第讲双层规划

双层规划及其应用

Bi-LevelProgramming

最为常见且得到广泛研究与应用的多层规划是双层规划问题，即考虑只有两层决策者的情形。这是因为现实的决策系统大都可以看成双层决策。

例如：中央和地方，公司和子公司，工厂的厂部和车间，高校的校部和院所等。实际上任何多层决策系统都是一系列双层决策系统的复合。

双层规划：双层规划是双层决策问题的数学模型，它是一种具有双层递阶结构的系统优化问题，上下层问题都有各自的目标函数和约束条件。上层问题的目标函数和约束条件不仅与上层决策变量有关，而且还依赖于下层问题的最优解，而下层问题的最优解又受上层决策变量的影响。

二、双层规划的特点双层规划问题一般具有如下几大特点：层次性——系统分层管理，下层服从上层，但下层有相对的自主权（举例说明）。独立性——各层决策者各自控制一部分决策变量，以优化各自的目标（举例说明）。冲突性——各层决策者有各自不同的目标，且这些目标往往是相互矛盾的（举例说明）。

优先性——上层决策者优先做出决策，下层决策者在优化自己的目标而选择策略时，不能改变上层的决策（举例说明）。自主性——上层的决策可能影响下层的行为，因而部分地影响下层目标的实现，但上层不能完全控制下层的选择行为，在上层决策允许范围内，下层有自主决策权（举例说明）。

制约性——下层的决策不但决定着自身目标的实现，而且也影响上层目标的实现，因此上层在选择策略优化自己的目标时，必须考虑到下层可能采取的策略对自己的不利影响（举例说明）。依赖性——各层决策者的容许策略集通常是不可分离的，形成一个相关联的整体（举例说明）。

三、双层规划模型的基本形式其中由下述规划求得（U）（L）上层决策者通过设置的值影响下层决策者。下层决策变量是上层决策变量的函数，即,这个函数一般被称为反应函数。

一般来说，双层规划模型具有如下形式

与一般的数学规划不同，即使当和都是连续函数，并且上下层的约束集合是有界闭的，双层规划也可能没有最优解。假设上层选择了点，那么下层面临的是以为参数的简单最小值最优化问题。在有些情况下，对固定的，下层对应的最优问题可能包含不止一个最优解。什么情况下会有这种问题？？

如：如果所有的函数都是线性的，很可能当固定的下层问题的所有最优解组成一个集，这意味着中的任何一点对下层是无差别的，但对上层的目标函数可能会有差别。上层最优解可能只在中某个特定点上达到，但是没有办法使下层更愿意选择该点。

线性，就是指y=ax+b这种形式，往往指的就是一次。线性问题，往往是比较“良好”的问题，因为它们形式简单，易求解。如果有误差，因为是线性的缘故也比较容易估计。常见的线性问题有匀速直线运动、商品折扣等。非线性，就是指并非一次的其他情况。

双层规划分类

线性双层规划：所有目标函数和约束全为线性函数非线性双层规划：上下层目标函数和约束中至少有一个非线性函数相应的有整数线性双层规划、整数非线性双层规划等

求解双层规划问题是非常困难的。

原因:

双层规划问题是一个NP-hard

（non-deterministicpolynomial，缩写NP）问题。双层规划的非凸性。四、双层规划计算的复杂性即使能找出双层问题的解，通常也只可能是局部最优解而非全局最优解。？NP-hard，其中的NP是指非确定性多项式（non-deterministicpolynomial，缩写NP）。所谓的非确定性是指，可用一定数量的运算去解决多项式时间内可解决的问题。NP问题通俗来说是其解的正确性能够被“很容易检查”的问题，这里“很容易检查”指的是存在一个多项式检查算法。例如，著名的推销员旅行问题（TravelSalemanProblemorTSP）：假设一个推销员需要从香港出发，经过广州，北京，上海，…，等n个城市，最后返回香港。任意两个城市之间都有飞机直达，但票价不等。假设公司只给报销C元钱，问是否存在一个行程安排，使得他能遍历所有城市，而且总的路费小于C？推销员旅行问题显然是NP的。因为如果你任意给出一个行程安排，可以很容易算出旅行总开销。但是，要想知道一条总路费小于C的行程是否存在，在最坏情况下，必须检查所有可能的旅行安排！这将是个天文数字。旅行推销员问题是数学图论中最著名的问题之一，即“已给一个n个点的完全图，每条边都有一个长度，求总长度最短的经过每个顶点正好一次的封闭回路”。Edmonds，Cook和Karp等人发现，这批难题有一个值得注意的性质，对其中一个问题存在有效算法时，每个问题都会有有效算法。迄今为止，这类问题中没有一个找到有效算法。倾向于接受NP完全问题（NP-Complet或NPC）和NP难题（NP-Hard或NPH）不存在有效算法这一猜想，认为这类问题的大型实例不能用精确算法求解，必须寻求这类问题的有效的近似算法。此类问题中，经典的还有子集和问题；Hamilton回路问题问题东的复藏杂性：是镜指这词个问股题本污身的横复杂谷程度嫂，是睛问题声的性羊质。算法毫的复扣杂性：是耕指解充决问牧题的饿一个肠具体膜的算孝法的矛执行援时间应，是娱算法件的性颤质。问题—抽象—简化捐判定暴性问扭题四、培双层价规划惨计算睛的复残杂性只需刮回答ye摄s恶or航n龟o例如采：求从A到B的最总短路姜径，可转讨化成崭：从A到B是否塘有长唱度为1的路驶径？傍从A到B是否曾有长代度为2的路改径？…，从A到B是否收有长乔度为k的路春径？就如果皆问到嫩了k的时员候回缸答了ye料s，则彩停止轧发问施，我讯们可扔以说蠢从A到B的最窜短路很径就桥是k。四、陪双层堵规划酸计算土的复松杂性四、必双层未规划渗计算被的复航杂性(a躁)(b奶)(c抚)(d难)(e馅)定义:若函暑数图许形上任意唐两点的连敬线段财必在鄙函数剖图形们的上冈方(下方)，则萌称该痰函数牺为凸晌函数(凹函舟数)。数学妄表达梨式定学义为：忍函数f(抚X)，对感任意旁不相洞等的X1，X2∈(版a,瓦b)映,以及λ∈可(0敬,歼1)，有f[遭λX1+(妄1-吼λ)需X2]≤瞒λf厚(X1)+峡(1们-λ的)f逢(X2)怠,则f(缺x)称作冲凸函肺数。四、谜双层铺规划泪计算悉的复眠杂性其中逃由下森述规腔划求赵得（U）（L）第一种情况：如果下列双层规划的最优解为第二熟种情宫况：如果掀上层毕决策给者控炸制所创有变杨量，潜双层尖规划幼变为设其最优解为其中第三渴种情档况：如果放上下闹层决缸策者鼓分别纲独立的控制票各自即的决灶策变勉量，铲双层勤规划咐变为设其最优解为那么键有下闭式存么在：有下躲式存哄在：除双层规划外，后两种情况都是求单层规划，较容易，因此可不直接求双层规划，而直接求后两类单层规划，然后尽量减小与，与之间的差异。其中波解对上友述问脏题，巩当妹时汤，由霸，得月。呼当取航时，曲下层译问题龟的最摘优目词标函殖数值拌，但叔下层斩问题妥的最楼优解识不唯乳一，部满足蚂，显主然这得对上渠层目鄙标函劳数库产生速影响广。当抖时牺，筝；羊当域时，圣。上述朵例子导说明气：当上层给定气一个倘允许愿决策举后，微如果下层问题缩慧的最终优解巾不唯坚一，致将导督致整仁个求豆解的唇复杂谅性，刊甚至失无法婚保证威能求段得问赤题的最优描解。☆在交砖通领苹域中淋的应仗用☆在管辨理中店的应办用☆资源张分配☆价格科问题☆供应枝链管糖理☆生产切计划☆其它透方面五、打双层回规划成的应药用六、鸡双层调规划叛求解舱算法一、请极点卸搜索示法（Ex蔽tr区em搬e坊Po船in绑t借Se据ar地ch惜M非et团ho佛d）：用于龄求解佩双层增线性险规划忘。基本耗观点畏：双层曲线性埋规划拣问题喂的任亭何解荣都出祸现在斥下层完问题绝的约楼束集绢合的救极点汽位置考。因胶此，芳首先嗓可以恢利用或各种陶方法底来寻痒找约显束空搏间的极点（不货要求浪寻找球全部捎极点躁），励然后来从中吉再找括出双拳层问诸题的局部脖最优毅解或印全局准最优托解。二、乘下降量法（De搂sc雾en捞t悼Me召th站od）船：主要型用于生求解挣非线班性连绪续变患量的遗双层近规划洞问题最具嘉代表贞性的纹下降刘算法添：基抓于灵峡敏度治分析扑的求联解算脚法。三、K-选T法（Ka建ru沃sh旗-K放uh里n-滋Tu秆ck内er蛮M亩et接ho颈d）：这种串方法践将双居层问披题中既的下浑层问需题用翠它的Ka月ru诸sh竖-K拢uh榨n-牲Tu老ck均er条件酸代替浴，主末要用煌于求鲁解双庸层线截性规迫划问奋题，具最初录用于仆求解陶双层她线性夸资源橡控制凡问题脑。四、填直接引搜索旗法（Di群re捷ct挂S随ea扭rc劫h继Me石th地od）骨：直接际使目件标函屋数最刚小的朝方法脆，如Ab园du溪la亦al和Le固Bl怀an盒c（19再79）使酒用的Ho照ok闭e-继Je氏ev电es搜索评法就说属于欲此类炎，在焦搜索悲解的撑过程弃中，钻这种贵方法免取决郊于上石层目锈标函符数值晃的变艺化。五、瓦非数骆值优节化方灶法（No植n-迟nu亿me明ri井ca阻l考op殿ti泉mi轨za岭ti岂on）这类醒方法离主要竹包括导模拟栽退火浸、遗狱传算照法和吓蚁群执算法沙等。这种祸非数源值优耽化方钞法目锤前主要椒用来区求解漂城市慕交通谦连续京平衡迁网络娇设计丹问题惭（Cr俘