二次函数（全国一等奖）

复习：二次函数萧城二中（1）b的符号：由对称轴的位置确定对称轴在y轴左侧a、b同号对称轴在y轴右侧a、b异号对称轴是y轴b=0（2）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定与x轴有两个交点b2-4ac>0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac<0回味知识点：1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是

.3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是

.归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a>0开口向下a<0（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.交点在x轴上方c>0交点在x轴下方c<0经过坐标原点c=0练一练：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo练一练：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo练一练：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo练一练：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo练一练：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo练一练：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo练一练：已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限xoy已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（）练一练：xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a+b+c>0a+b+c<0a+b+c=0（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a-b+c>0a-b+c<0a-b+c=0练一练：1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个xoy-11练一练：2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个xoyx=1练一练：3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下正确的是（）A、abc＞0B、b2-4ac＞0C、2a+b＞0D、4a-2b+c＜0xoy-11试一试：1、抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条件是什么？2、抛物线y=ax2+bx+c的顶点在x轴上方的条件是什么？xx试一试：1、抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条件是什么？x变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是正值的条件是什么？练一练：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非负数的条件是什么？抢答题1.同学们，你们已经学习过二次函数，请你画出二次函数y＝－x2－2x＋3的图象，根据图象、结合函数的解析式，你能说出哪些结论？抢答题2.已知抛物线y＝－x2－2x＋m.(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______0；

（填“＞”、“＝”或“＜”）(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______0；

（填“＞”、“＝”或“＜”）(4)若抛物线与x轴有两个交点，则m______。(3)若抛物线与x轴有一个交点，则m_______.＞＝＞－1＝－1议一议想一想例1已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，

抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。

(1)求抛物线C2的解析式；C2的解析式为：

y＝－(x－1)2＋1＋m

＝－x2＋2x＋m.yxOC1C2（－1,1＋m）（1,1＋m）议一议想一想例1已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，

抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；由抛物线C1与x轴有两个交点，

得△1＞0，

即(－2)2－4×（－1）m＞0，

得m＞－1

由抛物线C2与x轴有两个交点，

得△2＞0，

即(－2)2－4×（－1）m＞0，

得m＞－1

yxO当m=0时，C1、C2与x轴有一公共交点(0，0)，

因此m≠0

综上所述m＞－1且m≠0。议一议想一想例1已知抛物线C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，

抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称。

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；

(3)若抛物线C1与x轴两交点为A、B（点A在点B的左侧），

抛物线C2与x轴的两交点为C、D（点C在点D的左侧）,

请你猜想AC＋BD的值，并验证你的结论。解：设抛物线C1、C2与x轴的交点分别A(x1,0)、B(x2,0)、C(x3,0)、D(x4,0)yxOABCD则AC＋BD＝x3－x1＋x4－x2

＝(x3＋x4)－(x1＋x2)，于是AC＝x3－x1，BD＝x4－x2，∵x1＋x2＝－2，x3＋x4＝2，∴AC＋BD＝4。例2

扬州某公司生产的新产品，它的成本是2元/件，售价是3元/件，年销售量为10万件,为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x(万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：(1)求y与x的函数的关系式；解：因为y是x的二次函数,所以设y=ax2+bx+c,根据题意得：1.5=a+b+c1.8=4a+2b+c1.5=25a+5b+c解得∴试一试想一想X(万元)…12…5…y

…

1.5

1.8…1.5…例2

扬州某公司生产的新产品，它的成本是2元/件，售价是3元/件，年销售量为10万件,为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x(万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：X(万元)…12…5…y

…

1.5

1.8…1.5…(1)求y与x的函数的关系式；如果将题中y与x的关系表中x＝5,y＝1.5这一组数据去掉，即

问能否求出y与x的函数关系式？X(万元)

12……y

1.5

1.8……想一想试一试想一想01例2

扬州某公司生产的新产品，它的成本是2元/件，售价是3元/件，年销售量为10万件,为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x(万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：(1)求y与x的函数的关系式；(2)如果利润＝销售总额－成本费－广告费，试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式；并求出当广告费x为多少万元时，年利润S最大。解：(2)由题意得：S=10y(3–2)–x=–x2+5x+10当x=5/2时，S的最大值为65/4.试一试想一想X(万元)…12…5…y

…

1.5

1.8…1.5…例题讲解

例3

已知：在直角坐标系中，以M为顶点的抛物线y=－x2＋(m－1)x＋(2m＋5)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）；抛物线与y轴正半轴交于点C，AB=4。（1）求出此抛物线的解析式；解：(1)设A点坐标为(x1,0),B点坐标为(x2,0).

由AB=4,得x2－

x1=4,∵x1+x2=m－

1,x1x2=-2m-5∴(x2－

x1)2=(x2+x1)2－

4x2x1(m－

1)2+4(2m+5)=16得m=－

1或m=－

5∴y=－x2－2x＋3yxOAB(x1,0)(x2,0)(舍去）例题讲解

例3

已知：在直角坐标系中，以M为顶点的抛物线y=－x2＋(m－1)x＋(2m＋5)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）；抛物线与y轴正半轴交于点C，AB=4。（1）求出此抛物线的解析式；（2）P为线段AM上一点，过点P向x轴作垂线，垂足为Q，若点P在线段AM上运动（能与点M重合，不能与点A重合）。设OQ的长为t,四边形PQBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；yxOABMC(-3,0)(1,0)QP(0,3)(-1,4)已知OQ=t,则点P的坐标为

(－t,－2t＋6),

＝(PQ+OC)●

OQ＋OB●OC

由点A（－3,0）,M(－1,4)

求得直线AM的解析式y=2x+6,（1≤t＜3）于是S＝S四边形PQOC＋S△BOC例题讲解

例3

已知：在直角坐标系中，以M为顶点的抛物线y=－x2＋(m－1)x＋(2m＋5)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）；抛物线与y轴的正半轴交于点C，AB=4。（1）求出此抛物线的解析式；（2）P为线段AM上一点，过点P向x轴作垂线，垂足为Q，若点P在线段AM上运动（能与点M重合，不能与点A重合）。设OQ的长为t,四边形PQBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形PQOC是矩形；PQ＝OC＝3，则点P的纵坐标y=3，由y＝2x＋6，解得x=－3/2，∴t＝3/2，yxOABMC(-3,0)(1,0)QP(0,3)(-1