得出NABD=75o=NADB,由等角对等边可得

出AB=AD=4E，此题得解；

(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,同(1)可得出AE=4仃，在Rt^AEB中，

利用勾股定理可求出BE的长度，再在RtaCAD中，利用勾股定理可求出DC

的长，此题得解.

【解答】解：(1)；BD〃AC,

/.ZADB=ZOAC=75°.

VZBOD=ZCOA,

.,.△BOD^ACOA,

•••O-D-----O--B----.l

OA0C3

又，：AG=m，

OD=AT\O=\/3>

3

，AD=AO+OD=4仃

VZBAD=30°,ZADB=75",

/.ZABD=180°-ZBAD-ZADB=75°=ZADB,

，AB=AD=4我.

故答案为：75；4-73.

(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,如图所示.

VAC1AD,BE〃AD,

AZDAC=ZBEA=90°.

VZAOD=ZEOB,

/.△AOD^AEOB,

•••BO—_EO—_BE

DOAODA

VBO：OD=1：3,

•­•,EO•一_•BE_1一.

AODA3

VAO=3V3)

/.EO=V3»

.•.AE=4我.

VZABC=ZACB=75",

.,.ZBAC=30°,AB=AC,

/.AB=2BE.

在Rt^AEB中，BE2+AE2=AB2,即(4我)2+BE2=(2BE)2,

解得：BE=4,

，AB=AC=8,AD=12.

在RtaCAD中，AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,

解得：CD=4后.

【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以

及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出0D的值;

（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度.

15.【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10,ZABD=45°,再由平移的性质即

可得出结论；

（2）先判断出/ADE=NACB,进而得出△ADEsz^ACB,得出比例式求出AE,即

可得出结论.

【解答】解：（1）•线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90。得到，

AZDAB=90°,AD=AB=10,

，NABD=45°,

VAEFG是aABC沿CB方向平移得到，

；.AB〃EF,

/.ZBDF=ZABD=45O；

（2）由平移的性质得，AE〃CG,AB〃EF,

/.ZDEA=ZDFC=ZABC,ZADE+ZDAB=180°,

VZDAB=90°,

，ZADE=90°,

VZACB=90°,

，ZADE=ZACB,

.,.△ADES/XACB,

•••-A-D一AE,

AC-AB

VAC=8,AB=AD=10,

.,.AE=12.5,

由平移的性质得，CG=AE=12.5.

【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的

判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出^ADEsaACB

是解本题的关键.

16.【分析】(1)先求出AC,进而求出AE=4,再用勾股定理求出DE即可得出结

论；

(2)分三种情况，利用相似三角形得出比例式，即可得出结论.

【解答】解：(1)如图1,连接OD,•.,0A=0D=3,BC=2,

，AC=8,

•••DE是AC的垂直平分线，

，AE=L\C=4,

2

/.OE=AE-OA=1,

在RtAODE中，DE=40口2—OE

在RtZxADE中，AD=JAE2+DE*2

(2)当DP=DF时，如图2,

点P与A重合，F与C重合，则AP=0；

当DP=PF时,如图4,.•.ZCDP=ZPFD,

IDE是AC的垂直平分线,ZDPF=ZDAC,

/.ZDPF=ZC,

VZPDF=ZCDP,

/.△PDF^ACDP,

/.ZDFP=ZDPC,

，NCDP=NCPD,

，CP=CD,

/.AP=AC-CP=AC-CD=AC-AD=8-2通；

当PF=DF时，如图3,

/.ZFDP=ZFPD,

VZDPF=ZDAC=ZC,

/.△DAC^APDC,

；iPC_CD；

，，CD^AC，

-8-AP_2A/6

,,2氓:8，

；.AP=5,

即：当4DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8-2遍.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线

定理，等腰三角形的性质，判断出△PDFs/^CDP和△DACs^PDC是解本题

的关键.

17.【分析】问题1：

（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：生理上，由同高三角形面积的

EAAD3

比等于对应底边的比，则也匹还毁』3,根据相似三角形面积比等于相似

^AADE杷39

比的平方得：%以3）2=2_,可得结论;

^AABC416

（2）解法一：同理根据（1）可得结论;

e|CE-DF

解法二：作高线DF、BH,根据三角形面积公式可得：-----,分别表

SAABC

示更和更的值，代入可得结论；

CABH

问题2：

解法一：如图2,作辅助线，构建△OBC,证明△OADSAOBC,得0B=8,由问

题1的解法可知：SACEF=S"F,^OEF^4-nx(生1)2=改21,根据相似

^AOBC2AOEF^AOBC^+n&64

三角形的性质得：1^=1,可得结论；

2△OBC4

解法二：如图3,连接AC交EF于M,根据AD=1BC,可得也吗工得:SAADC=1S,

2SAABC23

SAABC=2S，由问题1的结论可知：隰眩二F，4n,证明△CFMs/MZDA,根

3SAABC16

据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论.

【解答】解：问题1：

(1)VAB=4,AD=3,

/.BD=4-3=1,

•.•DE〃BC,

•CEBD1

•京而可

S

■ADEC^EC1^3；

2AADE杷39

•.•DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

...S/kDEC=即心上

SAABC16S-16

故答案为：J_；

16

(2)解法一：VAB=4,AD=m,

BD=4-m,

VDE/7BC,

CE_BD_?

EAADm

...5△DEC=