线性代数同济大学第七演示文稿

线性代数同济大学第七版演示文稿目前一页\总数二百七十一页\编于八点优选线性代数同济大学第七版ppt目前二页\总数二百七十一页\编于八点3课程简介《线性代数》是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此该课程历来受到各高等院校的高度重视。

根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对《线性代数》的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂，力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。目前三页\总数二百七十一页\编于八点4主要内容第一章行列式第二章矩阵第三章线性方程组目前四页\总数二百七十一页\编于八点5第一章 行列式行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组。式，为此首先引入行列式的概念。在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列目前五页\总数二百七十一页\编于八点6第一章 行列式 第一节行列式的概念 第二节行列式的性质 第三节行列式按行（列）展开 第四节行列式的计算举例 第五节克莱姆法则主要内容目前六页\总数二百七十一页\编于八点7第一节 行列式的概念一、行列式的概念为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列【定义

1.1】

【例

1.1】

要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。

式的定义。一阶行列式由一个数组成，记为

目前七页\总数二百七十一页\编于八点8第一节 行列式的概念表示，且规定：其中，元素称为行列式的第行第列的元素；称为元素的代数余子式；而是行列【定义

1.2】二阶行列式是由个元素排成2行2列，用素的余子式。式中划去第行和第列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元目前八页\总数二百七十一页\编于八点9第一节 行列式的概念

则二阶行列式

显然在定义中，，而；

这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。目前九页\总数二百七十一页\编于八点10第一节 行列式的概念

【例

1.2】求二阶行列式的值。解或目前十页\总数二百七十一页\编于八点11第一节 行列式的概念

【定义1.3】三阶行列式是由个元素排成的3行3列，用表示，且规定：其中：目前十一页\总数二百七十一页\编于八点12第一节 行列式的概念

称为的余子式，它是在三阶行列式中划去所在的行及列后按原次序所成的二阶行列式，称为的代数余子式；为的代数

余子式。

一般地，就是三阶行列式中划去所在的第行和第列剩下的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素的余子式。

称为元素的代数余子式。

目前十二页\总数二百七十一页\编于八点13第一节 行列式的概念

【例

1.3】解由上面定义，因为计算三阶行列式的值。所以目前十三页\总数二百七十一页\编于八点14第一节 行列式的概念

从上面三阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行列式构成的。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。下面给出行列式的一般定义。【定义

1.4】当时，，假设已定义了阶行列式，阶行列式是由个元素排成行和列组成，记为：目前十四页\总数二百七十一页\编于八点15第一节 行列式的概念

且规定其值为：其中，表示元素的余子式，它是中划去所在的第1行和第列后剩下的元素按原来的次序构成的阶行列式。称为的代数余子式。目前十五页\总数二百七十一页\编于八点16第一节 行列式的概念

【例

1.4】解计算四阶行列式

从以上定义及例子可以看到，阶行列式由个元素构成，每个行列式都表示一个数值，且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余子代数余子式再求和。目前十六页\总数二百七十一页\编于八点17第一节 行列式的概念我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。【定义

1.5】对于阶行列式，列元素后，按原次序排列构成的阶行列式。称为元素的余子式，称为元素的代数余子式。其中，是中划去元素所在的行和目前十七页\总数二百七十一页\编于八点18第一节 行列式的概念

【例

1.5】解求行列式的元素和的代数余子式。所以因为的余子式的余子式的代数余子式的余子式目前十八页\总数二百七十一页\编于八点19第二节 行列式的性质在上一节行列式定义中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程，因此行列式的阶数越高，计算越繁。下面的行列式性质可以简化行列式的计算。目前十九页\总数二百七十一页\编于八点20第二节 行列式的性质

【定义1.6】交换行列式D的行与列所得的行列式，称为D的转置行列式，记为或。设则

【例1.6】若则目前二十页\总数二百七十一页\编于八点21第二节 行列式的性质性质1

转置行列式的值等于原行列式的值，即。在例1.6中的二个行列式的值相等，即根据这一性质，

阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开即：这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。目前二十一页\总数二百七十一页\编于八点22第二节 行列式的性质性质2

交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号。

【例1.7】交换以下行列式D的第一行和第三行，有素（仍为D），即得，移项得，于是。为零。特别地，当行列式中有两行（列）对应元素都相同时，行列式的值·

·因假设D中的第行和第行对应元素相同，交换第行和第行元目前二十二页\总数二百七十一页\编于八点23

【例1.8】

第二节 行列式的性质以上性质1和性质2可以用数学归纳法证得，在这我们省略。行列式（因为第一行与第三行相同）目前二十三页\总数二百七十一页\编于八点24第二节 行列式的性质性质3

【例1.9】行列式符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数，行列式的值扩大倍。目前二十四页\总数二百七十一页\编于八点25第二节 行列式的性质性质4

行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。与第行相同，于是行列式的值为零。

设第行为第行的倍，由性质3，将行提出公因子，即得第行性质5

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和：目前二十五页\总数二百七十一页\编于八点26第二节 行列式的性质利用这一性质：则等于下列两列行列式之和：目前二十六页\总数二百七十一页\编于八点27第二节 行列式的性质性质6

应元素上去，行列式值不变。即把行列式某行（列）各元素的倍加到另一行（列）的对这一性质由性质3和性质4直接得到。利用这些性质可以简化行列式的计算。另外我们用表示第行，表示第列。表示交换第行与第行，表示第行乘倍；表示把第行乘倍加到第行上去。目前二十七页\总数二百七十一页\编于八点28

【例1.10】

第二节 行列式的性质解利用行列式性质计算行列式下页继续……

目前二十八页\总数二百七十一页\编于八点29第二节 行列式的性质然后按行列式定义，得：熟练以后，这几步也可以合并为：（这里也可用）目前二十九页\总数二百七十一页\编于八点30第三节 行列式按行（列）展开根据行列式定义，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的代数余子式之和。在本节中我们将这一结果加以推广。【定理1.1】若阶行列式中除外，第行（或列）的其余元素都为零，那么可按第行（或列）展开为。证明

设第行除，其余元素都为零。目前三十页\总数二百七十一页\编于八点31第三节 行列式按行（列）展开现将第行和第行对换，再与第行对换，……经过次对换，含的原第行就换到第一行，行列式的值应乘，类似经过次列对换，可将含的列变到第一列，即因为新行列式中划去第1行划去第1列所成的余子式就是中的（划去原第行和原第列）。目前三十一页\总数二百七十一页\编于八点32第三节 行列式按行（列）展开

【定理1.2】（拉普拉斯展开）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即阶行列式等于它的任意一行（列）

或目前三十二页\总数二百七十一页\编于八点33证明

n阶行列式等于它的任意一行（列）第三节 行列式按行（列）展开目前三十三页\总数二百七十一页\编于八点34第三节 行列式按行（列）展开

【定理1.3】应元素的代数余子式乘积之和等于零，即行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）的对

或证明将的第行元素换成所成的新行列式的第行与第行相同；于是新的行列式值为零，另一方面，新行列式可按第行展开，得：目前三十四页\总数二百七十一页\编于八点35第三节 行列式按行（列）展开综合定理1.2和定理1.3，得：也就是行列式的任意一行（列）各元素与这一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于行列式的值；行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。利用行列式性质将某行（列）的元素尽可能化为零，然后展开，可简化行列式的计算。或目前三十五页\总数二百七十一页\编于八点36第三节 行列式按行（列）展开

【例1.11】解1从第三列着手，再变出一个零元素。计算行列式首先寻找含零个数最多的行或列。本题第3列含两个零，于是

（按第3列展开得）

（再按第3列展开得）下页继续……

目前三十六页\总数二百七十一页\编于八点37第三节 行列式按行（列）展开解2是用第4行减第1行也可同时出现3个零，然后按第4行展开，既得：本题也可以这样解：第4行与第1行有三个对应元素相同，于目前三十七页\总数二百七十一页\编于八点38第三节 行列式按行（列）展开

【例1.12】解的系数。行列式是关于的一次多项式，求一次项由于行列式中在其第二行，按第二行展开，可得：可以看到，一次项的系数就是的代数余子式目前三十八页\总数二百七十一页\编于八点39第三节 行列式按行（列）展开

【例1.13】计算行列式的值解

（按第4行展开得）（按第3列展开得）目前三十九页\总数二百七十一页\编于八点40第四节 行列式的计算举例本节主要对有某些特殊的行列式的计算进行介绍。我们把阶行列式的从左上角到右下角含的连线称为主对角线。目前四十页\总数二百七十一页\编于八点41第四节 行列式的计算举例一、对角行列式其中，除主对角线上的元素外，其余省略的元素皆为零。显然：即对角行列式的值等于主对角线上元素之积。对角行列式等于零的充要条件为对角线上至少有一个元素为零。目前四十一页\总数二百七十一页\编于八点42第四节 行列式的计算举例【例1.14】计算行列式(没写出的元素皆为零)解经过次列交换，可将最后一列换到第1列。目前四十二页\总数二百七十一页\编于八点43二、三角行列式上三角行列式第四节 行列式的计算举例下三角行列式目前四十三页\总数二百七十一页\编于八点44很容易得出三角行列式的值仍等于主对角线元素的积。第四节 行列式的计算举例如行列式就是一个上三角行列式，其值等于。目前四十四页\总数二百七十一页\编于八点45一般行列式计算都可采用化为上（下）三角行列式来计算。第四节 行列式的计算举例【例1.15】计算行列式解因为每行各元素之和相等（为6），我们可以“统加”，即多次用的性质。本例可采用第2列加到第1列，第3列加到第1列，第4列加到第1列，得目前四十五页\总数二百七十一页\编于八点46第四节 行列式的计算举例【例1.16】解从第2列起，每列加到第1列上，得解阶行列式（从第2行起每行减去第1行得）目前四十六页\总数二百七十一页\编于八点47第四节 行列式的计算举例【例1.17】解从第2行起，每行减去第1行，得解阶行列式方程于是：解得：目前四十七页\总数二百七十一页\编于八点48第四节 行列式的计算举例【例1.18】解将各列加到第一列,得计算阶行列式目前四十八页\总数二百七十一页\编于八点49第四节 行列式的计算举例第1列提取公因子。从第2行起，每行减去第1行，得目前四十九页\总数二百七十一页\编于八点50三、按行或列展开解按第1列展开，得第四节 行列式的计算举例有些行列式不易变成某行（列）只有一个非零元素，例如变成两个非零元素，则行列式值等于这两个元素与对应代数余子式积的和。【例1.19】计算阶行列式目前五十页\总数二百七十一页\编于八点51四、采用递推方式来解行列式解按最后一列展开，得第四节 行列式的计算举例【例1.20】计算下列阶行列式同样推理可得:于是目前五十一页\总数二百七十一页\编于八点52第四节 行列式的计算举例【例1.21】计算下列阶行列式(没写出的元素皆为零)下页继续……

目前五十二页\总数二百七十一页\编于八点53第四节 行列式的计算举例解按第1行展开，得两个行列式分别再按最后一行展开，得同样推理可得于是目前五十三页\总数二百七十一页\编于八点54第四节 行列式的计算举例【例1.22】解从第一列提取公因子，然后把第1列加到第2列，得计算阶行列式下页继续……

目前五十四页\总数二百七十一页\编于八点55第四节 行列式的计算举例第二列提取公因子后，按第1行展开，得目前五十五页\总数二百七十一页\编于八点56五、范德蒙行列式第四节 行列式的计算举例行列式称为阶的范德蒙行列式下面我们来计算此行列式的值目前五十六页\总数二百七十一页\编于八点57第四节 行列式的计算举例解 此题自下而上，即从第行开始，后行减去前行的倍。即得分别按各列提取公因子，得：目前五十七页\总数二百七十一页\编于八点58同理可推得第四节 行列式的计算举例其中，符号表示统乘，即各之间用乘号链接。可以看到：范德蒙行列式为零的充分必要条件为中至少有两个相等。目前五十八页\总数二百七十一页\编于八点59【例1.23】第四节 行列式的计算举例计算行列式解目前五十九页\总数二百七十一页\编于八点60第四节 行列式的计算举例【例1.24】求证：证明 等式左边各行分别乘：（提因子）（三次列对换）

目前六十页\总数二百七十一页\编于八点61综合以上例题，行列式的计算可以按以下步骤来进行：首先尽量寻找行与列的公因子,将其提到行列式外面.如果发现行列第四节 行列式的计算举例然后利用性质总能将行列式变换成上三角或者下三角行列式,再计或者利用性质将行列式的某行(某列)变换成只有一个元素不为0,其式有两行或者两列成比例,则行列式的值为0。算其对角线上的乘积。其余元素均为0,然后再按那行(列)展开,降阶成低阶的行列式。目前六十一页\总数二百七十一页\编于八点62第五节 克莱姆法则一、用行列式表示二元及三元线性方程组的解二元线性方程组用二阶行列式可表示为，

若，可用消元法解得目前六十二页\总数二百七十一页\编于八点63其中：为二元线性方程组中未知数的系数构成第五节 克莱姆法则的行列式；为用常数项代替中的第一列；为用常数项代替中的第二列。目前六十三页\总数二百七十一页\编于八点64

【例1.4】解二元线性方程组第五节 克莱姆法则解可用二阶行列式得目前六十四页\总数二百七十一页\编于八点65第五节 克莱姆法则对于三元线性方程组同样可以由消元法得到;当时，其中：目前六十五页\总数二百七十一页\编于八点66第五节 克莱姆法则用三阶行列式表示以上的，可以得到：当时，有其中：目前六十六页\总数二百七十一页\编于八点67

【例1.5】第五节 克莱姆法则解线性方程组解故目前六十七页\总数二百七十一页\编于八点68

【定理1.4】（克莱姆法则）第五节 克莱姆法则如果元并非齐次线性方程组（1）的系数行列式，则方程组有唯一解，且其中，是将中的第列用常数列替换而成的行列式。二、克莱姆法则以上用行列式解线性方程组可以推广为n元线性方程组情形。目前六十八页\总数二百七十一页\编于八点69

【例1.25】第五节 克莱姆法则解

解线性方程组故目前六十九页\总数二百七十一页\编于八点70第五节 克莱姆法则线性方程组（1）中等式右端常数均为零时，称为n元齐次线性方程组，也称为n元非齐次线性方程组（1）导出组。即n元齐次线性方程组（2）

由克莱姆法则，若系数行列式，则n元齐次线性方程组（2）只有零解：要方程组有非零解（即至少有某个），必须有。关于解线性方程组的问题，我们在第三章还要祥细介绍。目前七十页\总数二百七十一页\编于八点71

【例1.26】第五节 克莱姆法则解由于非齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式为零，即设线性方程组有非零解，求的值。目前七十一页\总数二百七十一页\编于八点72第二章 矩阵矩阵是应用非常广泛的数学工具，也是线性代数的主要研究对象之一。运用矩阵的运算法则，会用伴随矩阵法求逆矩阵，熟练掌握矩阵的初等行变换，以及运用初等行变换法求逆矩阵。通过本章学习，要求掌握矩阵及其各种特殊类型矩阵的定义，熟练目前七十二页\总数二百七十一页\编于八点73 第三节逆矩阵第二章 矩阵第一节矩阵的概念 第二节矩阵的运算及其性质 第四节分块矩阵及其运算 第五节矩阵的初等变换 第六节初等方阵主要内容目前七十三页\总数二百七十一页\编于八点74第一节 矩阵的概念一、矩阵的定义矩阵作为一种常用的数学工具，能够简洁地贮存信息，通过矩阵运【例

2.1】

算，可以方便地处理信息，下面通过实际例子引入矩阵的概念。某超市公司的第I、II两部门都销售甲、乙、丙三种小包装食品，其某一天的销售量（单位：包）可由下表表示：目前七十四页\总数二百七十一页\编于八点75第一节 矩阵的概念如果我们每一天都做这样的统计，就没必要像上表那样繁琐，只要把以上数字按一定的排列次序记成如下数表形式：目前七十五页\总数二百七十一页\编于八点76第一节 矩阵的概念简洁地表示出来。无论是在数值求解还是理论推导方面，此数表足以清【例

2.2】

晰表示这一线性方程组。对于线性方程组我们可以用下面的数表目前七十六页\总数二百七十一页\编于八点77一般由大写字母A,B,C表示矩阵。由上两例可以看到，在我们生命活动中的许多方面，都可以用数表第一节 矩阵的概念1．矩阵定义来表达一些量以及量与量之间的关系。这类数表，我们统称为矩阵。【定义

2.1】

由个数排成的行列的矩形数组（2.1）称为一个m行n列矩阵，简称m×n的矩阵，称为此矩阵的第行第列的元素。矩阵（2.1）也可简化为：目前七十七页\总数二百七十一页\编于八点78即第一节 矩阵的概念【例

2.3】

是一个三行四列矩阵，位于矩阵第二行第三列位置的元素是9，而目前七十八页\总数二百七十一页\编于八点79第一节 矩阵的概念2．矩阵相等另外，行数或列数不同的矩阵也不是相等的。若都是矩阵，且对应位置的元素分别相等，即，则称矩阵A与B相等，记为：例如，当且仅当时，矩阵又如：目前七十九页\总数二百七十一页\编于八点80第一节 矩阵的概念

3．阶方阵

当矩阵的行数与列数相等，即时，矩阵称为阶矩阵或阶方阵，如矩阵是一个二阶方阵。

阶方阵与阶行列式是不能混淆的两个概念，行列式的值是在一个阶方阵中，从左上角到右下角的对角线连线，称为主对角线。元素都在主对角线上，称为主对角线元素。一个数，而矩阵仅是数表。目前八十页\总数二百七十一页\编于八点81第一节 矩阵的概念二、几种特殊矩阵的介绍1.行矩阵和列矩阵

只有一行元素构成的矩阵称为行矩阵。只有一列元素构成的矩阵称为列矩阵。2.零矩阵

时，也记为，或。行列数不同的零矩阵是不相等的，如元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作。当零矩阵的行列数是目前八十一页\总数二百七十一页\编于八点82第一节 矩阵的概念4．上（下）三角阵

如一个方阵的主对角线下（上）方的所有元素均为零，则称该方阵为上（下）三角矩阵。如，是上三角阵。而是下三角阵。目前八十二页\总数二百七十一页\编于八点83第一节 矩阵的概念5．对角阵、单位矩阵如一个方阵除主对角线以外的元素均为零，则称这个方阵为对角矩阵。即有时可简单记为：记为或，在不致混淆时，也可简记为或，如：特别地，主对角线元素全为1的阶对角矩阵，称为阶单位矩阵，目前八十三页\总数二百七十一页\编于八点84第二节 矩阵的运算及其性质一、矩阵的线性运算1．矩阵的加法【定义2.2】设和都是的矩阵则以A与B相对应的元素之和为元素的矩阵目前八十四页\总数二百七十一页\编于八点85第二节 矩阵的运算及其性质称为矩阵与的和，记作A+B，或，用矩阵形式表示即为。目前八十五页\总数二百七十一页\编于八点86【例2.4】第二节 矩阵的运算及其性质设即由，对应元素之差构成的矩阵。他们才能进行相加和相减；否则，他们的加法和减法将是无意义的。类似于加法的定义，我们规定矩阵与的减法（即差）应注意的是，只有当两个矩阵的行数对应相同、列数对应相同时，则目前八十六页\总数二百七十一页\编于八点87【定义2.3】第二节 矩阵的运算及其性质数与矩阵的数乘记为，规定其为：且当时：称为矩阵的负矩阵，记为列式的联系将在以后介绍。

数乘矩阵与数乘行列式有着本质上的差异，而数乘方阵及与它的行即将矩阵中的每个元素扩大倍2．矩阵的数乘目前八十七页\总数二百七十一页\编于八点88【例2.5】第二节 矩阵的运算及其性质则设目前八十八页\总数二百七十一页\编于八点89第二节 矩阵的运算及其性质3．矩阵线性运算的性质

我们不难证明矩阵的加法和数乘满足以下运算规律（设都是矩阵，为实数）：(1)加法交换律(2)加法结合律(3)

(4)

(5)数乘分配律

(6)数乘交换律

目前八十九页\总数二百七十一页\编于八点90【例2.6】第二节 矩阵的运算及其性质解设求目前九十页\总数二百七十一页\编于八点91第二节 矩阵的运算及其性质二、矩阵乘法1．定义【定义2.4】设是一个行列矩阵，是一个行列的矩阵，即则由元素构成的矩阵称为矩阵与的乘积，记作。目前九十一页\总数二百七十一页\编于八点92第二节 矩阵的运算及其性质定义显示，一个矩阵与一个矩阵的乘积是一个矩阵，的第行列元素等于的第行元素与的第列元元素的对应乘积之和。要使乘积有意义，当且仅当左矩阵（即乘积项中的第一个矩阵）的列数等于右矩阵（即乘积项中的第二个矩阵）的行数才成立。目前九十二页\总数二百七十一页\编于八点93【例2.7】第二节 矩阵的运算及其性质设求矩阵乘积的矩阵。由定义：解因为是二行二列的矩阵，是二行三列的矩阵，由于左矩阵的列数等于右矩阵的列数，故有意义，且是一个二行三列（2×3）目前九十三页\总数二百七十一页\编于八点94【例2.8】第二节 矩阵的运算及其性质是一阶的矩阵。乘积【例2.9】目前九十四页\总数二百七十一页\编于八点952．线性方程组的矩阵形式

第二节 矩阵的运算及其性质对于包含个方程个未知量的线性方程组其个方程左端的系数可以构成矩阵，称为方程组（2.2）（2.2）的系数矩阵，未知量可构成列矩阵，其个方程右端的常数项可构成列矩阵，即目前九十五页\总数二百七十一页\编于八点96第二节 矩阵的运算及其性质由于于是，线性方程组（2.2）可以用矩阵形式表示为目前九十六页\总数二百七十一页\编于八点973．性质（假设涉及的乘积形式都是有意义的）：第二节 矩阵的运算及其性质(1)乘法的结合律(3)乘法的分配律(4)

（其中，为阶单位矩阵，为阶单位矩阵）(5)

(2)数乘的结合律 ,（其中为常数）目前九十七页\总数二百七十一页\编于八点984．注意：矩阵的乘法与数字之间的乘法有许多不同之处。第二节 矩阵的运算及其性质

从例2.10中看到，在矩阵的乘积中，矩阵的位置不能随意交换。【例2.10】设矩阵求与。

解目前九十八页\总数二百七十一页\编于八点99第二节 矩阵的运算及其性质关于矩阵的乘法，除了要求乘积有意义外，还要注意下列几点：（1）矩阵的乘法不满足交换律，即一般地：（2）两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵，如在例2.10中然而。因此，命题“若矩阵乘积，则或”不真。（3）矩阵乘法不满足消去律，即由不断推断出，即使是在。如在例2.9中，我们求得了，但却是没有意义的；而例如2.10，显然。（如果矩阵与满足，则称乘是可交换的。）从而，用一个矩阵去乘另一个矩阵，有左乘和右乘之说。时，这是因为仅由即由，不能得出或目前九十九页\总数二百七十一页\编于八点100第二节 矩阵的运算及其性质三、方阵的幂1．定义【定义2.5】设是阶方阵，是自然数，个连乘的积称为方阵的次幂，记作。2．性质根据矩阵乘法性质，我们可以得到方阵的幂满足一下规律：

（1）

（2）其中是自然数。但要注意的是，一般说来：（这可由矩阵乘法不满足交换律直接推出。）目前一百页\总数二百七十一页\编于八点101【例2.11】第二节 矩阵的运算及其性质设矩阵求：(1);(2);(3);(4)解或（1）

（2）

（3）

（4）

目前一百零一页\总数二百七十一页\编于八点102第二节 矩阵的运算及其性质四、矩阵的转置与对称矩阵1．转置矩阵

【定义2.6】把矩阵的行列元素对换，所得到的矩阵，称为的转置矩阵，记为或。如果设矩阵则【例2.12】设则目前一百零二页\总数二百七十一页\编于八点103第二节 矩阵的运算及其性质(1)(2)(4)(3)（为常数）可以验证，矩阵的转置运算具有以下性质（假定运算都是有意义的）：与转置行列式不同，矩阵A与转置矩阵不一定相等。目前一百零三页\总数二百七十一页\编于八点104【例2.13】第二节 矩阵的运算及其性质解法1：所以设求先求出，再转置。目前一百零四页\总数二百七十一页\编于八点105第二节 矩阵的运算及其性质解法2：所以利用性质(4):

，先分别求出与，再计算。

因为目前一百零五页\总数二百七十一页\编于八点1063.对称矩阵第二节 矩阵的运算及其性质都是对称矩阵。【定义2.7】设是阶方阵，并且满足则称为对称矩阵。从以上定义，可以看到对称矩阵一定是方阵，且即关于主对角线对称元素都对应相等，例如目前一百零六页\总数二百七十一页\编于八点107第二节 矩阵的运算及其性质由以上定义我们不难证得以下结论：如果是同阶对称矩阵，是常数，则也都是对称矩阵；但要注意的是，不一定是对称阵。例如都是对称矩阵，但不是对称矩阵。目前一百零七页\总数二百七十一页\编于八点108第二节 矩阵的运算及其性质五、方阵的行列式及伴随矩阵1．方阵的行列式

【定义2.8】设阶方阵由构成的行列式称为方阵A的行列式，记作。目前一百零八页\总数二百七十一页\编于八点109第二节 矩阵的运算及其性质应该指出，只有方阵才有行列式。且我们利用行列式的相应性质与例如，矩阵的行列式结论可以得出方阵的行列式应满足以下性质：(1)(2)(3)（n为A的阶数）目前一百零九页\总数二百七十一页\编于八点1102．方阵的伴随矩阵第二节 矩阵的运算及其性质【定义2.9】设是一个阶方阵，由其行列式中元素的代数余子式所构成的方阵称为方阵的伴随矩阵。目前一百一十页\总数二百七十一页\编于八点111【例2.14】第二节 矩阵的运算及其性质解所以设矩阵求的伴随矩阵。的代数余子式；的代数余子式的代数余子式；的代数余子式目前一百一十一页\总数二百七十一页\编于八点112第二节 矩阵的运算及其性质同理一般地，由第一章第三节的定理1.2和定理1.3，可推得以下定理：容易验证，在例2.14中：而【定理2.1】若为阶方阵的伴随矩阵，则从定理的结论中可以看到，方阵与其伴随矩阵是满足乘法交换律的。目前一百一十二页\总数二百七十一页\编于八点113在第二节中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法。那么，是否矩第三节 逆矩阵阵也存在“除法”运算呢？我们首先来考察一下数的除法。设是两个数，且，则，从而除法问题可转化为求的倒数问题。当然倒数应该满足：。另外，对于方阵，都有因此，从乘法的角度看，阶单位阵在矩阵中的地位类似于数1的地位。目前一百一十三页\总数二百七十一页\编于八点114矩阵只限于方阵，下面我们给出逆矩阵的确切定义。第三节 逆矩阵要满足：从上面的讨论中，我们对矩阵的“除法”讨论可转化为求，当然由矩阵的乘法规则，满足上式的矩阵只有方阵，从而本节讨论的目前一百一十四页\总数二百七十一页\编于八点115一、逆矩阵的定义第三节 逆矩阵【定义2.10】则称方阵是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记作。设是阶方阵，若存在阶方阵，使得矩阵就是它自身。单位矩阵都是可逆的，且，因,即单位矩阵的逆阶零矩阵是不可逆矩阵，因为对任一个阶方阵，都有目前一百一十五页\总数二百七十一页\编于八点116二、逆矩阵的存在性第三节 逆矩阵【定理2.2】所以若方阵可逆，则。证明由定理2.10，对可逆阵，必存在，使得：即从而目前一百一十六页\总数二百七十一页\编于八点117【定理2.3】第三节 逆矩阵证明由定理2.1，，而因，所以若，则方阵可逆，且，其中是的伴随矩阵。根据定义2.10，可逆，且的逆矩阵。有时我们将的方阵，称为非奇异方阵，称的方阵为奇异方阵。。定理2.2、定理2.3给出：方阵可逆的充分必要条件是的行列式目前一百一十七页\总数二百七十一页\编于八点118所以第三节 逆矩阵就举例予以说明。又因为如果，试求矩阵的逆矩阵。定理2.3也确切给出了求可逆方阵的逆矩阵的一种方法。下面【例2.15】解因为，则是可逆的。目前一百一十八页\总数二百七十一页\编于八点119又因为代数余子式：【例2.16】第三节 逆矩阵解因为设问是否可逆？若可逆，试求出其逆矩阵所以是可逆的。于是有所以目前一百一十九页\总数二百七十一页\编于八点120又由例2.16求得：【例2.17】第三节 逆矩阵解所以因为，则存在。在式两端同乘，得试解矩阵方程，其中目前一百二十页\总数二百七十一页\编于八点121【例2.18】第三节 逆矩阵解下页继续……

利用逆矩阵求下列方程组的解设所给方程组的系数矩阵为，未知量矩阵为，常数项矩阵为，即于是，线性方程组可以写成矩阵方程：因为所以存在，在上式两边同乘，得：目前一百二十一页\总数二百七十一页\编于八点122又因为第三节 逆矩阵所以则即原方程组的解为：目前一百二十二页\总数二百七十一页\编于八点123与未知量个数相同，即系数矩阵是方阵，且该方阵是可逆时，才能用逆矩阵法去求线性方程组的解。计算逆矩阵相当繁琐，所以在以后的有关章节中，还将介绍其它求逆矩阵的方法。第三节 逆矩阵需要注意的是：另外，在计算过程中，我们看到当矩阵的阶数较高时，用此种方法因只有方阵才有逆矩阵，所以，只有当一个线性方程组中方程个数目前一百二十三页\总数二百七十一页\编于八点124证明如果都是的逆矩阵，只要证与相等即可。1．若可逆，则的逆矩阵是唯一的。所以三、逆矩阵性质：第三节 逆矩阵及则的逆矩阵是唯一的。由定义可得：目前一百二十四页\总数二百七十一页\编于八点125性质2、性质3、性质4作为习题请同学们自己验证。第三节 逆矩阵4．若可逆，则也可逆，且3．若可逆，为非零常数，则也可逆，且

2．若可逆，则也是可逆的，且。目前一百二十五页\总数二百七十一页\编于八点126第三节 逆矩阵因为以下就性质（1）、（4）予以证明。所以可逆，且。证明只需证即可。

5．若为同阶可逆方阵，则也可逆，且

6．目前一百二十六页\总数二百七十一页\编于八点127第四节 分块矩阵及其运算一、分块矩阵的定义若矩阵的阶数比较高，在运算时，我们经常进行矩阵的分块工若干块小矩阵称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。

作，将大矩阵的运算化成小矩阵的运算。把用一些横线和纵线分成目前一百二十七页\总数二百七十一页\编于八点128第四节 分块矩阵及其运算若设则该分法的分块矩阵可简记为：例如：对于矩阵的一种分块形式（I）：即是以子块为元素的分块矩阵。目前一百二十八页\总数二百七十一页\编于八点129第四节 分块矩阵及其运算或形式（III）等，关键是根据构成矩阵的元素特征以及相应运算的实际需要来分块，同一个矩阵的分块形式可以有多种，例如，上述也可分成形式（II）：并能简化运算。目前一百二十九页\总数二百七十一页\编于八点130第四节 分块矩阵及其运算二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算形式上与普通矩阵的运算类似，但其各种运算对分块法有各自不同的限定。目前一百三十页\总数二百七十一页\编于八点1311.分块阵的加减法相同，且分块以后，对应位置的子块阶数也分别相同，则与相加如果，都是阶矩阵，并且分块形式相同，即大矩阵的阶数减就是将对应的子块相加减。设第四节 分块矩阵及其运算则目前一百三十一页\总数二百七十一页\编于八点1322.分块矩阵与数的乘法

第四节 分块矩阵及其运算设为任意实数，为以上的分块矩阵，则目前一百三十二页\总数二百七十一页\编于八点1333.分块矩阵的乘法

第四节 分块矩阵及其运算即乘积均有意义，设为矩阵，为矩阵，即乘法有意义，且分别分块成其中，的列数分别等于的行数，

则其中，子块目前一百三十三页\总数二百七十一页\编于八点134【例2.19】第四节 分块矩阵及其运算则设求解将分成块下页继续……

目前一百三十四页\总数二百七十一页\编于八点135其中第四节 分块矩阵及其运算所以目前一百三十五页\总数二百七十一页\编于八点1364.分块矩阵的转置

设第四节 分块矩阵及其运算则目前一百三十六页\总数二百七十一页\编于八点137第四节 分块矩阵及其运算三、特殊的分块矩阵1.分块对角阵的定义其中都是方阵，称为分块对角阵或准对角矩阵。形如的分块矩阵，分块对角阵是一个方阵，且的分块矩阵中仅在主对角线上有非零子块，这些子块又都是方阵，而其余子块都为零矩阵。目前一百三十七页\总数二百七十一页\编于八点1382.分块对角阵的性质

第四节 分块矩阵及其运算则有设是同阶方阵，且分块方式相同，又都是分块对角阵：（1）（2）目前一百三十八页\总数二百七十一页\编于八点139第四节 分块矩阵及其运算即相同结构的分块对角阵的和、积仍是分块对角矩阵。（4）可逆的充要条件为都可逆，且有（3）目前一百三十九页\总数二百七十一页\编于八点140【例2.20】第四节 分块矩阵及其运算解下页继续……

因为，则都可逆，且将分成块设求目前一百四十页\总数二百七十一页\编于八点141所以第四节 分块矩阵及其运算目前一百四十一页\总数二百七十一页\编于八点142对于其它特殊的分块矩阵，我们也可以相应得到一些结论：如第四节 分块矩阵及其运算目前一百四十二页\总数二百七十一页\编于八点143第五节 矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换的定义【定义2.11】 下列三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）互换矩阵某两行的对应元素。以下用表示矩阵的第列，用表示其第行，如互换第与第行，则记为。

（2）以非零常数乘矩阵某一行元素。如第行的元素乘，记为

（3）把矩阵中某一行元素的倍加到另一行相应元素上去。如把第行的倍加到第行上去，记为。将上列定义中的“行”、“

”分别以“列”、“

”代之，即为矩阵的初等列变换定义与记号。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。目前一百四十三页\总数二百七十一页\编于八点144第五节 矩阵的初等变换一般来说，一个矩阵经过初等变换后，变成了另一个不同的矩阵。当矩阵经过初等变换变成矩阵时，记作。有时，为了便于检验运算过程，往往用记号注明所作的变换。例如，将矩阵的第一行与第三行作交换，有目前一百四十四页\总数二百七十一页\编于八点145第五节 矩阵的初等变换又如表示将三阶单位矩阵的第1列元素的5倍加到第3列相应元素上去。目前一百四十五页\总数二百七十一页\编于八点146第五节 矩阵的初等变换二、行阶梯形矩阵的定义如果在一个矩阵中，任一行的第一个非零元素所在的列中，在该非零元素下方的元素皆为零，则称此矩阵为行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵的特征为：元素全为零的行（如果存在的话）在矩阵的最下方，而各个非零行（即元素不全为零的行）中的第一个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大。目前一百四十六页\总数二百七十一页\编于八点147例如，以下矩阵第五节 矩阵的初等变换都是行阶梯形矩阵，辅助虚线形象地显示了它们各自的阶梯形状。矩阵个非零元素的列标相同。不是行阶梯形矩阵，因为其第二、三行的第一又矩阵也不是行阶梯形矩阵。目前一百四十七页\总数二百七十一页\编于八点148但是，这两个矩阵通过初等行变换都可化为行阶梯形矩阵，即第五节 矩阵的初等变换一般地我们有结论；任何一个非零矩阵都可经过有限次的初等行变换化简为行阶梯形矩阵。目前一百四十八页\总数二百七十一页\编于八点149【例2.21】解第五节 矩阵的初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵。目前一百四十九页\总数二百七十一页\编于八点150第五节 矩阵的初等变换三、矩阵的标准形1．行最简形矩阵：矩阵是行阶梯形的，而且各个非零行的第1个元素都是1，又这个元素所在列的其他元素都是零。【例2.22】分别将下列矩阵化为行最简形矩阵解（1） （2） （3）（1）目前一百五十页\总数二百七十一页\编于八点151第五节 矩阵的初等变换（2）（3）目前一百五十一页\总数二百七十一页\编于八点152第五节 矩阵的初等变换2.矩阵的标准形

上面我们介绍了一个阶非零矩阵经过初等行变换，可以化为行阶梯形即行最简形矩阵。事实上，对行最简形矩阵（不妨设其恰有行非零行），还可以作初等列变换，使之进一步转化为如下阶最简形式的矩阵：目前一百五十二页\总数二百七十一页\编于八点153我们将这类矩阵称为矩阵的标准形。第五节 矩阵的初等变换其标准形矩阵是唯一的。任何一个矩阵经过有限次的初等变换都可以化为标准形矩阵，且目前一百五十三页\总数二百七十一页\编于八点154【例2.23】求例2.22中矩阵的标准形。第五节 矩阵的初等变换解所以矩阵的标准形为以上的（1）（2）即的行最简形就是的标准形矩阵目前一百五十四页\总数二百七十一页\编于八点155第五节 矩阵的初等变换（3）即就是矩阵的标准形矩阵。需要指出的是，将矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，以及通过初等变换化为其标准形矩阵，是一种极其重要的方法，它的实用性将在下节方阵求逆以及下一章解线性方程组、向量组的秩中得以体现。目前一百五十五页\总数二百七十一页\编于八点156【定义2.12】第五节 矩阵的初等变换四、矩阵的等价（3）传递性:如与等价，与等价，则与一定是等价的。（1）反身性:任何矩阵与自身等价；任何一个阶矩阵都与其标准形矩阵等价。的初等变换得到，则称矩阵与是等价的。设都是矩阵，如果矩阵可以由经过有限次那么，从上面的讨论中，我们实际上可以得到以下定理：【定理2.4】且由定义2.12，我们立即可以得出矩阵等价的以下三个性质：（2）对称性：如与等价，则与也是等价的。目前一百五十六页\总数二百七十一页\编于八点157第六节 初等方阵一、初等矩阵的定义【定义2.13】由于初等变换有三种，而每种初等变换都有一个与其相应的初等方等方阵。阵，从而以下三类矩阵揭示了初等方阵的所有形式。由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵，称为初

目前一百五十七页\总数二百七十一页\编于八点158到的都是初等矩阵，我们记为，即

（1）互换单位矩阵的第行与第行（或第列与第列），得第六节 初等方阵目前一百五十八页\总数二百七十一页\编于八点159【例2.24】第六节 初等方阵是一个由交换第1行与第3行得到的初等方阵。目前一百五十九页\总数二百七十一页\编于八点160第六节 初等方阵等方阵，记为，即（2）用非零常数乘单位矩阵的第行（或列），得到的都是初【例2.25】是一个由交换第1行与第3行得到的初等方阵。目前一百六十页\总数二百七十一页\编于八点161第六节 初等方阵【例2.26】是将的第1行的7倍加到第3行上去得到的一个初等方阵。列上去）得到的是初等方阵，记为，即（3）把的第行的倍加到第行上去（或把第列的倍加到第目前一百六十一页\总数二百七十一页\编于八点1621.初等方阵的转置矩阵仍是初等方阵；第六节 初等方阵二、初等方阵的性质因为三类初等方阵的行列式：2.初等方阵是可逆的；所以初等方阵是可逆的。3.初等方阵的逆矩阵仍是初等方阵。事实上，这三类初等方阵的逆矩阵分别是：目前一百六十二页\总数二百七十一页\编于八点163【例2.27】第六节 初等方阵(3)(2)(1)目前一百六十三页\总数二百七十一页\编于八点1641.定理第六节 初等方阵三、用矩阵的初等行变换求逆矩阵方阵与初等变换之间的关系。因此给出下面的定理：为了导出用矩阵的初等行变换求逆矩阵的方法，我们必须讨论初等【定理2.5】相当于在的左边乘上一个相应的阶初等方阵；对施行一次初等列设是一个的矩阵，则对施行一次初等行变换，就变换，就相当于在的右边乘上一个相应的阶初等方阵。此定理证明我们予以省略。目前一百六十四页\总数二百七十一页\编于八点165【例2.28】第六节 初等方阵设矩阵如果都是初等方阵，且满足试求出。解同样，由于右乘的第4列的-5倍加到第2列上去，所以是一个4阵，所以是一个3阶初等方阵，且由于左乘，且是以数9乘矩阵的第1行，且是阶矩阶初等方阵目前一百六十五页\总数二百七十一页\编于八点166第六节 初等方阵推论1

此推论可由上节的矩阵等价定义2.12以及定理2.5直接推得。由推论1即初等方阵的可逆矩阵仍是初等方阵，可得：证明

推论2

如果则有如果矩阵与等价，则与也等价。两个阶矩阵与是等价的充分必要条件是存在有限个阶初等方阵和阶的初等方阵，使得即与也等价。目前一百六十六页\总数二百七十一页\编于八点167【定理2.7】第六节 初等方阵证明

必要性：充分性：推论1

推论2

两个阶矩阵与等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵可逆的充分必要条件是与单位矩阵等价。由初等方阵的逆矩阵也是初等方阵可得：等于有限个初等方阵的乘积。或使设矩阵与单位矩阵等价，即存在初等方阵设对于矩阵，存在个初等方阵，使由阶方阵可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩初等矩阵的乘积，即存在有限个初等方阵，使得的可逆性，立即可推得可逆；与阶可逆方阵，使得。目前一百六十七页\总数二百七十一页\编于八点168第六节 初等方阵2．用矩阵的初等行变换求逆矩阵

类似地，若可逆，欲求矩阵方程的解，，可先对施行初等行变换，当把子块化为单位阵时，子块就恰好化为构造辅助的的（如果可逆）分块矩阵：阵，由此得出一个用初等行变换求逆矩阵的方法，具体步骤如下：而（2.4）式说明，对单位矩阵施行同样的初等行变换即得的逆矩（2.3）式说明：可逆方阵左乘一系列初等方阵等于单位阵，（2.3）（2.4）由定理2.7的结论：可得：的逆矩阵。构造矩阵即为方程组的解。对施行初等行变换，当化为单位阵时，的位置就是，目前一百六十八页\总数二百七十一页\编于八点169【例2.29】第六节 初等方阵构造3行6列矩阵解所以设矩阵，求。目前一百六十九页\总数二百七十一页\编于八点1