自动控制理论第二十七讲

第二十七讲非线性系统的相平面分析主要内容一、相轨迹的绘制方法

1、解析法2、等倾斜线法3、δ法二、由相轨迹求暂态响应三、用相轨迹分析非线性系统一、相轨迹的绘制方法绘制相平面图有三种方法:

解析法、等倾斜线法、δ法，1.

解析法适用于较简单的系统，找出x(t)和的关系，绘出相平面图，它又可分为两种方法。参变量法分离变量直接积分法(1)参变量法解微分方程，得到x(t)和,然后消去t,得到x与的关系式，或者视t为变量，给定一组t值,算出x值和值，画出相轨迹曲线。M=1M=-1找出的关系，为初始条件。(2)直接积分法二阶系统的一般式将两个变量分离，分解为由前例题中有积分【例2】如图所示。m为物体质量，k为弹簧的弹性系数。初始条件

,绘相轨迹。解法一：拉氏变换得微分方程的解【解】消去t得相轨迹方程解法二：微分方程写成分离变量、积分，并代入初始条件,得相同的相轨迹方程。相轨迹是以坐标原点为圆心的一簇同心圆设系统微分方程2等倾线法该式称为等倾斜线方程，即相轨迹与上述方程所表示的曲线相交处的斜率均为α。（1）等倾斜线方程（2）等倾线法的基本原理:

任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似，如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜率，就能画出通过该点相轨迹的切线，并用它来近似该点及其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的切线来近似相轨迹曲线了。（3）等倾线法作图步骤1）对于给定斜率

,求解等顷线方程,得到等顷曲线。2）给定不同的值,在相平面上绘制不同的等倾曲线。3）由给定的初始条件出发,沿各条等倾曲线所决定相轨迹的切线方向,依次画出系统相轨迹。等倾斜线方程的确定【例】设线性定常系统的微分方程为试确定该系统的等倾斜线方程【解】等倾斜线方程【例】设线性定常系统的微分方程为试确定该系统的等倾斜线方程【解】等倾斜线方程

α取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹。相轨迹的画法试确定该系统的等倾斜线方程【例】设线性定常系统的微分方程为【解】二、由相轨迹求暂态响应【问题的提出】：相轨迹上坐标XA点移动到XB点所需的时间。【解决方法之一】这个积分通常可用近似计算积分的方法求出，因此求时间解的过程是近似计算的过程。增量法【解决效方法纯之二】圆弧固法三、巷用相触轨迹傲分析链非线汤性系轻统用相庆轨迹荷分析身非线拌性系割统的猾一般猎步骤（1）非微线性零特性脏用分秒段的膝直线呢特性鹿来表软示，迫写出鸣各线忠段数离学表徒达式建。（2）选类择合状适方相法将识相平聪面分分成若絮干区隙，使般每个罢区域忙内都纱呈线惩性特良性。（3）确班定每购个区扒的奇伤点类乒别和陪位置借。（4）在捞各个锯区内水画出气各自援的相担轨迹影。（5）将轿相邻傲区相嫌轨迹租的点吊连接抹起来轧，得仇整个稍系统典的相俱轨迹概。（6）基跌于相惊轨迹曲，全头面分凭析系投统的用动态角及稳奸态特退性。【说明】每个潮线性谣区内箩的奇丸点说浓明(1猪)、每个饥线性赢区内其的奇浇点有扔两种士情况(a酷)无奇详点，蛙用等坝倾线猴法绘缎制各昌区域课相轨各迹；(b让)有奇将点，柔每个爬区域兽内有规一个报奇点扯。(2很)、实勾奇点铜和虚导奇点奇点毙在本君区，蛮为实绑奇点岩，则察该区停相轨辱迹汇叔集实吸奇点;奇点赶在本迅区外华，为槐虚奇佳点，壁该区研域的岭相轨公迹不节能汇肚集于摊虚奇断点。(3奏)、二拢阶非领线性注控制任系统妥的奇闸点二阶练非线丑性控场制系榴统中赤最多沿只有词一个纽奉实奇爽点。1.继电惜器型架非线伸性系哨统的选分析用相笼轨迹抖分析梳非线袋性系舟统举泳例方块不图如碑图示碧，分捞析继在电特汁性分鸟别为盲四种骨情况敢时，讲系统顿自由友运动使的相示平面比图及鱼其运嫂动特环点。赠取C和眼为相影坐标乓。【解】(1糊)死区幻玉继电隐特性(m择=1扩)分段蝴线性病微分即方程

输出输入

开关线c=a和c=-a，相平面分为三个线性区域，分区绘相轨迹。c＞a

无奇点，等倾线是一簇平行于横轴的直线。｜c｜＜a无奇点，相轨迹是一簇斜率为定值平行直线。c＜-a，无奇点，等倾线是平行于横轴直线。系统绪处于倾哪一请个平价衡状壳态以庸及稳杏态误杆差(e饰=-凉c)的大窜小，甲除与湾系统裁的结套构参贫数有纸关外适，还券取决百于初象始条赠件绘三御个区冷域的汪相轨滨迹，腊开关怖线把序三个姨区域旦的相冠轨迹饺衔接驶起来串，票得到即死区轿继电药特性角的系攻统相铜平面纱图；开关决线c=吹a和c=颈-驶a处，浪相轨道迹转枯移，灾继电要器由暮一种两工作闲状态辉转换妄到另锅一种乡丰工作讲状态医；不同初始条件的相轨迹都终止在,｜c｜＜a这段上；该直线为系统平衡段，由继电持性的死区引起；当相轨迹到达平衡段，系统处于平衡状态，每一点对应系统一个平衡状态。平衡厉段还宪说明爸，死距区造扮成稳册态误敬差，肠降低冤了系美统的抚稳态唯精度垒。从内巾向外汁发散惜和从兴外向牛内收堵敛的证相轨钟迹之桑间存尚在着面一个如稳定功的极晕限环掩。该舰系统太不论诵初始副条件宁如何娘，最烤终处读于自字振，致振荡鸭的周喂期与激振幅数取决细于系修统的谷参数皇。线段｜c｜<h，不是系统的平衡段，由此线段出发的相轨迹发散，较大初始条件出发的相轨迹向内收敛。ue2)有滞棕环的革继电停特性(m芦=-遮1)开关作线开关篮线将船相平井面分宏为2个区随域，杰相平惰面图眉如示m=错-1，m=炕+1的相豆轨迹弯不同与m=跑1时比耗较看告出，滔三个歪微分半方程禾相同摄，仅残划分誓区域湿不同肉，相时轨迹射类似曲。画躬出开晋关线滔，参记照前图，可伤绘出派系统抛的相冤平面主图。(3铸)有死察区又旺有滞突环的越继电慢特性(-急1＜m＜1)mh

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eh开关熟线四条竭开关映线将骆相平殊面分壮为三涨个区开关堵线将相站平面馒划分扭为左绒右两挂个区梦域，

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u(4学)理想岸继电畏特性(h骨=1骆)分段处线性怪微分搅方程险式开关线c=0等倾迷线法蒸绘出嫁系统射的相吗平面芦图如采示。可见喉，不亿同初仿始条博件相奏轨迹甜均收垮敛于巡寿坐标迫原点存。2、反秩馈校霜正分柱析τ＜T，分芦段线瘦性微表分方析程为与无琴反馈资且m=蒜1的微思分方排程一兄样，汉仅区棕域划激分不缩慧同，抄相轨加迹类到似，你先绘劣出两史条开夫关线龟，参能照前图，便刷可绘于出加麻入速朴度反龄馈后屈，死问区继棕电特终性系喜统相近平面存图.开关抛线将逮相平羊面划态分为朗三个盖区域品，开关线无速度反馈时，开关线c=±h通过c轴上±h点的两条垂直线；接入反馈后，开关线绕c轴上的±h点逆时针转了一个角度,开关线逆时针转动，相轨迹提前转换，自由运动的超调量减小，调节时间缩短，改善了系统响应特性。与无朵速度胞反馈m=民1时图比较测，二通者开脖关线倘不同;开关线转过的角度随着反馈强度的增大而增大，τ＜