计算方法线性方程组迭代解法

第3章线性方程组迭代解法Iterative11TechniquesforSolvingLinearSystems(2.1)直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解，解线性方程组还有另一种解法，称为迭代法迭代法：不是用有限步运算求精确解，通过迭代产生近似解逼近精确解基本思想是将线性方程组AX＝B化为X＝BX+F,再由此构造一个向量序列{X(k)}X(k+1)=BX(k)+F若{X(k)}收敛在某个极限向量X*，则可得X*就是(2.1)式的准确解线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、Gauss

Seidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法Jacobi迭代和Seidel迭代由于收敛速度较慢，已经越来越不适应当前信息时代人们对计算速度和精度的要求，所以在实际应用中使用的并不多。但是，他们体现了迭代法的最基本的思想，是学习其它迭代法的基础

如何构造迭代序列{X(n)}?{X(n)}在什么条件下收敛?

收敛速率如何?

误差估计.若在求解过程中X(k)

X*(k)，由X(k+1)=(X(k))产生的迭代X(k)向X*的逼近，在数次迭代求解之后，由于机器跳动产生的X(k)值误差或是有效数字产生的舍入误差，都会在第k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此，在迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的，即迭代求解无累积误差，实际上，X(k)只是解的一个近似，机器的舍入误差并不改变它的性质。

迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以及序列极限的概念。

3.1

向量和矩阵的范数

NormsofVectorsandMatrices

数值分析中,经常要用向量和矩阵,为了应用的需要(误差分析),引入衡量向量和矩阵大小的度量——范数.

对于实数x∈R,我们定义了绝对值,满足

|x|≥0

非负性

|αx|=|α|·|x|

齐次性

|x+y|≤|x|+|y|

三角不等式类似地,定义向量范数Def3.1

在实n维线性空间Rn中定义一个映射,它使任意X∈Rn

有一个非负实数与之对应,记为||X||,且该映射满足:

正定性

任意X∈Rn,||X||≥0,ifandonlyifX=0时,||X||=0

齐次性

任意X∈Rn,λ∈R,有||λX||=|λ|·||X||

三角不等式

任意X,Y∈Rn,有||X+Y||≤||X||+||Y||

则称该映射在Rn中定义了一个向量范数.

注:Rn中的范数不唯一.

常用的向量范数有三种:设X=(x1,x2,…,xn)T∈Rn.则

注:(1)

用范数的定义可验证上述皆为向量范数

(2)

p=1,2,||X||p

即为||X||1,||X||2.

(3)

任意x∈Rn:

定理3.2

设||•||α和||•||β是Rn上任意两种范数，则存在正常数C1和C2，使得对一切X∈Rn

有

C1||X||α||X||β

C2||X||α

注:Rn中范数的等价性表明,虽范数值不同,但考虑到向量序列收敛性时,却有明显的一致性.

Def3.3Rn中X＝(x1,x2,…,xn)T和Y＝(y1,y2,…,yn)T则有有解

(x1,x2,x3)T＝(1,1,1)T，用Gauss消去法得到近似解Def3.4Rn中的向量序列{X(k)},即X0,X1,…XK,…其中XK＝(x1(k),x2(k),…,xn(k))T.若对任意i（i=1,2,…,n）都有注：向量序列收敛实际上是按分量收敛（数列收敛）利用向量范数，也可以说明向量序列收敛的概念。

定理3.5向量序列{X(k)}依分量收敛于X*

的充要条件是则向量X*＝(x1*,x2*,…,xn*)T称为{X(k)}的极限，记做

类似于向量范数，给出矩阵范数的定义。

Def3.6

在线性空间Rn×n中定义一个映射，使任意A∈Rn×n对应一个非负实数，记做||A||.如果该映射满足：

1.正定性：

（4.是矩阵乘法的需要，而1.2.3.为向量范数的推广。）

2.齐次性：3.三角不等性：4.相容性：

在Rn×n中可定义多种范数。

有

A=(aij)n×n∈Rn×n

称为frobenius范数

称为列范数

称为行范数

3.2Jacobi迭代法(3.1)

设有方程组用矩阵表示(3.1’)其中A是系数矩阵，非奇异，X是解向量，B是右端项。(3.2)(3.3)若令则有B=胖D-1(D些-A致)=羞I-帐D-1A,勾G=独D-1B方程(3侧.3霜)可记场为X=旋BX经+G方程(3嫁.3竞)可记落为X=石BX搬+G选取糊初始您向量X0＝(x10,沙x20,…想,扎xn0)T，代紫入方塘程(3刺.3黑)右端刑，可音得到缓一个耽新向事量，粥记为X1＝(x11,姿x21,…用,灶xn1)T，一惰直进倚行下泉去，设迭代厌格式X(n前+1盒)=B症X(n烫)+G朽n=祖0,烤1,徐2,顺…以上晃过程尤产生黄向量永序列{X(k疑)},若收课敛于X*，则吹有X*泰=B胶X*宵+G(I司-B绿)X百*=基G=已D-1BAX摄*=蚕B即X*是方磁程(3猪.1省)的解(3昆.4漂)Ja辽co宵bi迭代秃公式k012310x1k0.00000.60001.04730.93261.0001x2k0.00002.27271.71592.0531.9998x3k0.0000-1.1000-0.8052-1.0493-0.9998x4k0.00001.87500.88521.13090.9998唯一灾解X＝(1罢,2厦,-堆1,谢1)T(3护.5奥)简单霉迭代习法用X(k甲)计算X(k谨+1冶)时,需要繁同时凝保留X(k绳)和X(k些+1补)。为了汽加快宿收敛淘速度屋，同桨时为木了节垃省计慰算机物的内漫存，加我们良作如逝下的数改进冷：每算同出一趟个分士量的焦近似耀值，旺立即金用到算下一堵个分吉量的哄计算武中去迭代升格式页为这样付所得纠的迭肝代法名就称聚为Ga凡us摔s-则Se米id膏el迭代抹法，业也称尤为“聚异步剑迭代泰法”立，简惰称为GS迭代船法。若令则(3付.5贴)式可蔽写成X(k搞+1善)=L冲X(k棋+1禁)+坐UX(k窄)+信G务k惭=0稿,1做,2胞,…也可烟记为X(k配+1蜘)=(海I-矮L)-1UX(k我)+鸽(I夏-L鞋)-1G称(I较-L将)-1U为Se柜id急el迭代伞法的帮迭代讨矩阵(3抗.6恶)(3袍.7手)[例3.僻4]用Se企id垄el迭代观法求给解方棒程组解：取初克始向姜量,要求时迭敢代终株止。Se孤id亦el迭代用格式胞为计算郑结果革可列偷表如摄下注意矩：未附必Se薄id研el方法涉一定任比Ja盒co床bi方法耀好。3.掏3收敛把性和准误差色估计设nn阶矩浮阵A的特算征值盗为i(i住=1翻,2忽,3欢……久n)固,则称为矩渠阵A的谱盐半径疮。例：验用GS迭代态法求躺解例[3睬.3闯]相关情程序贵设计原始黑数据梯（A,活b)可用普一个验二维电数组爽存储扩，也第可将A用一勉个二已维数秒组，b用一甘个一丘维数扯组分订别存踩储，锁存储挤需要腹一个邻一维与数组侄。程西序中躲应方亿便地戴对迭热代方热法和党终止伞条件巧的选戒择以旦及对哄初始拐向量驰和值糟的设笔置。解在迭登代过督程中携，为巩反映浆迭代计情况里，可常设置畏一些秘中间大数据鞠的输粥出，翁如迭拉带次背数，复迭代钻向量际，迭杏代残逆向量等。签当然杆不需控要每乳迭代制一次臣都作评输出征，这胜可作挎为收剪敛情尤况或明不收妈敛情庄况的辫分析晌。作夕为不剃收敛需的判倦定，分可设竞置一恶个大豆的整挎数，崖当迭捷代次个数超腹过该糕数时化作为蹦不收香敛处胁理。GS迭代作法的垦计算俯公式壳为：请给施出用C语言愧或其谣他语描言求卷解下奋面方唉程组佛的程轮序及垮结果淡：方法袋优缺薯点讨拉论由以瞒上例该题的交求解说过程所可明特显看奏出GS迭代渔法的换收敛名速度稀比简取单迭冒代法荒快，趣但对切于任朱意给鹊定的猛一个觉方程承组分凳别用降简单怜迭代压法和GS迭代决法求肾解时够，两垦种迭忆代法宴可能定都收裙敛，携也可灵能都章不收腰敛。铃也有谁可能畏是GS迭代坚法收静敛而J迭代看法不委收敛猪。但逗亦有结相反伴情况直，即浴简单邪迭代晒法收嘱敛而GS迭代批法不陆收敛员。而民且交蔑换方弱程组仙中的胀方程呈和未格知数搜的次饮序都语会影意响GS迭代摧法的逆计算及结果证，但汉这种往交换补对简宴单迭逝代法刘是没饥有影桨响的岗。3.蜘4松弛见法当使喷用Ja杯co贿bi迭代预法或Se肝id循el迭代关法解姐线性鸽方程轻组时尿，可架能会挎出现学收敛殿极慢崭的情阀况，相为了钱提高犯迭代罗收敛竟速度俭，我蒜们再铺给出午时SO甚R法，此舱方法慰又称稼为超松化弛法（Su娱cc循es咽si五ve方Ov紧er亏Re岂la陆xa取ti霞on绳Me播th朽od），颗它具沟有提汤高迭锡代收丹敛速且度的挽功能考。SO雨R法由Se未id支el迭代孕法演好变而薄来，纷其基本恶思想是利渣用原歼迭代涉的第父次迭构代值差及由钳产生喂的下益一步Se经id智el迭代弓值的志加权外平均照构成说新的算迭代餐格式搏。松弛伪法可塌认为喜是Se庸id痛el法的固加速Se萄id废el法X(k宾+1然)=L但X(k教+1拥)+垂UX(k希)+略G猎k冬=0且,1抗,2独,…令ΔX质=X(k别+1演)－X(k衫)=L置X(k鬼+1储)+栏UX(k清)+茶G－X(k屯)X(k啦+1些)=X(k贱)＋ΔX松弛均法思性想X(k患+1焦)=X(k脖)＋ωΔ荐X松弛榴法X(k个+1铜)=年(1暖-肉ω)拨X(k孩)＋ω(软LX(k捐+1廉)+茄UX(k消)+蛮G)k=土0,辰1,辆2,惕…其中何，ω称为挺松弛拔因子芬，当ω>格1时叫液超松能弛，浆当ω<跟1时叫疑低松奏弛也可尚记为X(k塑+1商)=(师I-费ωL醉)-1((谱1-坝ω)帽I+陶ω嫩U)湖X(k膀)+蝴ω(艳I-末ωL小)-1G称(I既-ω些L)-1((筛1-调ω)呀I+诉ω携U)为松界弛法膛的迭射代矩尝阵(3同.8栏)(3辨.9犁)(3婚.1谷0)唯一参解X＝(3总,4榜,-倦5)Tk01237x1k15.2500003.14062503.08789063.0134110x2k13.8125003.88281253.92675783.9888241x