中考数学《研究型学习》

12一、选择题12．(临，，3分一列自然数012，，．依次将该列数中的每一数平方后除以，得到一列新数．则下列结论正确的()A原数与对应新数的差不可能等于零．B原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C当原数与对应新数的差等于时，原数等30D.原数取50时原数与对应新数的差最大．D，解析：当数是时新数也是0，原数与对应新数的差，等于零选项A误；设原数为x（x(100)≤100的然数数为，原数与对应新数的差为x－=100100100

，随着x的大，100－逐x)x渐减小，所以随的大而减小，选项B错；当－=21，得x，，选项C100100错误；又x－项D正确.

xx2500=100100100

，所以当原数取时，原数与对应新数的差最大，选二、填空题三、解答题2018·德，24，）再读材：宽与长的比是（为0）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美各国许多著名的建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽的矩形纸片折叠黄金矩形示：＝2）第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB并把它折到图③中所示的处第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE使DE，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中＝cm保留根号（2）如图③，判断四边形BADQ的状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，选择其中一个说明理由．实际操作：第页共页

（4）结合图④，请在矩形中加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．思分1连接AB，由折叠的质，可得＝2在中利用勾股定理可求出AB的长度．（2）先证明四边形BADQ是行四边形，再进证明它是菱形．（3）通过计算，观察图④客户哪个矩的宽与长的比是

，

选择其中一个给出证明．（4）的矩形BCDE中已知CD＝＝5－，加宽，使矩的宽与长的比是解过1由折叠知，四边形是正方形，∴BCMN＝，AC1，

．∴答案：

5

AC125

．（2）∵矩形纸片，∴∠＝∠QAD由折叠，得＝QAD＝AD，∴∠＝BAQ∴＝，∴＝AD．∵∥AD，∴四边形BADQ是行四边形，∵ABAD，∴四边形BADQ是形．（3）图④中的黄金矩形有矩形，矩形MNDE矩形BCDE是金矩形，理由如下：∵AD＝AB

5

，＝AC1∴CD＝AD－AC5－1又∵＝，∴

5

，∴矩形BCDE是金矩形．（4）如图，在矩形上加段，使四边形GCDH为方形，则矩形BGHE为要的黄金矩形．矩形较长的边＝5－1宽HE＝35．2．（2018·嘉兴市24，）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图，ABC中＝＝3∠ACB＝试ABC是是“等高底”三角形说理由．（2）问题探究：如图2“等高底”三角形BC是等”，ABC于BC所在直线的对称图形得，连结交线于D．若点是eq\o\ac(△,)的重心，求的．（3）应用拓展如图，已知l∥l，l与l之的距离为．等高底eq\o\ac(△,”)的等底”在线l上，点A在线l12112上，有一边的长是的倍．ABC绕按时针方向旋转45°A，AC所直线交l于2点D．求CD的值．第页共页

1212A'A

DC

B'

D

l2B

A'

C

l1思路分析：（1求出BC边的高的长和比；（2）由等底三形可知AD＝BC再由B为eq\o\ac(△,)′C的心，知BC2，从而通过勾股定理用BD表示出AC的；（3）分两种情况说明＝2和＝BC，出图形．解：（）如图1过点A作AD上线CD于，∴△ADC为角三角形，∠ADC∴∠ACB30°，＝，AD＝AC＝3∴AD＝BC即ABC是等高底”三角形．（2）如图2∵△“等高底”三角形是等底”，AD＝∵eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)与于直线对，∴∠ADC90°∵点B是eq\o\ac(△,AA)eq\o\ac(△,)C的心，∴＝2设＝x，则AD＝2，∴＝x∴由勾股定理得＝13x，ACx∴BC22（3当AB＝时Ⅰ．如图，作AEl于点，AC点，1“等高底”“等底”为BCl∥ll与l之的距离为2＝21∴BC＝＝2，＝2∴BE2即EC，∴＝2∵ABC绕按时针方向旋转得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)，∠＝设DF＝CF＝x∵l∥l，∴ACE＝∠DAF12DFAE1∴，AF．AF∴AC＝25可得＝5，＝2xⅡ．如图，此时ABC等腰直角三角形，

23

10绕C按时针方向旋转45°得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC，∴ACD等腰直角三角形，∴CD＝2＝2当＝BC时Ⅰ．如图，此时ABC等腰直角三角形，∴△点C按时针方向旋转得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C时点A在线l上1∴Cl，直AC与l无点2第页共页

综上，CD的为2，2，2【其他不同解法，请酌情给分】

AAB

DBCA'

E

DFB

l2l1题图24题图题图A'B'

A'

D

2

A

B'

D

lC

1

B

lB'

l2CEA'

l1题图4题题图（·山东淄博，分(本小题满分9分)（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形BC其中ABAC，的外侧分别以ABAC腰作了两个等腰直角三角形ABD、ACE分取、CE、BC的点M、N连接小明发现了：线段GMGN的量关系是；置关系是.（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考.等腰三角形换为一般的锐角三角形其AB，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理.（3）深入探究：如图③，小明在）的基础上，又作了进一步探究，条件不变，试判断△的状，并给予证明

的内侧作等腰直角三角形ABDACE.其它D

AMN

E

D

M

A

E

M

D

①图②图③思

图B

C

B

G

分：第页共页

F（1）由图形可猜想相等且垂直的关.连DC，BE，则易证△ADC≌，利用三角形中位线定理即可得出结论.F（2）类似于（）可证明结论还成（3）类比（2即可解决解1）MG，MG.证明提示：如图连接，DCEB于点D

EAM

H

NFB

C

∵，=，∠∠°，∴△AEB△ACD∴EB=CD，∠=∵∠=∠，∴∠EFC=EAC=90°.∴EBCD∵M、N、分别是、CE、的点，11∴NG∥，且NG=EB；MG∥CD，且MG=CD.22∴=，⊥NG（2）成立理由：连接，BE，则类似于（1≌，且两三角形绕点旋转可相互得到，这样问题便转化成（1的问题，利用三角形中位线定理可证明结论还.（3）△

是等腰直角三角.证明：如图连接EB，，分别延长交于点F

M

D

G

∵AE=AC，=，∠=∠∴△AEB.∴EB=CD，∠=∴∠AEB∠ACF=180°.又∠=90°，∴∠∴EBCD∵M、N、分别是、CE、的点，11∴NG∥，且NG=EB；MG∥CD，且MG=CD.22∴=，⊥NG∴△GMN等腰直角三角形.·盐城26，12分现】如图①，已知等ABC，将直角三角形的60角顶点D任放在BC边上（点D不点、重合两分别交线段ABAC于、.（1若=6=4BD，则CF=；（2求证：△∽△第页共页

【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边、的个交点、都存在，连接EF如图②所示.问：点D是存在某一位置，使平分∠且FD平∠？若存在，求出

BC

的值；若不存在，请说明理由【探索】如图③，在等腰中AB=AC点O为BC边中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处其∠=∠B两边分别交边、AC于、（、F均不与ABC的点重合接设∠=，△AEF与△周长之比为（含的表达式表示NA

A

AE

F

E

F

M

E

FB

D

CB

D

C

B

O

C图①

图②

图③思分发）等边三角形的判定和性质可得CF=4）由“两组角相等的两个三角形相似”便可得△∽DCF考】假设存在点D，ED平∠且FD平∠，点D分别作DM⊥于MDN⊥EF于，DPAC于，由角平分线的性质得DM==DP利用可得≌△，由全等的性质得DB=，即可得

BC

的值索连结AO过点O别作OGAB于点OH⊥EF点HOI⊥于I【思考知为BC边中点时别平分、∠结角平分线的性质得OGOH=，利用可得OEG≌△OEH，OFH≌△OFI，由全等的性质得EG，=FI，则AEF的=2由等腰三角形的性质可进一步出AO⊥即△AOB为直角三角形，ABC的周长可表示为（ABBOeq\o\ac(△,Rt)AOB中，AG、、BO都用含的达式表示，即AEF△ABC的长比也可用含表达式表示出来解过发）△ABC为等边三角形，==，∠=C°，∵，AE=4，∴BE=2，又∵BD，∴，∵∠B°，EDF°，∴=60，∵∠C°，∴为等边三角形，∴=DC=BC－BD=4，（2∵EDF=60°，∴∠BDE＋∠=120，∵∠B°，∴BDE＋∠°，∴BED∠CDF，∵∠B=∠C=60°，∴△∽DCF.【思考】假设存在点D，使ED平分BEF且FD平分CFE如图，过点D分作⊥于点M，⊥于，DPAC于，∠DMB∠DPC°，AEM

N

F

PB

D

C∵分BEFFD平∠，∴=DN=DP在△DBM和DCP中∠DMB=∠°，B=∠°，eq\o\ac(△,∴)DBM≌△，∴DC，∴

=BC【探索】如图，连结AO，过点O分作⊥AB于点GOH于，OI⊥于I即=第页共页

22∠=∠=OHI°22NAMH

FEGB

O

I

C由【思考】可知：当为边中点时，OE、OF分平分∠∠CFE.∴OGOHOI，在△和OEH中∠OGEOHE=90°，=，公共边，∴△OEG≌△OEH∴EG=EH在△和OFI，同理≌△OFI∴FH=，△的长=＋EFAE＋EH＋＋AF＋EG＋FIAGAI∵，点为BC边的中点，OC，⊥，OG=OI，OAG，在△和中OG=OI∠=OAI，∠=OIF°，∴△OAG≌△OAI，∴AI，∴△AEF的长2.△的长=＋＋BC=2ABBO在eq\o\ac(△,Rt)AOB中，⊥BO，OGAB，∠B=，∴AOG∠=，∴△AEF的周=2AGAB－BG）=2（－BOcos）=2（－）AB－cosα△的长=2（+）=2＋ABcos）=2（1cosAEF的周长11＋ABC的周长1cos2018·泰州，，分）给定的一张矩形纸片ABCD进如操作：先沿折，点落边(如图)，再沿CH折，这时发现点E恰好与点D重(图②).(1)根据以上操作和发现，求

CD

的值；(2)将该矩形纸片展开.①如图③，折叠该矩形纸片，使点与点H重，折痕与AB相于点P再将该矩形纸片展开求证：=90°②不借助工具利用图④探索一新的折叠方法出图③中位置相同的点求有一条折痕，且点P在痕.请简要说明折叠方.(不需说明理)A

D

H

D

HD

HDE

B

C

C

C

C图①图图图④思分：叠问题既要关注由折叠所得的相等的线段，又关注由折叠所得的相等的角，还要关注折叠前后的对应点的连线与折痕所在直线的位置关.（）由矩形性质知ADBC由②折叠知CD，这样就可以将

CD转化为来，利用图①易得案要证明=90°关键在BC于证明PAH≌△CBP，容易发现条件PHPC，A∠°，但是还差一个条件，这是本题之题眼——解题关键所.怎么办呢？两条腿走路：代数方法、几何方.用代数方法，可以设参数列方探究线段APBC或AH与的量关系；用何方法，关键是如何找到一条线段，来做与或AHPB的媒介）弄懂了（2确线段AP==AD折叠方式的探究水到渠.第页共页

解过：设AD=a在矩形中BC=.由折叠知∠==

12

∠=45°，又∵∠B°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BEBC=，CE

a

2

a

2

=

2

.由折叠知CD=2，∴

CD==.BC（2法如图①连.（设=BC在形中=BE==CD=2，∴=(

-1)a由折叠知∠=∠D=90而∠=45°∴∠AEH=45