第六章用有限元法解平面问题童中华

弹性力学主讲：童中华安徽工业大学《弹性力学简明教程》第四版徐芝纶作业概况缺作业：土111孙震(缺第4次),土111沈恩鑫(1,2)

,土111张松鹤(1,2,3,4?);土112陈建军(4),土112张文博(4),土112周子明(1,2,4);113杨俊平(4),土114李杰(1,2,4),土114刘洋(4),土114王宁(4),土114翁世强(4),土114韦林辉(4);土115杨帅(1,4)土115张建(1),土115张洋(4);缺第5次作业或无效：土111张松鹤,土112陈建军,土112葛帅帅,土112黄燕,土112张文博,土114李杰,土114刘洋,土114任乾顺,土114王宁,土114翁世强土115陈彪,土115程昀,土115黄健,土115黄亮,土115夏伟胜,土115杨帅,土115张建,土115张洋得A：土112夏娟,土112夏文静,土113高伟利,土113刘剑珲,土113申文静,土113高智,土114孙丹丹,土114左嫚嫚,土115罗微微,土115吴琦【习题4-1】试考察应力函数能解决图示弹性体的何种受力问题。（必做题，带学号）aaxyo习题图4-1习题4-1作业点评图中其中M为学号末位数+3，N=Mod(M,2)+1，即N为M对2取余再加1，如学号末位数为9，则得M=12,N=1。解：（1）将应力函数代入相容方程，得满足aaxyo习题图4-1习题4-1作业点评（2）求解应力分量，得aaxyo习题4-1作业点评习题图4-1（3）求边界上的面力，得aaxyo边界上的面力分布如右图所示。习题4-1作业点评习题图4-1（3）求边界上的面力，得aaxyo边界上的面力分布如右图所示。习题4-1作业点评习题图4-1§5+上一讲回顾弹性体总的形变势能为【位移变分方程】在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。【位移变分法】第六章用有限单元法解平面问题§6+

有限元法及软件介绍§6-1

基本量及基本方程的矩阵表示§6-2

有限单元法的概念§6-3

单元的位移模式与解答的收敛性§6+有限元法及软件介绍弹性力学问题的解法解析方法：无穷小单元满足平衡微分方程、相容方程，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在连续体上的偏微分方程问题。有限元法：有限大单元满足平衡方程、临近单元位移连续，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在有限多个单元上的代数方程问题。有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，将问题转化为适合数值解法的结构型问题的求解方法。在固体力学、流体力学、传热学等领域皆有广泛的应用。§6+有限元法及软件介绍结力研究对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图a）。有限元法研究对象是连续体（待离散化）（图b）。结构力学结构和有限元法结构的比较将连续体变换为离散化结构（图c）：将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用铰连结起来，构成所谓‘离散化结构’。图（c）与图（a）相比：两者都是离散化结构；区别是：(a)的单元是杆件，(c)的单元是三角形块体（内部仍是连续体）。§6+有限元法及软件介绍§6+有限元法及软件介绍有限元法基本思路（按位移求解）1.将连续体划分成离散化的单元结构体；2.设结点位移为基本未知量，按弹性力学方法对单元进行力学分析，将所有物理量和方程用结点位移表示；3.列结点的平衡方程，将单元装配成整体，得到整体结构所要满足的平衡方程，未知量为结点位移；4.求解所有结点的位移，计算待求物理量，如关键点的应力，区域平均应力水平，结构变形图等。（1）具有通用性和灵活性。（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。§6+有限元法及软件介绍有限元法(FiniteElementMethod)的特点FEM的两种主要导出方法:结力法和变分法。本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位移求解的方法。采用矩阵表示，可使公式统一、简洁，且便于编制程序。§6+有限元法及软件介绍常见有限元法软件【ANSYS】通用商用软件，适用范围广，前后处理模块完备，人机交互友好，容易上手，参考书多如牛毛。提供参数化设计语言（ANSYSParameterDesignLanguage)，可以通过脚本语言编程实现ANSYS常规操作，包括输入、输出及设计优化等功能。向所有领域工作者推荐。1.结构静力分析2.结构动力学分析3.结构非线性分析4.动力学分析5.热分析6.电磁场分析7.流体动力学分析8.声场分析9.压电分析缺陷：土木材料的本构关系少。软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块，后处理模块。§6末+有限汗元法并及软惨件介启绍【M筝SC欧.M锻ar砌c】既可旁以像AN廉SY沟S那样否实体再建模吊，也谜可以洗采用革扩展须法建引模；想具有羞极强商的结盼构分唯析能的力和炕非线盟性计们算能剩力。（1）几进乎每帽种单止元都宫具有得处理酷大变施形几虾何非算线性,材料议非线俭性和结边界珍条件胆非线现性以番及组鹊合的煎高度窝非线阀性的系超强陶能力禾。（2）MA絮RC的结后构分匀析材暑料库墨提供截了模最拟金妹属、赠非金冰属、敏聚合竿物、雕岩土窝、复撇合材培料等币多种杰线性虽和非碍线复蹄杂材亿料行凤为的颂材料插模型慕。（3）收羞敛速青度快宗，大态概比AN叫SY束S快5～6倍；计算归土和添水的窃功能计很强不，提牺供了浓土的鞋摩尔誓－库遭仑模俗型（劲线性偶和非叼线性哈）、饼修正便邓肯匪－张浓模型肌和修僚正剑涂桥模舰型；阻计算营混凝谨土的著功能淹不够摊强；辉摩擦奇分析底能力秆不强混；参考巷书较浴少。向土福木专衣业推佳荐§6菠+有限迅元法墨及软棵件介雾绍【A期DI悬NA判】建模来方便闭；非盈线性知计算膊能力窜强，丽收敛牵速度葱和ma楼rc差不英多；羞没有抹前后甩处理砖，但有源语代码，适倘合二话次开灯发。计算璃土和给水的乳功能葵不如Ma撒rc；计塑算混静凝土谢的功叫能比Ma票rc强；向摩擦帐分析烘效果甚比Ma薯rc好。参考仅书较较少。向搞FE惧M软件论开发趣工作绕者推幼荐【A司BA忌QU望S】被广哨泛地去认为练是功惧能最拒强的倾有限久元软泉件，训可以贵分析谊复杂戚的固辆体力应学结陪构力斩学系练统，禾特别帐是能蜡够驾团驭非犬常庞园大复计杂的革问题颂和模驴拟高然度非稿线性摆问题泄。AB凯AQ绸US不但绍可以糟做单笋一零属件的础力学犹和多双物理聚场的愉分析咐，同燃时还提可以皂做系演统级良的分络析和感研究胀。参考舰书较治少。向资白深FE这M工作柿者推喉荐§6于-1基本阶量及椅基本认方程缝的矩乌阵表尤示体力面力应力应变位移几何罢方程§6商-1基本梦量及戴基本厌方程猎的矩便阵表具示物理方程其中D为弹蜓性矩岂阵，屠对于臭平面服应力窜问题崭是§6烧-1基本驾量及紫基本纷方程铃的矩昼阵表霸示ij虚功台方程药：外力在虚拦位移叮上的虚功愤等于确应力在虚梢应变动上的皆虚功有限谷元中稀将各哈种外坡力以颤作用分于结宝点上焰的等涨效集咱中力军代替蚊，用结点痛的平巡寿衡方踢程代扶替平餐衡微把分方厅程。劲结点纪上的左集中信力和分相应炊的虚吹位移如可表叙示为板的掘厚度傅取单完位长碍度1§6溜-2有限犹单元地法的题概念三角朴形单翅元：讲三角何板或钻三棱界柱大多纠在顶宁点设馅置结岩点，练一个掉单元驴有3个结搂点。有时际在三门边的泼中点夕设置贱结点柱，成粮为六刘结点赏三角偷形单缺元。结点哥一般姨都作擦铰结铁。单栏元上胖受到芒的体猫力和哲面力检都按麻静力钱等效咬移置损到结准点上涝，成疫为结灶点载木荷。将单与元受差力移引置到月结点形上。单元侄为三文角形彻的连门续体窝，在泊结点页处受建到结安点力磁作用躺，发踢生变四形，耳在结搂点处称产生匪结点济位移盲。§6龄-2有限舰单元终法的买概念按位睬移求愚解三尺角形拍单元弹的步凉骤1.取三典角形就单元兼的结点闲位移为基妥本未之知量氏，即de称为聋单元震的结点剃位移叹列阵。2.应用绞插值列公式乖，由法结点槽位移逃求出捞单元允的位请移函蜂数插值堵公式窗表示列单元杀中的搞位移殃分布杏形式碑，称坦为位移轧模式叮。形函攻数矩陶阵§6鸦-2有限撕单元秃法的望概念3.应用厘几何嫁方程乖，由私单元痛的位毯移函林数求涌出单找元的做应变4.应用驻物理丈方程监，由垒单元启的应毛变求舅出单咳元的瓶应力5.应用巷虚功桌方程拾，由序单元地的应驱力求沙出单局元的漆结点伐力应力冷转换赵矩阵单元日劲度勿矩阵应变聋转换广矩阵§6构-2有限裙单元酬法的因概念6.应用肉虚功筝方程为，将庆单元拦中的刻各种赏外力扭荷载听向结很点移慨置，鲁化为结点籍荷载，求稀出单额元的竟结点复荷载淡为7a绵.结点俭对单骄元的故作用住力为伯以吧坐标状正向牢为正言，则随单元副对结醉点的态反作层用力浪为装配亦三角仇形单贱元（列鉴结点怠平衡必方程雀）7b时.各结闯点受锻单元泛作用钉力和仍单元丽移置手而来银的结嚷点荷酬载，结点舒平衡壮方程留为§6时-2有限惜单元纸法的咽概念结点铅平衡壮方程黄的分时量形鼓式其中犹表示冲对所跌有环摸绕i结点团的单征元求涨和。式(i运)右边典为已也知的陈结点颈荷载半，左缎边为订结点译力，牛可由玩结点舅位移铸表示召，因偏此可厦得求葬解整西体结亚点位贞移的厉矩阵愤方程整体督劲度肃矩阵整体贡结点富位移虎列阵整体偿结点刷荷载拥列阵§6睬-3单元堆的位耐移模汪式与吵解答悬的收岗敛性§6岗-3单元街的位狂移模锅式与促解答值的收轻敛性§6散-4单元粗的应柿变列巷阵和禁应力这列阵§6加-5单元躬的结斤点力更列阵朵与劲炸度矩督阵§6怜-6荷载从向结乌点移身置、略单元上的结碎点荷宵载列萍阵§6企-7结构逆的整绞体分犁析、赌结点寺平衡武方程有限枪元分羞析详历细步辅骤§6言-3单元拢的位趋移模增式与亲解答编的收偏敛性每个盲单元贝仍然悠作为疼一个县连续镇的、陈均匀捐的、拥各向正同性稳的弹搁性体魔，相肺邻单者元有骑公共座结点添和公恒共边赶。解题首要种问题置：单药元的反结点谅位移幼→位姜移函数揉。假定恢位移顿模式芦，表饺示单送元中气的位应移函池数。假定偶位移凶分量描是坐闷标的授线性杜函数破，三角恒形单叫元的色位移义模式，可掩取为插值伯公式(a搭)在三个结点少上应飘等于吓结点轻的位夹移值烛，由毒此可患求出6个待伶定系靠数a1~a6§6眠-3单元拨的位缝移模竖式与屑解答巩的收茧敛性用插堆值公协式表秒示结绸点的菊位移萌，得§6宋-3单元押的位粥移模昏式与厅解答非的收衰敛性Ni是i点(xi,yi)函数训值对(x隶,y珠)点函脉数值保的贡卷献加流权。计算余面积A及Ai时以运顶点筒按逆述时针玩排列颜得到售的面迅积为提正。Ni,娱Nj,名Nm称为形(态)函数，也售称为面积浸坐标。§6始-3单元举的位宏移模掠式与抗解答扇的收疫敛性形函亡数Ni(x老,y因)的分善布规衫律位移武函数u(x轿,y皆)的分废布规免律位移毕函数v(x偶,y熄)的分炸布规傲律§6之-3单元蹈的位巾移模晓式与错解答秃的收欺敛性位移纱分量玻用矩弯阵表循示为形函搏数矩炮阵§6户-3单元寄的位继移模盐式与叫解答办的收堂敛性当单初元很蹲小时却，单元甲中的橡位移福和应扛变都槽趋近百于常启量—则—刚贫体位债移和育常量风应变畅，因鞠此位移矛模式必须能反团映单谎元的刚体奏位移峰。位移晨主要狱来自视于其导他单迅元连丢动，莲受本统单元着形变虾影响例较小殊。位移俩模式必须能反凝映单播元的常量帜应变无。单元洞内应骑变变籍化较爸小，孝主要迎部分琴为常粒量应炊变。位移恩模式应尽学可能反映位移镇的连内续性厌。相邻庙单元在公捉共结谊点和封公共绞边上展的位亚移应缘瑞保持备一致证。位移饿模式顾必须跌反映恶弹性帽体的嚷真实扰位移砌形态是有逝限元盟法在舌单元剥尺寸