第二章malab矩阵及其运算

第2章Matlab矩阵及其运算2.1Matlab变量2.2Matlab数值矩阵2.3运算符2.4基本数学函数2.5稀疏矩阵2.6矩阵分析2.8字符串2.9结构数据2.10细胞矩阵2.1Matlab变量1.变量命名规则

在MATLAB6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。2．变量赋值

变量=表达式

3．预定义变量i，j，pi，eps(最小精度)，realmin，realmax，inf，NaN（NotaNumber不是一个数）预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。内存变量的管理1．指令操作法who：列出工作内存中的变量名whos：列出工作内存中的变量细节

clear：2.现场菜单操作法

3.内存变量文件(.mat)(保存工作区中的变量)

save[文件名][变量名表][-append][-ascii]把内存变量存入磁盘

load[文件名][变量名表][-ascii]从磁盘中调入数据变量

helpsavehelploadMatlab数据类型Array(matrix):M×N×P×Q×…Defaultdatatype:double-precisionfloatnumberarray(forreal:8bytes/element)(forcomplex:16bytes/element)

AllMATLABcomputationsaredoneindouble-precision.数值数据的输出格式MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。

在一般情况下，MATLAB内部每一个数值数据元素都是用双精度数来表示和存储的。数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式。format命令的格式为：

format

格式符

其中格式符决定数据的输出格式helpformatformatformatshort5位定点表示

Formathex

十六进制的表示formatlong15位定点表示

Formatbank

用元角分（美制）定点表示formatshorte5位浮点表示

Formatcompact

变量之间没有空行formatlonge15位浮点表示Formatloose变量之间有空行formatrat近似的有理数的表示

2.2MATLAB数值矩阵2.2.1矩阵的建立

1．直接输入法

最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。2．利用M文件建立矩阵

对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。例2-2利用M文件建立Mymat矩阵。

(1)启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵：

(2)把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。

(3)在MATLAB命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。3．利用冒号表达式建立一个向量

冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：

e1:e2:e3

其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。

在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。其调用格式为：

linspace(a,b)linspace是用来生成一个等差数列的lin是linear的缩写

linspace(a,b,n)其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。

显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。

logspace(a,b)

对数

logspace(a,b,n)4．建立大矩阵

大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。5．使用repmat函数(Replicatematrix)铺放模块数组

repmat(A,[MNP...])

repmat(A,M,N,P,...)6.使用blkdiag函数(Blockdiagnolmatrix)块对角阵串接

|A0..0|Y=blkdiag(A,B,...)produces|0B..0|

|00..|7．使用meshgrid函数用于三维曲面的分格线坐标

[X,Y]=meshgrid(x,y)e.g.IFx=[123],y=[0123],THEN[XY]=meshgrid(x,y)的结果X是[123;123;123;123]重复四次，因为y中有四个元素，同理Y是输出三列[0123]‘的结果。使用cat函数(concatenatesthearraysAandBalongthedimensionDIM)把若干数组串接成高维数组

Y=cat(dim,A1,A2,…)按dim联结所有输入的数组

C=cat(dim,A,B)

按dim来联结A和B两个数组

a=cat(3,A,B)左括号后的3表示构造出的矩阵维数；在新的矩阵中第1、2维就是A和B]这两个矩阵的行数和列数，第3维是A和B]这两个矩阵的矩阵个数，即为2cat(2,A,B)相当于[A,B];

cat(1,A,B)相当于[A;B].

a=magic(3);b=pascal(3);c=cat(1,a,b)

2.2.3特殊矩阵

1．通用的特殊矩阵

A=zeros(N)A=zeros(M,N,P,…)

A=zeros([MNP…])A=zeros(size(A))

ones所有元素都为1eye(identitymatrix)

单位矩阵例2-3分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵。rand：Therandfunctiongeneratesarraysofrandomnumberswhoseelementsareuniformlydistributedintheinterval(0,1).

输出0-1之间的随机数矩阵。randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。例2-4建立随机矩阵：

(1)在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。

(2)均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)

y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)

randperm(n)isarandompermutation（序列、排列）oftheintegersfrom1ton.整数1-n的一个随机排列

randperm(6)2．用于专门学科的特殊矩阵

(1)魔方矩阵

魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数

magic(n)

其功能是生成一个n阶魔方阵。

例2-5将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。A=magic(5)+100(2)范得蒙矩阵

范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数

vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。

(3)希尔伯特矩阵

hilb(N)istheNbyNmatrixwithelements1/(i+j-1),whichisafamousexampleofabadlyconditionedmatrix.希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。

Matlab中生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)；求希尔伯特矩阵的逆的函数是invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。

例2-6求4阶希尔伯特矩阵

formatrat%以有理形式输出

H=hilb(4)

(4寺)托普淹利兹备矩阵托普助利兹(To饼ep窄li百tz)矩阵稼除第招一行挪第一抽列外歉，其际他每友个元喊素都嫂与左土上角遍的元次素相际同。to找ep皱li枝tz屯(x也,y射)x、y为向翠量，况但两女者不句必等丈长。to士ep先li喇tz坐(x椒)用向谢量x生成首一个泉对称遇的托圾普利族兹矩举阵ha哗nk掏el矩阵(6叙)帕斯疯卡矩洗阵我们狂知道擦，二重次项(x+榆y)n展开摔后的享系数唯随n的增驰大组核成一壳个三亦角形牵表，苏称为恰杨辉章三角拆形（遵如右瞎上图洞）。矮由杨设辉三减角形锅表组判成的焦矩阵舍称为陪帕斯松卡(P捷as贺ca唯l)矩阵庄。pa梢sc集al帖(n)Co腐mp根an沈io滋nma抖tr球ix相伴纺矩阵旨、友竟阵A膊=co腊mp谦an携(u)A亚=co绕mp隆an渣(u)材re衡tu建rn兆s阴th叉e境co吧rr埋es笑po羡nd锡in糖g龙co瓣mp禁an拐io辰n面ma仙tr话ix允w康ho袜se沙f涉ir厘st到r着ow泻i塔s违-u派(2架:n镜)/掏u(效1)蝴,兔wh岭er肆e奇u伶is虑a够v跳ec摸to味r嘴of裁p诱ol奶yn始om南ia毕l朵co县ef密fi锣ci袄en盈ts泰.独Th伪eei童ge嗓nv佳al缓ue唱sofco娇mp役an低(u)禽ar被e犁th辫e顾ro的ot紧s咽of朽t舱he喉p昏ol法yn浸om搬ia逆l.Eg.So鉴lv婶e罪x^孤3-默7x妹+6银=0复数史和复据数矩绳阵【例1.天3.垂3-淡1】输入扯复数z2份=宣1离+稠2臣*州iz3骡=2蔑*ex伯p(波i*p霸i/洞6)z=资z1源*z犯2/折z3【例1.猛3.摊3-门2】复数辣矩阵耕的生坝成及踪蝶运算A=宰[1俩,3砖;2主,4党]-洁[5窄,8赞;6胖,9浓]*朴iB=炒[1执+5锻i,酷2+辱6i亏;3谊+8枪*i止,4除+9澡*i赚]C=宝A*鸽B【例1.绕3.认3-椒3】求上励例复按数矩络阵C的实些部、该虚部逮、模厘和相怠角。C_荐re恭al=re晨al余(C)C_偏im胸ag=im富ag执(C)C_善ma汁gn剃it盘ud孔e=ab墨s(卵C)C_示ph胃as嘉e=an姿gl盈e(葱C)*钓18禽0/衡pi淘%以度字为单擦位计谎算相禽角2.捏2.墨3洁S例iz夏e貌an氧d黎di抛me闭ns粗io驳ns凯o颜f盒ma私tr壮ic异es1．Si宰ze压o肿f射a脏ma夏tr滋ixa钞ro察wve张ct战or（行于向量短）[M母N督P麻…]S=喷si他ze既(A氏)输出蜻结果译为：部矩阵窝有多樱少个袜行向赴量，库每个革行向赖量有牌几个谁元素2.贝L好en庸gt挖h反of斩a芹m猛at舍ri厦xL=崖le茅ng晋th饱(A缝)矩阵报行或亏列的犁长度程（两集者取病最大朱）le来ng热th则(A)等价芳于ma哀x(杜si报ze床(A))3．Di晃me垒ns浆io自n尚of洒a窝m敌at届ri透xa夏sc堤al迷ar所>挤1Di渠ms上=n进di载ms伍(A服)判断锣矩阵疗的维谜数，英在Ma嘴tl甘ab中，惕行向额量和推列向伏量都页当作2维来线看待铁。le慨ng兵th艘(s演iz滴e(袜A))等价擦于nd杜im妈s(盏A)4．Em鼻pt丝式y泪ma块tr钥ixA=诵[]2.塔2.叹2矩阵铜的拆饮分1．矩宇阵元推素的绒引用下标(S赴ub条sc对ri故pt啄)A(宿3,前2)及=2所00序号(I它nd汇ex俩)In退de致x与Su帽bs贞cr子ip逝t的对耗应关奸系对m×唐n矩阵A为例薄，A(戏i,臭j)等价衣于A(渴(j形-1岩)*m+慨i)IN限D棍=生su搞b2金in据d(销SI旁Z,耍I1略,I衣2,酸..寺.,放In吴)[I怨1,叮I2惭,I凤3,辨..忧.,小In窃]弦=姜in截d2件su座b(览SI亲Z,晴IN架D)2．矩铲阵拆意分(1找)利用沈冒号哗表达盒式获誉得子街矩阵A(扔:,找j)A(专i,:干)A(得i,逢j)A(简i:篇i+馒m,:捡)A(沈:,借k:找k+导m)A(尚i:就i+淋m,黄k:扭k+掀n)A(神i:傻en历d,趟k:序k+得n)A(云:)对矩系阵中沫的元瞎素按霉索引惰号从搜小到念大列丛出，鞠顺序率和方串式为违按列茅输出紫。陷如A=在[0处1倡2文;3敌4饱5质]，穴那粮么A(彩:)为0充3最1常4旋2观5（输非出方梁式是班列）包。A(旦:,乘:,肆:,盖…)(2铺)利用In如de状x获得离子矩尖阵A(胆M)（M是一行个整透数矩绪阵）(3坊)利用逻辑良矩阵获得咸子矩威阵A(糟M)（M是一陈个逻扮辑矩怎阵）(4辟)利用减空矩害阵删论除矩翻阵的摆元素在MA虾TL援AB中，甲定义[]为空葱矩阵护。给喷变量X赋空区矩阵五的语颤句为X=判[]。注救意，X=晴[]与cl悔ea闲r叮X不同森，cl列ea括r是将X从工结作空扯间中点删除胜，而愧空矩荣阵则穴存在坡于工警作空节间中听，只毁是维剃数为0。(5浆)矩阵坦维数剑和大磁小的党变换在矩悦阵总划元素亮保持电不变写的前悼提下霜，该惠函数逼按照In延de刷x的顺伯序将岔矩阵A重新唱排成m×忌n的二刚维矩傍阵。B泪=叶re捧sh磨ap浪e(鲜A,趋m,程n)mX峰n要与A之前赏的大姑小一微样B减=巴re喝sh僻ap洁e(澡A,冤m,丑n,励p,兔..瞧.)如，A=远ma啄gi夜c(申4)简,则B=踩re材sh遵ap矿e(欢A,圈4,拔2,历2)为四糠行、幸两列纹的矩商阵块星相叠给加。凉这里4*漏4=困4*笑2*拦2B涨=罢re脖sh肉ap通e(饼A,拍[m但n歉p膀.央..星])与上祝面的穗结果班一样B腔=际re映sh脾ap榨e(惑A,县..怜.,秆[]殊,.誉..查)B兰=粗re哈sh宜ap涝e(路A,灰si阻z)2.组3Ma妈tl禾ab运算缘瑞符和辈表达友式Ar听it栽hm搜et民ic纯o扬pe烂ra梦to宣rs；Re窗la纸ti拥on扫al叶o掩pe售ra米to陪rs；Lo贡gi挡ca朋l路op烫er牢at幅or祥sAr参it宫hm粥et敞ic窝o征pe拢ra侄to月rsA+蛙BA-为B+A-AA*表B(矩阵程相乘)A.相*B(荐A、B对应缴的元鞋素相脑乘，A、B需为影同型京矩阵)A/眉B（A*in伶v(B)）A.轻/B(A中的银元素泊除以B中对伏应的么元素)A\秃B（in孕v(仅A)葵*B）A.琴\B(B中的丘元素棋除以A中对纽奉应的祝元素)A^旬B扛A吐.^充BA'贝A占.‘Re售la虑ti河on循al唐o姥pe国ra在to低rs运算绞法则腊为：Sc羊al围ar搁t冶osc容al脆ar（标驱量to标量滴）Ma顺tr塑ix侍t析o观ma钱tr俯ixSc衔al脾ar凉t拉o絮ma麦tr寻ixMa刃tr幸ix冬t撇o牺sc扰al询arLo营gi机ca顺l忠op册er雀at雅or适sMA行TL誓AB黄o摄ff铺er赢s训th兽re提e沫ty森pe皮s肆of拘l什og魂ic绝al职o星pe姥ra歉to判r夫an呼d哀fu麦nc岂ti幸on绕s.El蜻em唐en完t-常wi心se--蜂o例pe愉ra欠te塑o博n际co甚rr垄es世po副nd暴in兄g蹲el饺em宝en梳ts吓o召f哲lo声gi犯ca由l痕ar蛮ra扮ys咳.&务|昂~xo年ran冻y(老A)有非丸零元蹲素则荒为真al纳l(然A)所有垄元素何非零斯则为巨真No肾te克MA坟TL近AB溉c破on垃ve攀rt膝s图an董y暖fi义ni地te琴n塌on程ze信ro产,磁nu美me兰ri暂c屠va只lu摊es括u佣se床d污as技i哭np俊ut炒s翻to匹l盈og款ic备al偶e毯xp毕re宅ss服io倍ns孙t挂o伯lo光gi佳ca疲l分1,草o梳r狠tr呜ue封.Bi梯t-傻wi岭se--温o醋pe芹ra华te抗o绿n泪co盈rr提es宏po肆nd峰in喝g秩bi色ts县o建f伸in讨te断ge伴r雷va厌lu呈es半o块r血ar道ra楼ys皱.bi回ta绪nd娱(a帮,b)bi踏to础r(攀a,略b)bi爽tc窑mp耗(a敞,n国)C济=成bi乌tc门mp虾(A致,讲n)绞r尸et盐ur林ns尘t差he界b祝it俘wi扯se旧c霸om惜pl镇em拨en祖t导of蹲A饲a广s刚an门n被-b绣it上u返ns芝ig鸟ne迎d仆in趁te舌ge慨rbi古tx私or省(a凉,b)Sh熊or葵t-近ci夺rc围ui兔t--op症er卫at买e宪on巨s历ca亲la威r,怜l俊og失ic骑al驴e据xp欣re去ss叨io陈ns.&&邪|钻|e.品g.x币=转(b季~支=锤0)挤&份&浑(a芬/b仅>怖1板8.无5)(3但)利用逻辑台矩阵获得议子矩隶阵A(阳M)（M是一祖个逻役辑矩灶阵）A(耽lo尼gi壶ca匙lex求pr樱es释si谜on蜂)到e.梨g.汇A(滚A>欣3)按索警引序挥号找径出A中满要足值递大于3的元快素In解de曲x涝=fi悉nd界(A括)列出A的索齿引号[i,晴j]陵=fi货nd黎(A熄)[i,层j,览v]篮=fi邻nd迈(A)In矿de络x君=fi块nd蛙(l肆og芝ic挡alex黄pr不es稀si戴on宁)找出渣满足秃表达塑式的葡元素安的索叔引号[i,街j]慎=fi塘nd舍(l疮og哥ic权alex工pr尸es宏si尝on安)找出遥满足膝表达茅式的虾元素[i,翼j,脑v]临=fi我nd盟(l吹og虫ic泄alex窗pr仗es划si词on标)找到纽奉满足中条件叶的行斜数、信列数辽及返盖回数殿字的敞值A(滑fi叠nd纸(A么>3无))输出A中大栋于3的元裳素he嘉lp只f盘in肤d2.祝4基本柏数学眉函数(E释le帮me报nt迈ar影y英ma蒜th却f巨un储ct适io预ns胳)MA攻TL韵AB提供句了许材多数家学函铅数，银函数鼓的自偿变量扫规定刚为矩档阵变肥量，窃运算胶法则绕是将夜函数冲逐项叶作用框于矩筛阵的摘元素斜上，阻因而出运算很的结令果是飞一个近与自池变量槐同维惜数的授矩阵窜。三角锄函数(T绍ri鼻go径no红me证tr纷ic深)指数泛函数(E伴xp宴on竹en心ti必al哥)复数杜函数(C桑om邻pl繁ex难)圆整痕和求刘余函务数(R崭ou棍nd浊in拘g近an述d圆re辱ma踏in竞de崇r)Di旨sc拦re约te反M姜at沫h特殊扫函数(S什pe裁ci削al外iz绑ed刺m恨at端h挪fu破nc俱ti邪on忌s)Co桶or锐di烫na度te距S哪ys糕te于mCo竖nv毫er慌si奔on坐标趋系统装转换矢量备函数(V族ec芳to北r集fu多nc衬ti翻on觉s)1.三角欠函数(T流ri回go须no宏me企tr舟ic纯)ac寸os反余筹弦ac致os欢h反双底曲余搭弦ac紧ot反余微切ac受ot诞h反双铅曲余伏切ac中sc反余恭割ac很sc聚h反双把曲余钞割as到ec反正乖割as侍ec蚊h反双袜曲正捕割as叠in反正词弦as臣in僚h反双剩曲正暂弦at泽an反正伟切at抓an翠h反双缓曲正疯切at培an魂2四象砖限反橡正切co限s余弦co袋sh双曲死余弦co童t余切co舞th双曲幕余切cs陶c余割cs屿ch双曲甜余割se栏c正割se作ch双曲魄正割si叔n正弦si柜nh双曲湾正弦ta挤n正切ta尘nh双曲起正切2.指数戏函数(E隔xp孤on总en盈ti骗al袄)ex朋p指数lo下g自然薪对数lo袖g1蛙0常用穷对数lo瓶g2以2为底差的对鉴数po倾w2可2的幂sq护rt平方破根3.复数吧函数(C浊om战pl者ex煮)ab矮s绝对很值an傍gl带e相角co皇nj复数共轭（co箱mp阀le榜x挡co仓nj搜ug贵at斗e）im薪ag复数樱虚部re茶al复数辩实部4.圆整壶和求拘余函你数(R策ou刘nd昏in洽g慕an斗d述re铁ma览in千de具r)ce醒il朝正刊无穷宣大方把向取斥整fi度x朝零司方向俱取整fl毫oo粒r朝负风无穷另大方师向取遍整ro躁un蹈d四舍划五入纽奉取整si牺gn符号衬函数mo勇d(省X,义Y)模数浴求余re泥m(辆X,倾Y)求余屿数So柴l千on啊g柱as婶o浩pe仁ra谢nd丑s带X委an滤d除Y忍ar柏e批of堤t武he屯s惊am歌e到si这gn借,摄th求e洲fu征nc塌ti乓onmo川d(转X,沉Y)火re饰tu袍rn失s嘱th脑e差sa夺me谋r兆es毁ul瞎t鹅as兆d钥oe醒sre庭m(匪X,骨Y).Ho盒we调ve融r,值f墙or祥p描os配it弦iv工e脆X醒an年d浩Y,押m旗od房诚(-纲X,蜓Y)员=re情m(-筐X,波Y)唯+Y5.粒D引is览cr卖et诵e史Ma秩th棋(费e.扩g.疾,害Pr突im秀e绝Fa泳ct嘱or宰s)fa职ct善or法(n)Pr香im睡e杜fa店ct攀or悬s树fa疯ct古or姨ia修lFa沉ct毕or痰ia初lfu筛nc追ti南on进行笛因式京或因材子分逝解gc星d(欲A,州B）Gr食ea芝te重st烂c挪om羡mo岸n拜di毛vi骆so园ris斩pr村im流e(雾A)Tr窜ue驼f井or玩p房诚ri袋menu玻mb狗er肥s若是将质数非则为穗真lc乖m(衬A,镰B)Le出as旁t宫co谣mm搞on膜m垮ul弟ti墓pl倍enc懒ho标os效ek自(n洋,k)Al以l兴co该mb仙in筑at柄io旬ns棚o衡f楼N圾el央em勤en失ts巷t普ak僚en绩K务a存t捏a殿ti策mepe亭rm罚s(叉v)Al酷l群po薯ss抛ib丸le脚p效er术mu艳ta图ti足on独s所有晚可能愉的排男列单如A=桥pe生rm与s(杨2:汪2:庄6)莲,则返爪回2，4，6三个由数所驴有的洋排列pr法im烫es钥(n)Ge扮ne衣ra甚te革l达is接t速of找p捉ri闭me吸n幕um贿be凭rs产生凝质数誓列表ra薄t,ra柱ts朗(A)Ra闷ti娘on宰al钟f拖ra内ct唱io药n度ap吨pr触ox岂im她at亚io煎n有理筒分式6.特殊绿函数(S葵pe肚ci休al描iz扮ed羞m钉at蜘h俭fu渔nc挂ti田on而s)Sp首ec脊ia每li惠ze侵d搜Ma神th7.Co墓or培di域na嫌te宗S熊ys恰te涉mCo鸟nv党er太si宫on(坐标纱系统伤转换)Ca浴rt知es老ia旦n利po凉la胆r思s披ph矩er共ic遭alca很rt哲2p举ol直角牌坐标疤变为塞柱(或极)坐标ca扬rt钻2s地ph直角袍坐标坟变为搁球坐著标po里l2乖ca唱rt柱(或极)坐标录变为宋直角域坐标sp撤h2油ca唐rt球坐毙标变晨为直铁角坐红标8.矢量阀函数(V扬ec衬to迈r垒fu齐nc沾ti吵on巨s)cr闷os肯s向量叉积C指=群CR拆OS挎S(雁A,贼B)击r弊et臂ur鞠ns普t新he心c扑ro换ss严p划ro赌du净ct低o誓f哲th秆e铸ve灯ct妇or古sA宴an洽d重B.优Th否at取i区s,透C鸭=流A决x她B日.双A趴a竿nd瘦B扎m誉us腊t驰be侍3陡e奇le荡me观nt碰v凡ec犯to判rs垒.do裕t向量撤内积sp溜y函数画稀界疏结咽构图2.扑4稀疏砌矩阵2.歪4.与1矩阵梯存储乏方式(按列苦存储)MA示TL啄AB的矩熟阵有泳两种聋存储您方式忠：完全赤存储笔方式负和稀坟疏存赞储方齐式。1．完仅全存仇储方泡式线完全作存储陆方式刻是将往矩阵肾的全遣部元刑素按胁列存碗储。拍以前钉讲到奴的矩接阵的拣存储肚方式树都是谁按这耐个方妨式存掌储的蜘，此烧存储币方式蒜对稀倘疏矩轻阵也细适用只。2．稀侵疏存夸储方与式小稀疏折存储肢方式仅存室储矩颈阵所尽有的坡非零孝元素除的值彼及其躲位置净，即剃行号达和列流号。在MA桑TL摩AB中，摆稀疏辟存储委方式间也是创按列拆存储蜘的。注意叶，在栗讲稀密疏矩仇阵时秃，有拌两个干不同阵的概尘念，者一是贵指矩收阵的0元素谣较多著，该仙矩阵拳是一疤个具茫有稀售疏特急征的大矩阵现，二澡是指繁采用凑稀疏禾方式傅存储甘的矩吧阵。2.假4.裤2稀疏捐存储掘方式踩的产厦生1．将炸完全锄存储气方式善转化另为稀两疏存首储方杏式S=sp全ar榴se亿(A)按列醋从小卸到大畜列出偏非零策元素污的下胀标和职大小切（如裂右图妻）sp糖ar洪se函数穷还有智其他报一些得调用梳格式固：S=sp钞ar队se珍(m仗,n)：生欲成一梯个m×过n的所垃有元后素都沟是0的稀展疏矩棚阵。S=sp峰ar坊se厚(u搬,v愿,s)：u,娘v,竞S是3个等续长的较向量含。S是要食建立喊的稀植疏矩赖阵的阔非0元素油，u(扩i)、v(挨i)分别酬是S(益i)的行捧和列缸下标申，该榆函数增建立兵一个ma润x(坊u)行、ma棉x(贵v)列并挥以S为稀霸疏元席素的范稀疏字矩阵晕。S=sp饱ar耽se内(u去,v否,s)这里移不要纲混淆S和s,喝u,梳v分别站表示S(央i)的行巧和列桨下标,s为该良指定历元素凑所对趋应的勇值S=粮sp矿ar声se前(u滚,v翁,s鸟,m停,n巡寿)u,任v,雀s同上,m传,n为S为mX醋n的矩嗓阵A=醒fu板ll械(S)：返便回和呆稀疏很存储随矩阵A对应桌的完茄全存割储方顺式矩疼阵。上面旗得到吵的是职稀疏钩矩阵消的非琴零值议，而朗该函夺数将漆把整勉个稀奔疏矩钳阵列啊出2．产生由稀疏冶存储精矩阵只把戚要建汁立的笼稀疏洋矩阵赵的非0元素基及其缎所在者行和膛列的宏位置沙表示稿出来雷后由MA蓄TL立AB自己文产生岁其稀赖疏存吹储，星这需絮要使棒用sp疗co别nv且er灶t函数液。调暗用格其式为炉：S裤=sp饥co补nv宁er偶t(繁D)其中D为一申个m×软3或m×年4的矩溪阵为什颠们是mX咬3或mX拳4呢？斩因为D为mX尊3的矩泡阵时贿，前嫂两个妨列值江为要最产生鲁的稀补疏矩而阵的构行标岩和列侦标，陈第三津个列急值为遇该稀侍疏矩尝阵元驰素的否值。脊共有m个指研定的域稀疏及矩阵炸的非数零值负。如弱图…D为mX雅4的矩贤阵时肉，产内生值辛为复屋数的劫稀疏舅矩阵监，后挽面两袄个列蹄值分妇别为捧复数环的实泰部和著虚部师。例:根据骆表示士稀疏饥矩阵外的矩兄阵A，产厦生一过个稀语疏存纱储方执式矩殊阵B。苍命令串如下心：A=职[2挺,2驼,1查;3雅,1赠,-矩1;添4,遇3,创3;既5,油3,帽8;白6,滥6,幕12刷];季B宜=sp智co绣nv寒er财t(和A)3．单霸位矩证阵的孟稀疏冤存储单位仪矩阵商只有物对角雷线元安素为1，其眼他元宣素都乡丰为0，是呢一种密具有刺稀疏担特征抱的矩注阵。膝函数ey昼e产生寒一个夜完全谱存储准方式勒的单抛位矩际阵。MA斧TL凝AB还有静一个皇产生抓稀疏蓝存储衬方式蛙的单捞位矩盐阵的径函数逝，这智就是sp貌ey题e。函泥数sp售ey天e(潜m,沙n)返回疾一个m×娇n的稀劈燕疏存虚储单窗位矩推阵。sp胁ey春e(模m,恼n)sp策ey衡e(姓n)2.野4.赚3稀疏蓄矩阵够应用沿举例稀疏低存储柿矩阵捎只是酷矩阵兆的存域储方洞式不舒同，选它的狭运算虫规则鸡与普防通矩哲阵是榜一样像的。速所以云，在军运算煎过程同中，趁稀疏墓存储停矩阵恢可以庭直接警参与算运算伴。当参庸与运踩算的约对象而不全肿是稀元疏存谊储矩济阵时刑，所惑得结践果一搜般是翁完全小存储举形式上。2.娇6.斜1对角霜阵与牌三角真阵2.献6.辆2矩阵翅的转宽置与释旋转2.为6.胜3方阵俱的行较列式2.索6.狂4矩阵击的逆距与伪纲逆2.熊6.昆5矩阵肠的秩奶与迹2.惩6.捞6向量罪和矩右阵的臭范数2.枯6.提7矩阵下的特收征值龄与特饥征向萌量2.巧6.搬8矩阵信函数2.6矩阵艇分析2.慎6.编1对角象阵与披三角仪阵1.对角普矩阵(d踩ia忌go津na宽l湖ma亿tr捉ix句)只有鸡对角乏线上药有非0元素均的矩孙阵数量验矩阵异：对率角线疑上的恒元素板相等丈的对浅角矩姐阵单位范矩阵膜：对矿角线略上的既元素甘都为1的对恋角矩廊阵X刮=企di滩ag拦(v迎,k绩)第k条对悬角线武上的庆值为v向量迹的值禾，其嚷余为0X劣=竭di皱ag轧(v辟)缺省(默认)为主途对角皱线上悉的值饭为v向量锡的值v嗓=湿di右ag疼(X家,k汤)输出输第k条对锈角线音上的懒值v煎=驾di乘ag亿(X晓)输出主对骄角线己上的的值例2-筝10先建悼立5×功5矩阵A，然恨后将A的第被一行说元素才乘以1，第膜二行辅乘以2，…，第祸五行睬乘以5。A=怪[1途7,覆0,怨1,诵0,职15解;2搜3,惨5,乳7,咏14豪,1母6;签4,徐0,继13那,0惹,2贩2;律10如,1蹲2,述19夕,2蜡1,张3;反..评.第11漆,1舱8,川25胳,2麻,1卷9]庆;绵D=呢di州ag让(1督:5觉);编D刻*A收%用D左乘A，对A的每百行乘双以一浮个指量定常岩数2．三鹿角阵(t娱ri成an蓝gu森la弟r压ma懂tr两ix氏)上三夫角阵哀：对挂角线呜以下允的元伴素全摊为0的一彼种矩忧阵U凶=tr亡iu蚀(X偏)主对插角线其以上粘的元棋素保斥留，伙以下智的为0U柱=tr畜iu带(X皂,k暂)第k对角题线以盗上的麻元素杀保留眠，以悉下的川都为0下三豆角阵筐：对纯角线订以上锐的元蜻素全济为0的一海种矩酬阵L野=tr陡il绪(X男)主对谱角线咸以下览的元易素保引留，服以上秀的为0L居=tr凯il公(X非,k要)第k对角戚线以朗下的千元素框保留词，以累上的顿都为02.您6.廉2矩阵浴的转束置、沟旋转隙和翻棚转1．矩典阵的确转置B=床A’B=部A.到’B=僚pe载rm毙ut斜e(折A,野or娱de浇r)见he避lp手p叉er场mu葡te独,将A按or宗de喷r的顺脏序进工行变本换,如[1汤2始3详4裙]变成[4方2派3而1咏]…2．矩某阵的利旋转B洋=ro货t9鸭0(并A)将A逆时草针旋萝转90虚°B世=ro懂t9俱0(描A,糠k)将A逆时炭针旋浪转90掘°的k倍3．矩啊阵的截翻转B迫=fl撕ip泪lr雁(A冷)左右赶翻转le涛ft引-r捏ig喊htB干=fl林ip厘ud翼(A裙)上下翼翻转up萝-d鹊ow扎nB聪=fl裂ip参di状m(雷A,遣di鞠m)矩阵文沿指兵定维亏翻转,如行微维为1，列隔维为2…2.贡6.货3方阵来的行仪列式般把披一个毫方阵怒看作虽一个湖行列惑式，宴并对初其按浓行列泪式的租规则躁求值殃，这撤个值仿就称桌为矩看阵所沟对应封的行框列式里的值盼。在MA蛙TL胞AB中，论求方渠阵A所对味应的费行列围式的筛值的雀函数惊是d健=de迫t(舰X)2.鸦6.电4矩阵额的逆脑与伪榴逆1．方伶阵的梢逆A·羊B=信B·肠A=寄I朱(I为单舟位矩怨阵)Y守=in眯v(宁X)乐or拴Y=际X^艇(-炸1)例2-先11用求版逆矩具阵的态方法叹解线托性方辩程组浑。Ax扯=b其解吵为：x=锄A-1b2．矩兄阵的偶伪逆如果浩矩阵A不是束一个吹方阵，或款者A是一辜个非满怕秩的框方阵时，沃矩阵A没有吓逆矩寒阵，瘦但可鼓以找零到一悠个与A的转采置矩婆阵A‘同型锅的矩躁阵B，使绪得：A·汤B·释A=绿A烦B·油A·笔B=亮B此时杨称矩阵B为矩摄阵A的伪倦逆，也凭称为广义写逆矩偏阵。B沫=pi浴nv躁(A)2.野6.吓5矩阵担的秩侧与迹1．矩出阵的们秩爬矩阵多线性链无关窃的行团数与杆列数启称为拢矩阵蚀的秩k冒=ra甲nk汉(A)2．矩裂阵的辱迹坡矩阵捎的迹值等于川矩阵帽的对旦角线扰元素粥之和栋，也元等于王矩阵狠的特较征值面之和责。b忙=tr手ac汉e(负A)b痒=su询m(棋di睁ag涛(A))2.践6.仗6向量殖和矩患阵的诱范数矩阵幕或向喷量的范数用来度量球矩阵断或向牙量在旦某种宿意义糟下的会长度。范勤数有煮多种扎方法务定义竞，其正定义乐不同胃，范追数值值也就顷不同话。1．向肥量的3种常狮用范岭数及弟其计溉算函骨数在MA讨TL矩AB中，齐求向妈量范缴数的歪函数临为：no疯rm恩(V亿,p):R就et振ur论nssu阵m(办ab静s(奴V)晒.^蛇p)拴^(1/傻p)向量嘴中每给个元嘴素的p次方开求和僻，再枪进行混开p次方日。默习认为p=捷2no陷rm饼(V)或no彩rm基(V唱,2密)：计酬算向册量V的2—范数no宗rm约(V算,1业)：计村算向金量V的1—范数su肥m(抬ab喉s(字V))no络rm倒(V拼,i火nf)：计喷算向渴量V的∞—范数ma衰x(头ab红s(局V))no兵rm仓(V抖,-碗in增f)：计卖算向蛙量V的-∞俱—范数mi胶n(陆ab进s(客V))2．矩箩阵的江范数室及其好计算钟函数MA筐TL锯AB提供肆了求3种矩丢阵范洲数的糠函数他，其垃函数认调用剧格式刺与求际向量感的范滥数的责函数洗完全火相同题。范数狸是描盟述矩跌阵大哑小的霜一个榨量，著类似器于向崖量的胖模。农但是泽向量茶是一份维的爹，矩狱阵是服多维字的，拘所以柳很难债说出尚实际耀的意饥义，爱不像扇模代宿表向指量长脾度一京样。2.阔4.匀7矩阵浅的条压件数企在MA陷TL余AB中，苗计算占矩阵A的3种条张件数培的函耗数是邪：(1舌)精co恭nd塑(A熟,1衰)计算A的1—范数街下的捷条件年数。(2叉)co挠nd睁(A)或co沃nd镰(A显,2扎)计算A的2—范数关数下霉的条女件数毅。(3偏)co昼nd马(A由,i阁nf)计算A的∞—范数庆下的酸条件泊数。用矩村阵及非其逆栋矩阵酷的范蜓数的胸乘积妙表示读矩阵需的条耳件数步，由泼于矩松阵范缴数的先定义技不同赶，因夺而其吉条件督数也体不同锯，但响是由南于矩闹阵范向数的略等价尤性，彻故在录不同博范数肆下的设条件遵数也伴是等年价的闯。矩融阵条容件数脑的大鉴小是利衡量钞矩阵狭“坏解”或康“好世”的范标志宵。Th绘e市co部nd鞋it新io挡n搏nu室mb客er叠o闪f熔a智ma株tr芒ix从m销ea笨su隔re早s挖th葛e炉se屿ns治it傅iv为it吗y庙of塔t啄he岸s改ol悲ut助io覆n球of德a鱼s旋ys眠te贱m会of接l寇in仓ea态r颗eq忽ua润ti喉on熊s们to丝式e忍rr葵or梳s复in恢t归he服d野at同a.期I羽t盖gi脊ve女s雨an匠i钓nd窝ic坡at司io冠n稿of秤t第he府a贩cc显ur压ac屠y率of躺t维he狂r并es钞ul威ts社f汗ro妹m纺ma齿tr触ix或i狐nv贱er广si沸on拨a恶nd每t宋he黎l倾in辩ea损r态eq创ua凝ti务on名s罢ol估ut撤io沾n.稀V项al览ue南s洒ofco弯nd点(X)在an昂dco完nd财(X辰,p)扣ne冲ar证1冻i食nd烈ic黄at桐e拒a鞋we材ll押-c磁on谋di归ti易on柳ed练m扮at豪ri盆x.条件辅数的污作用炒及意悦义条件非数事执实上良表示拢了矩腐阵计院算对恳于误浩差的芬敏感位性。赠对于像线性菠方程停组Ax物=b，如猛果A的条求件数博大，b的微喊小改招变就孩能引售起解x较大厉的改个变，掠数值顶稳定毫性差避。如敏果A的条始件数披小，b有微逐小的捞改变下，x的改镇变也卡很微狠小，欲数值触稳定沾性好赛。它蹲也可攻以表美示b不变吓，而A有微仇小改承变时钞，x的变兼化情梨况。梳比技如线幸性方冠程组[1摩2展;徐3.珍99太9移1]刻[x团y哥]=豆[4龙7论.9龄99换]的解级是(x译,y巧)=商(2纲,1忍),而[1叫2潜;3吹.9涛99么1啦][心x祥y]似=[唉4.圆00叨1依7.雹99访8]的解取是(x斥,y处)=占(-储3.富99僻9,弓4.动00杰0)可见b很小肆的扰忘动就脑引起划了x很大牢的变孤化，据这就净是A矩阵铅条件意数大沾的表富现。钳一抢个极拔端的邮例子确，当A奇异纺时，拍条件系数为端无穷妖，这握时即品使不矮改变b，x也可总以改述变。充奇异衡的本诉质原雹因在抬于矩则阵有0特征湖值，x在对旦应特踪蝶征向绩量的奔方向匆上运老动不辩改变Ax的值倡。如耳果一勇个特恐征值客比其嚷它特变征值虾在数套量级太上小纯很多足，x在对盘应特劈燕征向艳量方炕向上时很大呈的移忌动才缓能产优生b微小纺的变困化，迁这就榜解释拉了为中什么隆这个抓矩阵勇为什匪么会误有大权的条湾件数筝，事健实上纹，正污规阵键在二嘉范数普下的宵条件讽数就四可以秀表示厉成ab寺s(最大奇特征恩值/最小搂特征夜值)。2.贪6.词7矩阵液的特寻征值（ei监ge蒜nv稻al四ue）与特灭征向戴量在MA神TL横AB中，碧计算舍矩阵A的特驴征值诊和特爷征向真量的生函数坊是ei昼g(掘A)，常膊用的载调用筒格式限有3种：E=ei丑g(辽A)：求差矩阵A的全按部特温征值恰，构偶成向搭量E。列出A的特滔征值[V玩,D害]=ei校g(身A)：求裤矩阵A的全着部特澡征值牙，构六成对径角阵D，并施求A的特众征向说量构奔成V的列轨向量鲁。D为以择特征箩值为唇对角伴阵元瓜素的激对角零阵，V为特败征值动所对脸应的语特征税向量斑。[V内,D采]=ei煌g(餐A,我‘n幸ob勇al罚an育ce’)：与镜第2种格导式类先似，挂但第2种格顾式中璃先对A作相冰似变鹊换后摊求矩迷阵A的特播征值盟和特院征向腾量，副而格使式3直接旗求矩捆阵A的特定征值灶和特份征向骨量。（为柜什么2、3两种过方式惑得到界的特厨征向进量值牛会不赶同？污）例2-鸭12用求使特征奸值的环方法乖解方掌程。3x5-7腰x4+5淋x2+2辨x-吓18的=0p=孩[3被,-票7,阔0,蔬5,犁2,独-1直8]毅;泽A=co算mp涉an闪(p);纳%手A的伴瘦随矩谜阵x1迁=ei泻g(贿A)崭%求A的特累征值x2四=ro鄙ot素s(锤p)懒%直接能求多灾项式p的零鸭点x1和x2得到聪的结哗果是朽一样纵的，采但为稳什么怒求A的特妖征值宣时要赌先求p的伴肌随矩值阵呢映？2.剑5.壤8矩阵废函数sq沫rt遍m(回A)矩阵致平方绑根lo披gm办(A济)矩阵坛对数ex属pm殊(A)矩阵众指数fu替nm贴(A依,‘fu狐n’猜)矩阵锡函数2.狱8字符修串(C券ha鸡ra散ct绵er哨A拖rr哥ay挎s筋or踩S阵tr妻in炭gs业)在Ma嘉tl况ab中，亩字符间串是跳用单咳撇号旋括起税来的汁字符轻序列患。Ma岔tl弹ab将字凯符串核当作馆一个行向组量，每耍个元搏素对语应一论个字慰符，哪其标骑识方铁法和鸽数值穗向量致相同纺。也疑可以忙建立割多行某字符歌串矩盖阵。字符冻串是城以AS险CI涨I码形敢式存释储的距。ab糊s和do珍ub庙le函数捡都可蛮以用胆来获欺取字肉符串瞧矩阵场所对您应的AS鲜CI怨I码数间值矩足阵。艇相反来，ch筐ar函数思可以齿把AS吗CI射I码矩裹阵转送换为恳字符遵串矩舒阵。字符碎串变若量的梁建立S=总‘s毛tr谷in寸g’；S=欲[‘嘱St绳ri渡ng传1’乓,’婆St饼ri浅ng纲2’晃,St旨ri狡ng殿,…粮]以行巴向量立表示S=托[‘赚St宽ri沙ng狭1’恒;’观St六ri捡ng下2’保;St杂ri竹ng摧,…雕]以列薪向量默表示S派=st悔rc屯at煤(s容1,五s2况,s谷3,赚..窄.)把多证个串浙连接旬成长什串，敌以行巡寿向量框表示S纹=st细rv物ca搭t(灿t1峰,t丸2,摸t3否,.流..偶)创建良字符携串数蓬组，眨以列拘向量顶表示S唱=ch蹦ar斑(X茄)把符蓬号对惩象转像化为画字符痰串数征组（垃若X为数悉字，恋则S为相娘应的AS骂CI瓣I码值银）X墙=do蜜ub最le享(S昆)把其串他类献型对脆象转徐换为燥双精老度数锄值X别=ab兄s(焦S)取绝抽对值st部r=应in织t2桃st吗r(岂N)整型视变成伸字符瓦型st况r=抖nu借m2万st尼r(膀A)st万r=ma肯t2渔st捏r(气A)将数武组转翠换为厕字符畏串x毁=都st遭r2低nu惭m('s添tr聋')ev剂al绩(e化xp热re命ss字io晨n)字符嘱串宏百指令as太ci换i=胞ch猴ar票(r叹es掘ha架pe腹(3钩2:逗12宜7,连32慌,3学)'弹)例2-外13建立列一个慕字符双串向否量’AB后c1而23姐d4屋e5厕6F蓬g9’，然哄后对半该向针量做继如下窗处理摧：(1戏)取第1～5个字雕符组祥成的柳子字践符串充。(2热)将字悄符串恶倒过扎来重羡新排忧列。(3薯)将字扯符串田中的邀小写录字母询变成赵相应挂的大爱写字漆母，幅其余违字符会不变个。(4方)统计拜字符断串中脸小写闪字母签的个北数。命令演如下陶：ch=‘拖AB翠c1贱23慢d4徒e5丈6F邮g9偏’;su甘bc砖h=c岭h(牺1:陵5)紧%取子究字符吩串re昼vc略h=c季h(碎en波d:敌-1木:1匆)爬%将字社符串消倒排k=fi锐nd择(c些h>=霜‘a’张&c穗h<=厌‘z叮’)冒;她%找小疑写字角母的荣位置ch配(k)=ch彩(k)-糟(‘坑a’御-‘绑A’心);呼%将小映写字提母变碑成相腐应的炉大写稠字母ch或ar厕(c趁h)le召ng俗th麻(k)伶%统计怜小写匪字母遍的个忙数2.赴7结构言数据1．结孕构矩锻阵的胆建立铸与引暮用结构折矩阵油的元杜素可秋以是家不同骄的数耕据类撇型，鬼它能幼将一岩组具距有不你同属滚性的秩数据塑纳入的到一岭个统宰一的党变量改名下膏进行热管理薄。建盛立一葛个结还构矩零阵可善采用顷给结酸构成搁员赋阅值的而办法按。具丑体格侵式为衡：结构侍矩阵龙名.成员搞名=表达唯式其中筋表达槽式应倍