第章回溯法和分支限界法

1第10章回溯法2回溯法有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。3问题的解空间问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。显约束：对分量xi的取值限定。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。4问题的解空间n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间子集树旅行商问题：某售货员要到若干城市推销商品，已知各个城市之间的路程（或旅费）。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线，使总的路线（或旅费）最小。排列树123430610205生成问题状态的基本方法扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(boundingfunction)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法6回溯法的基本思想(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。常用剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。7递归回溯回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。voidbacktrack(intt){

if(t>n)output(x);

elsefor(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(constraint(t)&&bound(t))backtrack(t+1);}}8迭代回溯采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程。voiditerativeBacktrack(){intt=1;

while(t>0){

if(f(n,t)<=g(n,t))for(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);

if(constraint(t)&&bound(t)){

if(solution(t))output(x);

elset++;}}

elset--;}}9子集树与排列树遍历子集树需O(2n)计算时间遍历排列树需要O(n!)计算时间voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=0;i<=1;i++){x[t]=i;if(legal(t))backtrack(t+1);}}voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=t;i<=n;i++){swap(x[t],x[i]);if(legal(t))backtrack(t+1);swap(x[t],x[i]);}}10n后问题在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。1234567812345678QQQQQQQQ11解向量：(x1,x2,…,xn)显约束：xi=1,2,…,n隐约束：

1)不同列：xixj2)不处于同一正、反对角线：|i-j||xi-xj|n后问题intn=8;intx[9];intnum=0;//解的个数//判断第k个皇后能否放在第x[k]列boolPlace(intk){inti=1;while(i<k){if(x[i]==x[k]||(abs(x[i]-x[k])==abs(i-k)))returnfalse;i++;}returntrue;}voidnQueens(intn){x[0]=x[1]=0;intk=1;while(k>0){x[k]+=1;//转到下一行while(x[k]<=n&&Place(k)==false){//如果无解，最后一个皇后就会安排到格子外面去x[k]+=1;}if(x[k]<=n){//第k个皇后仍被放置在格子内，有解if(k==n){num++;cout<<num<<":\t";for(inti=1;i<=n;i++){cout<<x[i]<<"\t";}cout<<endl;}else{k++;x[k]=0;//转到下一行}}else//第k个皇后已经被放置到格子外了，没解，回溯k--;//回溯}}int_tmain(intargc,_TCHAR*argv[]){nQueens(n);getchar();return0;}130-1背包问题解空间：子集树可行性约束函数：上界函数：privatestaticdoublebound(inti){//计算上界

doublecleft=c-cw;//剩余容量

doublebound=cp;//以物品单位重量价值递减序装入物品

while(i<=n&&w[i]<=cleft){cleft-=w[i];bound+=p[i];i++;}//装满背包

if(i<=n)bound+=p[i]/w[i]*cleft;

returnbound;}14进一步改进算法的建议选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上相当于给回溯法加入了启发性。定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。15回溯法效率分析通过前面具体实例的讨论容易看出，回溯算法的效率在很大程度上依赖于以下因素：(1)产生x[k]的时间；(2)满足显约束的x[k]值的个数；(3)计算约束函数constraint的时间；(4)计算上界函数bound的时间；(5)满足约束函数和上界函数约束的所有x[k]的个数。好的约束函数能显著地减少所生成的结点数。但这样的约束函数往往计算量较大。因此，在选择约束函数时通常存在生成结点数与约束函数计算量之间的折衷。16重排脆原理对于伟许多暴问题服而言醒，在激搜索慕试探啄时选听取x[菊i]的值岛顺序凡是任贿意的佛。在其梳他条庭件相恰当的霸前提算下，播让可辛取值派最少骄的x[驻i]优先。从色图中庸关于香同一爪问题挽的2棵不售同解暗空间让树，恋可以樱体会构到这残种策第略的巡寿潜力迫。图(a唯)中，恋从第1层剪征去1棵子著树，掩则从屯所有字应当繁考虑抹的3元组悦中一宾次消岗去12个3元组移。对峡于图(b和)，虽阀然同躺样从粒第1层剪摘去1棵子坛树，润却只竹从应劳当考咸虑的3元组叠中消备去8个3元组滋。前唤者的苹效果押明显敞比后鉴者好麻。(a截)(b患)分支蒸限界祖法类似个于回阵溯法新，也颂是一你种在载问题独的解骨空间忙树T上搜劝索问瓣题解猜的算续法。让但在慢一般肆情况非下，棚分支裂限界掏法与蜓回溯艇法的纸求解池目标杀不同惯。回溯接法的离求解较目标类是找侮出T中满疫足约钥束条应件的叉所有部解，蕉而分漏支限稿界法渠的求筹解目蹲标则箭是找纲出满愿足约汁束条道件的斑一个仇解，来或是僚在满免足约涌束条愚件的垃解中脑找出劣使某现一目飞标函桂数值丈达到鲜极大豪或极虾小的例解，艇即在妇某种岸意义换下的锤最优垦解。所谓“分支”就是采用干广度欺优先的策副略，驰依次陵搜索E-结点鹊的所券有分佛支，分也就垫是所服有相知邻结炎点，躲抛弃刑不满度足约院束条建件的兵结点岩，其鞭余结丸点加隔入活虎结点偶表。携然后叉从表鸦中选快择一耗个结压点作棋为下捞一个E-结点绸，继疯续搜肤索。选择相下一固个E-结点仆的方牙式不懂同，瓶则会较有几坐种不鹿同的寨分支畏搜索转方式拉。1）FI每FO搜索2）LI皱FO搜索3）优傍先队模列式样搜索由于鸡求解裳目标披不同适，导灶致分政支限草界法啦与回议溯法宾在解凯空间辛树T上的冷搜索芬方式旨也不蛇相同还。回删溯法副以深赤度优辣先的既方式唯搜索嫁解空笛间树T，而植分支知限界下法则标以广临度优竞先或你以最才小耗沃费优镜先的珍方式漆搜索熊解空笔间树T。分支即限界钱法的便搜索势策略割是：橡在扩卡展结征点处演，先近生成数其所启有的计儿子事结点劣（分会支）隆，然浙后再跑从当悲前的踢活结坑点表科中选怎择下壤一个私扩展铺对点拐。为卸了有跌效地尝选择波下一穗扩展布结点大，以怨加速事搜索约的进罚程，掉在每丙一活特结点药处，荒计算善一个盐函数驶值（激限界晚），羽并根灿据这辨些已韵计算金出的念函数且值，皮从当万前活拨结点桃表中吃选择祸一个躲最有师利的敞结点钞作为努扩展激结点枪，使胸搜索猴朝着娇解空全间树母上有停最优顷解的款分支币推进宽，以陕便尽脾快地释找出租一个泛最优弯解。分支察限界掘法常历以广麻度优西先或恒以最检小耗吴费（寄最大离效益稼）优求先的祸方式功搜索耕问题姐的解强空间猪树。成问题答的解将空间封树是熊表示乳问题非解空建间的羡一棵女有序溜树，句常见悦的有叼子集吸树和向排列级树。酷在搜容索问训题的复解空救间树忆时，刻分支介限界位法与恨回溯览法对佳当前张扩展展结点号所使榜用的灵扩展锁方式葬不同睁。在很分支淹限界羞法中贫，每患一个晚活结继点只卧有一涌次机糖会成跪为扩叹展结破点。禁活结畜点一绿旦成着为扩丽展结垮点，绪就一纠次性京产生捷其所裤有儿置子结风点。炮在这垄些儿惩子结刘点中岩，那况些导季致不要可行聋解或壮导致飞非最得优解椒的儿燥子结依点被办舍弃朋，其冶余儿窄子结贪点被董子加项入活犬结点拔表中刘。此刊后，刮从活卫结点逗表中