高中数学学业水平测试必背知识点

高中数学学业水平测试必背知识点必修一一、集合与函数概念并集：由集合A和集合B元素合并在一起组成集合，假如碰到重复只取一次。记作：A∪B交集：由集合A和集合B公共元素所组成集合，假如碰到重复只取一次记作：A∩B补集：就是作差。1、集合子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空真子有–2个.2、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数；③指数真数属于R、对数真数.3、函数单调性：假如对于定义域I内某个区间D内任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<（）f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，函数单调性是在定义域内某个区间上性质，是函数局部性质。4、奇函数：是，函数图象关于原点对称（若在其定义域内，则）；偶函数：是，函数图象关于y轴对称。5、指数幂含义及其运算性质：（1）函数叫做指数函数。（2）指数函数当为减函数，当为增函数；①；②；③。（3）指数函数图象和性质0<a<1a>1图象性质定义域R值域(0,+∞)定点过定点（0，1），即x=0时，y=1（1）a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1。（2）0<a<1，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性和关于y轴对称奇偶性非奇非偶函数7、对数函数含义及其运算性质：（1）函数叫对数函数。（2）对数函数当为减函数，当为增函数；①负数和零没有对数；②1对数等于0：；③底真相同对数等于1：，（3）对数运算性质：假如a>0,a≠1,M>0,N>0，那么：①；②；③。（4）换底公式：(5)对数函数图象和性质：0<a<1a>1图象定义域(0,+∞)值域R性质（1）过定点（1，0），即x=1时，y=0（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数（3）同正异负，即0<a<1,0<x<1或a>1,x>1时，logax>0；0<a<1,x>1或a>1,0<x<1时，logax<0。（4）非寄非偶函数。8、幂函数：函数叫做幂函数（只考虑图象）。9、方程根与函数零点：假如函数在区间[a,b]上图象是连续不停一条曲线，而且有，那么，函数在区间(a,b)内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程根。必修二一、直线平面简单几何体1、长方体对角线长；正方体对角线长2、球体积公式：；球表面积公式：3、柱体、锥体、台体体积公式：=h(为底面积，为柱体高)；=(为底面积，为柱体高)=(’++)(’,分别为上、下底面积，为台体高)4、点、线、面位置关系及相关公理及定理：（1）四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上全部点都在这个平面内。公理2：经过不在同一直线上三点，有且只有一个平面。公理3：假如两个平面有一个公共点，那么它们还有其余公共点，且全部这些公共点集合是一条过这个公共点直线。推论一：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线两条直线平行.（2）空间线线，线面，面面位置关系：空间两条直线位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不一样在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。空间直线和平面位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们图形分别可表示为以下，符号分别可表示为，，。空间平面和平面位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线。5、直线与平面平行判定定理：假如平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。符号表示：。图形表示：6、两个平面平行判定定理：假如一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：。图形表示：7、.直线与平面平行性质定理：假如一条直线与一个平面平行，经过这条直线平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。符号表示：。图形表示：8、两个平面平行性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。符号表示：9、直线与平面垂直判定定理：假如一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号表示：10、.两个平面垂直判定定理：一个平面经过另一个平面垂线，则这两个平面垂直。符号表示：11、直线与平面垂直性质：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。符号表示：。12、平面与平面垂直性质：假如两个平面相互垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线直线垂直于另一个平面。符号表示：13、异面直线所成角：平移到一起求平移后夹角。直线与平面所成角：直线和它在平面内射影所成角。（如右图）14、异面直线所成角取值范围是；直线与平面所成角取值范围是；二面角取值范围是；两个向量所成角取值范围是二、直线和圆方程1、斜率：，；直线上两点，则斜率为2、直线五种方程：（1）点斜式(直线过点，且斜率为)．（2）斜截式(b为直线在y轴上截距).（3）两点式((、；()、()).(4)截距式(分别为直线横、纵截距，)（5）通常式(其中A、B不一样时为0).3、两条直线平行、重合和垂直：(1)若，①‖≠②；③.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,①；②4、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）距离公式│P1P2│=5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）中点坐标公式M（，）6、点P（x0，y0）到直线（直线方程必须化为通常式）Ax+By+C=0距离公式d=7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0距离公式d=8、圆方程：标准方程，圆心，半径为；通常方程，（配方：）时，表示一个认为圆心，半径为圆；9、点与圆位置关系：点与圆位置关系有三种：若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.10、直线与圆位置关系：直线与圆位置关系有三种:;;.其中.11、弦长公式：若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由ax2+bx+c=0(a≠ax2+bx+c=0(a≠0)y=kx+m则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：=====13、空间直角坐标系，两点之间距离公式：⑴xoy平面上点坐标特征A（x，y，0）：竖坐标z=0xoz平面上点坐标特征B（x，0，z）：纵坐标y=0yoz平面上点坐标特征C（0，y，z）：横坐标x=0x轴上点坐标特征D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0y轴上点坐标特征E（0，y，0）：横、竖坐标x=z=0z轴上点坐标特征E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0⑵│P1P2│=必修三算法初步与统计：以下是几个基本程序框流程和它们功效图形符号名称功效终端框（起止框）表示一个算法起始和结束输入、输出框表示一个算法输入输出信息处理框（执行框）赋值、计算（语句、结果传送）判断框判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y”，不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框（流程进行方向）连接点连接程序框图两部分注释框帮助注解流程图循环框程序做重复运算一、算法三种基本结构：（1）次序结构（2）条件结构（3）循环结构二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句格式：INPUT“提醒内容”；变量。2、输出语句:输出语句通常格式：PRINT“提醒内容”；表示式。3、赋值语句:赋值语句通常格式：变量=表示式。4、条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO—LOOPUNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。三．三种惯用抽样方法：1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表：包含条形图，折线图，饼图，茎叶图。四、频率分布直方图：详细做法以下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形面积=组距×频率。2、频率分布直方图：（注意：不是小矩形高度）计算公式：各组频数之和=样本容量，各组频率之和=13、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。4、刻画一组数据集中趋势统计量：平均数，中位数，众数。在一组数据中出现次数最多数据叫做这组数据众数；将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处于中间位置上一个数据（或中间两位数据平均数）叫做这组数据中位数；5、刻画一组数据离散程度统计量：极差，极准差，方差。（1）极差一定程度上表明数据分散程度，对极端数据非常敏感。（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数程度越高。（3）计算公式：标准差：方差：直线回归方程斜率为，截距为，即回归方程为=x+（此直线必过点（，））。6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形面积等于对应各组频率，方长方形高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。五、随机事件：在一定条件下所出现某种结果叫做事件。通惯用大写字母A,B,C…表示.随机事件概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生频率总靠近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A概率,记作P（A）。由定义可知0≤P（A）≤1，显然必定事件概率是1，不可能事件概率是0。1、事件间关系：（1）互斥事件：不能同时发生两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。2、概率加法公式：（1）当A和B互斥时，事件A+B概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必定事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．3、古典概型：（1）正确了解古典概型两大特点：1）试验中全部可能出现基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现可能性相等；（2）掌握古典概型概率计算公式：4、几何概型：（1）几何概率模型：假如每个事件发生概率只与组成该事件区域长度（面积或体积）成百分比，则称这么概率模型为几何概率模型。（2）几何概型特点：1）试验中全部可能出现结果（基本事件）有没有限多个；2）每个基本事件出现可能性相等．（3）几何概型概率公式：5、排列：（1）、排列数公式：==.(，∈N*，且)．0！=1（2）、全排列：n个不一样元素全部取出一个排列；；6、组合：（1）、组合数公式：===(，∈N*，且)；。必修四一、三角函数1、弧度制：（1）、弧度，1弧度；弧长公式：（为所正确弧长，为半径，正负号确实定：逆时针为正，顺时针为负）。2、三角函数：（1）、定义：3、特殊角三角函数值：角度弧度——4、同角三角函数基本关系式：5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限）正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。6、两角和与差正弦、余弦、正切：：：：：：：tan+tan=tan(+)()tan-tan=tan(-)()7、辅助角公式：8、二倍角公式：（1）、：：：（2）、降次公式：（多用于研究性质）9、在四个三角函数中只有是偶函数，其它三个是寄函数。（指数函数、对数函数是非寄非偶函数）10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；如：再求解。11、三角函数图象与性质：函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在上是增函数最值当初，当初，当初，当初，无对称性对称中心，对称轴：对称中心，对称轴：对称中心，对称轴：无12．函数图象：（1）用“图象变换法”作图由函数图象经过变换得到图象，有两种主要路径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。法一：先平移后伸缩，法二：先伸缩后平移当函数（A>0，，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置最大距离，通常把它叫做这个振动振幅；往复振动一次所需要时间，它叫做振动周期；单位时间内往复振动次数，它叫做振动频率；叫做相位，叫做初相（即当x＝0时相位）。二、平面向量1、平面向量概念：在平面内，具备大小和方向量称为平面向量．向量可用一条有向线段来表示．有向线段长度表示向量大小，箭头所指方向表示向量方向．向量大小称为向量模（或长度），记作．模（或长度）为向量称为零向量；模为向量称为单位向量．与向量长度相等且方向相反向量称为相反向量，记作．方向相同且模相等向量称为相等向量．2、实数与向量积运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μ)=(λμ);(2)第一分配律：(λ+μ)=λ+μ;(3)第二分配律：λ()=λ+λ.3、向量数量积运算律：(1)·=·（交换律）;(2)（）·=（·）=·=·（）;(3)（）·=·+·.4、平面向量基本定理：假如、是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得=λ1+λ2．不共线向量、叫做表示这一平面内全部向量一组基底．5、坐标运算：（1）设，则数与向量积：λ，数量积：（2）、设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.（终点减起点）6、平面两点间距离公式：（1）=（2）向量模||：；（3）、平面向量数量积：，注意：，，（4）、向量夹角，则，（）7、主要结论：（1）、两个向量平行：，（2）、两个非零向量垂直（3）、P分有向线段：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且，则定比分点坐标公式 中点坐标公式三、空间向量1、空间向量概念：（空间向量与平面向量相同）在空间中，具备大小和方向量称为空间向量．向量可用一条有向线段来表示．有向线段长度表示向量大小，箭头所指方向表示向量方向．向量大小称为向量模（或长度），记作．模（或长度）为向量称为零向量；模为向量称为单位向量．与向量长度相等且方向相反向量称为相反向量，记作．方向相同且模相等向量称为相等向量．2、实数与空间向量乘积是一个向量，称为向量数乘运算．当初，与方向相同；当初，与方向相反；当初，为零向量，记为．长度是长度倍．3、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：；结合律：．4、假如表示空间有向线段所在直线相互平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并要求零向量与任何向量都共线．5、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量，，充要条件是存在实数，使．6、平行于同一个平面向量称为共面向量．7、向量共面定理：空间一点位于平面内充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．8、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，夹角，记作．两个向量夹角取值范围是：．9、对于两个非零向量和，若，则向量，相互垂直，记作．10、已知两个非零向量和，则称为，数量积，记作．即．零向量与任何向量数量积为．11、等于长度与在方向上投影乘积．12、若，为非零向量，为单位向量，则有；；，，；．13、量数乘积运算律：；；．14、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．15、三个向量，，不共面，则全部空间向量组成集合是．这个集合可看作是由向量，，生成，称为空间一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面向量都能够组成空间一个基底．16、设，，为有公共起点三个两两垂直单位向量（称它们为单位正交基底），以，，公共起点为原点，分别以，，方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定能够把它平移，使它起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下坐标，记作．此时，向量坐标是点在空间直角坐标系中坐标．17、设，，则．．．．若、为非零向量，则．若，则．．．，，则．18、若空间不重合两条直线，方向向量分别为，，则，异面垂直时．19、若空间不重合两个平面，法向量分别为，，则，．20、直线垂直，取直线方向向量，则向量称为平面法向量．21、法向量定义：垂直于平面或者垂直于线向量（方向不论）。22、若直线方向向量为，平面法向量为，且，则，．★法向量计算方法一：已知,设面平ABC一个法向量为，由⊥面ABC得所以：;所以即上面两个方程，要解三个未知数，为了计算方便，取z（或x或y）等于一个数，可求出另两个未知数，得出平面一个法向量。方法二：若，则平面ABC一个法向量为：y1z1z1x1x1y1()y2z2，z2x2，x2y2=（y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1）立体几何中向量方法------距离问题一、求点到平面距离1．（通常）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面垂线段，再计算这个垂线段长度；2．还能够用等积法求距离；3．向量法求点到平面距离.在中，

又（其中为斜向量，为法向量）二、直线到平面距离转化为点到线距离：（其中为斜向量，为法向量）三、平面到平面距离也是转化为点到线距离：（其中为斜向量，为法向量）四、异面直线距离如图，异面直线也是转化为点到线距离：（其中为两条异面直线上各取一点组成向量，是与都垂直向量）例1．如图，在正方体中，棱长为1，为中点，求以下问题：（1）求到面距离；解：如图，建立空间直角坐标系，则，设为面法向量则取，得，选点到面斜向量为得点到面距离为（2）求到面距离；(3)求面与面距离；(4)求异面直线与距离.都垂直向量，则，取，得一个法向量为选两点向量得距离为练习1：B1A1BC1AC1．如图在直三棱柱中，,，，求点到面距离B1A1BC1AC2．已知棱长为1正方体，求平面和平面间距离3．已知棱长为1正方体，求直线和间距离。4．已知棱长为1正方体中，、分别是和中点，求点到平面距离。5．如图在直三棱柱中，，，求点到面距离.6．在直三棱柱中，，分别为中点，且．求到面距离；（）求到面距离．（）立体几何中向量方法------空间角问题空间角主要有：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角．（１）求异面直线所成角设、分别为异面直线a、b方向向量,则两异面直线所成角=（２）求线面角设是斜线l方向向量，是平面法向量，则斜线l与平面所成角=（３）求二面角法一、在内，在内，其方向如图，则二面角平面角=法二、设是二面角两个半平面法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角平面角=例１．如图，在棱长为２正方体中，E、F分别是棱中点．（Ⅰ）求异面直线所成角；（II）求和面EFBD所成角；（=3\*ROMANIII）求到面EFBD距离解：（Ⅰ）记异面直线所成角为，则等于向量夹角或其补角，（II）如图建立空间坐标系，则，设面法向量为由得又记和面EFBD所成角为则∴和面EFBD所成角为．（=3\*ROMANIII）点到面EFBD距离ｄ等于向量在面EFBD法向量上投影绝对