第五章直接法数值积分

第五章.解线性代数方程组的直接方法

§1.引言

（一般有限步内得不到精确解）解线性方程组的两类方法：直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。§2.Gauss(高斯)消去法相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方程—同解！第一方程不动！Gauss消去法计算过程

在［A(1):b(1)］中,红方框中的元素是要化为0的部分；［A(2):b(2)］中,红方框中的元素全部已发生变化,故上标由(1)改(2).即对增广阵进行初等行变换:

(i=2,3,,n)

(i,j=2,3,,n)

(i=2,3,,n)

(i=2,3,,n)第k次消元(1≤k≤n-1)

设第k-1次消元已完成,且≠0,此时增广矩阵如下:

本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处理,消掉第k+1个方程到第n个方程中的xk项,即把到化为零.计算公式如下:(i=k+1,,n)

(i,j=k+1,,n)

(i=k+1,,n)

(i=k+1,,n)

只要≠0,(k=1,2,,n-1)消元过程就可以进行下去.当k=n-1时,消元过程完成,得:

它的方阵部分A(n)是一个上三角形矩阵,它对应的方程组是一个上三角形方程组,只要≠0,就可以回代求解公式为:

(i=n-1,n-2,,1)综合以上讨论,高斯消元法解线性方程的公式为:1消元

令(i,j=1,2,…,n)(i=k+1,k+2,,n)

(i,j=k+1,k+2,,n)

(i=k+1,k+2,,n)2回代,若≠0

(i=n-1,n-2,,1)

②对k=1到n-1,若≠0,进行:

(i=k+1,k+2,,n)系数矩阵与常数项：返回(即为P169定理6)消去盛第一蛾列的n-让1个系论数要赠计算n*启(n案-1裂）个乘嘉法。Ga搞us臭s消去居法乘算法计仅算量§3那.贸高柿斯主窝元素拒消去期法3.蜻1列主爷元消辩元法设已乞用列针主元冈消元幼法完层成Ax所=b的第k-1次消性元(1凤≤k≤n-1排),此时鞭方程躬组Ax仍=b虫→A(k啊)x=特b(k马),有如恒下形版式:若=0,乡丰则必期有方露框内恋的元症素全为胖零,杜此时稍易证即方捷程组Ax漂=b无确歇定解乎,应辫给出写信息东退出昏计算(kjn)然后降用高装斯消慌元法聪进行男消元.这样屿从k=文1做到k=裙n-渐1,就完殖成了同消元沃过程誓,只淋要｜A｜沉≠0博,列主复元高绕斯消枕元法摄必可集进行绿下去.进行绝第k次消翠元前膛,先旁进行姿①、港②两多个步早骤:｜A堵｜=竿｜A(k营)｜=昂0,②若≠0乏,则芝交换ik行和k行元搬素,扇即:①在饼方框恩内的叨一列海内选劈燕出绝此对值贱最大勒者,枪即确程定ik,全主枪元消舅元法在列扬主元注消去捡法中返,若疯每次臣选主羊元不毫局限筛所在焰列中炕,而菊在整斩个主撒子矩牵阵中选谋取,低便称踩为全卫主元摧高斯宅消元凯法,此时最增加屿的步奔骤为模:①,确威定ik,缝jk,若宏何=0,美给洋出｜锻Ａ｜柴=0耗的信忘息,深退出满计算答.②作如击下行舅交换绪和列背交换余行交甲换:(k口j俯筋n)列交泥换:(k沙i顿趟n)值得竖注意铅的是姑,在挤全主率元的辽消元赵法中牧,由稻于进畏行了闹列交博换,x各分择量的昆顺序守已被恩打乱.因此送必须践在每创次列昆交换旺的同记时,施让机器“记知住”作了卷一次辛怎样融的交工换,甲在回电代解扩出后岁将x各分量换蛇回原球来相配应的躬位置绝,这寨样增绳加了绝程序加设计摄的复奥杂性畅.此外冬作①步比独较大焰小时龄,全解主元拦消元半法将蹦耗用置更多打的机盒时.但全撇主元龙消元堆法比养列主拌元消堂元法数值油稳定暴性更值好一督些.实际应用球中,塔这两疲种选妖主元求技术米都在愁使用.选主渠元素裤的高袋斯消抓元法霸是一殿种实覆用的碎算法士,它愈可以圾应用县于任唤意的立方程辆组Ax讨=b盏,只要嫁｜A｜右≠0中.高斯-若当(Ga杏us据s-皆Jo顺rd高an哪)消元无法很多赢问题启都需喇要计脱算方狸阵的走逆阵.线性荒代数档中有司多种拌求逆笑方法者,本纪节讨缎论求A-1的数非值方辣法.A非奇系异,脸求A-1设X=危A-1,A陡X=脂I,将X和I列分惕块,私得n个线戴性方赤程组收:Axi=ei,絮i刮=1雁,2庄,,n找.洒解这n个线挎性方胜程组化就求维得A-1,原则宵上,摊所有晋解的泪方程滴组的盗方法础都能捧求A-1.实际慕计算落中使沸用较震多的质是高糖斯-若当督消元巷法.高斯-若当留消元椒法高斯-若当晨消元鸡法是参高斯走消元具法的恒一种番变形.高斯政消元叠法是保消去驶对角妨元下兼方的砖元素.若同娇时消蜘去对瓣角元潮上方邮和下页方的遥元素薄,而谢且将辉对角裁元化挣为1片,就饰是高秀斯-若当拥消元勇法.设高怪斯-若当们消元屡法已器完成k-登1步,容于是Ax繁=b化为斤等价吧方程哈组A(k另)x=抱b(k竹),增广思阵在第k步计葛算时桑,考况虑将宏第k行上糕下的早第k列元球素都俭化为聋零,抵且akk化为1.束对k=1蛾,2洗,,n1按列拳选主篇元,闲确定ik使2换行天,交象换增物广阵阵第k行和够第ik行(j=债k,击k+惨1,,n),3.计有算乘假数mik=劳-柴aik／akk…mkk=1／akk.4消元aij=aij+mikakj(i=1,疑2,,n贤,且i≠呈k,贺j=郊k+1,,n)bi=bi+mikbk(i=1,庙2,,n允,且i≠口k)5主行说计算akj=akj×mkk(j=贴k,录k+1,,n)bk=bk×mkk当k=耗n时,显然xi=bi,i=1颠,2绒,,n就是Ax剂=b的解.(i=1,迹2,,n葵,怜i泄≠k)高斯-若当黎消元樱法的肯消元升过程匠比高毕斯消醉元法攻略复靠杂,往但省羊去了销回代播过程宽,它柴的计宣算量裕约为n3/2另,大于炭高斯键消元拒法.也称围为无辱回代患的高毁斯消统元法.求方点阵的际逆高斯-若当您消元榨法解么方程浩组并兔不比份高斯惰消元板法优以越,摧但用剥于矩询阵求佣逆是征适宜婶的,询实际魂上它饱是初等兴变换眯方法蹈求逆隶的一扭种规凳范化驰算法怖:例3所以将高持斯-若当谱消元炼法算捷法略念加改译造便掩成了纱求逆魄的算般法.AX炼=I对k=弦1,滚2吧,,缩慧n1按列裳选主渗元,搂确也定ik2换行渐,阶交换两第k行和ik行(j=避k,划k+眯1,,n)(j=渔1,行2,,n)3计算斧乘数mik=-鼠aik／akk,(i斑=1锡,2障,,爬i援≠k五)mkk=1／akk5主行粮计算akj=akj×mkk(j=席k,牌k+1,…滔,n)xkj=xkj×mkk(j=1,执2,…饲,n)A-1=(xij)n×n应该孕注意娱到,晋在上惰述算闭法中园都加消进了侧选列榜主元焰的步课骤,它可懒以保鞋证在膨方阵A非奇摸异的宅情况阁下都滚能求福得A-1.求逆贵算法中样不宜盾使用触全面想选主帖元,盆否则交会改门变逆恳阵元仰素的膀排列首,增加程序挠设计笑的复梨杂性.4消元aij=aij+mikakj,兽(i=1,争2,…辞,n,且i≠块k,兆j=仙k+1,…哪,n)xij=xij+mikxkj,水(i=1,粱2,…疯,n,且i≠阻k,枕j=1,跑2,…熟,n)Ax傻=b是线矮性方蹈程组扁,A是n×n方阵腾,并晓设A的各锹阶顺棚序主笋子式浅不为眉零。令A(1惹)=A,当高姜斯消杂元法达进行愿第一用步后吵,相告当于湾用一卸个初秩等矩割阵左架乘A(1蛮).不难性看出赠,这袍个初黎等矩傲阵为其中mi1(i=2负,3捉,…驶,n)由式(2涨.9蛾)确定树,即§5矩阵匠的三角分解同样驾第k步消泡元有进行n-1步后亲,得草到A(n),记U=片A(n),显然U的下路三角狂部分来全化为零蝇元素可,它辨是一帅个上摧三角叔阵。疼整个男消元轰过程厘可表殊达如帆下:其次数指出已知U是上促三角何矩阵晒,下肤面讨基论L的性梦态,啊首先搁指出L相当弄是由竭各L-1k(k=1城,2隆,…乏,n-1择)的所庆有左搞下元待素拼由凑后加托上对判角元1而得平.当A进行LU分解案后,Ax盖=b就容五易解粥了.即Ax炎=b等价摄于:这样券,Ax凤=b分解江为解产两个辩三角枕形方娱程组胡,三追角形欧方程六组是迈极易帅求解寻的.(*蜜)即裳是高炮斯消运元法谣的矩错阵表桌述.定理现7矩阵An×n,只要A的各嫁阶顺盛序主凉子式忍非零商,则A可以稀分解保为一薄个单旧位下恐三角线阵L和一鼻个上酷三角剥阵U的乘够积,纱即A=捏LU,且这创种分跳解是斩唯一兰的.(P1订73睬)L是下熟三角零矩阵冈,且禾所有酷的对幕角元江为1兼,故并称为线单位浩下三烫角阵漆.这倒样,A=巩LU称为A的LU分解晋,其哈中L是单艺位下绞三角旋阵,U是上钩三角诱阵.例1选主革元素遗的矩认阵表睡示直接LU分解秩法A的LU分解珠可以资用高秒斯消魄元法静完成灶,但有也可帮以用笋矩阵魂乘法蚂原理针推出邀另一裙种方烫法,量结果迅是完截全一炒致的抱．由矩远阵乘串法公块式可榜推出穷直接LU分解犹算法垒,也惠称杜句利特(Do军ol眉it珠tl校e)紧凑烟算法研,现朽总结怪如下轰:1.矩阵沙分解为:A=样LU口，记例如毁：2.解L庸y宽=蝴b3.解U期x印=徒y杜利炸特算示法可芝用文屈字描浆述如委下:将A的元趋素划店分为俭形如痕“┏”线的n框,如A的第羽一行吨和第绪一列甲元素击为第一框,蹲紧靠幻玉第一俭框内形部的赖第二嫌行和差第二邻列元伏素为圆第二狂框,绸依此码类推远,ann一个广元素区为第n框.为便饶于描举述我摩们称狭原A矩阵戚中元滚素为a元素脉,计毯算后量每框捕中的凶每行庭元素己为u元素(包含山对角源元素爪),钥每列应元素检为l元素(不包疼含对皇角元捕素).杜利御特算网法实抖际上里就是贸高斯辰消元早法的柄另一女种形葵式.它的鲁计算贡量与队高斯集消元肤法一钥样.但它询不是是逐次毁对A进行柿变换授,而耗是一妇次性展地算联出L和U的元涛素.L和U的元光素算炉出后赌,不轧必另帝辟存惜贮单煤元存闯放,唐可直而接存在放在A的对渴应元璃素的挽位置来,节豪省存桃贮单绍元,通因此政也称坊为紧恰凑格牵式法.也可模以用控增广迎矩阵[A:驾b]进行确以上竿操作铜,这窑时每住框要旨多算昌一个u元素筑,结初果矩明阵中努的最受后一爹列就罚是Ly瘦=b的解暮,回斩代时帅只要图解Ux录=y就行猜了.当用手静工计幻玉算小铜型线硬性方瘦程组能的解件时,啊用此篇方法建比较忧方便.这样诞我们洪可以嫁在A上直钉接修忽改计哪算,傻作如否下的路操作贝:得到王的矩但阵由L和U的元狸素拼责合而蚂成,均它的蛛上三扫角部艳分(包含对角湖元素)即是LU分解鞠后的U矩阵;它的怕下三狭角部物分(不包疗含对角扯元素)加上厌一个诱单位火阵(即在效对角牌元处特全部自写为1),凤就是L阵.(1围)第威1框:u元素虚等于雅对应晋的a元素;l元素脑等于做对应必的a元素除以勺本框孝对角话元素;(2漏)第叶2到n框:u元素租等于短对应雀的a元素呢减去进已经蔽算过厘的各割框中同昼行同达列元祸素的筒乘积;l元素轿除进母行以触上操还作外康,还觉要除以本庙框对篮角元都素方阵任行列塌式求心法在实穿际问灿题中虫,有订时会妇遇到至求方拐阵的胳行列约式.在线揭性代省数中右讲到酿的行盛列式捎定义锹算法泡和展谜开算框法均稼不适绑用于慨阶数却较高肆的行科列式.而LU分解宏是计至算行断列式辛的十肚分方遭便和术适用范的算杠法.A=延LU即只咳要将U阵的赚对角夫元相厦乘就辞可得A的行授列式.为避晨免计鱼算中疮断,百还应驻加上溜选主浪元素我过程净,此许时每朱做一叶次行币交换(或列活交换纲),脉行列棋式要宪改变啄一次或符号垫,有酿:其中p是进递行的方行交踩换次登数(对列猫主元坏消元蜻法而沫言)萝,或零是行秃交换抗和列掉交换雅次数键的总游和(对全变主元扣消元伸法而邮言).若选湖不出列非零胞的主斜元素侨,则惩必有de鲁t设A=咳0.克劳解特(Cr店ou压t)分解将LU分解叶换一密个提闹法:酱要求L为一祝般下皮三角愤阵,U为单汤位上三角虚阵,君就是蚕克劳辫特分疮解.LT显然攀是单保位上耗三角他阵,养记这就订是克俘劳特的分解删。有实际乎上将A转置俗为AT,进行LU分解AT=L斥U则A=哭UTLT显然尖当A的各盒阶顺叮序主哥子式矩非零顶时,搁它是悉存在胶且唯麦一的虹.克劳喷特分吗解对漠应的卧解法勉称克牛劳特拍算法堂,也之可用跳于解仓线性方程渠组。弓它的拜特点泳是在若回代怎时不暑做除纳法.它在贡下文剃的追赶法佛中有来应用裤.UT显然须是一僚般下闯三角售阵,脑记平方屿根法实际存问题终中Ax校=b,A若是对称夹正定昏矩阵,则攀高斯朱消元膝法简箭化为平方秃根法失或改求进的条平方污根法.取记记记于是矩阵续的LD客U分解证:由条柜件有A=舱LU屡,由分廉解过逢程知定理该若A的各化阶顺朱序主顶子式洽非零迹,则A可以受分解悠为A=刺LD矮U,其中L是单完位下悼三角钟阵,U是单半位上留三角队阵,D是对计角阵救,且蚊这种分解悠是唯物一的粉.定理壁１１设A对称靠正定浴,则蒜存在滑三角读分解A=决LLT,L是非奇异待下三窑角矩暖阵,毅且当涝限定L的对掀角元宽为正叔时,这种凯分解拣是唯划一的.证遍因浅为A对称融正定带,所芒以A各阶眼顺序黎主子扭式为秘正.所以宋有A=般LD勿U,AT=UTDLT=A与=L荣DU规.由LD握U分解蠢的唯茄一性受知:UT=L造,辅U=最LT所以A=茧LD凳LT.下面壳证D的对托角元拉为正原数,因为|L|=1≠0劫,所以LTyi=ei必有干非零恨解yi≠0,yiTAyi=yiTLD挪LTyi=(嫂LTyi)TD(亿LTyi)=歼eiTDei=di对称桌正定痛矩阵勇的乔克累斯央基(Ch仙ol捷es息ky)分解衬(P1朱89慎)形如A=裤LLT的分袍解称应为对蹄称正烂定矩是阵的蝴乔累积斯基可分解附。这是井一个桃二次巨型,授由A对称临正定扑知di>0(i奖=1,纤2,…,n弃).由证拾明过港程容松易看竭出是唯涉一的呢,对称谦正定慎矩阵若的A=裹LLT分解述对应宰于解倡对称援正定锐方程鸡组Ax斯=b的平键方根慢法.平方图根由矩发阵乘瘦法原贞理容辨易推偶出L的元由素lij的算贵法:对j=1旁,2戴,…允,n,计算Ax赵=b可化祝为解法仅是:这就景是平耐方根姑法,邀它适属用于轮系数狼阵是堪对称勉正定短矩阵角的方录程组.它的村运算束量以变乘除挽法计委是n3/6左右这,只豪是高倡斯消挣元法纤的一用半,汪显然摘这是狗因为载只计卖算L不算U的缘锹故.平方印根法蔑不用负考虑每选主花元,宾这也紧是它敞的优店点.它的疗缺点证是要拜计算n次开乓平方艺,为载避免范开平差方运匀算,沈发展块了平葡方根剩法的壤改进妖形式遇,它扭对应珍于A=喷LD种LT分解.(方法蛮略)追赶离法炮(p1柏93糟)在很化多情棉况下槽,如忆三次谱样条汗插值创,常潜微分听方程页的边搏值问妨题等都归坦结为卸求解辜系数蛾矩阵陷为对冈角占水优的范三对翅角方违程组Ax田=f,即:其中|i-提j|>若1时,aij=0氧,且满符足如瞒下的互对角母占优掠条件呜:(1梨)|b1|>覆|c1|>土0,浇|bn|>钞|an|>独0(2坐)|bi|≥乌|ai|+厅|ci|,aici≠0耀,i=2吨,3拒,…拿,n-1难.用矩注阵乘讯法比只较和Cr穷ou看t分解脸可推腾导总功结算黄法步荐骤如蠢下:1.分解漆计算2.饱解Ly它=f3.然解Ux层=y实际蔬计算榴中Ax抓=f的阶甚数往戒往很号高,付应注问意A的存皆贮技侄术.已知野数据只复用4个一巩维数蹈组就陷可存嫌完.即婆{ai},竭{bi},施{ci},采{fi}各占呢一个一维借数组掌,{i}和{i}可存磨放在{bi},中{ci}的位啄置,蝴{yi}和{xi}则可盟放在{fi}的位收置,杠整个截运算永可在4个一化维数米组中垦运行.追赶法的谋计算执量很以小,净只是比5(n-1方)次乘帮除法.追赶志法的仰计算患也不着要选主元暮素.§5兴向量抱和矩齐阵的花范数在分巩析方砖程组租的解怪的误答差及承下章梅中迭梁代法转的收赶敛时脖,常宾产生一招个问巧题,蒙即如班何判程断向拘量x的“钢大小塞”,朋对矩串阵也归有类贫似的蚁问题.本节陕介绍n维向絮量和n×n矩阵惩的范映数.向量疮范数定义x和y是Rn中的旺任意派向量率,向量打范数‖•‖是定恰义在Rn上的喇实值来函数揉,它张满足起:(1限)爱‖x银‖≥宣0,并且面,当糊且仅锐当x=丈0时,豪‖x暗‖=旋0;(2陈)谋‖k职x吹‖=之|k而|改‖译x券‖,显k是一子个实狡数;(3寻)鸽‖络x横+顿y仔‖≤仇‖鼓x肤‖极+秩‖刃y胜‖容易先看出狭,巧实数慕的绝痒对值景,复拌数的敞模,但三仔维向慨量的插模都满足保以上估三条历,n维向翠量的屯范数次概念袍是它费们的棕自然述推广笨.常使牺用的梁向量自范数母有三望种,前设x=(x1,x2,…,xn)T容易镜验证右,它醉们都朗满足夹定义瓶中的艺三个伐条件.例x=(我1,丹0.候5,慢0,排-0席.3教)T,求解:定义棉设A是n×n矩阵妈,定挠义为矩质阵A的范当数.矩阵通范数这样春定义歌的范桃数有上如下底性质闷:从向榆量范珍数出甚发,奏可以络定义返矩阵谱的范动数.(1仅)‖A‖≥0,并且随,当丑且仅决当A是零呀矩阵须时,‖A‖护=0(2趋)‖kA‖=彼|k|‖A‖(3只)两个维同阶烛方阵A,瞎B,有‖A+羊B‖≤粗‖A‖+驱‖B‖(4寄)A是n×n矩阵披,x是n维向迈量,向有‖Ax‖≤疤‖A‖‖x‖(5傍)A,丘B都是n×n矩阵株,有‖AB‖≤饺‖A‖‖B‖矩阵年范数酱最常副用的浇有以悲下三钻种:（λ1是ATA的最柜大特邀征值蹈）它们脚分别吸与向爸量的状三种木范数卵对应证,即盈用一粪种向跃量范铺数可械定义反.相应哀的矩烛阵范删数定理愚15即对浆任意圆给定叠的两饥种范似数‖•‖α‖•筒‖β有下卖列关吃系:c1‖•‖α≤税‖•辫‖β≤慌c2‖•‖α其中押的c1,c2是正寨的常跨数,‖•‖α表示喉向量湖,也埋可以煎是矩阵驼的范薪数.Rn空间宋上的糊范数呜等价从以饭上定眯理看竞出,挑当向检量或鉴矩阵毅的任按一种馒范数陷趋于辛零时愿,其勉它各种贞范数侍也趋趁于零闯.因漆此讨拘论向帝量和坦矩阵析序列旬的收右敛性抓时,可不晒指明袋使用石的何卡种范例数；证明篮时,忠也只娇要就驰某一椒种范房诚数证明独就行内了.序列容的收旱敛定义如称向姥量序地列x(k菜)收敛模于向沸量x.记作葱:有了泰向量率和矩秀阵范迎数的做概念踩,就驾可以瞧定义惠向量臭和矩淡阵定义如称常统方阵暂序列A(k惑)收敛款于方兵阵A记作碎:为任哄一种皂范数.则称化为A的谱美半径.定理骄19方阵押谱半顷径和张方阵喊范数希有如消下关币系:定理输16其中谱半累径定义际设n阶方容阵A的特哑征值吹为λj(j=1,翅2,…,徒n),证:届设λi是A的任白一特斯征值预,xi为对磨应的轻特征运向量两边牌取范搁数,伏用矩撒阵性耳质(吩4)刑有:|λi|×‖xi‖≤浪‖A‖×系‖xi‖因为xi≠0,所以‖xi‖>0i=1极,2察,…,n,Axi=λixi所以裕|λi|≤‖A‖所以ρ(A)=豆ma荣x|λi|≤‖A‖.的充族要条炼件是ρ(A)<棒1.例求‖A‖1,‖A‖2,‖A‖∞,ρ(A).解:苹显币然‖A‖1=4余,杨‖A‖∞=457定理设A是n×n阶矩猾阵,A的各策次幂动组成突的矩愿阵序岗列I,A,A2,待…,Ak,白…收敛亿于零竟,即证明漆从略拍.定理右20盏对于灭实对帖称矩笼阵A,则定理讲21获如睡果察,候则燥为谊非奇死异矩块阵,如且条件辟数及漂病态剑方程苏组线性堡方程娱组Ax酒=b的解拦是由浪系数磁阵A及右挑端向始量b决定阔的.疲由砍实际源问题懂中得仿到的窑方程悦组中翻,A的元盘素和b的分纸量,棵总奏不可避奖免地愧带有崭误差嘉,吉因此叼也必冲然对端解向驴量x产生吧影响.这就初提出绍一个祖问题粮:岁当A有误摔差ΔA,b有误巴差Δb时,约解捏向量x有多左大误换差?惊即公当A和b有微思小变墨化时亏,x的变榜化有长多大?常若A和b的微佛小变尽化,构也疫只导秩致x的微定小变点化,妈则炒称此膝问题舍是“良红态”薄的；搁反之夕,轧若A和b的微壶小变青化会有导致x的很溜大变喂化,企则葵称此晴问题盯为“说病态讯”问闷题.§6炮误进差分脸析在以按下的甘讨论贩中,歌设A非奇址异,b≠0器,所以焰||x||弹≠0嘉.1.设Ax歉=b中仅b向量骨有误蓝差Δb,对应奶的解x发生近误差Δx,即:注意谋到Ax倍=b,所以AΔx=Δb,若A非奇貌异,松有Δx=A-1Δb.所以‖Δx‖≤适‖A-1‖×‖Δb‖.又因‖b‖=熟‖Ax‖≤纽奉‖A‖×‖x‖,所以两式正相除猫,有即x的相暖对误舞差小许于等许于b的相暮对误首差的‖A‖×‖A-1‖倍.2.A有误州差ΔA,b无误啦差,细此时诱有类约似的歇结论劳。定义猴８若n×n方阵A非奇叉异,报则称‖A‖‖A-1‖为A的条件节数,救记着为Co壁nd(A)=恋‖A‖‖A-1‖由于钩选用战的范碎数不炮同,效条件啄数也炎不同职,在法有必揪要时速,可记年为Co止ndp(A)=偷‖A‖p‖A-1‖p(p=1星,2系,∞).作(蚂P2察07患)3.由以位