第三章MALAB数值计算

MATLAB的数值运算制作:陈学明创建矩阵的规则矩阵元素必须用[]括住矩阵元素必须用逗号或空格分隔在[]内矩阵的行与行之间必须用分号分隔当一个指令或矩阵太长时，可用•••续行例：y=[2,4,5; 368]

矩阵元素矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数i，j输入。大的矩阵可以用分行输入，回车键代表分号。a=[123;456]x=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]用matlab函数创建矩阵空阵[]—matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。rand——随机矩阵eye——单位矩阵zeros——全部元素都为0的矩阵ones——全部元素都为1的矩阵diag——产生对角矩阵矩阵下标与子矩阵提取A(m,n) 提取第m行，第n列元素A(:,n) 提取第n列元素A(m,:) 提取第m行元素A(m1:m2,n1:n2) 提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2 列的所有元素A(m:end,n) 提取从第m行到最末行和第n列的子块A(:) 得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩 阵的列进行排列例：假如A是一个已知10*10的方阵,那么:（1）A(:,3) （2）A(5,:) （3）A(1:5,3)（4）A(1:5,7:10) （5）A([135],[246])（6）A(:,7:-1:3) （7）A(:,[24])=[]

（1）是A的第3列元素构成的列向量;（2）是A的第5行元素构成的行向量;（3）是A的前5行的第3列元素构成的列向量;（4）是A的前5行,第7到第10列元素构成的子矩阵;（5）A第1、3、5行,第2、4、6列元素构成的子矩阵;（6）A的第7、6、5、4、3列元素构成的子矩阵.（7）把A的第2、4列删除,形成A的一个子矩阵.矩阵的修改(1)直接修改 可用↑键找到所要修改的矩阵，用←键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。(2)指令修改 可以用A(﹡,﹡)=﹡来修改。(3)由矩阵编辑器修改 由Matlab提供工具栏按钮来查看工作区变量，单击变量，可以打开或删除变量例：修改矩阵A中元素的数值>>A=[1234;5678;9101112;13141516];>>A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0);则矩阵变为：

A=0234577891011121314151数据的保存把Matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。save——将工作空间中所有的变量存到Matlab.mat文件中savedata——将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。savedataab——将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。数据的获取运行Matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。load——loaddata——loaddataab——矩阵加、减（＋,－）运算规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。矩阵乘（）运算规则： A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘。例：a=[123;456;780];b=[1;2;3];c=a*b c=14 32 23注：一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。矩阵除（\,/）运算矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在Matlab中有两种矩阵除运算: \（左除）/（右除） A\B为方程AX＝B的解B/A为方程XA＝B的解 A\B=inv(A)*B B/A=B*inv(A) B/A=(A’\B’)’矩阵的一些特殊操作矩阵的变维 a=[1:12],b=reshape(a,3,4)%b为3行4列 c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向 rot90:旋转(逆时针）; fliplr:左右翻;flipud:上下翻矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril:抽取主下三角; triu:抽取主上三角例：a=[123;456;789], b=rot90(a),c=flipud(a),d=fliplr(a) a=123 456 789b=369 258 c=789 456 123 d=321 654 987矩阵巧的乘砌方a煮^汁p牌——奥a自乘p次幂方阵>1的整数对于p的其惕它值,计算成将涉套及特念征值屈和特给征向贸量，梢如果p是矩米阵，a是标添量，歪则a^旋p使用灾特征离值和腐特征延向量纹自乘龄到p次幂婶；如a,炼p都是麻矩阵李，a^慎p则无因意义润。当一果个方量阵有射复数女特征行值或氧负实弹特征架值时雨，非须整数误幂是知复数幅阵特殊议的应闯用矩流阵约当朋阵－灯－将马状态竭空间流模型游转换持为约秀当标威准形驱形式长：jo形rd熊an盗(a)得到罗矩阵a的约席当标园准形[V统,J仰]=jo众rd存an非(a)J为约悄当标伶准形戚，V为相舞似变饶换阵渴，满木足V\景a*异V=解J.例：a=腊[1朵,2咸;3炉,4指];率J=jo史rd坝an扑(a琴),返[V肥,J浓J]=jo谱rd龟an桐(a)J词=宇5情.3倒72镇3匀00圈-颂0.恳37搭23V开=咐0廉.2拥38阳9幸0诞.7颗61付10.朽52逝22辣-焰0.扒52哑22JJ敬=词5.围37键23孙00至-港0.东37史23特殊黄的应聪用矩输阵伴随弃矩阵庙－－欲将状牺态空眯间模抄型转挖换为策可控漆标准倘形co贸mp灭an着(p)获得急多项肆式P的伴睬随矩祸阵p=茅[1俊2劳3肉],扯a=co炼mp擦an队(p)p含=1扔2部3a恼=-2化-31平0特殊篇的应托用矩葵阵格雷财姆（Gr馒am忆)矩阵谜－计谱算可礼控性无和可床观性箭格雷掩姆阵Gc=gr原am袖(G完,’绑c’)计算包稳定芹系统G的可系控性废格雷厦姆矩夏阵GcGo平=gr电am湾(G写,’匹o’)计算塘稳定浑系统G的观炎测性处性格齐雷姆正矩阵Go关系催运算关系块运算毛符：<(小于)、<=骑(小于丛或等巾于)、>(大于)>=距(大于袭或等稿于)、==烫(等于)、～=(不等候于)。关系盛运算慕符的坊运算圾法则搬：关系闪运算两将对滤两个复矩阵下的对挥应元子素进寇行比叮较。必须恰是两夕个同宅维矩馅阵或注其中柄一个差矩阵瞎为标骗量才跑能进录行MA释TL广AB提供摧了一这些逻睛辑函吉数常用玩的逻选辑函惯数逻辑函数功能all如果所有的元素都是非零值，返回1；否则，返回0。any如果有一个元素为非零值，那么返回1；否则，返回0isempty判断是否空矩阵isequal判断两矩阵是否相同isreal判断是否是实矩阵find返回一个由非零元素的下标组成的向量常用绞的矩赠阵函玩数矩阵男的行荷列式幻玉、矩判阵的恭秩、牙特征拘值等熄在现含代控衫制理因论中杆有广五泛的宅应用幻玉，Ma墙tl局ab提供汉了相红应的芦函数悟求其什值de减t(赤A)方阵A的行珠列式ei渔g(包A)方阵A的特遗征值扔和特顿征向烛量ra铜nk厅(A)矩阵A的秩tr彻ac地e(满A)矩阵A的迹ex肾pm需(A)矩阵罪的指末数sq邮rt狗m(镜A)求矩椅阵的结平方旺根fu纠nm用(A佛,’摔fu者n’)求一呈般的维方阵蔬函数求解臂线性笨方程信号掉处理险、控紧制理虑论、蔽物理岔学等陵领域怠中的产很多逆问题注都可饲以归芦结到轿下面亦的线根性方肤程组矩阵宇行列吼式如N阶矩趟阵A的行枪列式汇不等膜于0，即聚时，轮称矩讲阵A非奇箩异，根否则A奇异刻。当仰线性探方程破系数吓矩阵役非奇坛异，殊则线众性方严程有恼唯一春解。织对N阶方核阵A，MA雹TL熔AB中由笼函数辽得到素行列辉式矩阵难条件室数矩阵遮特征两值和稍特征短向量矩阵薄分解矩阵拾分解仆通过乒将复还杂矩窃阵表导示成喝形式获简单危或具减有良软好数白学性悬质（代统称零为简夜单矩惑阵）司的组何合，详以便橡于理歉论分贯析或收数值惊计算珍。通喉常矩妖阵分畜解将销复杂婆矩阵膏分解扒为几银个简汉单矩堪阵的糠乘积晒。求锻解线莲性方烛程组酬不可呈避免较地要息用到匆矩阵游分解缴的概隐念。MA液TL匀AB中，横线性钩方程斯组的字求解殿主要葛用到香三种股基本嫩的矩凭阵分卡解，图即对适称正值定矩休阵的ch赵ol市es肃ky分解利、一驼般方劈燕程的ga赤us仰si曲an消去宜法和笨矩阵悠的正锈交分刊解。宏这三郑种分扶解由庄函数ch稠ol、lu和qr完成桶。正定企矩阵正定朗矩阵叮的判好定判定屡定理1：对后称阵A为正四定的绑充分蛮必要肥条件菜是：A的特乳征值糖全为尼正。判定蛾定理2：对热称阵A为正跪定的移充分认必要害条件渣是：A的各伯阶顺渔序主凯子式清都为佣正。判定稀定理3：任农意阵A为正拒定的器充分葛必要唉条件宵是：A合同隙于单俘位阵款。正定调矩阵正定将矩阵后的性逢质：1.正定刮矩阵用一定净是非乌奇异络的。椅非奇孙异矩央阵的现定义示：若n阶矩柄阵A的行蓄列式材不为服零，醉即|A苍|≠跪0，则钻称A为非序奇异霜矩2.正定菜矩阵挑的任婚一主品子矩徒阵也包是正杜定矩渡阵。3.若A为n阶对勉称正涉定矩竹阵，塞则存漠在唯嘉一的搬主对川角线害元素莫都是厦正数宾的下蚀三角速阵L，使猫得A=秩L*粱L′，此避分解罗式称扫为正茧定矩乐阵的育乔列泳斯基首（Ch帖ol巾es液ky）分览解。Ch献ol朴es竿ky分解如果A为n阶对夏称正自定矩粗阵，净则存迷在一伏个实沙的非善奇异洪上三桂角阵R，满袭足R‘症*R白=评A，称袭为Ch负ol么es锹ky分解爪（P7现1例3-蕉15励)Ma仍tl评ab使用找函数ch学ol实现Ch淹ol数es拴ky分解享，其败格式优为：R朱=ch步ol其(A)若A非正轧定，梅则产好生错捏误信晌息。[R,麦p]糖=ch误ol屈(A)不产句生任炼何错钓误信摧息，扛若A为正曲定阵帝，则p=推0，R与上污相同摇；若A非正帜定，痰则p为正鄙整数券，R是有摆序的与上三灭角阵昼。lu分解lu分解乌的含墓义1u分解伐是除科法运钟算的灵基础甲。ga俘us奶si欢an消去搏法或lu分解葱是将深任何并方阵X表示胃为一或个下腹三角矩矩阵L和一届个上昨三角壁矩阵U的乘避积，迎即X=吧LU。线猪性代闹数中卫已经局证明劝，只弄要方凯阵A是非钉奇异粘的，LU分解处总是散可以碧进行活的。lu分解淋的条疾件进行lu分解旬时，夏矩阵X必须妖是方悲阵。lu分解MA防TL曾AB提供躺的lu函数胞用于歪对矩疏阵进缠行LU分解庭，其割调用贵格式趣为：[L供,U渐]=lu随(X)：产幕生一框个上甘三角润阵U和一历个变使换形沫式的膀下三胆角阵L(行交纪换)，使肤之满麦足X=先LU。注断意，丧这里局的矩兄阵X必须里是方见阵。[L烛,U乏,P丛]=lu脂(X)：产妹生一徐个上知三角悠阵U和一拥个下闲三角逼阵L以及被一个均置换岂矩阵P，使穿之满依足PX估=L香U。当总然矩活阵X同样窃必须流是方佣阵。实现LU分解纹后，咬线性残方程臭组Ax矛=b的解x=篮U\文(L流\b猛)或x=呜U\坐(L米\Pb)，这晨样可耍以大甩大提粮高运餐算速朵度。qr分解qr分解疫的含蜻义qr分解课即矩根阵的番正交甚分解萍，是输将矩弓阵X分解描为一岗个正溪交矩皮阵Q和一耻个上秤三角案矩阵R的乘越积，挡即X=处QR。适用锅条件坝及范停围qr分解活适用挪于方雀阵，挡是非她常重辨要的害分解走形式最。QR分解Ma托tl解ab使用沉函数qr实现QR分解焦，其映格式荒为：[Q饿,R愈]舒=qr割(A)[Q勾,R加,E贼]坏=qr幕(A)求得葡正交欣矩阵Q和上歇三角迟阵R，E为单商位矩飘阵的阅变换化形式潮，R的对闸角线搭元素构按大猴小降贞序排不列，凭满足AE栏=Q橡R。[Q堡,R源]谱=积qr更(A燃,0毛)R趁=俭qr茂(A喝,0悄)奇异绕值分等解奇异集值分篮解也壮是矩边阵求滩秩运衣算的径基础尿，对枝矩阵A进行抚奇异满值分征解S=sv票d(弄A)，得调到向姓量s的非授零元怎素的份个数刃就是抄矩阵A的秩未。奇异焦值分眨解[U简,S渣,V赛]=sv君d(岔X)产生榴一个株与矩富阵X具有断相同南维数间的矩箱阵S，其虏对角礼线元鬼素为损递减蕉的非迎负值壮，同微时得就到酉限矩阵U和V，使惑得X=女U*朝S*哄V；[U赴,S耗,V突]=献sv设d(窑X,悲0)得到渡一个显“经摆济大顾小”故的分来解结牺果，星如果X是m×销n矩阵这且m>酿n，则订只计未算U矩阵野的前n行，阀且S矩阵筑是n×丙n阶的酸。S=禽sv瓜d(厉X,戒0)得到康矩阵X的奇骨异值布组成尘的向域量；多项瓦式与泳插值多项家式在圣数学赖中有陶着极补为重钻要的脊作用芳，同较时多都项式倘的运酿算也狗是工筛程和僻应用础中经快常遇区到的趴问题删。MA低TL背AB提供欧了一闷些专脂门用挥于处竖理多祥项式躬的函帅数，谣用户傍可以歼应用之这些肤函数胞对多姻项式浊进行言操作存。MA勇TL慰AB中对终多项扇式的涉操作今包括浸多项京式求奔根、磨多项榆式的迷四则胖运算嘉及多匠项式肌的微窝积分冒。多项释式的与表示价方式多项坟式的MA汇TL树AB表示绕法：如：P＝S3＋2S2＋3S＋4MA席TL斥AB可表侨示为仿系数铸向量P＝[1礼2云3乞4]多项锄式的晓四则副运算由于霞多项血式是蚁利用被向量杯来表冬示，卖多项青式的状四则肚运算欺可以掩转化躁为向兆量的孟运算帅。多项汽式的隶加减房诚为对蛙应项言系数业的加警减，守因此郊可以债通过垦向量炕的加风减来眼实现患。但饰是在砌向量限的加改减中医两个撒向量京需要楚有相硬同的难长度唯，因肥此在山进行欠多项获式加贸减时阔，需岔要将川短的杆向量塌前面昌补0。多项郑式的邻乘法锡实际甘上是啄多项菊式系坝数向绞量之嗓间的始卷积轿运算趟，可棍以通李过MA优TL以AB中的缠卷积户函数co规nv来完绑成。多项吉式的协除法脸为乘酬法的回逆运点算，题可以胆通过爽反卷旅积函旅数de蚂co灰nv来实长现。多项冠式的吧其他绍运算除多足项式钓的四平则运叛算外爆，MA递TL论AB还提赢供了斩多项昨式的烂一些挺其他绞运算绕。如隶表所悉示。函数功能roots多项式求根polyval多项式求值polyvalm矩阵多项式求值polyder多项式求导poly求矩阵的特征多项式；polyfit多项式曲线拟合residue求解余项多项烟式的积运算鹊函数添（1）ro胶ot望s函数碍和po想ly函数这两崖个函节数为摔功能喇互逆芳的两静个函朴数。ro蛛ot中s函数讯用于居求解耕多项铺式的堆根。贴该函挤数的繁输入淋参数线为多突项式醋的系深数组洽成的赚行向确量，见返回京值为松由多值项式随的根浮组成涂的列稀向量私。po故ly函数椅用于郊生成懒根为沾制定及数值合的多核项式费。po套ly裂va竿l函数po牌ly币va流l函数邮用于稼多项他式求豆值。捧对于括给定谊的多兆项式只，利冬用该笑函数南可以鸭计算造该多涝项式您在任帅意点桥的值手。多项堪式的挎运算块函数骡（2）po尘ly稼de死r函数函数po谅ly译de统r用于澡多项饶式求今导。贵该函抗数可闲以用棍于求赚解一岸个多生项式撇的导窝数、区两个徐多项躬式乘固积的被导数答和两海个多铲项式距商的弯导数胳。该呈函数哗的用污法为攀：q五=po刺ly御de妖r(疏p)该命缎令计胃算多庭项式p的导嗽数。c闸=po薪ly痛de苦r(队a,作b)该命逢令实京现多削项式a、b的积替的导秆数。[q,塑d]例=po挥ly上de悼r(山a,烂b)该命台令实杜现多茄项式a、b的商证的导但数，q/层d为最镜后的勇结果层。若已崭知多倾项式嫁根向荷量，蚕可用po竭ly（P）生欢成多辛项式【例】已知P1挠(s覆)＝(s恒+1波)(珠s+撕2)载(s跪+3斗)的根为蚁：-1到-2左-3则编酸写：P1＝po众ly（[-冒1,列-2组,-甲3]）运行披后,得P1＝1史6非11贤6表示眯已生普成多哄项式粥为：P=冤s3+6草s2+1追1s甩+6多项范式的察生成多项午式运添算（1）1．求多凝项式横值po队ly巨va经l(眉p,处x0械)V=征po昼ly沙va参l(后P1悲,1付)V=撑242．多溜项式必加、毁减:*阶次悄相同强，低斗阶缺粪项系每数必年须补0【例】：腔（s2+2秃s+怪1）+勇2s2P1喇=[释1瞎2艳1识]；P2勇=[贡2坊0附0锤]；P=平P1灯+P扮2》P牌=3杯2善1多项嘱式运偏算（2）3．多熄项式员乘法悔co芳nv廉.（卷旷积）(s块+1简)(借s3+6恨s2+1传1s毁+6析)P1卷=[柏1胁1扩];P2氏=[皱1狱6险11执6]下;P3所=c陈on地v(汁P1楚,P帜2)》典P3的=麻1帮7