锐角三角函数与解直角三角形复习课件

福田九义初三年级

CABbca

1.本章内容有锐角三角函数的概念，解直角三角形及解直角三角形的应用。

在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中,并且三角函数值与边无关。

2.锐角α的取值范围及变化情况：

3.特殊角的三角函数值：

4.同一锐角α的三角函数之间的关系：（1）平方关系：sin2α+cos2α=1

5.互余两角的三角函数之间的关系：

6.解直角三角形的依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，除直角C外，其余五个元素之间有以下关系：（1）三边关系：a2+b2=c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（互余关系）（3）边角关系：

解直角三角形时，要注意适当选用恰含一个未知数的关系式。

任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值，任意锐角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。7.解直角三角形的分类：

例如选用关系式归纳为口诀：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除。

8.

有关解直角三角形的应用题：

应用解直角三角形的知识解决实际问题的时候，常用的几个概念：(1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图1。

(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示。坡度（坡比）：坡面的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡度，用字母i表示，即，如图2。(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角，如图3中，目标A、B、C的方位角分别为。

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角叫做方向角，如图4中，目标A、B、C、D的方向角分别表示北偏东、南偏东、南偏西、北偏西。又如，东南方向，指的是南偏东角。一.基础题型分析：例1.

分析：

解法二：利用同角的三角函数的关系式。

∵sin2B+cos2B=1

例2.

∴∠A=30°。（2）∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°。解法二：（1）在Rt△ABC中

无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。∴∠A=30°说明：解法一：在Rt△ABC中，如图3。

例3.当45°<α<90°时，下列各式正确的是（）A.sinα>cosα B.sinα=cosα C.tanα<cotα D.tanα<1

分析：如图4，设∠A=α，则BC>AC。

解法一：利用三角函数定义。

∴应选A，其余三项也可根据定义证明不成立。

解法二：化为同名三角函数，利用增减性比较大小。

∴根据锐角的正弦（切）的增减性可知应选A，其它两项也不成立。解法三：找标准量45°角比较。∵45°<α<90°∴sinα>sin45°，cosα<cos45°

∵sin45°=cos45°∴sinα>cosα，同理tanα>cotα，∴应选A。例4.A.等腰非等边三角形 B.等边三角形C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形分析：

所以∠A=60°，∠B=60°，应选B。

例5.α为锐角，若m>2，下列四个等式中不可能成立的是（）

分析：根据三角函数值的取值范围，有

∴判断可知cosα选项不可能成立，应选B。

例6.

分析：题目涉及到同角α的正余弦的和差，可以考虑应用关系式：sin2α+cos2α=1解题。

注意：开平方要取正负，因为题中不能确定sinα与cosα的大小。例7.在Rt△ABC中，∠C=90°，a+c=12，b=8，求cosB。

解：

二.综合题型分析：

例8.已知：如图5，△ABC中，∠B=30°，∠ADC=45°，∠ACB=120°，D是BC上一点，若CD=8，求BD的长。A

BDC

(图5)

30°

45°

120°

解法一：过A作AE⊥BC的延长线于E，∵∠ACB=120°，∴∠ACE=60°。

∵∠ADC=45°

∴DE=AE

E

解法二：如图6，过D作DF⊥BC于D，交AB于F。A

BDC

(图6)

30°

45°

120°

F

易证得∠FAD=∠DAC=15°∵FD⊥BC，∠ADC=45°∴∠ADF=∠ADC=45°在△ADF和△ADC中

∴△ADF≌△ADC∴DF=DC=8在Rt△BDF中，

例9.如图7，已固知MN筛BE和AB观CD都是傲正方哗形，MC与AB相交谁于F，已知si姓nα筹=分析妇：实吹质上踪蝶是已还知比挣值求焰比值先的问畅题，翅不过枕它是院特殊结的比峡值问跑题，豪因为摧这里窗两条抄线段队的比仓是直吹角三犯角形适中两承条边骡的比摆值问永题。锐角乱，或α是Rt勤△M刺NC的锐佳角，泳或α是Rt睬△E旦MF的一螺个锐墨角，惰这样通就有五三种艇解法锤。求ta撒nβ，从图颜形直垮观上等看，行就是抽把β放在Rt茶△A召ME中，差求出AE和ME，或用锤某个毅字母x的代坡数式厉表示AE和ME即可辱。解：肠在Rt启△M所NC中，∴设MN辟=5充x，MC取=1鲜3x，则N帖C=献12见x。∴M筛E=书MN察=N庸B=柏5x透，B奴C=杯NC逗－N菌B=端7x改。例10某.在△AB挎C中，膀∠C=炭90殿°，∠A=伟15肤°，AB删=1蜂2，求S△A倒BC。CA（图8）15°解法舒一：若如图8，取AB的中周点D，连结CD，过C作CE⊥AB于E。∵A飞B=膛12∴∠A=达∠A搏CD落=1笛5°∠CD干B=番30踩°在Rt△CD漆E中，BED解法梁二：赤如图9，把暖△AC若B沿AC翻折伤，得棉到△AC饶D，CA（图9）D则△AC唇D≌公△A猛CB∴∠DA颗C=倚∠C至AB炒=1蛙5°，∠DA此B=剥30裂°AD臭=A垮B=瓦12过点D作DE蚕⊥A眠B于E，∴DE演=A予D·辜si田n3糕0°绢=6BE例11翻.如图锁湖泊阳的中上央有念一个佛建筑夏物AB，某人符在地踩面C处测锻得其蜓顶部A的仰屡角为60服°，然贪后，去自C处沿BC方向歌行10捆0m到D点，津又测价得其愿顶部A的仰备角为30梁°，求森建筑触物的姿高（晓结果干保留热根号嫂）分析旨：本题剖的关亮键在牌于（1）DB雁-C净B=悉10镰0（2）Rt院△A怒BC与Rt嫌△A技DB有一件条共必同的车线段AB，因此妹只要争利用Rt渴△A踢BC和Rt示△A余DB分别币用AB表示凯出DB和CB即可夸列出板方程DB债-C凉B=冈10爽0，问题嘴便可掀迎刃早而解滚。解：边设AB弄=x例3.人民季海关饺缉私碑巡逻挪艇在亡东海丧海域榆执行书巡逻渐任务胜时，殊发现脾在其铺所处梳位置O点的掘正北击方向10海里责处的A点有塌一涉松嫌走廉私船聚只，幕正以24海里/时的贼速度波向正鼓东方辟向航咏行，蹄为迅枕速实拌施检休查，迁巡逻揉艇调节整好莫航向起以26海里/时的赏速度啦追赶迈在涉质嫌船毙只不捎改变扁航向久和航货速的怠前提浑下，巴问：晋（1）需卵几小昆时才肾能追内上？稳（点B为追错上的下位置具）（2）确畏定巡始逻艇问的追附赶方隐向，乓（精俭确到0.肠1°）分析盒：（1）此泳题可汉利用词于方效程来文解决真，设尊需t小时杀追上订，然蝇后根战据直突角三甜角形揪三边完满足蜓勾股沿定理钉来列耻出一或个关焦于“t”的一糕元二悄次方岩程，吃从而东求出穴时间t。（2）要求B点的用方位昂角，阳首先承应理斧解方虽位角宰在几依何图尝中的芹表示煎方法穷，然臣后借或助正痒弦函按数值吧以及梯计算段器来耽求出B的方娱位角宪。解：设需t小时选才能辞追上静。（2）在Rt鞋△A裤OB中即巡窗逻艇匠的追盏赶方执向为寨北偏火东67葡.4白°。ABO例5.如图漏，某冰货船闸以20海里/时的灰速度雁将一前批重层要物乒资由A处运伏往正骡西方杂向的B处，把经16小时悦的航沟行到圾达，耕到达坦后必蛙须立该即卸军货，倒此时掠接到棕气象搞部门反通知块，一到台风掉中心罗正以40海里/时的岩速度欣由A向北逮偏西60援°方向饺移动田，距田台风踢中心20手0海里歪的圆胁形区竿域（裤包括熄边界龟）均宴会受逗到影藏响。（1）问B处是按否会启受到背影响航？请绵说明君理由疑。（2）为既避免险受到坏台风畜的影裤响，岗该船被应在祝多少纳小时庙内卸林完货浓物。北AB西C分析触：台风芽中心许在AC上移层动，谦要知尘道B处是塞否受馒影响衔，只仓要求懂出B到AC的最原短距盘离并午比较止这个忧最短讲距离末与20旺0的关毫系，悟若大加于或仅等于20乱0海里灰则受夜影响窝，若械小于20桃0海里疯则不幕受影升响。（2）要袋使卸将货过侨程不遇受台伟风影荣响，退就应吗在台货风中距心从系出发明到第当一次花到达胜距B2娘00海里门的这换段时启间内燃卸完弱货，讽弄清滋楚这互一点径，再国结合坦直角让三角汉形边斗角关亩系，忠此题继就不素难得紫到解腔决。北C60°西B挥ADEF解：（1）过B作BD甲⊥A万C于D根据应题意绵得：商∠BA旺C=爬30志°，在Rt院△A歌BD中∴B处会沿受到能影响饮。（2）以B为圆驶心，爪以20腐0海里洪为半怀径画趁圆交AC于E、F（如图甩）则E点表价示台以风中炭心第江一次丛到达英距B处20香0海里挽的位疼置，菠在Rt攀△D辅BE中，DB害=1孤60，BE漠=2子00，由勾份股定笨理可董知DE假=1