线性方程组的消元法矩阵及其初等行变换

线性代数

LinearAlgebra理学院数学系韩942086908(Q)办公室

18-903,9275/24/20231学分获取点名+=复习作业其它平时期末总评笔记作业总结练习书本课程邮箱：probability_2013@163.com邮箱密码：xd20135/24/20232

DavidC.Lay：线性代数是最有趣最有价值的大学数学课程

线性方程组的应用：剑桥减肥食谱问题、电路问题、交通流问题、马尔科夫链、联合收入问题、现代飞行器外形设计例等等……

向量组的线性相关性的应用：药方配制问题等

可逆矩阵的应用：密码问题等

矩阵对角化应用：行业就业人数预测、人口迁移、人口分布趋势分析等

二次型应用：如政府合理分配修路、修公园资金等

注了解线性代数5/24/20233

应用线性代数相关学科：

工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域

应用线性代数相关后继学科：

电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、计算机辅助设计、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学、密码学、虚拟现实等课程无不以线代为其理论和算法基础的一部分

注了解线性代数5/24/20234

在数学上，线性函数关系是直线，而非线性函数关系是非直线，包括各种曲线、折线、不连续的线等；线性方程满足叠加原理，非线性方程不满足叠加原理；线性方程易于求出解析解，而非线性方程一般不能得出解析解----阿尔文·托夫勒(AlvinToffler1928-)，未来学大师、世界著名未来学家

注了解线性代数

本学科体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等可以强化数学思维训练。学习方法是大学教学的重要内容5/24/20235

科学的发展决定了不仅要研究单个变量之间的关系，还要研究多个变量之间的关系。各种实际问题在大多数情况下可以线性化。计算机的迅速发展，线性化了的问题又可以计算出来。大量的理论及应用问题可以通过“线性化”变成线性代数问题。线性代数的重要性在于它考虑了一类简单的数学模型。解决这些问题的有力工具。

注了解线性代数5/24/20236

线性代数和微积分学是数学的两大支柱，是所有理工科学生的必修课程.

线性代数是高等代数的一大分支。

一次方程称为线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。知识链：线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量

注了解线性代数5/24/20237大学数学学什么？怎样学？数学教育本质上是一种素质教育----中国科学院院士李大潜通过数学的训练，可以使学生树立明确的数量观念，“胸中有数”，认真地注意事物的数量方面及其变化规律。

怎样做为什么这样做不这样做可以吗How?Why?Otherways?

注未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样学习的人---AlvinToffler(America)了解线性代数5/24/20238了解线性代数《数学概观》:“如果不熟悉线性代数的概念，如线性性质、向量、线性空间、矩阵等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至学习社会科学也是如此”。---瑞典数学家LarsGarding5/24/20239参考资料：《线性代数》同济大学第四版《线性代数五讲》龚昇编著

《数学概观》、《数学拾遗》Thomas

A.

Garrity

《高等代数教程-习题集》王萼芳编清华大学出版社了解线性代数5/24/202310参考资料：/view/33eeb2bc1a37f111f1855b82.html线性代数的本质-心得/view/a8b3c5325a8102d276a22fd3.html原来线性代数很简单-生动形象/jiaogai/xxds4/UploadFiles/201082418582661.ppt#357,2

线性方程组在各学科各知识点的应用了解线性代数5/24/202311

话说很久以前，有群吃饱饭没事干的数学家正在研究方程组，其中有一个特别吃得饱的突然对大伙说：“兄弟，不觉得写一堆方程式然后一个一个的代入消元太麻烦了吗？特别是浪费纸！”其他人点头称是，于是大家研究一番，发现如果把方程组的系数提出来计算更加的省纸，于是行列式诞生了！并且得出了克拉默法则！真是“吃饱了撑得”线性代数的诞生故事是这样发生的……5/24/202312如果方程组的个数很少，是不能构成行列式的（行列式一定是方阵）。于是又有一个人提出了矩阵，利用符号表示没有任何关系的系数，并得到了矩阵的秩的概念，利用它就可以讨论方程组解的情况了！

从此一场数学界的思想革命开始了！矩阵的出现方便了求解线性方程组，但是那群数学家非常不甘心，“连个小牛顿都能有万有引力，咱们得努力一下，弄个像样的数学工具！”一个数学家说！于是他们又想到了把线性方程组用有序的数列来表示，这样向量诞生了。。。线性代数的诞生5/24/202313原来这些数学家在想办法利用秩的概念讨论线性关系找到多余的方程把它去掉，剩下的才是值得分析的方程组，原来在省纸。线性代数的发展知识链：线性方程组--->行列式--->矩阵(秩)

--->向量--->向量空间5/24/202314如图给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。计算该网络的车流量。引例

交通流问题5/24/202315由引例交通涌流问嘱题网络流量假设，有对于节点A：对于节点B：对于节点C：对于节点D：对于节点E：问题差归结犯为如糟下线茄性方孙程组地的求律解（有违解还咽是无唇解）束：5/诊18雕/2宋02既316线性诞方程浸组的饲解法Sy殖st饿em太o权f鼻Li消ne挤ar材E狡qu坟at际io耐ns第一鄙章线性烛方程可组的删消元石法矩阵轨及其纽奉初等杨行变券换应用左举例5/猎18旷/2听02蛾317第一精节线性管方程陵组的益消元驰法5/雀18抽/2安02顿318公元再前1世纪,《九章算算术》:初等行变重换,相当淋于高杯斯消畏元法17世纪待后期,德国银数学早家莱布碑尼茨:含两缝个未佩知量绝三个爽方程忍的线辈性组18世纪腔上半吃叶,英国夫数学串家麦克桶劳林:具有乌二、漫三、姑四个识未知蛙量的半线性栋方程添组得到拴了现灯在称友为克拉凑默法云则的结贷果瑞士性数学尤家克拉僚默不久厕也发概表了熟这个何法则了解拣：关视于线辽性方捧程组5/知18围/2保02描31918世纪饥下半麦叶，汁法国分数学五家贝祖:对线较性方害程组巴理论古进行凝了一届系列皇研究证明尿了n元齐渣次线炒性方话程组有非桥零解社的条学件是系数罚行列返式等腾于零19世纪照，英桶国数睬学家史密匙斯和道奇此森:前者映引进疫了方社程组煮的增广睁矩阵的概演念后者扮证明摄了n个未酸知数m个方秘程的疏方程柴组相容的充颈要条含件是矮系数咱矩阵佩和增惧广矩市阵的秩相同了解熄：关灯于线器性方码程组5/清18别/2论02耍3201、基坑本概价念线性农方程如：设效为惕实未疼知量痛，床为实聪数，n录m抚k士l为正这整数,线性薯方程宜组：线性衡方程肝组的痛解、勾相容co背ns撕is后te叨nt、不嘉相容叛、解耕集、券通解(一般文解)、同非解（哈等价骡）方劲程组5/喇18爪/2南02你321Ga缺us表s消元菜法（Ga软us挪s~饱me痒th低od）a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21当a11a22a12a210时,x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.具体汇实例必见P3例25/肉18围/2刘02竖3222x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2

x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1

x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=2

2(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0

1/债21对换霞变换(s碍wa盼pp魂in舒g)倍乘参变换(r排es亩ca认li松ng铸)倍加叹变换(p湖iv砖ot滩in丙g)阶梯猜形方他程组(e靠ch吼el秋on齐f辆or晌m)2、Ga夸us盾s消元梯法实罢例统称俊为：互同解幕变换5/权18捧/2藏02悟323x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0

x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0阶梯仇形(ec咬he垫lo抱n石fo竖rm)(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最简杨形(re牵du山ce歌d良ec但he布lo茅n语fo若rm)或写筑成向添量形领式由此很可得筐原方住程组造的通解(ge葵ne射ra教l秒so浩lu才ti燥on)x=5c+12c2c

,其中c为任死意数.2、Ga石us吐s消元僚法实技例5/就18培/2俭02屡324(1彻)线性为方程旧组的藏初等伯变换对换杏变换(s烂wa丝式pp照in收g)倍乘室变换(r落es勇ca秋li千ng锅)倍加馅变换(p熔iv线ot叠in挠g)注:倍乘变换必须用非零的数去乘某一个方程3、Ga针us肺s消元靠法实滴例小偶结5/感18绸/2天02鸦325(2役)阶梯封形线育性方确程组督的有嫌三中筛基本较类型.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1

x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5

x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3

例如:leadingvariables

freevariables

3、Ga匠us铸s消元均法实妄例小璃结无解有唯袄一解有无墙数解5/姜18会/2顶02撞326(3矩)阶梯童阵的炮形状膊与线闲性方意程组厘的解.引入须矩阵2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1

x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5

x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0无解有唯兆一解有无历数解2

3

41

021

200012

128

021

1001512

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0014300000解的遇数目5/筑18颈/2糠02案3272x13x2+4x3=4

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2

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2(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0

1/筛21注：易解只跳与相建应的辈系数邀和右卫边常党数有界关，凭故可吗用矩阵表示播如下-2-344

12-1-322-6-212-1-3

-2-34

411-3-15/东18碑/2忙02藏328第二吹节矩阵搬及其缎初等弟行变取换5/液18域/2蒜02蹈329“矩阵(ma烟tr蚀ix)”这个词首猴先是恰英国罩数学厨家西尔耽维斯盐特使用雪的.他为兰了将泪数字脸的矩袜形阵列宽区别钟于行蜜列剂式(de温te镰rm卸in挠an廉t)而发写明了这乓个述舞语.Ja纲me胖s些Jo耳se炎phSy翠lv缓es彻te隶r(18比14阀.9铜.3~18厅97权.3巧.1郊5)一、娱关于久矩阵社的历萝史5/惨18国/2秆02斑330英国喜数学个家凯莱被公替认为痕是矩烟阵论的阔创立钩者.他首饮先把橡矩阵价作为一个马独立姿的数排学概念,并发抹表了宋一系列关缴于这纪个题而目的文章.Arthur

Cayley(1821.8.16~1895.1.26)

一、睁关于纲矩阵野的历凤史5/展18稿/2证02味331二、泉实例例1.四个胶城市知间的括单向骡航线宗如图粉所示.1423用aij表示窝从i市到j市航寻线的滚条数,则上焦图信佣息可澡表示营为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44即

0111100001001010

5/由18抖/2像02茎332例2.线性梦方程岔组的绞一般客形式迅为如果恋把未变知量韵的系隙数按勇其原讲来的贿相对狸位置始排成泛一个矩形忧的样倦子，第则为仗一个弹矩阵鼻。系数筋矩阵增广亚矩阵二、干实例5/肾18标/2防02照333三.矩阵京的定糊义1.mn矩阵元素aij(1im,嘴1jn)行(row)

列(column)

5/扇18争/2算02吃334De陪f.2.绒1由

个数

排成m行n列的熄数表称为

m行

n列矩阵，简称矩阵。No熔te明:1、前姿行后便列；2、与仅行列画式的逗区别

这

个数称为矩阵

A的元素，称为矩阵

A

的第

i行、第

j列元素。（实矩阵、复矩阵）

简记同型莲矩阵夺：矩抓阵的边行数锄相等席，列然数也带相等注三.矩阵谢的定捡义5/科18唉/2逢02卧335如果街与足是同灿型矩魂阵，客且,称矩纯阵A与B相等春，记封为A=示B相等厅的必驰要条值件是盾同型常见蜘的特聋殊矩夹阵：1、列糖矩阵肃：2、行捆矩阵法：3、零狮矩阵且：O4、方乘阵魂（n阶方戏阵）伸：对角善线（吨对角姜线）5/膏18盖/2忽02关3365、上叮三角锄形矩榆阵（柱上三岔角阵镇）在n阶方慌阵中志，rik=求0其中i>k.6、下爱三角丢形矩见阵（琴下三阵角阵育）在n阶方害阵中折，lik=恨0其中i<k.5/积18栗/2事02蔬3377、对带角阵有：8、数旷量矩其阵：9、单乖位矩法阵：的数铃量矩终阵记作En简记ENo率te:5拼~当9概念词的前宿提是考方阵悲。5/误18宽/2恋02牢338四、员矩阵红表示们举例雄：Ex肝am便pl静e3婚姻扒问题(ma朗tc交hi蓝ng够p见ro宰bl六em)女儿追求谈者ABCEDF327151042628如何给嫁娶促，使获嫩得的僚礼品仅最多结？7DEF5/或18催/2案02洁339“锤炒子，悟剪刀绞，布惨”的贴游戏坦，也零是一弯种矩鹿阵对逢策。慰如果若约定唐：胜棉者得1分，窗负者朋得-1分，柔平手退得0分，斯而且宏双方蚕的策倡略都革按锤史子，制剪刀公，布驾的顺酿序。锤子疼剪变刀布锤盘剪笑布策略简化脖后某灿一方唤的赢得残矩阵腊为：Ex狠am俱pl糠e4：赢得列矩阵四、婆矩阵这表示坟举例屠：5/陡18瓜/2朵02榨340思考（赢得采矩阵）（这苦是对脚策论软的问讯题）我国徒古代智有“套齐王派赛马听”的镇事例沫，战释国时蚕代齐嚼王与伏其大将涝田忌消赛马只，双眯方约模定各谜出上都、中商、下3个等摔级的宫马各一错匹进励行比而赛，歪共赛密马3次，猾每次富比赛止的败手者付门给胜者千应金已脸知.在同叨一等葡级的比赛爸中，店齐王壁之马何可稳智操胜券爬，但尝田忌晶的上勾、中荷等级的机马分搜别可收胜齐魔王的娃中、下等炕级的回马.齐王谅与田较忌在砌排列岭赛马校出场砖顺序戒时，胜各可拼取下曲列6种策咽略之突一：1六(上、别中、就下)福2慕(中、接上、亏下)3摸(下、足中、出上)两4阵(上、始下、杠中)5化(中、厉下、播上)奸6膊(下、狮上、沉中)则可径得齐登王的赢得秧矩阵小：5/隙18筝/2工02赚341说明紫：对策程论——研究病冲突撤对抗饱条件麦下最骂优决盖策问副题的亚理论对策山也称像博弈（Ga禁me）,是自堵古以春来的尊政治服家、兔军事家眯（现服在更灵多的援是经用济学铅家）悔关注谋研究酬的问近题.作为一门葡学科猛是20世纪40年代远形成亮并发浩展起驴来的.冲1口94屯4年冯.诺依至曼(Vo棉n盗Ne筐um抗an活n)与摩闻根斯夺特(O.滴Mo舌rg申en隐st组er竟n)合作志出版初了《博弈乱论与龄经济杰行为》一书充，标令志着欺现代狡系统博夕弈理设论的朴初步杯形成.20世纪50年代景，纳园什(Na作sh)建立获了非勤合作激博弈哗的“纳什惑均衡”理论烫，标亚志着白博弈伍的新狡时代滚开始拜，是齐纳什砍在经济些博弈适论领带域划杠时代菊的贡适献，德是继战冯.诺依医曼之亦后最伟大糠的博委弈论惹大师跳之一.1恨99炮4年纳惑什获殿得了将诺贝僻尔经哑济学奖.5/痒18桂/2输02岩342对策场论的幅例：囚犯茂的两炉难处开境

坦白抵赖坦白5，50.5，20抵赖20，0.51，1一位概富翁凯在家旧中被旺杀，黄财物斥被盗陪。警方逝抓到吧两个求犯罪建嫌疑省人，次并从凳他们索的住处洪搜出预被害尸人家扭中丢匀失的天财物甚。但碎是，他们颂矢口肉否认怪曾杀描过人商，辩堡称是的先发炒现富利翁被漂杀，侵然后膜只是贩顺手牵雹羊偷冈了点池儿东荐西。掀于是彩警方忆将两房诚人隔役离，回分别驱关在判不同目的房间吵进行帝审讯橡。由功地方护检察傍官分易别和巴每个惠人单搜独谈胜话。塔检察悲官给出途了上叫表的纸政策任，囚使犯该保怎么提办呢萌？他善们面挎临着驰两难瞎的选崇择——坦白卵或抵感赖。结果过：两主人都托选择亿了坦议白，树各被势判刑5年。殊这个邻结局被忆称为育“纳绝什均牙衡”挺也称喂非合看作均拨衡。5/郑18钥/2王02盏343“纳疲什均结衡”喝对亚煌当·斯密滤的“束看不言见的之手”胸的原衰理提武出挑战俗。按盟照斯殃密的脏理论盾，在采市场危经济存中，促每一摘个人征都从利己的目自的出与发，毯而最验终全劳社会乎达到利他的效灯果。炕从“纳仰什均搅衡”际我们掏引出则了“军看不胳见的恐手”炼的原复理的蛾一个竹悖论：讽从利炸己目辽的出艰发，即结果禽损人档不利息己，衫既不浪利己叠也不利他哈。“灵纳什捏均衡健”提蝴出的爬悖论殖实际偿上动抢摇了详西方位经济惨学的基榴石.对策嫂论的允例5/挑18男/2右02记344§2矩阵只及其手初等千行变援换五、袖矩阵旨的初舱等行岭变换De膏fi席ni茶ti叼on2设A是m×龟n矩阵套，下颠面三伐种变换称水为矩振阵的谊初等帅行变瓣换：（1）交换A的第i行和第j行的位置，记为；（2）用非零常数

k

乘以

A

的第i行各元素，记为（3）将A

的第i行各元素的k倍加到第j行对应元素，记为注意港记号行ro浙w5/轧18箭/2仁02换345第一章绍线性纷方程卖组的牌解法De谎fi适ni维ti厚on3

若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B

行等价，记作.例如杀：用消浩元法刘求解缘瑞线性刮方程荐组可通述过对促增广杏矩阵童初等拉行变东换得想到.即代入到即得x1=疼2，x2=爽3伤.即不是拘等号5/惧18蹲/2剩02孟346再如理：用消记元法经求解敢线性蚂方程甜组5/拨18餐/2盯02控347第一章越线性信方程坛组的武解法解：（消去酬法化冶简）①②③④①②③④①②③÷2①②③④②-2①③-2①④-3①③+2④③④+③③+3②③÷14④-3③结论怀：该卖方程型组有擦解，滨且有谣无穷挎多解.同解昂变换梢：1、交素换方喷程次樱序；2、用以一个闪非零艇数乘悦某个糊方程捕；3、将梢一个希方程滥的k倍加茧到另色一个松方程抛上.②-5③①-③自由炕未知洲量令x3=k（k为任柄意常遵数）遍得：实际朝给了3个方跌程①-②

5/兴18解/2泳02偿348再看评刚才的求衰解过萄程:称为纤行阶绝梯形填矩阵行阶梯形矩阵:

如果矩阵中全为零的行在矩阵的下方,且非零行的第一个非零元素的列标随行标的递增而严格增加化行船阶梯踩形矩榆阵即为盐消元扛过程方程载组是子否有被解由散此判析断对应客的同云解方郊程组窜为：5/胜18局/2进02货349称为梅行最逝简形毛矩阵行最简形矩阵:

如果矩阵是一行阶梯形矩阵,且非