【探究例题】数列的新定义问题

数列的新定义问题例1（2019·湖南省常德市检测）对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0．例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．数列的新定义问题（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p1＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98；则P∩Q的元素个数为________．思路点拨：利用“特征数列”的定义可求解（1），并得到（2）中的集合P，Q，再找出P，Q中相同“1”的个数即可．例1（2019·湖南省常德市检测）对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0．例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．数列的新定义问题（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p1＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98；则P∩Q的元素个数为________．解析：（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1，0，1，0，1，0，0，…，0．故该数列前3项和为2．2P＝{a1，a3，a5，…，a99}．pi＋pi＋1＝1（1≤i≤99），因此集合P中必含有元素a1．解析：（2）E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100中，由于p1＝1，故E的子集P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，1，0，…，1，0，即数列的新定义问题（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p1＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98；则P∩Q的元素个数为________．又当i＝1时，p1＋p2＝1，且p1＝1，故p2＝0．同理可得p3＝1，p4＝0，p5＝1，p6＝0，…．数列的新定义问题（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p1＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98；则P∩Q的元素个数为________．E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100中，由于q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1（1≤j≤98），因此集合Q中必含有元素a1．又当j＝1时，q1＋q2＋q3＝1，当j＝2时，q2＋q3＋q4＝1，当j＝3时，q3＋q4＋q5＝1，…，故q1＝1，q2＝q3＝0，q4＝1，q5＝q6＝0，q7＝1，…．数列的新定义问题（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p1＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98；则P∩Q的元素个数为________．所以E的子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，0，0，…，0，1，即Q＝{a1，a4，a7，a10