应用留数定理计算实变函数定积分

§4.2

应用留数定理

计算实变函数定积分在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需要计算菲涅尔积分；热传导问题中需要计算；阻尼振动问题中需要计算积分等。我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿—莱布尼兹公式计算。可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可以转化为复变函数的环路积分(注意到当积分路径沿实轴时，z=x即对应于实积分)，再利用留数定理，则积分显得方便易求。利用留数定理计算实积分一般可采用如下步骤：(1)添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线；(2)选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数F(z)，使得满足F(x)=f(x)，通常选用F(z)=f(z)，只有少数例外；(3)计算被积函数F(z)在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数，然后求出这些留数之和；(4)计算辅助曲线上函数F(z)的积分值，通常选择辅助线使得积分简单易求，甚至直接为零。设法将实积分与复变函数回路积分相联系。基本思想：(1)补上一段l2，使得l2上的积分容易计算；(2)自变数变换，把l1变成另一复平面上的回路。类型一：条件：

①被积函数是三角函数的有理式；

②区间是[0，2π]

变数代换令z=eix，x∈

[0，2π]，作变换令由留数定理得：zk为f(z)在单位圆内的奇点例1：计算该积分在力学和量子力学中很重要例2：计算

解：令z=eix，则

f(z)有两个2阶极点，

其中在|z|=1内，则z1处的留数为例3：计算

解：令z=eix，则

在|z|=1内，

，以z=ε为一阶极点例4：求的值解：令z=eiθ，则被积函数

在|z|=1内只有单极点

，故类型二：(反常积分)条件：

①区间(-∞，∞)；

②f(z)在实轴上无奇点，在上半平面上除有限个奇点外是解析的；③当z在上半平面和实轴上→∞时，

zf(z)一致地→0若，和为互质多项式，上述条件意味着无实的零点，的次数至少比高两阶。所求积分通常理解为下列极限：若上述极限存在，这一极限便称为

的值。而当R1=R2→∞时极限存在的话，该极限称为积分的主值，记为：

P

上下限相等并同时→∞本类型积分计算的是积分主值，如何计算？作如图所示半圆形回路l只需证明例4：计算

解：=1，

=1+x2，在实轴上无零点，而，具有单极点±i，+i在上半平面，则例5：计算，（n为正整数）

解：∵是偶函数

而在上半平面具有n阶极点+i，则例6：计算解：∵f(x)是偶单函数令z4+a4=0，则z4=-a4，即也就祸是说餐有4个单蛛极点鸦，其中，劳和您在上藏半平源面例7：计算,(a>0,b>0)的值库。解：∵的分讲母多旦项式的次罪数高石于分胁子多愧项式迟次数住两次统，它在上凝半平吧面有z1=ai和z2=bi两个盐单极裤点所以例8：计算的值妇。解：∵为偶观函数州，且克分母饶多项式的也次数贺高于炊分子音多项温式次眠数两雁次，它在应上半欧平面爸有懒和两个拒单极胖点，逃所以类型荣三：条件筹：①F(x)是偶拦函数稿，G(x)是奇畏函数辱，积品分区间喝是[0，∞]；②F(x)，G(x)在实膏轴上巡寿无奇妹点，残在上建半平面悬除有蔑限个洗奇点截外是跳解析精的；③当z在上郑半平灾面或屋实轴炼上→号∞时僻，F(x)和G(x)一致排地→0。要计笨算右扒边的址积分诉，需第要用鞠到约棋当引奖理。约当慕引理如果m为正竞数，CR是以文原点借为圆榜心而妙位于谣上半在平面槽的半栗圆周微，又彻设当z在上歉半平述面及茧实轴钞上→革∞时焦，F(z)一致担地→0，则证明若：当z在上狸半平刷面及炸实轴愤上→因∞时酷，F(z)一致核地→0，所筝以ma嚷x|F(z)|→0，从捷而只渠需证疾明即是有林界的票。在范围侵内，抛有乘，当R→∞纸时，末上式销→有斑限值碗，则泽约当侦引理煎成立业。如果m为负唐数，舒则约叹当引刮理为C'R是CR对于阻实轴活的映椒像。以上臣两式洲均已仙化为饭类型砖二，问其中岛条件3已放贸宽，司由约当忠引理保证牙，所伞以例：色计算(a>0)的值副。解：嫌有碑两个椒单极驶点±ai，其家中ai在上声半平昂面，声则特殊筝情形昨：实放轴上熟有单倍极点半的情匆形条件铃：①f(x)在实降轴上愧