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文档简介

4.2连续函数的一般性质一连续函数的局部性质二复合函数的连续性三反函数的连续性

函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。四初等函数的连续性一连续函数的局部性质Th4.2（局部有界性）若在连续。则在某有界.Th4.3（局部保号性）若在连续，且则对任何正数，存在某有.注①在具体应用局部保号性时，若

可取，

②与极限相应的性质做比较

这里只是把“极限存在”，改为改为其余一致。“连续”，把证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和，使得．[证]据在连续的定义，满足．现取相应存在，就有

[证毕]

四则运算的连续性Th4.4例如,连续是用极限定义的，本定理是极限四则运算定理的直接结果，不证自明。Th4.5证二复合函数的连续性将上两步合起来:意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续例1解例2解同理可得注意定理是定理4.5的特殊情况.例如,三反函数的连续性定理4.8严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.Th4.8若函数上严格递增(或减)且在相应的定义域（或上连续.连续,则其反函数证明不妨设上严格递增.此时的值域即反函数任取＞0，异于＜＜使它们与的距离

设与对应的函数值分别为由的严格增性知＜＜令则当时，对应的的值都落在与之间，故有＜这就证明了在点连续，从而在内连续.类似地可证在其定义区间的端点与分别为右连续与左连续.所以在上连续.四初等函数的连续性★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★(均在其定义域内连续)Th4.12基本初等函数在定义域内是连续的.Th4.13一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意2.初等函数求极限的方法代入法.例3求解它的秋一个秧定义场区间污是例4解例5求解不能康应用厘差的鸦极限蝴运算画法则威，须召变形——先分嚷子有宿理化斤，然罢后再授求极崖限五、谨小结连续迫函数渡的局氧部性犁质反函叮数的湿连续植性.复合氏函数续的连牢续性.初等亮函数盈的连骄续性.定义袖区

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