离散数学第五章函数

第五章函数离散数学陈志奎主编人民邮电出版社前言函数是满足某些条件的二元关系。这里所要讨论的是离散函数，它能把一个有限集合变换成另一个有限集合。计算机执行任何程序都属于这样一种变换。通常，总是认为函数是输入和输出之间的一种关系，即对于每一个输入或自变量，函数都能产生一个输出或函数值。因此，可以把计算机的输出看成是输入的函数。编译程序则能把一个源程序变换成一个机器语言的指令集合目标程序。在本章中，首先将定义一般的函数，然后讨论特种函数，由一种特殊函数——双射函数引出不可数集合基数的比较方法。在以后的各章中，这些概念将起着重要作用。在开关理论、自动机理论、可计算性理论等领域中，函数都有着极其广泛的应用。PART01函数的基本概念和性质主要内容PART02函数的合成和合成函数的性质PART03特殊函数PART04反函数PART05特征函数PART06基数PART07不可解问题5.1函数的基本概念和性质定义5.1设A和B是两个任意的集合，并且f是从A到B的一种关系。如果对于每一个，都存在唯一的，使得，则称关系f为函数或映射，并记作对于函数来说，如果有，则称x是自变量；与x相对应的y，称为在f作用下x的像点，或称y是函数f在x处的值。通常用

表示。4函数5.1函数的基本概念和性质从A到B的函数f，是具有下列性质的从A到B的二元关系。（1）每一个元素，都必须关系到某一个；也就是说，关系f的定义域是集合A本身，而不是A的真子集。（2）如果有，则函数f在x处的值y是唯一的，亦即因为函数是关系，所以关系的一些术语也适用于函数。例如，如果f是从A到B的函数，则集合A是函数f的定义域，亦即；集合B称为f的陪域；是f的值域，且。有时也用表示f的值域，亦即

有时也称是函数f的像点。55.1函数的基本概念和性质例5.1设E是全集，是P(E)的幂集。对任何两个集合的并运算和相交运算，都是从到p(E)的映射；对任何集合的求补运算，则是从到的映射。例5.2试说明下面的二元关系是否是函数。（1）（2）解：（1）是函数，满足函数的任意性和唯一性条件；（2）不是函数，不满足唯一性条件。例如时，。此例告诉我们，这里给出的函数的概念和高等数学中给出的函数的概念是有所区别的，在高等数学中，一直是把反正弦当作函数的。65.1函数的基本概念和性质定义5.2给定函数和。如果f和g具有同样的定义域和陪域，亦即和，并且对于所有的或都有，则称函数f和g是相等的，记作75.1函数的基本概念和性质定义5.3给定函数，且有。（1）试构建一个从A到Y的函数通常称g是函数f的缩小，并记作。（2）如果g是f的缩小，则称f是g的扩大。从定义可以看出，函数的定义域是集合A，而函数f的定义域则是集合X。和f的陪域均是集合Y。于是若g是f的缩小，则应和并且对于任何都有85.1函数的基本概念和性质例5.4：令X1={0,1},X2={0,1,2},Y={a,b,c,d}。定义从

到Y的函数f为：f={<0,0,a>,<0,1,b>,<1,0,c>,<1,1,b>}。g=f{<0,2,a>,<1,2,c>,<2,0,b>,<2,1,a>,<2,2,d>}是从

到Y的函数。于是f=g/，因此f是g在

上的缩小（或称限制），g是f到

上的扩大（或称延拓）。

95.1函数的基本概念和性质因为函数是二元关系，所以可以用关系图和关系矩阵来表达函数。

此外，由函数的定义可知，在关系矩阵的每一个行上，都有且仅有一个元素的值是1，而此行上的其他元素都必定为0。因此，可以用一个单独的列来代替关系矩阵。在这个单独的列上，应标明所对应的给定函数的各个值。这样，该列上的各元素也说明了自变量与其函数值之间的对应关系。

10函数f:X→Y的图解5.1函数的基本概念和性质例5.5设集合X={a,b,c,d}和Y={1,2,3,4,5}，并且有

f={<a,1>,<b,3>,<c,4>,<d,4>}试求出domf，ranf和f的矩阵表达式。解：domf={a,b,c,d}ranf={1,3,4}f的简化关系矩阵为：

115.1函数的基本概念和性质定义5.4

设A和B是任意两个集合，记：为从A到B的所有函数的集合。例5.6设集合X={a,b,c}和集合Y={0,1}。试求出所有可能的函数f:X→Y。解：首先求出的X×Y所有序偶，于是应有于是，有26个可能的子集，但其中仅有下列23个子集可以用来定义函数：

125.1函数的基本概念和性质设A和B都是有限集合，且|A|=m和|B|=n，因为任何函数f:A→B的域都是集合A，所以每个函数中都恰有m个序偶。而且，任何元素x∈A，都可以在B的n个元素中任选其一作为自己的象点。因此，应有nm

个可能的不同函数，亦即|BA|=|B||A|=nm例5.7

设A为任意集合，B为任意非空集合。（1）因为存在唯一的一个从Ф到A的函数，所以AФ={Ф}。（2）因为不存在从B到Ф的函数，所以ФB=Ф。

13PART01函数的基本概念和性质主要内容PART02函数的合成和合成函数的性质PART03特殊函数PART04反函数PART05特征函数PART06基数PART07不可解问题5.2函数的合成和合成函数的性质定义5.5

设f:X→Y和g:Y→Z是两个函数。于是，合成关系f◦g为f与g的合成函数，并用g◦f表示。即注意：合成函数g◦f与合成关系f◦g实际上表示同一个集合。这种表示方法的不同有其方便之处：对合成函数g◦f，当z=(g◦f)(x)时，必有z=g(f(x))

g◦f与g(f(x))的次序是理想的。

155.陈2函数狗的合翠成和蛇合成主函数银的性槐质定理5.熟1设壤和贩是两素个函浇数。（1）合煎成函堡数坟是从验的妇函数镰，并避且，芽对于纯每一幼个亚，都剪有亿。（2）其中赖表示g的定环义域连在f下的原像于集，详表示f的值扯域在g下的像点规集。165.滋2函数腔的合猪成和藏合成凑函数宏的性锤质例5.艺8设集碍合X=呜{x1,x2,x3,x4},易Y词={购y1,y2,y3,y4,y5}，Z=旋{z1,z2,z3}。函统数f:众X→Y和g:语Y深→Z分别扩是试求障出函驶数g◦f=最X→腥Z，并值给出努它的勉图解限。解：175.义2函数搁的合溉成和别合成妥函数陷的性断质例5.国9设集炎合校，代函数驱和闭分纤别为试求倍出合恰成函余数睛，低，,。解：由上薄面的恐例子妈可以性看出只，弟，液即函码数的合成古运算帐是不瓣可交央换的者，但选它是召可结咱合的。185.窗2函数拌的合肢成和武合成构函数站的性童质定理5.宜2函数衫的合秒成运度算是夕可结碗合的探，即膏如果f适,集g爬,宋h都是尝函数炒，则悬应有下面独把恒降等式忆所给馒出的豪关系肉，推监广到放更为长一般观的情闷况。兄设有n个函第数：螺，肠，…，践，柜于是暑无括鉴号表甩达式驴，唯尤一地似表达弃了从垃到号的茅函数滔。如系果蛙和族，陡则可羊用兽表测示从X到X的合辜成函天数抚。195.持2函数俭的合琴成和呼合成田函数搬的性戒质例5.怒10设Z是整椅数集饺合，开并且惨函数f:侧Z帆→Z给定忍成f(今i)满=2冶i+升1。试陈求出坐合成度函数f3(泛i祖)。解：践合成绿函数f3(猫i还)是一丛个由Z到Z的函羞数，押于是讯有205.蓬2函数份的合恩成和辜合成杆函数兄的性抓质定义5.晴6给定嘴函数f:逗X→X，如即果有f2=f，则送称f是个等幂挺函数。例5.岸11设Z是整握数集葵合和Nm={晨0,压1,体2,近…m呀-1牢}，并马且函斗数f:绸Z→Nm是f(杂i)诉=i休(m粪od音m章)。试古证明膛，对齐于n≥宰1都有fn=f。证明：刮（归卖纳证席法）石当n=晒2时假设准当n=云k时，辛满足fk=f际;那么浊当n=眯k+占1时，fk+挖1=戒fk◦f围=哥f◦完f淘=附f得证纽奉。对膊于所阅有的n≥凳1，都礼有fn=f21等幂泼函数PART01函数总的基阅本概普念和砍性质主要内容PART02函数赏的合城成和粒合成创函数乌的性胖质PART03特殊演函数PART04反函储数PART05特征秋函数PART06基数PART07不可桶解问袖题5.疫3特殊钢函数某些课类型慎的函寺数，船具有然一些宽十分总重要寄的性趟质，亚而这燥些性臣质对送于我肆们研缘瑞究某租些具枝体领崭域中复的实拆际问言题是袋十分站有用鉴的。校例如童，可辽以通抖过双洪射函鞋数来督研究伯无限左集的句基数溜的比傻较，法通过最特征雄函数州来研膏究集敌合间屑的关竭系等贷等。激下面驴我们豪将专拉门定屿义这抽些函翅数，链并且少给出猛相应聪的术位语。235.积3特殊圾函数定义5.稠7给定咏函数f:蛋X→Y。（a）如毛果函隐数f的值败域Rf=Y，则弦称f为映凝上的际映射杠，或允称满射师函数。（b）如雨果函螺数f的值汤域RfY，则拌称f为映厕入的仗映射狮或内射。定义5.误8给定贞函数f:贪X→Y,对于x1,x2∈X来说醉，如仙果有或者面是则称f为一脱对一买的映溉射，绢或称f为单射馆函数。245.夺3特殊笨函数定义5.瞎9给定逼函数f:盾X→Y。如付果f既是患满射境的又疫是单苏射的膊，则笛称f为一银对一茄映满虫的映羊射，磨或称f为双射欣函数。定义喷中的辟条件洒说明题构成评双射迟函数举的必巴要条猪件是铃。后旨面我缩慧们将比会看怜到，另如果扇两个讽无限轮集之晕间存赵在一桶个双钢射函村数，衫那么广这两炭个无拣限集危是等胡势的敢。255.盟3特殊猎函数例5.纷12判断纺下列弱函数记是否叹为单沃射、物满射交、双椅射的拔，并胞给出此原因帅。（1）（2）礼为姓正整原数集紫。（3）（4）避为透正实列数集冻。解：锹（1）函诊数f(未x)为开胖口向余下的雷抛物悠线，纪不是土单调稿函数迹，并塘且在x=亏1处取沸得极蒙大值0，因茎此它委既不溉是单掏射也暂不是施满射妨的。（2）函凳数f(街x)是单然调上嘱升的鲁，因狸此是挡单射恢的。厚但不厌是满剑射的柜，因末为（3）函筐数f(筹x)是满拿射，糖单射珠和双交射的猾。因方为它险是单荒调函耐数并虚且（4）函筛数f(讨x)既不寺是单肆射的配，也摄不是晴满射舍的。督因为傅当x=陪1和x=完4时f(羡x)绪=4，所喊以f(无x)不是糖单射挡的。敬当蚀时巧，f(考x)取得凉最小衔值眯，所荡以f(仔x)不是私满射腰的。265.礼3特殊糕函数定理5.需3给定涂函数f和g，并锄且有竭合成锐函数g◦尿f。于挠是（a）如器果f和g都是衫满射载函数悔，则恋合成出函数g◦吵f也是辛个满太射函摸数。（b）如挽果f和g都是库单射策函数援，则近合成当函数g◦分f也是蛙个单棉射函社数。（c）如波果f和g都是难双射续函数吃，则昌合成匆函数g◦瓜f也是译个双牌射函掌数。275.壶3特殊夸函数285.们3特殊电函数定理5.比4：给定肉函数f和g，并治且有霉合成灭函数g◦别f,于是（1）如渠果g◦挂f是满甜射函鹅数，两则g必定蒙是满涝射的搅。（2）如羡果g◦辽f是个毫单射锐函数抢，则f必定板是个夺单射鸦函数欧。（3）如坝果g◦迟f是个颈双射成函数法，则g必定浆是满千射的浩，f是单弦射的统。295.译3特殊软函数305.悦3特殊间函数定义5.铜10：给定藏集合X，并膀且有稳函数IX:妨X→X。对率于所替有的x∈X，有IX(x胃)=死x，亦俭即IX={范<x化,x罪>|痕x∈X}则称IX为恒等键函数。315.备3特殊谨函数定理5.改5给定而集合X和Y。对缝于任怜何函讯数f:性X→Y，都蝴有f=罢f◦痛IX=IY◦f证明天：设x∈X和y∈Y，根挡据定货义IX(x吼)=文x,印IY(y哄)=屿y，得证趟！32PART01函数粉的基故本概葱念和漏性质主要内容PART02函数躬的合禽成和彩合成贸函数工的性束质PART03特殊滥函数PART04反函增数PART05特征录函数PART06基数PART07不可街解问振题5.监4反函膝数定义5.隶11设担是蒙一个风双射竞函数扬。于宪是f的逆设关系牵是f的反函搅数（或依称逆函雪数），斧并记翁作羡。侦对于f来说之，如姨果存漏在丑，则志函数f是可逆就的。应该混注意酸，仅闭当铃是双直射函渴数时票，才歇有对窝应于荷的反诱函数摄。若存秘在函保数缓，漂使得握，疗则称g为f的左逆；若证存在索函数烫，溜使得边，则权称g为f的右逆。345.泪4反函层数定理5.挂6设袭是一普个双盖射函爸数。椅于是铃，反统函数狗也是赞一个怎双射卫函数制，并码且是悟从Y到X的函笑数赤。355.略4反函竞数定理5.目6设翼是一待个双稿射函程数。们于是瞒，反孕函数减也是剪一个赞双射拦函数展，并钱且是静从Y到X的函惊数激。365.垄4反函孕数定理5.耕7如果骑函数和是商可逆王的，杂则有37函数f和的合晋成，饶总会幻玉生成物一个晴恒等锄函数货，由盏于合方成的债次序裙不同皮，合赚成函仆数的摘值域版或者除是集攻合X，或剩者是伪集合Y。5.态4反函检数例5.毛15给定皮集合绒和壤并猎且函至数描给献定成渣，反钳函数白给言定成圾。未试求达出哗和誓。解：定理5.击8如果f是个忧双射扫函数乏，则文应有385.沈4反函避数定理5.辜9给定拜函数坏和胖，并化且f和g都是逼可逆荡的。遗于是鬼应有例5.躲16给定死集合鼠，和设函旦数和分别刘为：，。试说冒明解：39PART01函数产的基恭本概煤念和锣性质主要内容PART02函数浅的合劳成和改合成足函数闸的性满质PART03特殊嗓函数PART04反函勿数PART05特征拥函数PART06基数PART07不可素解问蚁题5.遗5特征事函数定义5.胡12设X为任银意集旷合，申，f和g是从X到Y的函稳数。（1）态表示祥，对醉每个填，盗皆有（2）龙，对德每个铺皆有，称f兔+撇g为f和g的和（3）钩，对接每个展皆有，称f劣-洁g为f和g的差狮。（4）徐，对掌每个凭皆有，称f蓝*拿g为f和g的积谋。415.据5特征愚函数定义5.绵13设E为全渠集，米，厅为如悄下定腊义的毛从E到{隶0落,继1挽}的函饥数。称因为魄集合A的特括征函行数。425.析5特征烛函数下面争列举存特征冷函数以的一肠些重洪要性早质，跳其中0表示写从E到{蓝0,炊1候}的函些数1表示动从E到{议0,阁1卧}的函话数（1）0≤团≤1,对于恼任意职的鸽成立传。（2）方，预当且泪仅当们。（3）鞭，当炮且仅定当（4）姓，当盟且仅活当（5）代，当掏且仅饥当（6）=演1废-（7）（8）（9）（10）滤当且肃仅当（11）435.狸5特征谢函数例5.稀18用特坏征函纺数证炸明证明圈：通察过直蚊接计雅算可基得及所以从而永得到44PART01函数横的基迈本概学念和私性质主要内容PART02函数屡的合保成和夜合成乌函数状的性助质PART03特殊徒函数PART04反函炭数PART05特征排函数PART06基数PART07不可止解问私题5.忌6基数定义5.忧14设A和B是两良个集父合。哭从A到B如果脏存在旧一个率双射习函数销，则姓称A和B是等位虹的或等势屈的，记篇作乎，但读作A等势挪于B。例5.毛19设集躁合,试证畏明夕。解：未设傍，圾且对逆于垦，梢令壤。齿显然滑，f是从N到郊的双血射函勿数，逮因而疲有庄。46等势讯（等年位）这里纹。对焦于有钞限集繁绝不棚会有宪这种尿情况烤。这贞既是绘有限雅集和借无限婆集之散间本屈质上焦的差排别，翁也是愉对无痰限集面的一戒种定丧义方碌法。5.值6基数定义5.枪15设A和B为两改个集诵合。（1）如筑果亩，就胀称A和B的基去数相龄等，崭记为（2）如筛果存神在从A到B的单笼射，个就称A的基罚数小枝于等矮于B的基显数，充记为|A违|≤|B驾|。（3）如冷果扎且盲，营就称A的基壤数小旷于B的基译数，暴记为|A甚|<米|B六|。任何晓两个扑基数辟都可宏以比惕较大尊小。扮对于饿无限杆集的阀基数何，我局们规前定特恋殊的抵记号柜，令稳，逮读作阿列异夫零；令溜实数降集合R的基萝数为拣，协读作阿列消夫一。475.欣6基数例5.烘21设A为任荐意集船合，川则证明水：构胀建函够数惰，其罩中并是夹集合屑的杂特征谱函数慕。很幅明显f为双发射函标数，善因此家有定理5.昆10设A，B，C为任滔意集密合。（1）（2）若息，则（3）若桨，稠，睡则485.飞6基数定理5.张11（康疤托定社理）（1）（2）对遣于任弊意集拦合A都有49康托殖定理5.燥6基数定义5.铸17如果元集合A同自真然数驾集合梢或自境然数次集合猫的真速子集拆等势西，则仓称某是可蜻计数骗的或骆可数码集；州否则歪称A是不么可计中数的铺或不础可数紫集。从定冶义可昌以看味出，叼不是今所有淡无限魂集合轧都是俊可数亚的。饱例如翼，实西数集剩合就顷是不刮可数颜的。至此应，我月们可偷以得罗出如虫下的婶结论撒。（1）和伴自然千数等峰势的油无限蔬集的银基数徒为（2）和穿实数梨集合书等势匆的无昼限集葵的基色数为（3）505.赏6基数在计扰算机题科学草中，读广泛满地应恰用了梯本节雪的概庸念，有特别肠是可抓计算两性理炸论。哭在非黑数值薯系统免中的烘元素酸与自茫然数货之间棍，可仅以制窝定出禽一种拼双射造函数余关系行。这哥样就拐能够攻把非嘴数值裳系统巨中的样命题魂，变勒换成秀相对脂应的爹自然迹数的教命题聚。因惩此，诵可以县用证袄明自东然数袋系统射中相腐应的寻命题凶，来滑间接肌地证泊明非舒数值北系统瓜中给叹定的帮命题赶。51PART01函数刻的基寒本概醉念和台性质主要内容PART02函数教的合另成和盲合成绿函数鸣的性水质PART03特殊毛函数PART04反函固数PART05特征精函数PART06基数PART07不可裤解问萌题5.拳7*不可代解问现题现代夫数字塘计算究机已表经应辛用于膊社会疏生活弊的各愿个方共面，工似乎嗽计算郊机无罢所不沉能，鼠若不衬考虑泥运算炸时间疗的限网制，筝对于廊任何稻问题氧，只混要能向把它美抽象伤成计嘱算机缝可接处受的知输入批形式研，就杏能用炼计算已机进锈行求贫解。泰然后缘瑞，实贯际情冲况并告非如美此，舒可计害算性都理论衣告诉眼我们米：确叉实存毅在计馆算机驰无法巩解决英的问悬题，染尽管款他们势可以续表示箱成计折算机滩可接勇受的州输入当形式心。以下易将粗碗浅的纲讨论绵一下点可计姜算性短的问膏题，胳首先盐利用涌可数找集的乱概念到证明葵不可护计算嘉的问躺题确谷实存俊在，拨然后迎给出演著名俱的不蛋可判软定的倍停机亡问题润。535.膊7*不可拒解问劣题所谓胜不可屠解问情题是输指使蹦用数固字计会算机缎无法都解决缴的问害题，邪在这吃里更带具体困地说虎，就棉是指烈使用秀某种令程序俊设计讯语言射无法循解决盆的问掩题，滨即不鹿存在胀可为堵它们丛求解伤的程仪序。下面预将说是明不耐可解削问题笼确实拔存在序。基喉本方从法是屯：首先兽说明排程序秋的集鹊合是办无限冻可数膝的，骑然后沿说明小问题管的集剥合是查无限烘不可警数的色，所爱以问诞题比楚程序有多得乳多，恨确实滥无法远为每见个问毕题都幸编写柄出解绳决它教的程现序。假定垮所考耳察的坝程序调设计药语言锹是C语言叫（其紫他程腿序设屡计语盒言也骄可以影）。C语言基的字塞符集胜是有签限集络，设牧为妙。C语言细（源糊程序晃）是葛中的纲字符裁所构蚁成的款有限垮字符蚁串。休设所储有的方合法术的C程序淡组成滥集合C则翠，其忌中莲是棒上辱有限添字符霉串的纹集合浴。由把于纯是有延限集抬，而庆字符酿串长粗度透，因专此欣是可察数集镰，所榆以C也是浇可数甲集。54不可聪解问坊题存闹在性5.闸7*不可藏解问霜题任何惹问题杀都可虹以抽钳象为州从输福入到饺输出肢的函迷数，调通过纹适当畅的编即码，刻输入器和输待出可窗以分魔别编富码为偷两个发自然豆数，怪所以移可以吉用自重然数警集N上的字函数辜来为保问题踩建模答。反剪过来部，N上的贵函数仆也都品是问务题。负于是体，可抵以用N上的匹函数霞的集咏合来慢为问师题的较集合慈建立蔑数学慢模型住。设自隆然数陪集N上的鹊函数鸽的集驻合是F，则由康映托定舒理可痰知F是不稼可数净集。店因此C为可疑数，F为不溉可数强，焰，衫所以熊一定凤存在坑某个讲函数智（问园题）阿，计滔算它助的程求序是盛不存骄在的屯。55不可揪解问网题存该在性5.众7*不可暗解问常题具有悬实际宾应用糖价值忍的不斤可解润问题怒是否然存在絮？答绸案是例肯定凭的，党著名械的停读机问暂题就康是其挎中之告一。停机躬问题躁是不布可解多问题岗的经夺典例小子，勤它的练不可撕解性氏是计航算机耕科学建中最盼著名辛的定学理之网一，登图灵述在19葡36年证换明了赢停机循问题结的不惰可解览性。谢停机廉问题虚的定涂义如垄下。输入挨：一席个程辫序和鲜这个贩程序准要处为理的串一个下输入定。输出与：若初改程丑序在展该输却入下趁能终袄止，充则输造出“叠是”点，否宿则，成输出赌“否旋”。停机姓问题映是一坏个很瞧有意紧义的撕现实慨问题闹，它势的成偷功解谊决将构对程悼序员雪的工骗作提午供很成大的岗帮助浆，比束如，直自动拣判断牧程序宅中是辉否有芹死循爆环等底等。厌但是黑，遗倚憾的歌是这维样的葡检测内工具佳是构蹲造不罩出来挣的56停机块问题5.秘7*不可归解问领题在证毫明停脑机问贱题的债不可莫解性娇之前译，首泪先注茅意，母不能楚通过更简单枪的运掏行一洒个程窝序并辩观察丈它的功行为傲来确锅定在瓣给定跑的输虑入下台它是内否能干终止僵。若抹程序鞋运行制一段锐时间塘后停升止了若，则避可以浪简单凯的得枣出答剖案。摊但是哑若在渠运行氧一段菜时间鄙之后还未停调止，东则无深法确屯定它盗是永刚不停钉机，婚还是商我们粪等待舅的时泉间不语够。假定帮停机樱问题躲是可范借的坐，有渐一个摊名为ha丹lt的解盒决停磁机问退题的C函数兄：in筋t是ha典lt白(c覆ha较r专*p王ro精g,省c杜ha楚r谣*i叔np冠ut茫)它有秋两个樱输入毫：“摸*pr允og流”是一闯个C函数虑的源扶代码魄字符师串，械“*in永pu夹t”是表碗示输张入的葛字符兵串。灾如果队函数惑“*pr批og寒”在给虏定的阵输入箩“*in尽pu闯t”下能索终止拍，ha腹lt返回1，否巨则返齿回0。57停机坐问题5.酬7*不可会解问日题再给裤出一塑个简抵单的哥函数co汁nt脖ra粘ry如下秃。vo遵id附c税on谷tr博ar迈y(菌ch撤ar睡*恼pr眯og屠){证if隐(毒ha局lt吐(p服ro垄g,吸pr筑og芳))wh傻il汤e诞(1鸽);班}现将圾函数co泰nt栗ra胖ry本身腔作为旱输入欢调用co晃nt墨ra戚ry，考勒察其青执行捷过程寸。（1）若灭其中棵对ha壳lt的调托用返丙回1，则营表明co券nt呼ra吴ry在对首自身滨运行