第二章多项式

第二章多项式

2.1一元多项式的定义和运算2.2多项式的整除性2.3多项式的最大公因式2.4多项式的分解2.5重因式2.6多项式函数多项式的根2.7复数和实数域上多项式2.8有理数域上多项式2.9多元多项式2.10对称多项式李桂荣梁超张景晓孙杰课外学习2：从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论课外学习3：代数与代数基本定理的历史课外学习4：推广的余数定理及算法课外学习5：代数元的多项式的共轭因子德州学院数学系代数是搞清楚世界上数量关系的工具。――怀特黑德（1961－1947）当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。--柯普宁(前苏联哲学家)快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。――匿名者

德州学院数学系2.1一元多项式的定义和运算一、内容分布2.1.4多项式的运算二、教学目的

掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.三、重点、难点

一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。2.1.1认识多项式2.1.2相等多项式2.1.3多项式的次数2.1.5多项式加法和乘法的运算规则2.1.6多项式的运算性质德州学院数学系2.1.1认识多项式多项式令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式

这里n是非负整数而

都是R中的数.

一元多项式常用符号

来表示.

注1：在多项式(1)中,叫做零次项或常数项,叫做i次项,

叫做i次项的系数.

2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系数为零的项；若是某一个i次项的系数是1，那么这个系数可以省略不写。德州学院数学系2.1.2相等多项式

定义若是数环R上两个一元多项式,f(x)和g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么f(x)和g(x)就说是相等.

f(x)=g(x)德州学院数学系2.1.3多项式的次数叫做多项式

的最高次项,非负整数n叫做多项式

的次数.记作注：系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式，记为0.

德州学院数学系2.1.4多项式的运算

多项式的加法

给定数环R上两个多项式且m≤n,f(x)和g(x)的加法定义为这里当m<n时，德州学院数学系多项式的乘法

给定数环R上两个多项式f(x)和g(x)的乘法定义为这里德州学院数学系多项式的减法

德州学院数学系2.1.5多项式加法和乘法的运算规则

（1）加法交换律:（2）加法结合律:

（3）乘法交换律:（4）乘法结合律:（5）乘法对加法的分配律:

注意：要把一个多项式按“降幂”书写当

时，

叫做多项式的首项.德州学院数学系2.1.6多项式的运算性质

定理是数环R上两个多项式,并且.那么

（i）当

时,

（ii）

德州学院数学系证:

且

那么（1）

（2）

由（1），的次数显然不超过n，另一方面，，所以由(2)得的次数是n+m.德州学院数学系推论2

证

由得

。但

所以由推论1必有,即

证若是

中有一个是零多项式，那么由多项.若是

那么由上面定理的证明得式乘法定义得

或推论1

德州学院数学系当

是什么数时，多项式

（1）是零多项式？（2）是零次多项式？例德州学院数学系2.盟2多项理式的染整除生性一、霉内容羡分布2.怀2.讲1多项劝式的补整除粘概念2.尼2.脑2多项糠式整叮除性漆的一育些基采本性日质2.触2.择3多项当式的蹄带余思除法摄定理2.萌2.花4系数寇所在品范围床对整没除性漠的影还响二、拴教学取目的1．掌鸣握一追元多矛项式垂整除掌的概狸念及有其性蔬质。2．熟苦练运输用带搜余除吴法。三、汪重点爬、难岭点多项撑式的攻整除演概念毒，带萍余除厚法定乓理德州林学沸院数虑学系2.谈2.肉1多项伟式的铸整除娃概念设F是一册个数皮域.F[x]是F上一唱元多万项式附环.定义1

，如果存在

，使得

，则称整除，记为

，此时称

是的因式，否则称不能整除，记为

德州献学讨院数菜学系2.辅2.弹2多项朵式整询除性认的一棚些基堆本性虫质（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

德州羞学选院数有学系2.皇2.促3多项浑式的钩带余烫除法担定理定理

，且

，则存在使得这里，或者并且满足上述条件的

只有一对。注1：

分别称为

所得的商式和余式注2：

德州齿学占院数光学系证：

先证定理的前一部分.（i）若

,或

.则可以取（ii）若,且

按降幂书写:这里,并且，并记有以下性质：德州聪学明院数壁学系或者

若是.则对重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：使得而由于多项式的次数是递降的,故存在k使，于是便给出了所说的表示。德州杏学悠院数补学系现在胸证明饼定理讲的后缎一部膨分．匪假设f(x)有两味种符怎合定镰理中萌要求酸的表皱示法册：那么上式右边或者为零，或者次数小于而左边或者是零，或者次数不小于因此必须两边均为零，从而德州失学霉院数于学系2.蒙2.榜4系数疏所在概范围带对整军除性致的影势响是两个数域，并且，那么多项式环含有多项式环F[x]．因此Ｆ上的一个多项式也是上的一个多项式．

，则如果在F[x]里不能整除，那么在里

也不能整除事实上，若，那么由于在F[x]里不能整除不能等于0．因此在里

显然仍不能整除德州岔学躺院数剑学系假定，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：并且．但是F[x]的多项式都是的多项式，因而在里，这一等式仍然成立．于是由的唯一性得出，在里也不能整除德州茫学洗院数弟学系例1确定m，使例2设适合什么条件时，整除。问德州养学糠院数克学系2.落3多项相式的胀最大拴公因秋式一.内容候分布2.木3.材1多项床式公牵因式,最大酿公因专式,互素兰概念2.哈3.搭2用辗帝转相照除法专求最重大公旬因式.二.教学锣目的1.掌握颠最大揪公因敲式,互素纵概念.2.熟练剑掌握吃辗转伯相除务法3.会应也用互苹素的留性质床证明划整除蚀问题三.重点,难点辗转奴相除候法求敢最大翠公因率式.证明第整除窃问题德州盗学傍院数均学系令和是F[x]的两个多项式，若是F[x]的一个多项式同时整除和，那么叫做

与的一个公因式.定义2设是多项式与的一个公因式.若是能被与的每一个公因式整除,那么叫做

与的一个最大公因式.定义1德州塑学侨院数尊学系的任意两个多项式与一定有最大公因式.除一个零次因式外,与的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若是与的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与的乘积，而且当与不全为零多项式时，只有这样的乘积是与的最大公因式.定理2.肢3.景1德州黎学迈院数颜学系解：对施行辗转相除法.为了避免分数系数，在做除法时，可以用F的一个不等于零的数乘被除式或除式.而且不仅在每一次除法开始时可以这样做，就是在进行除法的过程中也可以这样做.这样商式自然会受到影响，但每次求得的余式与正确的余式只能差一个零次因式.这对求最大公因式来说是没有什么关系的.令F是有理数域.求F[x]的多项式的最大公因式.例1德州姿学广院数院学系把先乘以2，再用来除：乘以2这样说，得尖到第漏一余予式德州江学并院数坊学系把g(x)乘以3，再用来除：乘以3约去晨公因交子56后，斯得出管第二余余式德州仪学铁院数佛学系再以除.计算结果被整除所以就是与的最大公因式：定理2.3.2

若是的多项式与的最大公因式，那么在里可以求得多项式与，使以下等式成立:德州灯学阵院数证学系例2

令F是有理数域.求出的多项式的最大公因式以及满足等式的多项式与.对与施行辗转相除法.但是现在不允许用一个零次多项式乘被除式或除式.因为在求多项式

与时，不仅要用到余式，同时也要用到商式.施行除法的结果，我们得到以下一串等式：德州遭学械院数已学系由此得出，是与的最大公因式，而德州秀学物院数疼学系定理2.3.3

的两个多项式与互素的充分且必要条件是：在中可以求得多项式与，使如果的两个多项式除零次多项式外不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.定义3德州激学也院数自学系从这衰个定央理我轿们可未以推隐出关妥于互廊素多抽项式苍的以眨下重要箱事实.若多项式和都与多项式互素，也与互素.那么乘积2.若多项式整除多项式与的乘积，而与互素.那么一定整除3.若多喉项式与都整般除多柳项式，而与互素.那么宾乘积也整谜除德州盆学识院数捧学系2.疏4多项暖式的手分解一.内容臣分布2.崇4.棒1不可夜约多角项式蜜的概纷念及零性质2.奥4.系2唯一炕因式茅分解本定理二.教学粥目的1.掌握诞不可语约多侍项式昼及性傲质2.掌握瓜唯一决因式校分解酿定理,会用宅两个候多项浴式的孙典型妹分解求出劈燕最大范公因巾式3.掌握奔求典项型分迷解式三.重点.难点唯一牌因式渐分解览定理,用典亲型分泳解求终出最辱大公络因式德州替学柳院数壶学系定义

令是的一个次数大于零的多项式.若是在中只有平凡因式，就说是在数域F上（或在中）不可约.若除平凡因式外，在中还有其它因式，就说是在F上（或在中）可约.这个汤定义聚的条蛾件也享可以姨用另歉一种闪形式弱来叙桃述若多项式有一个非平凡因式而，那么与的次数显然都小于的次数.反之，若能写成两个这样的多项式的乘积，那么有非平凡因式.因此我们可以说：德州悔学愉院数男学系如果的一个次多项能够分解成中两个次数都小于n的多项式与的积：（1）那么在F上可约.若是在中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么在F上不可约.（a）如果多项式不可约，那么F中任一不为零的元素c与的乘积也不可约.（b）设p(x)是一理个不诸可约路多项火式而f(x)是一纷个任独意多效项令式，干那么p(x)或者俯与f(x)互素专，或泳者p(x)整除f(x)挨.（c）如难果多爹项式f(x)与g(x)的乘碌积能匹被不线可约羽多项退式p(x)整除龄，那然么至此少有慌一个州因式堤被p(x)整除.性质（c）很容易推广到任意s（s≥2)个多项式的乘积的情形.我们有（）如果多项式的乘积能被不可约多项式p(x)整除，那么至少有一个因式被p(x)整除.德州寄学议院数对学系此处是F的不为零的元素.即，如果不计零次因式的差异，多项式f(x)分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的.F[x]的每一个n(n>0)次多项式f(x)都可以分解成F[x]的不可约多项式的乘积.定理2.4.1令f(x)是F[x]的一个次数大于零的多项式，并且此处定理2.4.2德州今学身院数篮学系例在有理数域上分解多项式

为不可约因式的乘积.容易看出（2）

一次因式x+1自然在有理数域上不可约.我们证明，二次因式也在有理数域上不可约.不然的话,将能写成有理数域上两个次数小于2的因式

的乘积，因此将能写成（3）的形式，这里a和b是有理数.把等式（3）的右端乘开，并且比较两端的系数，将得a+b=0,ab=-b，由此将得.这与a是有理数的假定矛盾.这样，（2）给出多项式的一个不可约因式分解.德州菠学舰院数指学系我们还可以如下证明在有理数域上不可约.如果（3）式成立，那么它也给出的实数域上的一个不可约因式分解.但在实数域上因此由唯一分解定理就得出的矛盾.德州庄学细院数否学系2.岛5重因供式一.内容美分布2.宵5.认1重因肢式概体念2.桃5.流2没有欧重因踪蝶式的调判断二.教学是目的1.掌握眯重因术式概宗念,多项负式的K阶导筐数概辱念.2.掌握妥有无未重因丘式判哑断的贡充要帽条件.三.重点城难点重因垄式概拐念及肯用一浴阶导者数判锤断多化项式畅有无洗重因意式.德州守学药院数刻学系根据炒以上页定义联不难津直接摔验证游，关叠于和似与积申的导通数公式仍赚然成色立：（1）（2）（3）F[x]的多项式的导数或一阶导数指的是F[x]的多项式一阶导数的导数叫做的二阶导数，记作，的导数叫做的三阶导数，记作，等等.的k阶导数也记作.定义德州押学谷院数名学系设p(x)是多项式f(x)的一个k(k≥1)重因式.那么p(x)是f(x)的导数的一个k-1重因式.定理2.5.1多项式f(x)没有重因式的充分且必要条件是f

(x)与它的导数互素.定理2.5.2德州育学斗院数弊学系2.眉6多项民式函涝数圾多胶项式咽的根一.内容孙分布2.盖6.掏1多项王式的央根概喘念2.陆6.朽2综合岂除法二.教学限目的1.掌握捐多项兄式函叔数烛多项染式的肾根的转概念2.掌握群余式仓定理鄙及运翻用综刑合除糠法3.熟悉差理解切拉格验朗日想插值姿公式三.重点弃、难输点综合业除法善，拉橡格朗于日插混值公唯式德州糠学型院数拍学系设给定R[x]的一个多项式和一个数c∈R.那么在的表示式里,把x用c来代替,就得到R的一个数这个数叫当x=c时f(x)的值,并且用f(c)来表示.这样,对于R的每饲一个逢数c,就有R中唯甲一确川定的霸数f(c)与它竖对应.于是渐就得感到R到R的一和个映据射.这个驼映射幻玉是由调多项佳式f(x)所确蒸定的,叫做R上一姥个多绩项式骗函数.德州赠学迈院数洋学系综合霜除法,并且设(1)其中比较等式(1)中两端同次项的系数,我们得到设用x–c除f(x)所得的余式等于当x=c时f(x)的值f(c).定理2.6.1德州术学汉院数侧学系由此猫得出德州重学劣院数泛学系这样,欲求系数,只要把前一系数乘以c再加上对应系数,而余式的r

也可以按照类似的规律求出.因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中蛾的加茫号通卖常略至去不恰写.德州逆学倒院数则学系例1用x+些3除作综疯合除赠法:所以却商式定是而余废式是德州田学跪院数进学系定理2.6.2

数c是多项式f(x)的根的充分且必要条件是f(x)能x–c能整除.定理2.6.3

设f(x)是R[x]中一个n≥0次多项式.那么f(x)在R中至多有n个不同的根.令f(x)是R

[x]的一个多项式而c的R的一个数.若是当x

=

c时f(x)的值f(c)

=

0,那么c叫做f(x)在数环R中的一个根.定义德州渡学范院数孝学系证如果f(x)是零未次多墓项式,那么f(x)是R中一套个不替等于添零的修数,所以然没有溜根.因此舍定理狼对于n=碑0成立.于是桂我们份可以凯对n作数差学归俗纳法费来证磁明这埋一定龄理.设c∈R是f(x)的一堵个根.那么f(x)弯=察(x–c)g(x)这里g(x)届∈R[x]是一口个n–蓝1次多劫项式.如果d∈R是f(x)另一季个根,d≠c那么0棋=f(d)市=浓(d–c)g(d援)因为d–c≠0午,所以g(d)辉=却0.因为g(x)的次得数是n–栋1形,由归脚纳法炎假设,g(x)在R内至膊多有n–更1个不叙同的朗根.因此f(x)在R中至烫多有n个不叨同的角根.德州丹学洲院数逃学系令

u(x)=f(x)–g(x)若f(x)≠g(x),换一句话说,u(x)≠0,那么u(x)是一个次数不超过n的多项式,并且R中有n+1个或更多的根.这与定理2.6.3矛盾.证设f(x)与g(x)是R[x]的两个多项式,它们的次数都不大于n.若是以R中n+1个或更多的不同的数来代替x时,每次所得f(x)与g(x)的值都相等,那么

f(x)=g(x).定理2.6.4德州徐学戴院数底学系证设f(x)缓=g(x)那么俱它们滔有完吵全相抚同的吐项,因而纷对R的任这何c都有f(c)赖=g(c)这就孙是说,f(x)和g(x)所确悟定的尾函数贫相等.反过亚来设f(x)和g(x)所确该定的报函数枣相等.令u(x)=悠f(x撇)珠–g(x)那么河对R的任茧何c都有u(c)仿=f(c)答–g(c)巾=续0这就趴是说,R中的字每一胶个数锻都是沟多项核式u(x)的根.但R有无蓄穷多爹个数,因此u(x)有无结穷多雁个根.根据码定理2.她6.仇3只有卷零多财项式屿才有董这个亚性质.因此贤有u(x)稿=f(x)风–g(x)辆=场0计,f(x)壁=g(x)墨.

R[x]的两个多项式f(x)与g(x)相等,当且仅当它们所定义的R上的多项式函数相等.定理2.6.5德州骂学浙院数哄学系这个然公式颜叫做词拉格炕朗日(L大ag喊ra题ng律e)插值狮公式.给了一个数环R里n+1个互不相同的数以及任意n+1个不全为0的数后,至多存在R[x]的一个次数不超过n的多项式f(x)能使

如果R还是一个数域,那么这样一个多项式是存在的,因为容易看出,由以下公式给出的多项式f(x)就具有上述性质:拉格肝朗日(L浇ag片ra猫ng启e)插值咏公式德州哥学宾院数骨学系由拉格朗日插值公式得求次数小于3的多项式f(x)使例2德州扣学夫院数分学系2.临7复数竞和实印数域每上多贞项式一.内容幸分布2.换7.霜1代数柜基本左定理2.际7.况2实系拼数多挺项式逮分解磨定理二.教学纪目的1.理解激代数冬基本网定理券、重专根2.掌握氏实系脆数多胞项式达的性看质三.重点览、难透点代数答基本衔定理,根与本系数得关系.实系鸟数多尽项式抚性质.德州拦学业院数关学系证设f(x)是一个次多项式,那么由定理2.7.1,它在复数域C中有一个根因此在C[x]中这里是C上的一个n–1次多项式.若n–1>0,那么在C中有一个根因而在C[x]中任何n(n>0)次多项式在复数域中至少有一个根.定理2.7.1(代数基本定理)任何n(n>0)次多项式在复数域中有n个根(重根按重数计算).定理2.7.2德州逮学敞院数炊学系这样定继续讲下去,最后f(x)在C[x]中完墓全分挥解成n个一扎次因鲜式的桶乘积,而在f(x)C中有n个根.复数听域C上任长一n(n>张0)次多躺项式坑可以桂在C[x]里分宵解为胀一次锐因式抄的乘只积.复数普域上通任一失次数妹大于1的多禁项式描都是窝可约芬的.定理2.7.3

若实系数多项式f(x)有一个非实的复数根,那么的共轭数也是f(x)的根,并且与有同一重数.换句话说,实系数多项式的非实的复数根两两成对.德州贪学酸院数肾学系证

由假设把等式两端都换成它们的共轭数,得根据共轭数的性质,并且注意到和0都是实数,有即也是f(x)的一个根.因此多项式f(x)能被多项式整除.由共轭复数的性质知道g(x)的系数都是实数.故此处h(x)也是一个实系数多项式.德州啊学她院数荣学系若是是f(x)的重根,那么它一定是h(x)的根,因而根据方才所证明的,也是h(x)的一个根.这样也是的重根.重复应用这个推理方法,容易看出,的重数相同.定理2.7.4

实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.定理2.7.5

每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积.德州难学荣院数锣学系2.主8有理遣数域哨上多松项式一.内容次分布2.只8.帝1本原堵多项们式及淡高斯努引理2.亦8.菜2艾森项斯坦斤差别壤法2.女8.缺3求整庄系数授多项蓝式在疑理根二.教学攻目的1.掌握蝇本原弱多项谨式概拜念及咐高斯深引理2.熟悉挽运用叫艾森夜斯坦旱差别沃法3.掌握养求整喜系数拖多项至式的眯有理为根三.重点隙、难乞点艾森改斯坦跑差别辱法及合如何被求整眉系数任多项刷式有摊理根调方法.德州浆学浆院数第学系引理2.8.1

两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式.证设给了两个本原多项式并且设如果不是本原多项式,那么一定存在一个素数p,它能整除所有系数若是一个整系数多项式f(x)的系数互素,那么f(x)叫作一个本原多项式.定义德州烧学宽院数巨学系由于f(x)和g(x)都是本原多项式,所以p不能整除f(x)的所有系数,也不能整除g(x)的所有系数.令各是f(x)和g(x)的第一个不能被p整除的系数.

考察f(x)g(x)的系数有这个等式的左端p整除.根据选择的条件,所有系数都被p整除.因此乘积也须被p整除.但p是一个素数,所以p必须整除.这与假设矛盾.德州供学阵院数榆学系证设这里都是有理数域上的次数小于n的多项式.若是一个整系数n(n>0)次多项式f(x)在有理数域上可约,那么f(x)总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积.定理2.8.2德州虑学鸭院数偿学系令的系数的最大公因数是那么这里是一个有理数而是一个本原多项式.同理,这里是一个有理数而是一个本原多项式.于是,德州镇学耐院数侨学系其中r与s是互素的整数,并且s>0.由于f(x)是一整系数多项式,所以多项式的每一系数与r的乘积都必须被s整除.但r与s互素,所以的每一个系数必须被s整除,这就是说,s是多项式

的系数的一个公因数.但是一个本原多项式,因此显然各与有相同的次数,这样,f(x)可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积.德州细学伯院数攻学系定理2.厨8.焰3嫂(E堪is铅en刺st妖ei辞n判断叹法)是一个整系数多项式.若是能够找到一个素数p,使(i)最高次项系数不能被p整除,(i腿i)其余扩各项享的系挎数都框能被p整除,(iii)常数项不通被整除,那么鱼多项血式f(x)在有握理数竖域上愉不可欧约.德州柔学念院数仰学系证若是多项式f(x)在有理数域上可约,那么由定理2.8.2,f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积:这里并且k<n,l<n,k

+l=n,由此得到因为被p整除,而p是一个素数,所以整除.但不能被整除,所以不能同时被p整除.德州亚学骆院数停学系不妨假定整除而不被p整除.g(x)的系数不能全被p整除,否则f(x)=g(x)h(x)的系数将被p整除,这与假定矛盾.令g(x)中第一个不能被p整除的系数是.考察等式由于在这个等式中都被p整除,所以也必须被p整除.但p是一个素数,所以中至少有一个被p整除.这是一个矛盾.德州告学芝院数炼学系设p是一个素数.多项式叫做一个分圆多项式.(i)的最高次项系数而的常数项(ii)这里q(x)是一个整系数多项式.设

是一个整系数多项式.若是有理数是f(x)的一个根,这里u和v是互素的整数,那么定理2.8.4德州误学斑院数商学系证由于是f(x)的一个根,所以(2)这里q(x)的一殖个有发理系秒数多前项式.我们债有这里vx–u是一飘个本烛原多胖项式,因为u和v互素.另一圈方面,q(x)可以折写成这里是一个有理数而是一个本原多项式.这样德州服学锡院数攻学系这里r和s是互素的整数并且s>0,而vx–u和都是本原多项式.由此,和定理2.8.2的证明一样,可以推得s=1而(3)

这里是一个整系数多项式.令那么由(3)得比较系数,得这就是说另一方面,比较(2)和(3),得所以q(x)也是一个整系数多项式.德州窑学泰院数耽学系这个多项式的最高次项系数3的因数是常数项

–2的因数是所以可能的有理根是我们算出所以1与–1都不是f(x)的根.另一方面,由于都是整数,所以有理数在试验之列.求多项式的有理根.例德州垦学忽院数风学系容易看出,－２不是的根,所以它不是的重根.应用综合除法:

–２|３515–２

–６2–623–13–１0所以–2是f(x)的一个根.同时我们得到－13－１－13－2德州唯学纺院数比学系至此已经看到,商式不是整系数多项式,因此不必再除下去就知道,的根,所以它也不是f(x)的根.再作综合除法:－13－１－1013030所以的一个根,因而它也是f(x)的一个根,容易看出,的重根.这样,f(x)的有理根是德州扭学状院数夜学系2.姨9多元部多项啦式一.内容敢分布2.乘9.掘1基本晋概念2.侨9.泡2汗n元多期项式韵的字合典排宅列法2.圈9.录3多项查式函受数二.教学竖目的1.掌握铁多元兼多项达式的葛基本娃概念:单项大式,多项半式,系数,同类妥项,次数,单项呀式等熟及n元多占项式服环2.掌握件多元带多项外式的葡运算:加法,乘法3.掌握我多项系式的沸字典甲排列英法,多项厅式函提数.三.重点还、难追点n元多固项式覆的一膏般形战式,多项滩式的绍字典爽排列内法德州栏学巩院数洲学系令是n个文字.形式如的表示式，其中是非负整数，叫做数环R上的一个单项式.数a叫做这个单项式的系数.如果某一，那么可以不写，约定因此，m(m<n)个文字的单项式总可以看成n个文字的单项式.特别，当时，我们有德州椒学闪院数宪学系（1）我们还约定，.一些（有限个）单项式用加号联结起来而得到的一个形式表达式是非负整数，叫做R上n个文字的一个多项式，或简称R上一个n元多项式.在不致发生混淆的情况下，也可以简称为多项式.我们常用符号等来表示R上n个文字的多项式.德州渣学间院数亦学系在一沙个n元多虹项式熄（1）里针，组序成这誉个多昂项式获的单素项式叙叫做戴这个勤多项炼式的蒜项.各项疑的系怒数也锹叫做狮这个华多项躲式的盯系数.R上两个单项式和叫做同类项，如果.两个单项式说是相等，如果它们是同类项并且系数相等.现在住定义R上n元多货项式池的运雷算.R上两个n元多项式的和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的同类项的系数相加所得到的n元多项式，记作f+g.德州蒙学锈院数葱学系例如的和是为了定义两个多项式的乘积，先定义两个单项式的乘积.R上两个n元单项式与的积指的是单项式德州期学欣院数惹学系现在设f与g都是R上n个文字的多项式.把f的每一项与g的每一项相乘，然后把这些乘积相加（合并同类项）而得到的一个n元多项式叫做f与g的积，记作fg.例如，多项式的乘积是这样倚定义例的多怠项式乐的加蝴法和盏乘法河就是合中学呀代数奔里熟酷知的呆多项灭式的廊运算抛，并我且容嗓易看忧出，n元多躺项式著的运团算满哑足下醋列条寇件：德州耕学衡院数幼学系设f,g,h都是某一数环R上n个文字的多项式，那么1）（加法的结合律）2)（加法的交换律）

3)（乘法的结合律）4）（乘法的交换律）

5）（分配律）

我们把一个数环R上一切n个文字的多项式所成的集合，连同如上定义的加法和乘法叫做R上n个文字的多项式环，简称上元多项式环，记作:.德州免学鬼院数座学系设是数环R上一个不等于零的n元多项式.设（2），（3）是的两个不同的项，那么在这两项对应的幂指数的差中，至少有一个不等于零.如果在这些差中，第一个不等于零的数是一个正数，换句话说，如果存在这样一个i,

使得德州路学盖院数牢学系那么就说，项（2）大于项（3），或者说，项（3）小于项（2）.对于的任意两个不同的项，总有一个大于另一个，并且若项（2）大于项（3），而项（3）又大于另外一项（4）那么项（2）也大于项（4）.这样，只要把两项中较大的一项排在前面，多项式的各项就有了完全确定的次序.这种排列多项式的项的方法很象字典里字的排列法，所以通常把这种排列法叫做多项式的字典排列法.例如就是按字典排列法书写的一个四元多项式.德州栗学急院数言学系数环R上两个n元多项式与

的乘积的首项等于这两个多项式首项的乘积.特别，两个非零多项式的乘积也不等于零.定理2.9.1数环R上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次的和.定理2.9.2设是数环R上一个n元多项式.如果对于任意都有，那么.定理2.9.3德州柱学张院数寸学系设与是数环R上n元多项式.如果对于任意都有那么.换句话说，如果由与的确定的多项式函数f与g相等，那么这两个多项式相等.推论2.9.4德州乘学谁院数罩学系2.很10对称术多项冤式一.内容猪分布2.偷10秀.1对称暗多项