一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

仅供个人参考一阶线形分方程

)()

解的存在一性定理的明摘,来明.引言:我们学型,,而,自然要:初在一先们令里在矩形

0

数称为R上于y满足利普希兹条件L>0f(x,y)f(,y)1

2

(x,(x,y)12

立L称为

dydx

(x)(x)

(1)

理:Ry满足,(1)存在唯一的解

y

()

,定

0

,连续件(

0

y

0

h,

bM

)

Mf()

(,y)R,为了简单起,

xx00

论

xx0

0

样,首不得用于商业用途

xxxxxxxxx仅供个人参xxxxxxxxx证求分方初问的等于积方yy()0x

来,因

0

x

xy)

,然.(x)

就得(x)

(x,(x(x10x解(x

(x)

()

解则()1

的y得(x20

x

(x

(x1

2

(x)x)1

,那(x)1

,一

(x)y(,nx

n

x))(x)

,

()

(x

n

x)()

(x

况,我们

()

lim

())

对lim(x)ylim(x,n0n

n

x))=

0

x

limf(,n

n

x=

0

x

(x,

x))不得用于商业用途

x)y(xx0x

xxxxxx仅供个人参考xxxxxx

()

,这种一步一步地求出方程的解法(2)

()

题1)n解,理

y)

程1)的

xx00上的,满足初始条x0

0

的解则

y)

是方0

x

xy)(xxh00

)的定义于

xxxh00

,然

y)

程1)

x

x)x))f(到x))x,))dx0x

xxxh00y0

0

式x)0

x

(x

x))

xxxh00此,

y)

(xy)dxxh000x

y

(x)

0

x

(x,)

解则有x)0

x

(x

x))

xxxh00

之x)

f(x

x))

xx

0

(3)得到y0

0不得用于商业用途

n0xnxxx=L()0仅供个人参考n0xnxxx=L()0

y

()

1)的

xx00

0

0

.命题1证毕()0

0

,下)0(x)

x

f

dn

xxh00(n=1,2,…)(4)题2

xh

明:我们(x)()0kk

xxh00

k()0

k

(x)

()k,要xh00

,只需证明级(5)

xx00

敛此计由((x(x10

x

dx0

(x)21x

f(1

(d0及6)得xx)Ld21xxMLx2!数n,

(x)

x)n

n

(x

MLn!

(x)0

n立,则有件不得用于商业用途

xxh00

,

xxxx00xxx仅供个人参考xxxx00xxx

n

x)x)n

x

fn

n

dnx

n

MLn

)0

n

MLd()(n

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ML(x)(x)!

xx00

知

xx00

)

ML(xh!

k

k

hk!项数(5)在

xxh00

敛

xxxh00

敛题毕.题

)

程2)的

xxh00

解:f(x

())f(n

))Lx))nxxh

x)

,

n

x)

)n

xxh00

(x)对于限,limn

()ylimn0n

(x

n

x))=

((d0n不得用于商业用途

xxxxxxxMLxxx00仅供个人参考xxxxxxxMLxxx00x)y0x

()

(2)

xxxh00

题3毕题)

程2)的

xxxh00

解,)),xh00:我们首先证明x)此,从

)数.

0

xy

0x)n

x

x)0

x

x

d(x)0

x

()0(x)1

x

(0

L0x)x

(x)

设

n

(x))

ML!

(x)0

n

,则有()nx

n

f

x

n

N!

x

)d()(

n知数n,有不得用于商业用途

项仅供个人参考项(x)n

ML(n

(x)0

n

,在

xx00

(x)n

ML(1)!

h

n

MLnhnnhn0(n(

()xx00

()

,性x))题毕

xxh00合1-4,即得

x)

的证明不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。personaluseonlyinstudyresearch;commercialuse.NurpersönlichenForschung,kommerziellenwerden.l'étudelauni