高宏岩生现代控制理论第章

第3章线性控制系统的能控性和能观性现代控制理论主讲：高宏岩

本章结构3.1能控性的定义3.2线性定常系统的能控性判别3.3线性连续定常系统的能观性3.4离散时间系统的能控性与能观性3.5时变系统的能控性与能观性3.6能控性与能观性的对偶关系3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8线性系统的结构分解3.9传递函数阵的实现问题3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系第3章线性控制系统的能控性和能观性3.1能控性的定义1提出

状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖能控性揭示系统输入对状态的制约能力；能观性反映从外部对系统内部的观测能力；能控性和能观性的概念是卡尔曼在1960年提出，成为现代控制理论中最重要的概念，是最优控制设计的基础。状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系2定义

若系统(A(t)，B(t))对初始时刻t0，存在另一时刻tf（tf>t0），对t0时刻的初始状态x(t0)=x0，可以找到一个允许控制u(t)，能在有限时间t0−tf

内把系统从初态x(t0)转移至任意指定的终态x(tf)，那么就称系统在t0时刻的状态x(t0)是能控的。若在t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统在t0时刻状态完全能控;简称为系统能控。若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此系统称为不完全能控系统。时间段内存在控制输入u例题：若R1=R2，C1=C2。选两个电容的电压为状态变量，且设两个电容上的初始电压相等，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量分别转移到不同的目标值,显然，它是不完全能控的。该电桥系统中，电源电压u(t)为输入变量，并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。例题：

某电桥系统的模型如图1所示。图1电桥系统

若图1所示的电桥系统是不平衡的，两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制，则系统是能控的。由电路理论知识可知,若图1所示的电桥系统是平衡的,电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的，即状态变量x2(t)

是不能控的，则系统是不完全能控的。由状态空间模型来看,

当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)

和x2(t)时，可得如下状态方程:由上述状态方程可知，状态变量x2(t)的值，即电桥中电容C2的电压，是自由衰减的，并不受输入u的控制。因此，该电压的值不能在有限时间内衰减至零，即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不能控的。3几点说明（1）控制时间[t0,tf]是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。对时变系统，控制时间的长短，即tf-t0的值，与初始时刻t0有关。对于定常系统，该控制时间与t0无关。

所以，对于线性定常系统，其能控性与初始时刻t0无关，对于线性时变系统，其能控性与初始时刻t0有关。（2）在上述定义中，对输入u(t)没有加任何约束，只要能将非零初始状态在有限时间转移到状态空间原点，对状态轨迹不加限制。（3）若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，称状态xf是t0时刻能达的。对于线性定常连续系统，状态能控性与能达性等价。但对于离散系统和时变系统，二者不等价。3.2线性定常系统的能控性判别能控性判别主要有两种形式：（1）模态判据（2）秩判据对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常连续系统(A,B),有：1)

若A的所有特征值互异，则系统能控的充要条件为：B中不包含元素全为0的行；2)

若A有重特征值，则系统能控的充要条件为：重特征值对应的B中的行线性无关。1.模态判据约旦规范形判据：对为约旦规范形的线性定常连续系统(A,B),有:1)

若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵，则系统能控的充要条件为：对应A的每个约旦块的B的分块的最后一行都不全为零;2)

若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵，则系统能控的充要条件为：对应A的每个特征值的所有约旦块的B的分块的最后一行线性无关。例3.2-1例3.堪2-仿2考察廉下列复系统莲的状僚态能心控性解由于A中特湿征值测-4纳的两堂个约圈旦块惊所对监应的B的分当块的商最后像一行予线性腰无关喘，且A中特奴征值版-3妻的约绕旦块器所对献应的B的分染块的晕最后杯一行予不全埋为零宋，故消系统狸状态遣完全猜能控。2.秩判男据定理3.挨2-燃1线性驴定常犁连续阴系统(A，B)其状态左完全活能控的充要直条件是其尾能控格性矩皆阵的秩巨为n，即证明想定泽理3.柳2-旅1已知亡状态糖方程友的解恨为在以股下讨桐论中璃，不塑失一愿般性殊，可束设初咬始时衡刻为踪蝶零，臂即t0茧=肥0以及略终端怪状态斥为状股态空赏间的尺原点奖，即x(笑tf)乐=奥0。则轨有利用冠凯莱-哈密辉尔顿凡（Ca席yl退ey虹Ha年mi钥lt亭on）定坛理证明骄定爱理3.胁2-浴1利用薪凯莱-哈密遗尔顿盐（Ca巨yl架ey系Ha额mi加lt戴on）定刘理进而亩得到因tf是固纤定的烤，所狡以每绸一个外积分肿都代怕表一刃个确撒定的精量，甜令证明递定竿理3.挺2-筐1若系料统是研能控曾的，富那么橡对于伞任意歪给定跳的初犬始状敌态x(0乌)都应详从上价述方柿程中录解出0，1，…，n1来。寄这就昏要求驼系统缸能控聪性矩腾阵的驱秩为n，即ra边nk享[B匠A丧B纪A2B惊…谅An1B]斧=n例3.应2-具3设系要统的体状态疑方程冤为判断折其状茶态能垃控性仔。例题3.2-3【解答】所以该系统是状态不能控的。例3.迈2-眉4设系悼统的暂状态剩方程衡为判断弯其状宅态能乏控性岛。例题3.臂2-顷4【解答】系统黑的能桐控性令矩阵掘为2翻11斑1113记22钞2225糖44艇444M=窝[B糖A磁B饼A2B]尘=ra纯nkM=覆2干n所以悦系统香状态镇不完陵全能兽控。3线性须定常扒系统聪的输怜出能开控性在分于析和饲设计贸控制涛系统杠的许虏多情况况下涛，系盒统的妖被控绍制量众往往能不是看系统乐的状娃态，四而是目系统养的输婚出，待因此射有必旷要研优究系借统的冰输出俯是否撞能控鸦的问什题。对于阁系统蚕(A，B，C，D)，如栋果存故在一夺个无部约束毙的控羡制矢潮量u(熟t)，在烈有限络时间欲间隔[t赔0，tf]内，妹能将拦任一萄给定镜的初摇始输革出y(弊t0侦)转移贴到任荐一指轻定的完最终勺输出y(夜tf)，那戏么就给称(A，B，C，D)是输堂出完素全能酸控的锹，或绑简称贴输出失是能溜控的垦。线性特定常授系统矛(A，B，C，D)，其碎输出来完全括能控愿的充电要条友件是捧输出督能控欺性矩僻阵满举秩，鞭即ra词nkQ=r奴an受k[匙CB披C逗AB承…CAn-1B闷D]骑=m例题泉：试判陶断如仗下系饭统的改输出镰能控气性解由输柏出能他控性句的代幅数判撤据有ra乏nk肌[CB高CA布B吉D]=驰ra伟nk膜[2跨0符0把]=尸1=m故系饶统输在出完谅全能借控。对例匆题中挥的系现统,因为故系掠统是圆状态府不完并全能嘴控的漆。因此绩，由选例题杆可知悉，输个出能麦控性阔与状顽态能杏控性摆是不聪等价较的两苦个不闷同概采念，末它们售之间浇亦没厕有必健然的犬联系流。3.感3线性认连续照定常令系统孩的能谦观性1定义对任仆意给档定的移输入茎信号u(斤t)，在擦有限恢时间tf>t擦0，能辨够根欺据输事出量y(孟t)在[t瞧0，tf]内的恼测量驻值，唯一地确条定系萄统在员时刻t0的初俩始状杜态x(腹t0小)，则捉称此树系统遗的状工态是边完全已能观诸测的顶，或锈简称续系统洁能观辆测的奴。讨论推线性削系统重的能幼观测说性。控考虑尊零输案入时印的状洋态空宋间表敬达式若线赞性连抢续系茎统对初烂始时游刻t0(t0T,T为时登间定详义域箱)和奥初始厅状态x(t0),存在闸另一巷有限崭时刻t1(t1>t0,t1T),根据林在有句限时割间区溉间[t0,t1]内量辱测到形的输认出y(t)唯夹一地莲确定锋系统浩在t0时刻拒的初绝始状裹态x(t0),则称钉在t0时刻若的状威态x(t0)能观犁测;若对t0时刻眉的状扒态空赠间中灶的所怒有状歌态都滴能观阳测，肢则称躺系统楚在t0时刻尘状态姜完全督能观胸测；若存般在某惧个状刑态x(t0)不能荣观测泉，称倾此系笋统是够状态川不完荷全能赔观测夕的，遥简称奖系统皆为状下态不免能观宴测。1定义说明（1）对于桌线性伤定常继系统膛，由耗于系移统矩花阵A(t)和输咸出矩狱阵C(t)都为连常数炸矩阵稍，与赠时间控无关均，因番此不潜必在黑定义像中强宅调“在所崖有时修刻状狸态完士全能壳观测”,而为酬“某一复时刻衡状态奶完全是能观名测，舅则系颜统状锦态完败全能枯观测”。（2）在定大义中铸把能罩观测攻性定犹义为找对初使始状晕态的屑确定咏，这滚是因若为，敌一旦皆确定宗初始谊状态强，便紫可根雕据状胃态方暴程的翻解表模达式亲，由闪初始绢状态猛和输房诚入，糊计算幸出系扣统各旦时刻伶的状杏态值怖。例考虑右图章所示顺的电网灶络系习统由薯输出哀变量庸的值批确定部状态废变量长值的孩能力酒问题承。当电蜓阻R1=R2，电膀感L1=L2，输候入电吗压u(t)=项0，以及两个扔状态邻变量兄的初额始状颈态x1(t0)=x2(t0)且为雕任意童值时士，必冲定有i3(t)=多0，即托输出绣变量y(t)恒为哑零。因此砌，由愉恒为茫零的孤输出y(t)显然排不能花确定计通过察两个常电感桂的电厨流值i1(t)和i2(t)，即描由输绵出y(t)不能池确定他状态捐变量x1(t)和x2(t)的值貌。该电建网络幅模型丑中，u(t)为输只入电涉压，y(t)=i3(t)为输末出变疤量，绣通过弯两电骂感的阿电流i1(t)和i2(t)分别识为状求态变躬量x1(t)和x2(t)。图电网强络但当烤电阻R1R2或电撇感L1L2时，释则由侵输出y(t)可能脸确定荒状态糟变量x1(t)和x2(t)的值值。这种宰能由钩输出遮变量啊值确估定状泉态变陡量值丧的特污性称机为状陪态能肤观测,若由询输出蒜变量祝值不奔能唯寇一确镇定出嚼状态颠变量傍值的续特性蜜则称玻为状嚼态不笋能观奖测。从状战态空信间模刷型上锤看，当选衰择两存电感获的电铺流i1(t)和i2(t)分别莲为状棵态变恩量x1(t)和x2(t)时奖，状苏态空辰间模画型为当电心路中来电阻嫂值R1=R2=R，电熄感值L1=L2=L时，书若输铺入电弯压u(t)突然翠短路,即u(t)=得0,则状叛态方为程为显然楼，当截状态捆变量拥的初稠始状环态为x1(t0)=x2(t0)且为凤任意竹值时恰，上我述状孤态方总程的吩解必哭有x1(t)=x2(t)，故构有y(t)=i3(t)=用0,即输听出变骄量y(t)恒为誉零。因此摆，由评观测妹到的投恒为驰零的躺输出柄变量y(t)不能斯确定毒状态屑变量x1(t)和x2(t)的值里，即然由输减出i3(t)不能萍确定蔑通过锯两个伤电感迫的电角流值i1(t)和i2(t)。但当番电路不中电拖阻值R1≠R2或电海感值L1≠L2时，炒则由往输出y(t)可能麻确定屡状态戏变量x1(t)和x2(t)的值体。这种柿由可田测量奏的输么出变庭量的坊值能桃惟一喂确定屑状态狸变量格的值摩的特颜性称萝为状修态能语观测独，若睁不能块惟一斤确定讯则称伸为状劈燕态不提能观袋测。例：右图铸所示伍的电羽网络软中，揪电源窑电压u(t)为输什入，惧电压y(t)为输莫出，这并分妖别取咬电容胃电压uC(t)和电堤感电旷流iL(t)为状御态变醋量x1(t)和x2(t)。因此乒，由压输出惕变量y(t)显然呀不能些确定疑电压堆值uC(t)，即差由输颂出y(t)不能卫确定冲状态碗变量x1(t)的值弊。故该看电网斥络在碗开关K断开锅后是驰状态挽不能踢观测标的。当开洽关K在t0时刻挨断开厘后，起显然督电容C和电男阻R1构成凝一阶冷衰减蜻电路疲，电乖容电乡丰压uC(t)的变见化只颗与初休始状福态uC(t0)有关清，与闹衰减镰电路敲外其止他信阁号无辈关。2能观降性判厦别能观榜性判输别主饰要有宽两种陡形式妨：（1）模态培判据（2）秩判榨据对角挤规范吓型判辅据：对为提对角捐规范玩形的原线性尘定常亭连续膊系统(A,C),有：1)若A的所孕有特艳征值辅互异,则系聪统可辜观测卫的充古要条现件为帝：C中不蹄包含怎元素爽全为0的列绒；2)若A有重侦特征左值,则系直统可物观测继的充很要条蛋件为吐：重特卫征值萍对应果的C召中的猴列线态性无脆关。（1）杂模态表判据约旦庙规范抬形判思据：对