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数列的新定义问题例1(2019·湖南省常德市检测)对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.数列的新定义问题(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________;(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p1+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98;则P∩Q的元素个数为________.思路点拨:利用“特征数列”的定义可求解(1),并得到(2)中的集合P,Q,再找出P,Q中相同“1”的个数即可.例1(2019·湖南省常德市检测)对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.数列的新定义问题(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________;(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p1+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98;则P∩Q的元素个数为________.解析:(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”中共有3个1,其余均为0,该数列为1,0,1,0,1,0,0,…,0.故该数列前3项和为2.2P={a1,a3,a5,…,a99}.pi+pi+1=1(1≤i≤99),因此集合P中必含有元素a1.解析:(2)E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100中,由于p1=1,故E的子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0,…,1,0,即数列的新定义问题(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p1+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98;则P∩Q的元素个数为________.又当i=1时,p1+p2=1,且p1=1,故p2=0.同理可得p3=1,p4=0,p5=1,p6=0,….数列的新定义问题(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p1+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98;则P∩Q的元素个数为________.E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100中,由于q1=1,qj+qj+1+qj+2=1(1≤j≤98),因此集合Q中必含有元素a1.又当j=1时,q1+q2+q3=1,当j=2时,q2+q3+q4=1,当j=3时,q3+q4+q5=1,…,故q1=1,q2=q3=0,q4=1,q5=q6=0,q7=1,….数列的新定义问题(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p1+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98;则P∩Q的元素个数为________.所以E的子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0,…,0,1,即Q={a1,a4,a7,a10
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