左孝凌离散数学课件命题及其表示方法修正联接词

离散数学(DiscreteMathematics)第一部分数理逻辑（MathematicalLogic)逻辑：是研究推理的科学。逻辑可分为：1.形式逻辑（通过数学方法）数理逻辑

2.辩证逻辑辩证逻辑是以辩证法认识论的世界观为基础的逻辑学，研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学

思维的形式结构包括：概念、判断、推理三者之间的结构和联系概念：是思维的基本单位，例：1能直立行走的是人通过概念对事物是否具有某种属性进行肯定或否定的回答，这就是判断；1亚里士多德能直立行走，所以他是人2人都会使用工具由一个或几个判断推出另一判断的思维形式，就是推理。即通过引入表意符号研究推理，因此，数理逻辑又名符号逻辑。

亚里士多德会使用工具数理逻辑的发展第一部分数理逻辑（MathematicalLogic)数理逻辑：是用数学方法来研究推理的规律，它的创始人Leibniz为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑。其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。上个世纪30年代以后，数理逻辑进入一个崭新的发展阶段，逻辑学不仅与数学结合，还与计算机学、控制论、人工智能相互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热门的研究领域。数理逻辑的发展第一部分数理逻辑（MathematicalLogic)从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算——即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个演算。2023/5/24数理逻辑的发展第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.1命题及其表示方法1.1.1命题（Proposition)1.1.2命题的表示方法1.1.3命题的分类2023/5/24第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.1命题及其表示方法1.1.1命题

数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基本单位——即命题。基本概念命题：能够判断真假的陈述句。命题的真值：命题的判断结果。命题的真值只取两个值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示）。真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。2023/5/24第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.1命题及其表示方法因而又称命题是具有唯一真值的陈述句。判断命题的两个步骤：

1、是否为陈述句；

2、是否有确定的、唯一的真值。例：判断下列句子是否为命题。

(1).100是自然数。T(2).太阳从西方升起。F(3).3+3=8.F2023/5/24哈哈，这句话不是命题哦！哈哈，这句话不是命题哦！（称为悖论）第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.1命题及其表示方法(4).Howdoyoudo?疑问句，不是命题(5).明年的十月一日是晴天。是命题，其真值到明年十月一日方可知道。(6).x+3>9不是命题(7).我正在说谎。是悖论即自相矛盾的陈述(8).1+101=110二进制中为真，十进制中为假。(9).如果太阳从西方升起，那么2是奇数。T(10).国足能杀入2006世界杯当且仅当2+2=4。F第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.1命题及其表示方法(11).今天天气多好啊！感叹句，不是命题(12).请你关上门！祁使句，不是命题，(13).别的星球上有生物。是命题，客观上能判断真假。说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。第一章命题逻辑（PropositionalLogic）

1.1命题及其表示方法（2）因为命题只有两种真值，所以“命题逻辑”又称“二值逻辑”。

(3)“具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。如上例中的（5）和（13）。

练习：指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题，指出它的真值。（见教材P8习题（1））离散数学是计算机科学系的一门必修课计算机有空吗？明天我去看电影。请勿随地吐痰！不存在最大质数。如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易的多。9+5≤12x=3我们要努力学习离散亦数学盆是计删算机咬科学创系的风一门脱必修皮课。是命狸题，真须值为T计算蚕机有介空吗千？疑问神句，不是冤命题。明天秋我去持看电么影。是命司题，连真值的要根积据具胀体情碍况确求定。请勿蛋随地霉吐痰资！祈使喘句，嘴不是命题秩。不存船在最孤大质绑数。是命竞题，洽真值宪为T。如果宗我掌躬握了悉英语税、法弓语，社那么这学习占其他代欧洲删语言资就容予易的捐多。是命衣题，傻真值江为T。9+简5≤贞12是命研题，旬真值肥为F。x=季3不是虫命题，x=伟3的真主假由x确定骄，当x取3时句赌子为昏真，宴当x取其沾他值蝇时句棒子为悬假。我们够要努港力学雁习。祈使辉句，途不是阿命题a），c），e），g））仗是原户子命弦题，f）是喇复合歪命题锦。第一对章及命贩题逻矮辑（Pr雄op梯os身it利io缩慧na尘l寺Lo漂gi裙c）1.查1命题扭及其斑表示污方法1.辆1.快2命题亮的表眯示方交法在本规书中腾，用缓大写挠英文带字母A,惧B,抱…,环P,嚼Q或带顾下标浮的字混母P1侄,P偶2,守P3牢,正…殖,或数透字(1李),竹[2悄],广…动,等表性示命飘题，刑称之猫为命题筝标识肌符。例如断：P：罗快纳尔伐多是壮球星滔。Q：5是负没数。P3：明天诊天气秃晴。(2名)：太押阳从想西方剂升起彩。皆为忌符号碗化的评命题穿，其阀真值君依次桥为1、0、1或0、0。命题孩标识便符又茎有命题累常量、命题轨变元和原子姓变元之分朽。第一柳章打命笑题逻膛辑（Pr精op俊os愿it帅io窄na锋l锯Lo斯gi派c）1.奖1命题锁及其由表示详方法命题迈常量：表队示确蝇定命陕题的异命题面标识拨符。命题禁变元：命探题标稍识符钻如仅绢是表示馆任意姻命题患的位俘置标志，就毙称为学命题霜变元浊。原子屡变元：当碎命题泛变元然表示基原子棒命题绍时，奥该变躺元称栏为原子叼变元建。命题螺变元浇也用A,芝B,液…,暂P,厘Q,束P1,P2,P3,…,表示械。1.旁1.雄3命题朝的分咬类：简单/原子军命题帽：不能贵分解纸为更笋简单找的陈旷述语脆句的围命题(如上萄例中柄的命齿题)。复合鼻命题些：由简疤单命硬题通库过联结以词联结江而成辈的命厌题。联结凶词就跨是复级合命偷题中剥的运畅算符笛。第一清章担命唉题逻友辑（Pr搬op震os肥it岩io扫na勉l吸Lo闻gi俊c）1.斗1命题印及其罩表示更方法注意：（1）一盼个符螺号(如P)午,它表盾示的蔬是命胖题常顿量还锹是命寸题变混元，央一般巾由上哭下文接来确炒定。（2）命字题变铺元可化以表灭示任蛇意命诱题，峰它不尤能确竹定真屡值，宜故命题棋变元谅不是尼命题。这狮与“变数x不是帆数”是咐一样介的道劣理。小结季：本节态主要讨介绍仔了命刊题、骨命题支的真许值、丧原子磁命题扇、复危合命如题、廉命题败标识乎符、箱命题槐常量宇、命土题变丈元和巡寿原子禽变元拉的概丧念。重点携理解酷和掌音握命朝题、寇命题墙变元消两个勉概念咐。作业兵：20离散魔数学(Di邀sc爆re府te低M帽at狠he馒ma至ti身cs)21第一楼章幼命碌题逻赶辑（Pr临op安os命it看io喊na晕l混Lo支gi牺c）1.卧2联结贯词(L胆og阿ic屯al闷C仪on姥ne余ct戏iv翁es文)在命粒题逻团辑中,主要谷研究送的是复合右命题,而复殿合命级题是声由原子蔬命题与联结字词组合用而成,联结饮词是帜复合衔命题鸟的重纷要组浙成部攀分.1.壶2.解1否定联结厉词(N恰eg辟at持io往n)┐1.甘2.爷2合取联结仍词(C愿on津ju材nc驳ti愈on植)∧1.忌2.搏3析取联结归词(D吸is裁ju钞nc莲ti志on胳)∨1.枕2.揪4条件联结搂词(蕴涵贱联结康词Co痕nd醉it获io毫na糕l)→1.记2.宾5双条碑件联结(等值页联结工词Bi抽co停nd膨it翁io赛na算l)221.繁2.克1否定联结企词┐定义1.荷2.未11）设P为原砌子命您题2）P的否捉定是左一个析新的复合京命题,称为P的定式旷，记好作“┐P”读作“非P”族.3）符植号“┐”称为否定朝联结交词。4）┐P为真津当且气仅稼当P为假.说明：拦“┐”属屡于一晨元(u库na什ry防)运算炼符第一浇章拆命责题逻狐辑（Pr鼻op乎os旺it回io凯na套l贿Lo挤gi短c）1.朝2联结兵词(L椅og希ic闲al老C吨on隔ne谱ct押iv严es榜)23“┐”的定孙义也宣可用悟下表斩来说疼明.联结钻词“舍┐”祝的定超义真汇值表P

┐P0110第一内章厉命胁题逻表辑（Pr裤op扎os柜it翠io郊na棕l坟Lo始gi强c）1.匠2联结阔词(L蛮og薪ic倘al艺C女on递ne韵ct捧iv闷es洪)24例1.吐P:天津腐是一核个城梅市.Q:窃3是偶惹数.于是:┐P:天津专不是骆一个魄城市.┐Q:枕3不是添偶数.例2.妥P:苏州腊处处哀清洁.Q:这些燥都是方男同汉学.┐P蹄:苏州设不处咬处清抱洁(注意,不是怠处处棚不清制洁).┐Q睁:这些寻不都渣是男胃同学.第一搏章授命染题逻阻辑（Pr最op咬os蛾it欲io门na雨l胡Lo丧gi短c）1.煮2联结消词(L荷og誓ic火al皮C之on高ne笼ct挨iv危es粱)“否定烂”的奇意义疤仅是项修改该了命凳题的交内容尽，它瞎是一趁个一彩元运只算，董我们曲仍把润它看炒作为驾联结窝词。自然来语言螺中的“不头”、壮“无邻”、捉“没益有”等词才在命笛题演帽算中额常与“虫非”殊相当。例：P：今仔天下住雨。┐P：今填天不忧下雨贤。┐P：今滋天无薪雨。┐P：今嫩天没哗有下迟雨。P：上弦海是词一个垃大城绿市。┐P：上搂海不蚊是一携个大浓城市感。┐P：上兼海是还一个由不大区的城认市。练习刘：P：一涉个世曾纪是棋一百鹿年。勿写出惜┐P。第一乳章哲命胃题逻勉辑（Pr攻op智os就it注io宿na舒l素Lo诸gi狸c）1.绪2联结卡词(L偏og饲ic巡寿al既C避on别ne绘ct寻iv乡丰es俗)261.建2.谊2合取联结词(C物on坏ju煮nc拥ti忧on染)∧定义1.西2.杆21）设P,园Q为二载原子寸命题慢，2）复筋合命汇题“P并且Q”（或吹“P与Q”）称犹为P与Q的合俩取式3）记蚊作P∧Q，符笋号“∧”称为合取逮联结胳词.4）PQ为真监当且份仅当P和Q同时督为真.第一予章恒命单题逻稻辑（Pr颗op穿os喂it帝io少na伶l吴Lo蹄gi富c）1.驳2联结渴词(L高og花ic吉al键C绞on剖ne喊ct债iv嫩es蔽)联结虎词“胀∧”谈的定眠义真定值表第一扎章芬命便题逻捧辑（Pr副op后os盒it偶io走na慨l仆Lo啊gi谣c）1.巾2联结轰词(L丈og雄ic章al舒C靠on喊ne珠ct宋iv奸es拔)PQ

PQ

00001010011128说明轿：“∧”属于踏二元(b提in高ar骂y)运算搅符.合取旋运算帮特点：只拥有参服与运杠算的撞二命境题全蛇为真冤时，讲运算结果缘瑞才为饲真，度否则君为假李。自然歇语言妥中的表示挎“并晃且”广意思皂的联催结词，如全“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…一面…”、完“…和…”、堂“…与…”等都日可以佛符号枪化为∧。第一算章懂命缝题逻己辑（Pr帖op糕os采it挽io吓na看l普Lo暴gi耳c）1.驶2联结济词(L末og天ic斯al虎C五on描ne它ct姐iv尊es陆)29例3.将下杠列命跪题符浙号化.(1谨)李平乞既聪谷明又竟用功.(2强)李平阿虽然江聪明,但不赔用功.(3绩)李平废不但写聪明,而且扣用功.(4迷)李平欺不是闲不聪拿明,而是色不用轨功.解:设P:李平任聪明.Q:李平伏用功.则(1嗽)俊P∧Q务(掉2)卸P∧┐Q(3蹄)泰P∧Q室(4柄)┐(┐P)∧┐Q例4.试生恒成下执列命染题的音合取.(1挠)助P:我们炼在XN哨A3谈03存.牛Q塞:今天较是星狸期二.(2绕)芽S：李平失在吃尿饭.众R：张明维在吃税饭.解:(1)P∧Q没:我们猜在XN驶A3漠03且今老天是参星期扇二.(2)S∧R:李平施与张疾明在聋吃饭.第一戏章好命我题逻杨辑（Pr的op旨os秘it间io括na库l聚Lo购gi疾c）1.想2联结悉词(L蛙og攻ic屯al额C叨on逗ne描ct裁iv茎es息)30第一顾章蚊命街题逻仪辑（Pr浙op射os艇it壁io顶na蔽l侵Lo跳gi墨c）1.怒2联结弄词(L模og饺ic氧al磁C原on坊ne喂ct柏iv架es慈)例如:亿(1殊)张三受和李从四都替可以件做这贞件事(2尺)李敏公和李沾华是岸姐妹五。（3）他您打开绣箱子累并且内取出政一件绒衣服换来。例如雅：P：今毙天下虫雨。Q：今香天不惭下雨骑。（而此时Q就是阔┐P）P∧搜Q：今撞天下喝雨与窑今天胳不下暑雨。P∧责Q的真吴值为F。311.绩2.顾3析取授联结词(Di杀sj创un垫ct讨io层n)∨定义1.堆2.肚31）设P,刑Q为二袜原子捕命题2）复矿合命姐题“P或Q”称为P与Q的析取鸟式3）记别作P∨Q，符水号∨称为船析取匠联结兴词.4）P∨Q为真陆当且忆仅当P与Q中至研少有德一个捧为真.第一驴章廊命颤题逻极辑（Pr晴op流os醋it扩io戚na请l着Lo性gi冒c）1.诱2联结盲词(L馋og症ic富al惨C里on单ne脚ct刮iv她es祸)PQPQ 000011101111联结单词“∨”的穿定义阅真值柔表第一物章阳命壤题逻肿辑（Pr纱op钻os留it贵io血na办l锤Lo备gi放c）1.茄2联结起词(L杆og主ic捕al波C醒on洁ne计ct滚iv睬es炮)33说明米：“∨”属于只二元(b毯in羽ar狗y)运算像符.析取建运算旷特点：只剩有参雀与运版算的招二命娱题全慢为假微时，舍运算驻结果米才为涉假，私否则政为真牧。由析怀取联洒结词妄的定防义可阳以看朵出，掩“∨”与戏汉语笨中的限联结惯词“直或”壳意义闸相近稳，但释又不将完全修相同塑。在愚现代美汉语参中，借联结投词的酒“或起”实络际上低有“可兼袜或”和突“排斥板或”之前分。播考察鉴下面快命题涨：（1）小咸王爱徐打球纪或爱脏跑步六。（可兼促或）第一吃章史命资题逻译辑（Pr孟op谱os零it肝io身na瞒l饰Lo煎gi照c）1.植2联结紧词(L卷og集ic打al萌C蚊on音ne裳ct纹iv举es饲)34（2）林盲芳学轧过英希语或非法语属。（可兼菌或）（3）派拨小王夺或小须李中肚的一遥人去横开会第。（排斥兆或）（4）人转固有禽一死剩，或丛重于候泰山墨或轻讽于鸿车毛.(排斥嚼或）（5）ab姿=0地,即a=因0或b=械0.（可兼暮或）而数他理逻揪辑中路析取“P∨Q”表示烘的是篮“可兼庭或”俗，如忌果要款表示约“排块斥或老”可壁以用┐（P陪Q）或（┐P∧Q）∨（P∧┐Q）究表写示第一平章丈命罢题逻辞辑（Pr简op春os薯it概io碌na左l销Lo肯gi撇c）1.签2联结衡词(L奶og资ic循al投C盒on返ne称ct皱iv乔es月)他昨锻天做园了二族十或疗三十燥道习艳题(表示蜓大约,是原劳子命赌题)第一图章型命盘题逻锁辑（Pr忆op嫌os欲it慌io盗na卵l制Lo豆gi布c）1.拿2联结帝词(L枝og小ic叮al炎C需on盲ne体ct借iv厌es港)361.扯2.翅4.条件砖联结亡词(蕴涵车联结鲁词Co探nd挑it汁io搭na盈l)座→定义1.迹2.询41）设P,稳Q为二寺命题薯原子2）复虽合命忍题“如果P则Q(若P则Q)”称为P与Q的条煮件命谜题3）记作PQ.4）PQ为假拾当且煤仅当P为真器且Q为假.称符捡号“”为条件兄联结庄词。并筐称P为前次件，Q为后扑件.第一筋章佛命将题逻呆辑（Pr仇op斩os纷it里io刊na献l咬Lo猛gi哑c）1.积2联结斤词(L扑og徐ic卧al肚C倍on疫ne异ct翼iv专es推)联结学词“”的倦定义昼真值度表PQP→

Q001011100111第一子章销命澡题逻禁辑（Pr瞒op译os翁it仔io烛na哈l是Lo苦gi闸c）1.作2联结疤词(L攀og厦ic桃al眉C皮on验ne慈ct接iv押es凶)38注：（1）PQ表示色的基枪本逻蹈辑关桑系是,Q是P的必亚要条拨件或P是Q的充拘分条殊件.因此蚕复合除命题“只要P就Q”、“因为P，所扑以Q”、“P仅当Q”、“只有Q才P”等都叉可以劳符号钩化为PQ的形犯式。（2）“”属于膊二元(b扩in邀ar手y)运算牙符。第一偶章冷命蛇题逻启辑（Pr肠op栗os桨it户io沃na搬l棚Lo丽gi绒c）1.侮2联结督词(L膨og舰ic螺al屈C悼on什ne汇ct拆iv湿es比)39例5.将下爬列命埋题符弹号化脸。（1）天青不下绿雨，则草木裁枯黄材。P：天认下雨低。Q：草榜木枯咸黄。则原全命题讽可表洽示为忆：┐P→针Q。（2）如果小明伟学日番语，您小华盾学英毯语，则小芳咽学德袖语。P：小梅明学愁日语Q：小烈华学希英语R：小犬芳学燃德语.则原木命题扒可表庭示为电：(P灭∧Q谈)→借R（3）只要不下敢雨，臣我就骑自具行车绿上班幼。P：天娘下雨匆。Q：我状骑自船行车拐上班兵。则原饼命题念可表慎示为烤：┐P→甜Q。（4）只有不下竞雨，倒我才骑自撞行车层上班它。P：天夺下雨坟。Q：我石骑自医行车亏上班苏。则原牵命题浆可表肥示为摔：Q→┐P。第一语章野命侧题逻座辑（Pr椒op换os酬it升io犯na抢l寇Lo朝gi切c）1.霸2联结餐词(L幼og躬ic泥al索C甘on害ne奋ct低iv改es拾)（5）如舟果2+即2=眨4,则太阳秋从东下方升芽起。(P→Q,1)P=1填Q=稼1如果2+饺2=肿4,则太阳贷从西迈方升蒙起。(P→R,0)P脏=1慎R=尼0如果2+锐2掏4,则太阳侧从东色方升具起。(┐P→Q柄,1)P：2+谦2=告4梨0毫R钻=1如果2+就2奋4,则太阳猴从西欣方升兔起。(┐P→R,1)P：2+办2=卷4泡0呆R=百0注意:(1必)与自蕉然语芽言的止不同医：前件恒与后抬件可士以没岩有任膨何内脂在联盘系！(2峰)在数旬学中，“装若P则Q”往往名表示炒前件P为真植，则讲后件Q为真境的推理装关系.但数奇理逻屑辑中，当狸前件P为假畜时，P→Q的真孙值为圾真。第一蜂章躲命伯题逻害辑（Pr州op回os斤it斥io岭na琴l浊Lo惯gi筛c）1.永2联结舌词(L己og绪ic毕al苗C脸on盾ne锤ct竞iv孤es仗)411.秒2.神5双条雕件联绞结(等值做联结好词Bico笼nd绸it史io耳na普l)定义1.客2.乒51）设P,资Q为二锁命题2）复肺合命皂题“P当且签仅当Q”称为P与Q的双唤条件茄命题3）记犹作Pif票fQ或PQ，符地号称为详双条能件（敞等值崇）联书结词赖。4）PQ为真药当且缠仅当P，Q真值鸽相同。第一笼章财命龟题逻患辑（Pr推op那os年it辣io锤na止l摧Lo振gi阶c）1.劣2联结宿词(L棋og宣ic热al友C廊on寄ne奴ct经iv巧es咱)联结斑词“”的跃定义笨真值催表PQPQ001010100111第一居章割命禽题逻穷辑（Pr陡op盛os敲it杆io卸na康l腥Lo炼gi昌c）1.戏2联结稍词(L纳og用ic赔al仁C帮on招ne庙ct亮iv箩es韵)43注：（1）P仅当Q可译鱼为P→QP当Q可译煮为Q→PP当且禁仅当Q译为PQ（2）“”属于暖二元(b停in芒ar跟y)运算刮符。(3慈)双条饮件命掏题PQ所表备达的炎逻辑问关系剧是,P与Q互为膨充分旺必要气条件,相当平于(PQ)址∧张(QP)铃.只要P与Q的真芽值同耽为1或同侨为0,巡寿PQ的真薄值就暮为1,否则PQ的真晒值为0.双条委件联上结词浴连接晓的两塔个命匆题之毫间可夺以没郑有因石果关盼系，费如例级题2。例6.分析芒下列董命题列的真委值.P：2+亭2=阿4.桨Q：3是奇药数(1支)投2+名2=盐4当且娇仅当3是奇哭数.暗(PQ).第一弦章徒命愈题逻理辑（Pr匀op报os泊it松io袍na烦l注Lo畏gi卫c）1.巴2联结凶词(L先og矮ic矿al影C码on阔ne胁ct于iv屋es俯)44(2需)2+嘴2=党4当且鱼仅当3不是矛奇数.苍(P┐Q竖)(3胞)安2+混2需4当且捎仅当3是奇弃数.(┐PQ)(4唯)回2+补2纤4当且铁仅当3不是肯奇数.押(┐P┐Q暂)约倘定:1.运算恨次序罚优先鼓级：制┐，，，→篇，.2.相同善的运糖算符谎按从芒左至较右次种序计胳算，容否则造要加上己括号赶。3.最外阵层圆狱括号乒可省唐去。小结:本节罢介绍疲了五究种联辽结词(┐，，，→眨，),重点伶是理仁解和摊掌握五种门联结家词的眯内涵凡及它派们与捉自然巾语言资中相桑应联喊结词奔的不产同之手处.第一舌章封命颂题逻绕辑（Pr袄op南os抓it候io臭na香l唇Lo聚gi陪c）1.创2联结漂词(L浴og火ic首al贞C群on滴ne迅ct芬iv妄es念)练习8页（3）（5）(3意)设P表示亿命题充“天瓣下雪Q表示播命题遵“我改将去仪镇上分。R表示理命题话“我豪有时钉间”以符煮号形瓦式写储出下齐列命垂题。a)如果置天