高中数学必修讲座

高中数学必修4教材分析与教学建议

数学教育方法的核心是学生的再创造.教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识.

课堂教学内容组织主要形式为：问题情境→学生活动→意义建构→回顾反思→数学理论→数学运用三角函数平面上的向量（简称平面向量）三角恒等变换三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．在本模块中，学生将通过实例，逐步理解三角函数的概念及其基本性质，认识三角函数与实际生活的联系，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．课标要求向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力．在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换，发展学生的推理和运算能力．本章结构内容和要求本章内容的定位教学建议第一章三角函数

（约16课时）一、本章结构

弧度周期现象任意角三角函数三角函数线同角三角函数关系诱导公式三角函数图象性质综合运用二、内容与要求（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．二、内容与要求②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性．③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）．④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sinx/cosx=tanx．⑤结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（ωx+φ）的图象．观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．苏教版的引言提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子．提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？明确任务：建构这样的数学模型．教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）研究．教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程．三、本章内容的定位2．教科书的的特点苏教版教材把本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程”，为了保证这个定位的落实，或者说，作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的特点．采用陷以问亏题链笑为线话索的友呈现苦方式阴．既然散教材当要展却示“淡思维慨过程竿”，禾而思号维是慕从问水题开劳始的骗，思碍维的笋过程爆就是您不断丹地提夜出问科题，汤解决迟问题说的过忆程．西所以医教材讽采用动了以丧问题某链展蚕开的绘呈现狼方式揪．注除意提订出问跟题的鞭环节据，注恳意问画题间醉的逻促辑联兼系，坚强化码目标版（建靠构刻枝画周滩期性广现象普的数慢学模碌型）钞的指累向作得用．任意省角三博角函隔数概匪念无功疑是榆本部畅分的市核心祖概念泡．苏叛教版谁的教阴材和为其它逆的教奔材一萄样是窝在讲却了“狱任意纺角”害、“堡弧度逼制”亦以后率，通树过对掀锐角桑三角昼函数虽的考藏察后股建立损起任裂意角侨三角绳函数赔的概堤念的询．应迟该指浆出的降，尽跪管在码建立心三角悄函数伞概念伪的程轨序上产看起朗来是朱相同趣的，庸只是涝在具激体的谊处理就方法钳上有产些“继微妙陡“的扒差异刷，可轨是不印应该油小看球了这斑里的恼差异嗽，因弦为这蜘些差照异正筹是对棒教材趴不同猫定位疯的表载现．案例挠：任疫意角掘三角泄函数教材屯中的问题由链（1）72迈0°是怎贿样的罢一个露角？（2）具大有相串同终榆边的甲角彼嚼此之喂间有顷什么途关系染？（3）在抚本章酸引言宽中，源我们喝用（r，l）表趣示点P，那狂么r，l与α之间捷具有竖怎样宿的关绒系？（4）用搜怎样垒的数秒学模且型建浇立(x，y)与(r，α)之间伞的关失系？（5）怎刊样将刘锐角餐的三暂角函抱数推野广到封任意帖角？以“训数学作地研宾究”忠的一房诚般程件序来碗组织挖、选木取教励学内摔容．实际嚷问题－建纷立数鼻学模禁型－数胞学模葡型进耻行研醉究－利乌用数齿学模狱型解本决实浪际问圆题教材尘充分押发挥丙学习敞“函发数”芝一章争的野经验夹在建纸构“佛刻画宗周期倾性现爷象的助数学写模型良”中溜的作凯用，机在结园构上霉尽可率能地歉与“绩函数记”一坚章相怖同．为了申突出收“建筹构—研究—应用瓦”这叮一主策线，用教材价对传队统的井教学植内容填做了眯“强详干削伸枝”财的处巴理．伙如抽间出“承三角伪变换会”的铲内容内，另摊立一咏章；把6种三俗角函搭数减羊为3种等兔等．意图宵：一方尿面可炒以让弦学生利利用岁已有院的经刷验，源掌握芽学习需的主汽动权往，发唇现数鸟学知碎识的挺联系双，加暗深对极知识阵的理蔬解；萝另一趣方面乒又突缓出了秆基本机的数岩学思田想和交数学奖地研蜻究问良题的蹲方法匀，有企利于愤正确呈的数湾学观肝念的便形成勾．突出阅周期僚性本章崖的研夫究对碑象是屑周期隔性现类象，锤建构扒的是加“刻东画周效期性翼现象咏的数顿学模宪型”断，在庸教材析中，旧突出澡了周获期性绣，把篇它看喘成是具教材效出发按点和腊归属歪．教材P4引言妄中“惩日出烧日落消，寒西来暑朗往…等”生活始中的啦摩天盏轮的净运动圆袭周上嗽的点牛的运也动“周社而复峰始”“周疯期现犹象”“三腾角函阳数的应用”案例砌：三跪角函誉数的强性质在很端多教捧材中砌，总脱是通结过作辣出三约角函嗓数的刚图象零，然剃后再钩由图犬象的晋观察束得到傍三角蜂函数女的性踩质的躬．对摩此，讽苏教同版的互教材课做了袜不同捕的处宾理．已知f(1流)＝3，f(3搅7)＝?“周而堵复始绘，重摸复出要现”xyO425813对于吃，如哲果存紧在一梢个非肆零常用数T，使荡得定森义域印内的玩每一丽个x，都烘满足吃：f(x＋T)＝f(x)，则漫函数f(x)叫做暖周期忍函聚数．T叫做军这个脑函数丈的周薯期．函数f(x)xyO4258xyO425注：①定义盾域向哨数轴闯两端利无限岗延伸泥；②周期痕有无猴数个③不是在所有禽的周逐期函毯数都碍有最蝇小正亲周期伏．8——最小您正周期精；三角妇函数嗓的周枯期性堪：①f(x)＝si港nx②f(x)＝co成sx③f(x)＝ta嘱nxta爱n(＋k)＝ta掌n，k∈Z最小外正周掠期：2最小铺正周梳期：2最小鞋正周氧期：T＝4T＝4T＝4T＝例胡求下曾列函毁数的够周期死：①f(x)＝si锐nx；②g(x)＝si锐n(x－)；③h(x)＝2s慎in唤(x－)；④f(x)＝Asi片n(x＋)，其语中A≠0，＞0．加强各几何驾直观兼，强神调形介数结粒合的彩思想三角立函数愉的基宵础是席几何魂中的毯相似敏形和还圆，常而研途究方佳法又设主要刊是代具数的错，因迈此三猜角函雷数集亿中地贤体现加了形葬数结误合的现思想睬，在夜代数冤和几豪何之呈间建命立了忆初步时的联热系．在本境章中拨，充条分渗翁透了刘数形码结合筑的思风想．一方棉面是迁以形肆助数烤，突雹出了贵几何盟直观院对理鄙解抽摘象数静学概听念的尿作用饺．（1）在三够角函狼数及会其性题质的内学习独中，梁注意妈充分答发挥典单位河圆的冻直观扎作用调，借乓助单段位圆秃认识万任意煤角、岂任意不角的兰三角时函数趋，理驰解三谣角函挽数的奖周期茶性、附诱导殿公式芦、同呆角三评角函蒜数关霸系式声以及依三角盛函数予的图煮象．（2）通熔过角糖终边呜之间长的对炉称关奇系来篇研究判诱导平公式舌．（3）借滚助三益角函屑数的消图象盼理解陵三角腐函数宰在一留个周振期上筐的单吉调性推、最包大和惜最小他值、忍图象华与轴分的交军点等扭性质令；另一贵方面剂以数摆助形段，例食如应障用三太角函遵数的眼周期知性来拴简化灭函数呈图象磨的作在图．案例诱导故公式终的推烈导提出巧问题菠：由卡三角母函数乘的定您义可典以知匆道：英终边欢相同龙的角威的同帮一三肥角函慎数值浴相等赖．除顷此以稳外还澡有一落些角先，它玻们的捷终边彻具有仙某种赏特殊宁关系侦，如摘关于尽坐标装轴对响称，压关于扩原点呈对称松等，惩那么睛它们益之间衬的三龙角函弯数值悲之间应具有兆什么沫样的园关系会呢？问题终边的的位置关系对称的位置关系三角函数值之间的关系诱导公式四、仙教学煌建议准确亡把握痛教学妈要求（1）与葵过去爱的教壤材相始比，兴新教扣材强浮调了宪三角宜函数律是一薄种“派数学娇模型幼”．（2）与燥以往海的三绿角函揉数内匠容相对比较遭，本疮章提经出了替对三伪角函虽数作坏为刻者画现世实世劲界的判数学卸模型冻的认这识的障要求尖，加北强了泥对借亦助单渴位圆汽理解体三角它函数喂的概叔念、展性质裕，以踪蝶及通势过建水立三剩角函立数模女型解册决实刘际问惩题等锡内容税．（3）“标准”删减永了任座意角停的余否切、渴正割伤、余握割，管已知壳三角避函数桐求角触，反亡三角佳函数厌符号贵等内霞容．“标准”降低冶了对膜任意服角概骨念，瓜弧度附制概道念，出同角悲三角代函数案的基艺本关丸系式啊，诱唉导公迁式，随三角羽函数勉的奇势偶性脱的要盖求．这样锐的处沫理，臣把重臣点放猫在使旷学生搂理解存三角姥函数引及其扩基本悔性质唉、体再会三第角函蔬数在凶解决岔具有坡周期目变化袄规律论的问全题中谈的作序用上闸，而概对一壳些细难枝末淹节的此内容提不再营作过达多要毙求．教学脚时应卖当把莫握好息这种恩变化蒜，遵听循“标准”所规服定的沃内容放和要复求，洁不要向随意危补充商已被牙删减吊的知汤识点息．也散不要脏引进黑那些庆繁琐亩的、督技巧散性高并的变末换题油目．例如锄：求犁定义即域、给值域;已知si否na=m求的向其他腔三角韵函数碍值;用诱炉导公衡式进方行复哑杂变垦换的昼问题摔等．（4）但婶是也粥不能窗放松变基本肢的技饶能训哈练，升应该交让学鲜生记绍牢并袍熟练捎地使忠用诱鼠导公扰式，府同角池三角冶函数娘关系略式，血能用织五点财法画胞出正僚（余摄）弦袖函数狐的图真象等设，因蔑为这陵是利纽奉用三眯角函播数解眉决问捷题的唐基础附．注意民从数秧学模叹型的岂角度敞来认批识三饮角函香数，播突出扭数学槽思想沈方法斯在数拍学模瞒型建凑构中标的作辫用．（1）要称突出鸭数学腾模型瞧思想耳．教名学中蓄应当群充分重利用盐章引真言提浊供的雕情境节，引挽导学喜生利棍用学铲习《函数》的经存验，递自觉否地参滨与建减构刻鬼画周共期现燥象的部数学蹦模型狐的活辜动，唯使学关生从腐学习沉之初层就建令立起勉从数毛学模毒型的沾角度源看三鸣角函墙数的诱意识爱，在马此基碑础上制，要脆充分游注意扯运用击三角跃函数伟模型豪解决绵实际誓问题剧的教环学，渠使学晓生经傻历运棚用三危角函浴数模粘型描美述周仇期现奥象、翁解决低实际规问题阀的全极过程宋．（2）要马充分脏发挥去形数汉结合拘思想烘方法妖在本闹章的仅运用教．发银挥单抹位圆隐、三友角函浸数线算、图红象的喝作用叼．（3）运惊用和劈燕深化健函数兵思想舍方法爆．三角索函数投是学舞生在俊高中笋阶段批系统益学习两的又猜一个箩基本结初等努函数羽，教吧学中衰应当抹注意洒引导贝学生寺以数粥学l中学弃到的碎研究函数药的方购法为指妄导来妄学习挤本章头知识甚，即冈在函匹数观俯点的句指导善下，皆学习勾三角棋函数心，这制对进慌一步非理解谜三角挽函数柔概念困，理始解函棒数思拢想方宜法对示提高孔学生扒在学歌习过蔬程中挽的数票学思雕维水油平都卷是十悦分重爬要的曾．案例浓：用胸集合丧与对挺应的楼函数遮观点妄看三期角函歪数，散这是夏一种醒“多士对一丸”的掉函数先；用终函数恭研究殖中的痒基本带问题缘瑞（对溜应关么系、镜定义开域、捎值域析、表专示方壤法、循图象巩，性席质等裙）来塔理解烦学习耗三角涝函数联的进冠程；钞在讨那论y=Asi掘n(ωx+φ)的图痰象时六，渗址透函李数变超换与格图象阻变换(平移救、伸称缩)的关金系．陆（需辛要注堆意分并寸）以问将题为倒中心衣，充霜分发斥挥理恒性思士维在华建构慌数学肆模型集中的刑作用唐．恰当划地使夜用信坏息技兽术．案例杨：三狠角函成数的应用例1．在塑图中踢，点O为做洲简谐株运动巩的物壶体的炕平衡归位置腾，取瘦向右束的方匙向为陷物体玻位移犬的正犬方向发，若身已知斗振幅绞为3c案m，周蓬期为3s，且咐物体井向右锤运到歌到距延离平守衡位冲置最芝远处什时开王始计驳时．（1）求许物体宏对平陡衡位挺置的赵位移x(c窑m)和时漠间t(s)之间浆的函货数关建系；（2）求其该物朴体在t＝5s时的瓦位置酱．用什惊么模哀型描掉述物磨体的平运动灰？如何紧确定扮模型兵中的红参数巷？已知丑条件堤“物昂体向饭右运掘到到绞距离怒平衡觉位置堤最远筛处时调开始霸计时殊”怎进样应诵用？例1．在捷图1中，惯点O为做候简谐口运动场的物真体的壮平衡斜位置患，取厦向右董的方田向为史物体督位移柱的正冠方向撒，若搞已知附振幅袖为3c盖m，周袭期为3s，且遵物体啊向右侍运到府到距僻离平迅衡位宰置最咬远处桨时开井始计挥时．回顾警说明赠：注意踢简谐保振动抵中的脱振幅矩、周崖期、南频率歼、初句相的费意义店；本题而的难惑点在熔于初俊相的齿确定涌；书写载函数抖解析落式时峡，需奔要根桥据自赌变量示的实稼际意宰义，齐书写骨定义衫域.图2例2．如避图2，某鉴地一按天从6～14时的温度元变化曾曲线垂近似绒满足丝式函数y＝Asi像n(ωx＋)＋b．（1）求吊这一垮天该踏时段迁的最丢大温偷差；（2）写蹲出这馆段曲呜线的潮函数饼解析够式．例3．一箩半径津为3m的水声轮如革图3所示镜，水塑轮圆艺心O距离柏水面2m，已坛知水吼轮每石分钟奖转动4圈，梯如果食当水删轮上说点P从水宜中浮某现（溜图中垮点P0）开桨始计忍算时件间．（1）将途点P距离凡水面歌的高毙度z（m）表榴示为涛时间t(旁s)的函小数；时刻t时，香物体半位于止何处烧？时刻t时，久物体勿距离刮水面旺的高漠度如何计守算？如何羡确定？（2）点P第一投次到鲜达最详高点模大约造要多邮少时念间？例4．海对水受袄日月抽的引犯力，笔在一新定的观时候制发生答涨落沙的现织象叫贪潮汐拆，一喊般的任早潮途叫潮仔，晚训潮叫团汐．沾在通吃常情武况下后，船序在涨金潮时健驶进场航道轿，靠碧近船败坞；制卸货芹后落碍潮时英返回援海洋榆．下偿面给倦出了冈某港但口在苍某季粗节每骨天几亩个时剥刻的茂水深呈．（1）选赢用一芽个三谷角函淡数来慈近似篇描述格这个怀港口恳的水化深和川时间阳的函数偏关系，并坑给出披在整其点时窝的水屈深的撑近似盖数值(精确黄到0.遵00搞1)；为什欧么是分“12效”？为什塞么是=0？（2）一蛙条货代船的吃水深度（船候底与倡水面缝的距啄离）显为4m，安鸭全条脖例规吧定至奇少要锦有1.睛5m的安舒全间立隙（咏船底蝇与海飞底的籍距离馆），腹该船头何时接能进洁入港表口？咸在港季口能冻呆多不久？（2）一扬条货忙船的帝吃水钱深度叫（船叶底与丛水面胃的距途离）似为4m，安祖全条球例规恨定至较少要漏有1.滨5m的安教全间霜隙（肿船底世与海规底的协距离乱），沙该船获何时抓能进用入港叮口？贱在港呢口能壶呆多水久？（3）若船的吃县水深舅度为4m，安兰全间打隙为1.窜5m，该后船在2：00开始姓卸货困，吃曾水深饭度以凶每小败时0.搜3m的速败度减宰少，衔那么拌该船氧在什拳么时外间必沃须停饰止卸竟货，巨将船房诚驶向仇较深映的水尊域？如何厅求交医点坐悔标？三角拆函数植作为朝描述施现实乖世界乱中周院期现蜡象的定一种墙数学闻模型姑，可撞以用练来研肉究很辉多问璃题，峡在刻硬画周盐期变连化规控律、抛预测旺未来泉等方屠面发请挥着放十分愤重要仿的作班用．具体低的，疾我们接可以悼利用选搜集劝到的室数据平，作费出相耍应的向“散尚点图扔”，滴通过粪观察撤散点屿图并次进行利函数费拟合牛而获摩得具赏体函压数模刺型，劈燕最后疑利用赛这个洞函数子模型虎来解蜜决相欣应的棵实际百问题洲．实际打问题沾通常顽涉及乞复杂忌的数胸据．护因此坦往往舰需要军使用计算司机或严计算换器．第二凡章打平面鸭向量（约12课时晌）一、依本章万结构平面向量几何表示向量的运算加法数乘数量积向量的应用背景符号表示坐标表示减法二、龙内容议和要唱求（1）平症面向若量的虑实际映背景毁及基处本概锋念通过骑力和探力的闸分析座等实棍例，凯了解找向量辣的实蠢际背盖景，扒理解告平面嫂向量屯和向供量相令等的娘含义宫，理霜解向松量的顾几何罢表示材．二、洪内容善和要俘求（2）向谁量的扛线性呜运算①舞通过怎实例粥，掌暑握向瞧量加虚、减圾法的妙运算寇，并概理解躲其几迁何意耀义．②梳通过神实例卧，掌悉握向肚量数败乘的制运算肺，并胶理解盏其几伤何意变义，埋以及鸭两个傻向量升共线圆的含探义．③糕了解饶向量说的线戏性运获算性贯质及团其几蜓何意贱义．（3）平恒面向阶量的蛙基本练定理漂及坐块标表呆示①睡了解疲平面阵向量具的基抱本定唐理及斤其意礼义；②份掌握凉平面腹向量计的正桂交分采解及捷其坐腔标表拉示；③码会用吧坐标枕表示常平面箱向量拴的加访、减捷与数梁乘运螺算；④慎理解乘用坐页标表当示的什平面终向量钟共线俯的条如件．了解吵向量梁的非胁正交畏分解捆．（4）平搁面向分量的惧数量抄积①仓通过贯物理观中“酸功”盖等实听例，梨理解召平面妹向量额数量劝积的银含义盛及其嫂物理昼意义律；②厨体会抄平面绢向量疮的数专量积和与向介量投竭影的果关系跑；③额掌握愤数量趴积的覆坐标拔表达论式，磨会进窜行平浊面向固量数哥量积弯的运度算；④垃能运绿用数迫量积恢表示输两个谣向量顷的夹纠角，盛会用握数量幕积判避断两由个平榨面向宗量的屋垂直吃关系煤．了解枪向量父投影薯的概串念（沙教材绿中的骑链接疾）线段仙的定文比分椅比及到应用谢不作兵要求（5）向烫量的练应用经历锅用向蔑量方排法解鲜决某逆些简蜂单的闹平面坦几何饱问题吊、力均学问赴题与之其他器一些席实际特问题涉的过炉程，斯体会腰向量场是一此种处茎理几披何问谋题、睬物理芦问题暑等的时工具卫，发软展运役算能锯力和毙解决披实际渔问题芒的能包力．三、鼻本章女内容联的定考位对一斤种具季有丰踢富的仿几何段背景村与物俱理背四景的宝近代到数学怕模型彻的研对究．（1）向描量是代具有阻深刻植的几苗何背锁景和撤物理扩背景小的数倡学模羞型.三、基本章渔内容闷的定狼位（2）向杂量是捡近代姿数学客中重供要的即、基林本的注概念足，也睬是一帮种基估本的棚重要弊的数皮学工罗具①向锣量既叮是代夕数的蜡对象暴，又汤是几雅何的方对象须．作为严代数先对象动，向舍量可笼以运土算；作为昂几何寨对象饲，向赖量有愚方向辛，可单以刻叛画直蹈线、喇平面脑等几厨何对蝴象；向量泊有长娱度，蓬可以线刻画盛长度饺、面填积、秤体积美等几东何度吐量问宋题；向量篇由大兽小和兼方向匀两个扭因素恐确定集：大小救反映宅了向陡量数乡丰的特韵征狭，方向烫反映礼了向堡量形切的特委征．向量陶是集世数形鞠于一夏身的亮数学毛概念供，是散数学镰中数存形结惧合思夏想的侍典型疯体现烛．三、纽奉本章肥内容耻的定浆位②向断量是射抽象平代数鞭、线怠性代虑数、景泛函节分析传中的议基本伏数学倍模型眨，是雹理解臭这些蚀数学枕内容两的基舱础．三、巴本章喉内容歪的定踢位③向啦量也足是重积要的月物理似模型两．平原面力躬场、拳平面台位移县场以条及二券者混揪合产睛生的辛做功惠问题呢，都蚀可以阔用向抬量空耳间来机刻画禾和描叙述．向量载不仅颤沟通未了代洪数与世几何罗的联象系，判而且肯，体模现了泽近现骑代数僵学的回思想能，它疮在高柱中数陆学中朽的重诸要地搂位是筐不言款而喻罪的．教材捕特点1．按沸照数破学模镇型研携究的票一般峡程序敌展开费教材馆：（1）和《函数》、《三角俩函数》类似舅，本碗章也核是对愧一种柳数学胡模型排的研恨究．优教材映也是锻按照孔对数响学模宽型研油究的芬一般狡程序柴即“枣建构出模型——研究少模型——应用摄模型讯”的渴顺序剑展开脏的．高这样蜓的编云写顺震序不虾仅符瘦合向穿量知研识的架发展蹦过程庸，而书且可吵以唤宴起学泊生在《函数》、《三角肺函数》学习木中获讲得的币经验和，在该助于怎发挥取学生映在学响习中霞的主邀动权促．（2）本沿章首杯先现鞭实根顺据学想生的闪生活领经验已，创概设丰静富的旺情境援，从篮大量帆的实坛际丘背景丽中抽输象出仁向量漠的概菌念（杯数学妹模型暂），颜然后泽用数达学的斥方法蛮研究爪向量问及其嘱运算有的性站质，铜最后风再运柜用数视学模史型去腿解决岛实际蛇问题置．意图料：这样砍处理畅体现篇了数盐学知茎识产咱生和俱发展耕的过哄程，纽奉突出唇了数伍学的仓来龙堪去脉梳，有尝助于甩学生灭理解舱数学辨的本申质，戴形成面对数向学完锣整的嘱认识工，达柴到培蜜养学胆生的从创新标思维越和理虎性思这维的抖目的霉，同择时也掘有助河于数培学应孝用意颈识的炕发展吓．案例向量窗的概赠念及捧表示小狗熔向西纱北方薯向逃定窜，亏如果糕金钱器豹向半正东演方向紫追．请问:金钱伸豹能丛追上圈小狗废吗？在四指台发微动机辅的推辟动下源，返匀回舱养的速嫂度由8米／滨秒迅速样下降秆到1米／跟秒，如爆同一狡片羽陈毛，院轻轻桑地落躁在草党地上蠢．着陆岛场总虏指挥讽隋起垮胜从幸耳机番中听皇到了信费俊钱龙的北声音正：“愧我是机神舟俘六号效，我悼已着删陆．定”费俊谢龙、悼聂海挎胜隔遭着舷扭窗，偏在向验人们隙招手——返回蕉舱内县柔和膨的灯继光，菌映着碗他们扒的微予笑．唱这一复刻，乘距他自们离臂开大没地4天又19个多夸小时撑，他待们的裳总行健程为32浴5万余红公里脊．（漠注：复费俊勾龙畜身高1.剖68米）神舟六号载人飞船现实疑生活纷中，啊还有姓哪些起量只妄有大逃小没药有方免向？浪哪些籍量既蔬有大厌小又售有方煎向？距离列、身惊高、肯时间齿、质昆量等位移局、力筹、速广度、芬加速劫度、潮电场床强度洽等既有蹦大小洗又有殿方向尾的量拴叫向闲量.数量片只有涨大小蜓，是拿一个部代数软量，歌可以束进行菌代数幻玉运算衡、比他较大诊小；向量的定娱义：区别扯：数量向量向量母有方漆向，述大小轰，双峡重性房诚，不忠能比绳较大阁小.（3）以假问题聚为中肠心，烫用问浊题链复为线忽索揭驰示知黎识的楼发生说过程绢．2．突在出向巴量的棒物理练背景拴和几斑何背格景（1）万教科子书特蜓别注浅意从译丰富肃的物产理背本景和患几何突背景贸中引产人向椒量概呀念．接着淡教材踩又以联位移斧为原昨型，匙建立帖了向脉量的馅概念阴，接之着用嘴有向角线段婚给出您了向悲量的脑儿何庸背景骆，并映定义厘向量紧的模岗、单的位向柜量等读概念蚂．意图朝：可以宰使学拍生认链识到产向量唤在刻吹画现燃实问仆题、标物理抵问题俗以及讯数学言问题骆中的决作用缝，使绪学生旨建立嗓起理海解和条运用擦向量硬概念冒的背击景支裁撑．（2）在振有关封向量蜘的运哥算中葵，教派材也盟注意号突出煤向量浮运算扣的原痕型．以位顿移的记“积露累”替为原遍型定惊义向适量的霜加法漂和数日乘；以功脉为原潜型定侄义向钉量的罢数量捧积．在研的究向过量的昏线性徒运算狱时，绒充分影发挥碰有向麻线段皆几何齿背景纽奉的作界用．慰如用宵有向威线段演来解晒释数反乘的瘦几何存意义喇．在向蜻量基鬼本定培理中庭，提抖供力恼的分镜解和盘速度嫌分解使的背便景．（3）在答向量腊的应他用中袋，揭绑示它为丰富截的背附景．3．突虚出运橡算的捏核心允地位（1）运器算是摩向量璃的核宴心内绣容，条对中朴学生手来说赏，根栽据现偷实的秀原型司，自甲觉地贴“构劳造”耽运算排，还驴是第漆一次挥．虽劲然学吹生对亡运算绑并不渣陌生快，但建是，掘他们析眼中废的运钻算只袖有数弃的运获算、亲字母治（式凡）的粮运算肢．现跑在要宗学习轮向量挠的运敌算，脂这对勺于运石算的笼理解止时一英个突妖破．（2）教齿材在学处理很向量崇运算咽的内士容时判，注务意和绳数的卡运算午进行抱类比还，这某样既检可以驶有效临地利尺用学制生有疯关数销的运耽算的概经验妹，而棋且可友以帮播助学孝生发奸展对以运算独的认滔识．例如礼：和镰数进蹲行类知比，漏在建谷立了果向量内的运宣算以辽后，浩研究阴向量兔的运钟算（狱加、旬减、际数乘观等等读）和丹它们班满足它的运刑算律损，在退定义份了运序算以匪后，轧探讨岭运算寄的应衔用，缠就都彼是很瓣自然脚的了拔．类比概推理狐．（3）和玩数学规中的烦概念贝一样辣，数扯学对搁象的努运算她也是会一种遣数学始模型堡，它虾也有由一个烦建构潜的过乡丰程，茂它同怜样是装从原胖型中文抽象历出来帽的．侧教材惭特别讽注意沿展示比这个隐建构志过程秀．如：忧向量悦的加孟法就酬是从茂位移厅的积欧累，乌从分迁力和筝合力融的关厨系中定抽象鹅出来桐的．特别匆地，触向量点的数活量积桃是以尺功为翅原型窝抽象辜出来巨的．（4）向吉量既普是代决数对悬象，因又是担几何册对象钱，因京而向挪量具端有多文种表久示方吼法．赵作为蝇代数畏对象械，向暴量可执以用再一个脾“符冲号”紫表示尚；作宿为几六何对抗象，另向量归可以聋用有瞒向线巾段表善示．磁在学船习了鼠向量刘基本陆定理汁以后群，还习可以乞用坐诊标来岩表示什．实亦际上温，向恐量的崭每一镜种表士示方安法，霜都建厦立了翠一种语言荡．对向倾量的宰运算糊也可皇以用剧不同葛的语钱言来份表示娱．在喉教材姜中，症先用阅几何潮语言盒即有扬向线孟段来穴表示蝴向量谜的线监性运旷算．溜然后耐再用秘代数宅语言赚来坐尘标语翼言来浸表示喉．这清样就王使向宰量成兆为联盐系代键数和序几何鸡的桥体梁，务成为药解决响现实朽问题府和数蹄学问倍题的刘工具抬．（5）向鸭量是烛通过锻运算输来解历决问胞题4．突竟出向伯量与摊相关肠知识乳的联宝系，眠突出蹲向量敲的工便具作惕用（1）教棕材特防别注添意联萍系实士际，够注意钻向量滴与相祝关学逢科（念如：贫力学富、物破理学称、几突何、肝代数部、三妻角）滥的联盈系．沾注意苍用向技量方足法解半决各剪类问袋题．（2）在同例题羽和习谨题中搭都安直排了限向量见在相诸邻领累域内请的应屯用题梨．例：P8后4例1物理峰中的专力的尽合成耗问题P8克4例2几何村问题P8冒5习题2.鞠5饼2速度雄问题四、仙教学门建议1．明咳确教严学要懂求2．让闻学生正参与浙建构壤活动（1）要贵让学朵生参五与建况构向饰量及恭其运坛算的珍活动道，经杏历建扭构过丛程，肢引导擦学生坚认识箭到向颤量是烟一种稍描述艇现实孔问题碗的数超学模慕型．（2）要更让学访生了奋解向师量的夹物理奴背景泳、几蚁何背化景，接知道袋它的酷原型备．（3）通尸过建厚构活佣动，扮让学队生熟除悉向尿量及虑其运陈算的交几何杰意义锄，物葵理意庄义，婶这是挺灵活废运用谦向量盲解决过问题带的基休础．3．让酒学生谁明确急研究刑向量蓝问题挽的基泰本思欺路（1）向趟量是贡代数池的对验象．叛作为烘代数裂对象坐，向屿量可丧以运虫算，面而且睬正是沉因为配有了产运算挖，向前量的西威力判才得支到充利分的盟发挥抵；（2）向挽量又执是几饲何对态象，罗所以池向量巡寿可以告刻画竟儿何霜元素(点、仇线、之面，盛利用轰向量接的方闲向可屋以与都三角干函数挡发生眯联系混．（3）因班为向想量“追一身神二任碧”，狂所以饥几何帜图形日的许着多性栋质会砍表现炉为向箱量的虫运算多性质劲，这悠样我万们就仍可以生通过景向量绞的运风算来象描述例和研政究几约何元货素之忽间的截关系嚷（如牢直线田的平搂行、既垂直勺等）住，确讯定几砍何图问形的侮长度多、面忙积、继夹角穷等等勺．在贯膛穿向绪量教舍学的投全过君程中济，都沫要向扛学生认讲清斗本章烫研究嫁的总番思路藏，让躬学生欠明确设向量躲研究陆的基冤本思脊路．尿特别托是在休学完亭本章积后，行更应骂引导翅学生样反思乐，因圾为这晶对于毙向量咬方法咐的理再解搁是至尸关重输要的镇．（4）让芝学生令理解为向量书方法皮的实酒质①建砖立平厌面几懂何与恋向量抛的联篇系，蔽用向惩量表共示问喘题中袍涉及劝的几准何元裹素，植将平次面儿奋何问滴题抟睡化为寺向量旧问题;②通过艰向量盗运算汉，研糊究几烫何元畜素之资间的锈关系凯，如松距离迅、纤夹角牵等问妈题;③把运装算结赤果“翻译”成几烘何关讯系．案例平面哪向量赴的数权量积活动贤一：创设增问题管情景雨，引贺出新岩课问题1：请薪同学亩们回仓顾一叛下，派我们急已经惑研究帖了向佳量的胆哪些和运算毅？这婶些运梨算的烈结果馋是什车么？向量贴的加跃法、脖减法迁及数塑乘运辨算．问题2：请拾同学们们继密续回炸忆，刘我们确是怎车么引菠入向叨量的余加法独运算税的？霸我们械又是困按照惨怎样显的顺堂序研垂究了泳这种术运算贸的？物理栏模型玩→概标念→麦性质晕→运巡寿算律向→应哗用．活动工二：遗探究丸数量拥积的脖概念|F||s|c帐osABOsFabW＝|F||s|c井os|a||b|c收os|F||s|c闯osABOsFabW＝|a||b|c催os|F||s|c所os对于两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝(0º≤≤180º)叫做向量a与b的夹角．OAOB数量乏积的尤定义萍：已知冰两个斤非零烂向量a和b，它糟们的抚夹角是，我熔们把扔数量|a|诊|b|c腔os叫做诵向量a和b的数量泻积（或酿内积颈），仔记作ab，即ab＝|a|奥|b|c桨os．规定：零躁向量挺与任堡一向激量的铃数量厦积为0．问题3：向落量的奏数量崖积运朗算与袖线性贪运算轻的结诞果有滩什么修不同触？影怎响数奶量积筝大小博的因均素有役哪些处？线性闸运算替的结姻果是脚向量朴，而传数量错积的侧结果哭则是统数，堆这个级数值半的大练小不酒仅和补向量游与的间模有慕关，秧还和敬它们蜂的夹但角有蓄关．问题斩：已扒知向切量a与b的夹扎角为，|a|＝4，|b|＝3，分系别在艘下列净条件至下求ab：(1磨)＝45搏º；(2键)＝90弟º；(3招)＝12叙0º．问题割：已边知|a|＝4，|b|＝3，分菌别在赢下列万条件勿下求ab：(1链)a⊥b；(2络)a∥b．(1友)当＝0º时，a与b同向堡，此铅时，ab＝|a|锯|b|；(2税)当＝18洁0º时，a与b反向锄，此间时，ab＝－|a|唤|b|；(3习)当＝90º时，士则称猛向量a与b垂直苦，记作a⊥b．此臂时，ab＝0；(4化)aa＝|a|2或|a|＝aa．活动揭三：傍探究崖数量弓积的贯运算撑规律问题绳：向量a与b的夹坊角为45扮º，|a|＝4，|b|＝3，试鞠求：ab，ba，(2a)b，a(2b)和2(ab)．运算俯律(1塌)ab＝ba；(2戏)(a)b＝a(b)＝(ab)＝ab；(3必)岂(a＋b)c＝ac＋bc．思考屿：向服量的季数量闻积是解否满例足结全合律筝？案例歌向饼量的部应用向量劫是既卸有大腹小又倾有方赏向的来量，犯它既揪有代灶数特堆征，武又有拒几何棚特征坐．通材过向建量可蔽以实毫现代唤数问彼题与够几何结问题置的互扑相转级化，越所以竹向量虫是数哨形结互合的延桥梁欠．同测时，姥向量绢也是系解决翼许多膏物理束问题恨的有因力工杜具．一、贞向量介在物泊理中写的应拌用例１逐如图伸所示岸，无爬弹性锅的细永绳OA，OB的一它端分攀别固罩定在A，B处，矛同质行量的细细绳OC下端雄系着休一个掉称盘汁，且暮使得OB⊥OC，试斯分析OA，OB，OC三根呆绳子疮受力油的大面小，屑判断嗓哪根删绳受通力最轨大．受力猪分析解设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为a，b，c，则a＋b＋c＝０．a，b的合力为c′＝a＋b，｜c｜＝|c′|．如图，在OB′C′A′中，因为OB′⊥

OC′，所以|OA′|

＞｜OB′｜，|OA′|

＞｜OC′｜．即｜a｜＞｜b｜，｜a｜＞｜c｜，所以细绳OA

受力最大．二、披向量柴在数迫学中宰的应兆用例2用向贤量法著证明月：直夜径所躁对的皮圆周氧角是膜直角案．已知五：如望图，蜂线段AB为⊙O的直腊径，载点C为圆斧周上异咳于A、B的任眉意一斗点．建求证熔：∠AC雅B是直哄角．ABCO即OC·

AB=0，所以OC⊥

AB．即OA·(OC－OB)

=0

，

OB·

(OC－OA)=0．例3已知：OA⊥BC，OB⊥

AC．求证：OC⊥

AB．证：因为OA⊥BC，OB⊥

AC．所有OA·BC=0

，OB·

AC=0．①②②－①得

OC·

(OB－OA)=0，例3已知：OA⊥BC，OB⊥

AC．求证：OC⊥

AB．你能爸否画碎出一磨个几团何图损形来剑解释勤例3？你知道向量等式OA·BC=OA·AC给出的是什么几何关系吗？第三捕章甘三角陡恒等咱变换（约8课时盗）C

C

+S

S

+C2T2T

T

+S2一、宽本章棍结构二、剖内容英和要因求（1）经祖历用张向量乐的数纹量积累推导那出两党角差交的余弦侮公式将的过备程，涌进一绳步体筝会向雾量方韵法的遥作用酸．二、腔内容斑和要趁求（2）能滴从两乡丰角差松的余歪弦公叠式导胞出两窑角和缎与差可的正共弦、朱余弦艇、正辞切公仰式，光二倍棒角的属正弦炉、余顶弦、送正切您公式径，了追解它育们的燥内在冤联系翻．二、种内容感和要奖求（3）能像运用负上述怨公式退进行纠简单难的恒驴等变窗换（代包括绞引导国导出节积化汇和差得、和拢差化扭积、导半角喇公式脆，但董不要科求记里忆）俘．（宗简单爸的三时角函新数式付的化颂简、肿求值症及恒饱等式脏证明贼指三歌角函雅数变钉形的恋次数你一般沈不超盆过三搏次，够整个丢解题碌中三兰角函时数公求式的喇使用撞一般去不超发过5个）本章谨的主石要教施学内驰容是宵三角花函数剂式的羡恒等游变换像．只共涉及土一个序角的波恒等阵变换玻在《三角求函数》中已内经做陕了研进究．（1）是水（在来第1章的耐基础冠上）和对三继角函征数这槽一数插学模窃型（检运算质）性谋质的禁进一疾步研生究；（2）是尿用演坦绎方校法（华借助殃于运烘算）政，建妻立数堪学知般识体井系的品一个调范例层．三、并本章怨内容邪的定亩位说明泼：（1）三门角恒御等变寇换公贞式实洪质上恢是三妖角函痛数的盯运算绍性质叨，而津运算桂性质彼是函扭数的请重要亩性质祖；是顺对函工数研雾究的扣一个谦方面句（可拼以和猛对数该函数岗、指程数函辜数类炉比）递；（2）如粉果不秀研究渔三角扇变形策就不针能发榆挥三威角的倚工具颈价值墓；（3）三挨角变比换公狂式繁侦多，肌但相凶互之睁间存装在着脖紧密妈的逻流辑联筑系，东从一给个公萍式出什发，那就可挽以推墓出其税它的雄公式盲．这锦种类皇似于学公理镰化的轮结构潮，在灭中学馒数学成中是势不可项多得闷的．混另一亿方面莲，三今角恒食等变肤换也芝是一圈种演睬绎推油理的酸方式污，应矮该充舌分发惊挥它数在培室养学丸生推乌理能杰力方寇面的械作用洁．教材闹特点聚：（1）把涨演绎嚼的知孟识结浸构放私在“借对周头期性悦现象按作数粒学研馒究”场的大霜背景樱下展截开．（2）本血章的甘教学躺内容袭是按里照三梅角变聚换公乘式之冶间的断逻辑嗽联系吵展开散的．C

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