随机数产生原理

第四章随机数产生原理

一、引言二、伪随机数产生原理三、[0，1]均匀分布随机数的算法四、其他分布随机数的产生五、正态分布随机数的产生六、MATLAB统计库中的随机数发生器七、随机数的检验八、案例3九、习题一、引言

以随机数产生为基础的Monte-Carlo方法已成为现代科研的重要手段之一。其意义早以超出了概率论与数理统计的范畴。广泛应用于计算方法、随机数规划、管理科学、物理化学中的高分子结构的研究等领域。我们来看一些例子。1、数值计算的研究数值计算的研究可以说是一切Monte-Carlo应用的基础，在计算数学领域我们遇到了很多的复杂计算，一个典型的例子是计算积分。对于一维、二维的问题早已获得解决。但是当遇到高维积分问题时，我们传统的数值方法都由于计算量太大而陷于了困境。但是高维积分问题又偏偏是物理、高分子化学、运筹学和最优化问题迫切而必须解决的问题。我们来看一个例子。

这里这是一个众所周知的积分公式，我们当然也可以把它一般的看为是一个高维积分，如果从传统的数值计算方法来看待，则高维问题是随着维数的增加计算量成指数增加的，计算很快就失去控制。但是如果我们换一个角度来看待这个问题，从概率论的角度，它实际是：

即是f（x）的均值，对于均值我们有一个很好的估计，即【例4.1.1】用Monte-Carlo对积分解：将积分区域和值域看成是一个边长为一的正方形。利用均匀分布随机数将点撒在正方形中，计算小于函数的个数并除全部点数。这就是积分的近似值。%利用Monte-Carlo方法计算定积分x=rand(1,1000);x_2=x.^2;JF=mean(x_2)%作Monte-Carlo积分示意图fori=1:1000xx=rand(1,100);yy=rand(1,100);endx1=linspace(0,1,50);y1=x1.^2;plot(xx,yy,'.',x1,y1,'linewidth',2)axisequalh=legend('x-y','x^2');JF=0.3346面积计算结果为：s=0.3482【例4.1.2】利用Monte-Carlo方法计算定积分。解：抽两组随机数，求每组元素的平方代入给定的函数，然后求平均值即得积分的近似值。%Monte-Carlo方法积分二重积分并与数值方法的结果进行比较Q=dblquad('sin(x.^2+y.^2)',0,1,0,1)%数值求积分命令x=rand(2,100000);%产生两组随机数Sin_xy=sin(x(1,:).^2+x(2,:).^2);%代入函数JF_Sin_xy=mean(Sin_xy)%用Monte-Carlo方法求积分值计算结果为：Q=0.5613JF_Sin_xy=0.5612当抽样数很大时结果很接近。我们可以从Monte-Carlo方法中看出，如果维数增加实际计算难度并不增加，因此是处理高维问题的有效方法。这里x是积分定义域中的均匀分布随机数，这是革命性的一个视角。从这个视角，我们把繁难的积分计算变成了简单的算术平均，而大量的抽样计算又是计算机的拿手好戏，更重要的是当维数增加时并不增加计算难度，从而用Monte-Carlo

方法研究高维积分问题已是当今计算数学界的热门课题。2、管理科学的系统仿真研究

管理科学中的系统仿真研究，如服务系统、库存系统等。其共性就是研究的对象是随机数，如顾客到达时间一般是一个服从指数分布的随机数，而服务时间也可以看成是服从某种分布的随机数，当一个系统是多队多服务体系时，问题就变的相当复杂了。我们很难用数学的解析式来表达。这时Monte-Carlo方法也是有利的武器。对于这个领域的已有各种比较成熟的专用软件如GPSS、SIMULATION等可以使用。3.物理化学中的分子领域50年代科学家已经在高分子领域使用Monte-Carlo方法了。这一领域所研究的问题更加复杂，计算量非常之大。高分子材料是由几乎是无穷的高分子链组成，而每一个链的长度又是10的好几次方。而链的构象又是千差万别，而且是随机游动的。如何在中微观上几乎是无规律的现象中去判断其宏观的性质？用数学的解析式来说明这样的现象是苍白无力的。Monte-Carlo方法是一个很好的工具，它使得科学家用Monte-Carlo方法去探索高分子运动的规律。一个典型的例子是：对于高分子多链体的研究这是一个很复杂的问题，直到标度理论和重正化群理论方法的引入，才使得单链构象统计问题得到了较好的解决。例：用计算机模拟高分子链链的末端距末端距：空间一链的末端与始端的距离为末端距，由于我们将始端放在坐标原点，所以末端距的计算公式为：末端距=（X2+Y2+Z2)1/2这里X，Y，Z为链的末端点的坐标。显然末端距随链的不同而不同，即为随机变量。三根链的起点(0,0,0)蓝链的末端距绿链的末端距红链的末端距二、伪随机数产生原理

前面Monte-Carlo方法的例子是以高质量的随机数为基础的。通过完全的随机抽样或调查可以产生随机序列。当我们用Monte-Carlo方法研究一个实际问题时，我们需要快速地获得大量的随机数。用计算机产生这样的随机数是非常方便的，用数学方法在计算机上产生的随机数称为伪随机数。

基本定理：如果随机变量X的分布函数F（x）连续，则R=F（x）是[0，1]上的均匀分布的随机变量。证：因为分布函数F（x）是在（0，1）上取值单调递增的连续函数，所以当X在（－∞，x）内取值时，随机变量R则在（0，F(x)）上取值，且对应于（0，1）上的一个R值，至少有一个x满足，见图4.2.1以表示随机变量R的分布函数，则有(4.2.1)=证毕图4.2.1(4.2.2)

基本定理给出了任一随机变量和均匀分布R之间的关系。而有些随机变量可以通过分布函数的逆变换来获得，因此如果我们可以产生高质量的均匀分布，我们就可以通过变换获得高质量的其他分布。见公式(4.2.3)(4.2.3)例4.2.1

求指数分布的随机数。令

从而我们用服从[0，1]上的随机数R，通过上面的公式就可以得到指数分布的随机数了。例4.睡2.伤1产生10蜓00个均歼匀分庄布随镇机数停，利补用变吨换产拴生λ=贴6的指周数分洁布并让进行医拟合锐优度朴检验嚷。cl嗓c,留cl伏ea词rx=那li避ns城pa间ce渴(0物,2授0,滴10界0)踪蝶;R=眠ra债nd稍(1挂,1剃00诸0)被;滥%产生10松00个（0，1）均胖匀随露机数ex跪=-墨6*慎lo赠g(扎1-莲R)耳;指%变换艇为指帮数分扬布随盟机数ex弱=ex';m=me剑an歉(e编x)v=va慈r(页ex)su嘱bp悉lo吓t(旦1,伸2,霉1)垒,c弱df恋pl壶ot绣(e蓄x)su竟bp彻lo樱t(砖1,疼2,衣2)租,h遭is撕t(储ex委)ks对te它st地(e吧x,稍[e去xex征pc滩df势(e企x,氧6)纸])警%拟合哭优度友检验结果益为：H=怠0,接受符原假利设，您变换毕后的叼确为λ=顷6的指寨数分腿布三、（0，1）均匀汽分布椅随机来数的津产生1、算辣法要船求（1）产生见的数笼值序乔列要纸具有惭均匀爸总体航简单矿子样鬼的一箭些概殿率统哀计特灯性，线通常追包括袍分布涌的均弦匀性按，抽樱样的擦随机乡丰性，做试验毫的独丹立性童和前诞后的讨一致币性。（2）产生士的随伟机数鉴要有砖足够盏长的袜周期张。（3）产生网随机庄数速稿度快孙，占狡用内项存小坦。为了柿达到涉快速醉的要钟求，露一般诊采用哑递推省公式（4.短3.病1)目前极最常用用的芳方法铺是上涛述方垂法的汽一个昨特例激：混合雨同余狮法(4喷.3记.2绪)其中a，b，M以及械初值y都是仔正整站数，淋容易拍看出x满足0≤x≤1。其中mo搞d拜M运算魄定义侄为：绘任一倘整数y可唯席一表漠示为挽公式则乘同种余法当b崖=0时，劫有(4留.3驰.4姐)加同桃余法以下灭形式舌的同川余法牵称为陆加同当余法(3煮.4育.5焰)例4.叛3.影1历史吗上比师较有争名的疑称为宝“菲肚波那屋西”矩数列梨为加投同余疯法的特毫例。(4考.3批.6知)当M=放8时，筛取初绳值得纱“菲惕波那捕西”鼓数列泊。0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，14舱4，25续3……对上廉述数叶列取潮模得敞：0，1，1，2，3，5，0，5，5，7，1，1……(4震.3稿.7挖)再除违以模M我们扑可得投到(0沙,1斧)之间强的序动列。我们康知道第对于延一个然来自棕均匀索分布窑的随六机序裂列，秆应该远满足帮独立吼性、萌均匀夸性等搞统计边特性放，但似伪随禁机数晴往往总有一纲些缺稼陷，良例如(4接.3胃.7壶)序列贯到一顿定长吴度后舒，又呀开始正重复枪下面击的序夺列，臂这称糟为周言期性逗是一鸟种明啊显的男规律煌，与兼随机授性矛瓶盾。暑通常占我们鹿只能币选用莲一个蛇周期榜内的思序列扮作为磁我们邀的伪条随机董数。鱼因此算研究湾一种翻算法晒，使竹得其吹产生帖的随俯机序暗列的投周期波尽可鼠能长思，我友们可故以通肾过调披节（4.交3.青1）的苏参数献来实贫现。因此隙如何蛙来获算得一辞个周位期比悦较长疤的序稿列，膝就成较了我鸽们研仗究的押一个餐内容秤：有挥关伪注随机训数序源列的昌周期旦有如品下的喉一些茂结论漫：定理4.泉3.瘦1混合浅同余歪法产咐生序灾列达厘最大存周期M的充巾要条骑件：（1）b与M互素（2）对于M的任慌意素尸因子p，有（3）如果4是M的因见子，券则显然握乘同淡余法搅产生娇的序赛列达降不到华周期M（不满阀足（1））嚼。当取漆（k为任胃意整漠数）押时，享因为M只有杜一个虏素因菌子2，确且4是M的因柱子，乱则由棉条件罗（2）、夺（3）有真，从而台混合线同余纷发生明器达波到最坟大周滥期的传算法舒为：（3.面4.芳8)其中c，d为任揪意整撤数。稳混合遮同余京发生树器是丙否达石到最联大周界期M与初喜始值睁无关绩。对于季乘同嫁余发坊生器柜，由跃同余狼运算僻的定崖义，膏知其湖由如连下性显质(1让)如果则有飘：（2）如修果则其中茧（c，M）是c，M的最心大公习约数游。利用劣这些婚性质瞒可得撇到以户下定锁理。定理4.闪3.想2对乘毙同余约发生衰器，吴若鄙，则暖使成立嫩得最俯小正惜整数V就是悔此发堵生器踩得周转期。在数爆论中器称V为a关于M的阶眯数，万对于荣乘同捷余发梢生器顺，若诵种子造与M互素压，则抄其周避期就仗是关蛇于M的阶合数。悬这样供一来务，寻庸找达基到最紫大周遣期的佛同余肆发生酸器的等问题续就转逃化为队数论米方面灰寻求M达到编最大凯阶数a的问度题了竟。Kn爬ut兆h对这嫌一问刃题的独研究魄作了碗总结杨。从算国法上嫩我们摄知道擦公式鲜是递直推的签，因楚此一大般的禁随机涛发生勤器程洽序都这要预拆先赋怕初值烧，这很种初馋值为卫种（Se穿ed），有些例统计伍软件蛋如SP孕SS要求赤用户绢给出Se盗ed索.以均蒜匀分帮布（0，1）随旗机变芬量R变换伪成的刷随机纹变量刺。以r,ε,u鞭,分别矮表示(0鸣,1斜)均匀出分布,指数相分布菜，N(戏0,比1)标准捆正态联分布也。其秧他常革见的光分布薄如卡著方分吴布、F分布什等的多抽样堪方法冠见表4.伞3.及1。四、其他喜分布歉随机榨数的纯产生1、直接牧抽样覆法由基枣本定察理我击们知仁道，悄对于贴有些遥随机析变量雪可以渗建立棕与R的函祖数关练系，档因此盆只需姐对R进行困抽样匹，利均用函嫂数的尚映射胆关系腾我们变就可班以方茶便地旱得到科该随带机变盯量的则抽样质了。渔如前报面的泛指数值分布恨随机息数。2、变声换抽销样产生淘随机著变量搁的变抢换抽忙样方嘱法，袍是讨订论均索匀分碧布的罪不同齐函数蜂分布弊，为咳随机货变量印抽样黄提供砌一些宴简单易可行屈的算钢法。窃在概赶率论苍中，恼从不啄同的散角度螺出发勾，对曲随机疮变量术函数直进行谋了讨萄论，北以下克列出恩一些惕结果。设随客机变诵量X具有礼密度笨函数涂，茫是对说随机变长量X的变续换，捞且匙的竖逆函数数存吧在，置记为有一启阶连充续导缎数，嘱则随等机变校量的贺密度期函数，（4.疯4.餐1)例4.缴4.盒1R，1-暮R均为大（0，1）上撕的均喊匀分及布随厦机变锈量，馅设随慨机向奋量（X，Y）具有徒二维汽联合狐密度鬼。对所于随参机变条量X，Y进行架函数世变换其中门，函辟数跑，美的年逆变俱换存瞎在，蜻记为且存亦在一换阶偏投导数伐，设J为Ja齐co毒bi变换则随蚀机变广量的豆二维陪联合测密度挤为(4望.4省.2谦)例4.圾4.埋2用变溉换抽反样产会生标零准正密态分袭布的菜随机呆变量U随机僻变量U的密作度函译数为:取随立机数，则相互村独立半、服青从N（0，1）分布毯。解痰上面银的两春个方钱程，她得逆驻变换塘公式由(4港.4喷.2狗)，随塘机变容量弃的密春度函扎数从而东我们爪知道杯是两中个独暗立的捏标准兴正态咳分布码。下面艘还有悉几个革常用充的二候维函茎数的随变换谱结果慢。1）随机菠变量破和抱的密明度函辰数（4.闲4.毒3)2)随机戚变量伶的积的密叠度函叨数(4假.4盏.4走)3)随机腰变量鼻的商X/递Y(4厌.4梨.5挣)3、值密序抽橡样值序陈统计预量鹅，跌通常而称为作值序厘量。瞒是随五机向归量的一蛙个函陕数，鼓取其松一个澡实现并排般序得其中纤的第l个值为散函数肤值。疾显然处这是没一个号统计担量若随念机变头量的各清个分今量独傍立且晃同分侄布，闸则值酬序统勇计量衬的密着度函远数和分辆布函顶数分卵别为驰：这里念，F(x严),振f(x闷)分别饿为随届机变句量在姜分布悠函数钥和密角度函脚数。特别僚当随虚机变厉量巨为[0，1]上的泽均匀洪分布趣时，得密京度函技数为派：这是馒分布苏的密望度函驳数因此检我们还可以照很容赖易地叠产生话特殊盘的莲分隙布的吉随机书数。例4.型4.胆3产生快服从纺分向布的哲随机付数若随翼机变构量众的密句度函泥数为舒：利用翠（0，1）均健匀分正布随合机数钞我们吊可以题如下劝产生捷特殊个随爪机数（1）（2）（3）（4）我们券来验物证（2），第即是桌否服领从a=1，b=5的贝除塔分穿布，移按公跳式抽5个均乎匀分距布的像随机透数，项取其枪中最倒小的针为一咐个样眠本，今共取10厘00个，女然后沈用分溪布的Ko堤lm最og植or抛ov-S搬mi匪rn暖ov拟合谁优度读检验豪，程窗序如构下：%例4.温4.节3验证(2装)%抽5个均勇匀分除布随菊机数筹，产测生一冬个服亚从ba秒ta分布棚的随她机数fo蜻r刮i=柏1:卸10列00B(弄i)=畜mi朝n(张ra万nd楚(1贝,5撒))棒;en脖dB=惜B'漆;杯%转置乡丰为列址向量h=ks产te截st涉(B,腔[B俊b句et毁ac距df撤(B筛,1已,5趁)]尾)蝇%检验任服从ba干ta分布熟吗？计算颜结果目为：h=积0接受川原假砖设，豆服从a=1，b=5的贝锁塔分秒布。胃学习拼者可件以验绒证其赤余的学抽样藏公式铲。五、爷正态槽分布努随机描数的冈产生正态衔分布多在数迫理统完计中呜具有像基础终性的控作用扬，因帽此产呀生高中质量泊的正亮态分岩布有亮重要临的山意义纽奉，这腔一节胀我们抛将介锣绍几店种数社值方障法求蛇正态激分布戒，利意用中购心极任限定婶理产芦生正在态分妙布的淹随机市数。1）利用鸭中心敢极限跳定理爬产生妇随机榴数中心秃极限携定理阳：设服从筛均值压为μ，方差值为σ2的某秩一分辞布，及令（4.莫5.厘1)则当n充分孝大时炊，渐近意地服垦从标晚准正访态分掌布N（0，1）注意掀，这渔个定踢理没感有指战出随款机变淋量x是服斩从什拍么分傅布的慰。这正是碧该定疤理的舰神奇贩之处稍。我干们现孔在已镜经能事产生[0，1]均匀顷分布的通随机危数了志，那祖么我浆们可讲以利亭用这园个定冻理来重产生昼标准气正态分布泛的随识机数昌。现在需我们爪产生n个[0，1]均匀远分布茶随机鄙数，由公闸式（4.粥5.箱1）我惰们有睁：为编摩程方蜘便，擦我们氏特别忌选n据=恨12，则这样面我们惭很方级便地苗就把框标准润正态仪分布抽随机窝数计踪蝶算出监来了敏。例4.痛5.怒1利用测中心粱极限务定理千产生奴标准烤正态朋分布赞随机村数并储检验%烛ex闲am塌pl按e咱4.粒5.若1cl命c,辜cl棍ea冠rfo碌r刻i=歌1:禁10抱00R=歉ra在nd镜(1皱,1蠢2)你;X(拖i)=衫su橡m(月R)腾-6抱;en躁dX=咏X'办;m=me阔an愤(X)v=va妹r(惜X)su诉bp仿lo粗t(谊1,惠2,崇1)偏,c屡df虚pl已ot也(X勒)su隶bp用lo槽t(合1,疲2,毛2)渗,h驾is邀tf眨it脚(X拉)h=ks绑te枣st捆(X,缩慧[Xno呜rm隶cd膛f(运X,桶0,宴1)停])结果妻为：H=妇0,接受吧原假低设，把变换岁后的妇确为荒标准始正态酸分布为。2)Ha断si下ti困ng有理裙逼近旬法这是售一种甚计算跃速度胡快，萍也能地满足罪一定违精度爬的算宫法。摆我们醒可以高构造萍分布豆函数符反函素数的划近似腐逼近辩公式绿，来淋产生息标准径正态套分布兄的随锁机数黎。其何计算双公式氏为：（4.腰5.控2)这里，系糊数为御：a0=颤2.沉51齐55胡17b1齿=绒1.号43猾27误88a1=核0.混80窄28途53b2=伪0.蓝18立92铸69a2=缩慧0.承01螺03段28b3=舍0.玩00钩13惹08六、叶利用书统计遇工具他箱产差生随盈机数在MA自TL灭AB统计将工具剂箱中我为我僵们提击供了绢大量息的产挥生各治种随顽机数奸发生烤器程维序，绝我们鲜只需走要调坛用就阿可以悉产生驻我们厦想要亿的随燃机数井。随机痰数发咱生器betarnd贝塔分布随机数发生器chi2rnd卡方分布随机数发生器evrnd极值随机数发生器exprnd指数分布随机数发生器frndF分布随机数发生器gamrnd伽马分布随机数发生器geornd几何分布随机数发生器hygernd超几何分布随机数发生器lognrnd对数正态分布随机数发生器mvnrnd多元正态分布随机数发生器mvtrnd多元t分布随机数发生器nbinrnd负二项分布随机数发生器ncfrnd非中心F分布随机数发生器nctrnd非中心t分布随机数发生器ncx2rnd非中心卡方分布随机数发生器normrnd正态分布随机数发生器poissrnd泊松分布随机数发生器trndt分布随机数发生器unidrnd离散均匀分布随机数发生器unifrnd连续均匀分布随机数发生器wblrnd威布尔分布随机数发生器例4.击5.迁2例4.糠6.突1设正旱态二降维分盖布的徒密度纸函数焰为：作二佣维分昌布的商散点愧图和旁直方挥图%例4.傲6.连1二为糖独立斧正态配分布它的散尸点图仅和直不方图mu茧=规[坦0渠0]贡;si摇gm体a织=姜[1塘0廉;推0遮1]蝇;r跨=迈mv逗nr筋nd粱(m瞒u,崇si陆gm绪a,锻10柿00弦);su刃bp袄lo妻t(讯1,星2,索1)档,p挂lo不t(与r(筛:,凯1)运,r诱(:表,2颗),蹲'+尝')su卡bp蹈lo蜻t(业1,卷2,逼2)杂,h贫is浆t3铅(r循,[勒10穷1洒0]赶)七、痰随机速数的掏检验我们忠已经采基本佩搞清触伪随征机数摧的产蒸生原倦理，军由于钳并不村是真蜜正的静随机劫数，跪很自断然的雹问题厘是，虹它们轻是否霸具有疑真正货随机碍数的潮那些言统计介性质夕如参勉数大法小、牛独立超性，偶均匀音性等废等。设：眉随机刻数具有有连炎续的怒分布族函数F（X），则随喇机变蚁量R=（X）是均终匀分蝇布（0，1）的勒随机帅变量恢，因红此如叮果R通过尤统计鼓检验扑随机偷变量X也可惯以通涛过。盖因此咸我们番以下痕着重江讨论彻均匀宣分布R的检贝验问谁题，经再简那单地屯讨论飞正态钳随机城数检责验问驰题。统计则推断柴原理统计添量的友定义胳：设茫为望随感机变飘量序仔列，象则随鹊机序姿列的宴函数早称为弹统计坟量。傻记为协：显然狠统计己量S也是教随机踏变量吹。既傍然是睡随机卡变量版，它宇们就曲应该么有其疤分布闪或称创总体破的规践律，劈燕当然饼也有甘各种机数字胆特征寒。例轻如均敬值、盗标准仙差、普方差扭等等将各阶谈矩。我们席的统怀计推悔断方较式是贡：（1）H0：某假硬定成蚊立（2）在皂假定障成立盾的条慰件下框构造狼统计庄量S（3）统萌计量额构造赠完毕影，我宝们也寻就知嫂道了睡该统今计量佩的全接部统着计规律说。如看它的押分布艘函数总，或悲密度棵函数胆各阶吸矩等秘。（4）根裙据统王计量伙的分垂布，恶在给膝定的险显著晨性水须平α，对统概计量S的一日次抽址样确答定以1-政α为概赢率的辅区域贝，该登区域活称为宣接受域棚。晕如果弱该次障抽样闲计算壁出统晨计量S的值s落入肥该领友域，我们柴就接者受原各假，巴否则愈推翻饿原假步设。这个栗就是增小概滑率事昌件在嫁一次并实验复实际朽不可矮能发糠生原顾理。落入帅由α确定扩的区脉域是倍一个舰小概黑率事援件，江在一许次实女验中性我们恐认为是猎不可辫能发泛生的势。接受监域1、统计挖检验半中两滤类常葬用统脆计量程的构跳造检臣验方纱法（1）设抚随机雹变量X具有匆数学膨期望E（X）=，和有赌限方只差D（X）=，我们介抽N次样忽本。X1，X2……，XN，当N充分大困时，季统计卡量(4杰.6烫.1皆)以N（0，1）为极础限分批布，振取显破著水盯平α=旨0.饱05膏,则拒尼绝为（—∞，—1.典96），禽（1.决96，∞）。当＞1.合96，则具认为旷差异爬显著粉，拒傍绝假所设E（X）=μ（2）将孩样本X1，X2，……，NN，按一洞定规屑则分损为不合相交尤的K组，悔记i组的立观测待频数渗为ni（i=耗1,……，k），若随剪机变描量X落于冬弟i组的拳概率秧为Pi，则得源理论只频数mi=孙N×Pi，由ni，mi构造竿统计雁量。=(4草.6畏.2链)渐近叹服从童自由芦度为数的分颠布，晋简记员这里要，l是确竭定概书率P时，睡由子块样X中给庸出的罩约束券条件恰数。脑为有镇效地安进行统计炮检验狠，一厦般要星求（4.租6.呼2）的仰样本烦数N＞30；在（4.楚6.星2）中k≥5，mi≥言5。当统板计量晚的自提由度哨时，U样=渐近汤服从N（0，1）分布酸。服从夸柯尔字莫格籍洛夫—斯米健尔诺县夫的浆统计鹿量取显吉著性克水平α=玩0.裤05蜻,可拒绕绝原质假设婚。我们舱可以丘用这抹种方箩法进愧行独朋立性抓，及趁拟合健优度着检验忧。2、随机去数的押统计心性质幼检验设均花匀分姥布的意随机哑样本贞为：（4.膏6.怨3）是一兽组需颈要检喂验的[0，1]均匀口分布虏随机盗数，如利用(4睡.6紧.1任)，(4粪.6便.2卫)我们彻构造践统计凝量来片对常岂用的割参数继进行仓统计铸检验往。1）参伯数检匹验参数点检验旅是检此验参萍数估霸计值胳与理扩论值页的差俊异是恐否显永著的锋方法悉，设姐我们汉有[0，1]均匀锹分布容样本R1，R2，……腾RN（4.盖6.搂4）我们坚可以药构造庙以下沉统计阻量（肚参数曲估计缎量）即随骑机变阴量R的一赏阶距泪，二纺阶距箭和方浓差这次些参荡数的报估计知量。吐根据亡随机扬变量R的理偷论分辜布，真不难萍计算现在仅我们绩可以若应用登中心弱极限策定理欢及（4.公5.全1）来唤构造偷统计扬量了渐近姥服从N（0，1）分布登，从物而可籍以推宁断样味本估时计值欧与理夺论参透数的魂差异口。我颜们还踏可以融利用辩同样搁的方摸法去快构造苏三阶扔矩、恋四阶言矩，栽对随抛机变箭量的右偏度丙和峰乏度进急行参却数检赞验。例4.冈7.滤1对随督机数孩发生科器un闹if累rn激d产生业的10痕00个随贤机数演进行迈均值专、方继差、筒偏度膛和峰续度等脆的参成数的文检验财。偏度诉计算概方法喜为：u3执=m驴ea四n(常((颠R-些R_矩me正an笑)/你R_遵st胖d)扎.^红3)柴*0爆.4震08湿24影8*雷sq茅rt斜(n昆);峰度塔计算蜘方法能为：uu析=m老ea训n(欲((倡R-释0.密5)圆/s糖qr拿t(谜1/廉12浙))斯.^螺4)挡-1的.7完5u4维=u钱u*遭0.悉20赚41刮24刘*s糟qr前t(套n)局;fu所nc阻ti浮on旋[沫s1明,s判2,嫩s3加,s睡4]猎=mo剥me驳nt奇_t引es爬t(挽R)%对（0，1)均匀臂分布困随机潮数进跳行矩牵检验n=le兼ng枯th津(R);R_多me断an=me居an箩(R关);希R_舌va周r=va命r(购R)好;R茫_s匠td=st驰d(览R);u1之=s放qr售t(搁12冈*n歼)*白(R澡_m条ea钉n-隆0.杰5)蓄;if挠a对bs朵(u杜1)血<1蔑.9镇6s1当='沃pa俱ss炊';el兽ses1瓦='殊*'跟;en蚂d%对方倾差进昌行检谣验va趣r(亚R)u2乏=s君qr上t(存18裕0*艇n)贼*(强R_潜va罢r-惧1/宵12润)if签a拆bs汇(u附2)裕<1吐.9尼6s2锐='腹pa槐ss妙';el协ses2久='淡*'拘;en满d%对偏将度进衡行检系验u3鬼=m挑ea雅n(睁((监R-迹R_凭me窗an旺)/羡R_自st嘉d)详.^享3)理*0关.4垒08壁24对8*sq揭rt速(n);if座a医bs千(u索3)魄<1才.9民6s3各='锹pa花ss或';el嫂ses3米='爷*'悬;en兵d%对偏胳度进军行检律验uu=m算ea物n(蔬((莲R-喷0.陵5)当/s授qr坡t(嗓1/推12继))研.^蓬4)量-1丛.7柿5u4骗=uu*0销.2斯04孕12灰4*sq闭rt汗(n);if嫂a脊bs撞(u霜4)泰<1趴.9今6s4俯='盾pa餐ss狠';el摩ses4携='成*'今;en懒d调用愁该函凶数的乎主程低序为稿：R=宏ra雀nd心(1厕,1伐00香0)杰;[s咱1,绳s2殖,s活3,肥s4弱]=mo强me花nt崖_t院es饱t(姿R);S1笔%显示呀对均气值的杀推断贼，pa虎ss为接段受，作*拒唤绝S2%显示烈对方摩差的粮推断王，pa蹲ss为接监受，旨*拒谁绝S3犁%显示贺对偏校度的锻推断份，pa赚ss为接绞受，浪*拒吧绝S4兽%显示六对偏怎度的颠推断代，pa妨ss为接馒受，颠*拒房诚绝计算库结果辈为：s1蹲=挡p轻as唱ss2裕=裹p顷as区ss3缘瑞=寻p革as葡ss4定=敢p跃as慰s2)均匀巴性检亦验或诞称分共布的松拟合树优度奸检验均匀耗性检盆验，激又称罢频率丢检验欠，检穿验它秧的经响验分缎布频典率和莫理论快频率谢的差彼异是症否显蝴著。添把[0，1]区间身分为k个等辅区间兼，按ri取值磨的大固小把开（4.衣6.掘3）分他为k组，泼设有ni个随贵机数鲜属于i组，予即共贸有个五满足筛不等丹式（i－1）/k＜r＜i/瞒k。根柿据均兴匀性欺假设窃，满最足在伴每个伤小区收间的樱概率明为Pi冬=1铜/k，mi励=N面/k由（4.挣6.只2）得吃统计衰量渐近懒服从翁分布底，而烛统计菌量(4山.6拴.8误)理论奇频数nimi为累品积频张率检脂验，糕渐近之服从沃柯莫蔬洛戈亩洛夫—斯米忍尔诺焦夫分图布取显搁著水来平α=吗0.敏05，当DN＞1.绳35时拒订绝均晨匀性央假设猴。（4.柄6.同9)例4.缴7.苍2对分效布的瓣拟合总优度缴进行厘检验桐。（1）渐近帽服从魄柯莫么洛戈幼洛夫—斯米证尔诺籍夫检弄验R=御un萌if毕rn贩d(乒0,凶1,妇10僵00汇,1淘);h=疲ks蓬te定st滩(R葱,弓[R摇u杨ni越fc情df纹(R若,新0,树1夏)]专)结果棉为：h=归0，雀接弓受原侦假设遗，是办来自裤（0，1）均问匀分健布随芳机数R=谱un震if领rn狂d(院0,丽1,馆1,串10惯00它);%构造掘卡方瞧统计味量k=抢12盟;n=le脱ng吐th星(R);n1令=hi臭st轻(R另,k);吼%计算晒每个垮区间昂的频尿数kf线_7悔=k/输n*(粱su因m(展(n镜1-川n/纹k)恳.^馒2)疫);就%计算旁分位清点即刃统计朽量ch旷i2妄_p务=c储hi筑2c讽df臭(k棕-1逢,k青f_适7)榴;统%计算肌下侧伸概率if涛c漫hi绩2_炊p<察0.练95ch极i2刑_s饥tr吸='齿pa学ss错';el筛sech测i2愧_s秩tr文='总*'退;en因dch坊i2占_s堂tr（2）利牙用卡漫方分草布进颂行检寻验3）独疼立性衣检验随机悼数独灭立性竞检验辩，其稼重点至是检舌验（4.辩6.稍3）中利前后尿各随赏机数组的统炊计相同关是铺否异新常。厘我们犹知道船统计哲性能绝良好饭的随疼机数辣数，栏前后琴之间屈应该外是统汤计独哗立的屈，若钳存在梦明显阶的相拳关性日则视姜这批易随机统数为虑不合控格。这里巴：愧表志示i阶滞后劈燕相关药系数罢，为0时表尼示没违有相徒关性枪。（1）相棍关系年数检尾验相关蔑系数哪取值脱为零秆是两波个随窗机变隐量独泛立的温必要哀条件煎，其摧值的介大小挺给出沃它们碧之间杜线性史相关伸强弱待的测瞒度，商可以肉用来针检验撇随机贼数的诱独立法性。史例如康随机赛序列炎与其横自身葱持滞堡后序漫列的娃相关陆性。例如再：一阶垮滞后鲁相关天性j阶滞横后相园关性利用(4旗.6润.3火)数据雕构造悲统计捏量（4.筑6.更10防)对充半分大椒的N（如N—j>庄50），取零幸假设则统各计量（4.家6.惩11纺)渐近担服从N（0，1）分布坦。例4.熔7.滋3对1~袍7阶滞后凶相关习系数拒进行鉴检验晌。fu指nc擦ti扫on西[这sa扑cf机1,叨sa若cf冰2,艺sa科cf拦3,腿sa讲cf冻4,雁sa免cf喊5,杏sa境cf叶6,求sa完cf倍7]字=ac追f_寨te圆st敲(R)%独立倚性的单自相舰关AF偏C检验R_马me中an=me炉an细(R展);给R_假va漫r=va屡r(签R)蛙;n=le隐ng俭th双(R);fo弓r哭i=训1:乏7ro脊u(脆i)=妨su毅m(迁((转R(塘1:嫌n-构i)答.*葱R(酒i+茫1:瓶n)爪-R干_m啄ea辅n^杯2)昌)/娃R_甲va达r)买*s贱qr钓t(关1/厅(n促-i伴))危;en哀dro谜uif赚a炕bs资(r雷ou笛(1里))羊<1善.9赴6sa述cf扎1=睬'p躲as犁s'呀;el卖sesa朋cf塞1=伐'*影';en询dif幸a狠bs吨(r球ou飘(2零))践<1狸.9任6sa刻cf籍2=型'p怜as布s'油;el穗sesa彻cf削2=蛛'*尽';en栽d（2）联泥列表策检验在X—Y平面拴上，宿将单腔位正王方形王分为竟个相固等的甚小正剑方形泥，把宪随机峰数（4.兴6.捎3）按饥出现形的先瞧后顺殃序两仓两分螺组，恒如取记落鸭入小佣正方腐形(牢i,题j浴)内的弱观测猎数为nij(指i,爹j算=洁1爆,狭2,……,释k)，令H0：数据忌（4.相6.粮3)来自否均匀宋分布穿随机慎数则可漆以构积造统局计量其极笛限分燃布是床服从轰自由管度为染（k-某1)2的卡牲方分费布，果记为(4闭.6毁.1焦2)例4.习7.原4对随诵机数彼进行膏联列借表检验断。R=银un胜if调rn四d(黄0,械1,寸10室00客,2沟);N=带20超00k=刮6n=原hi前st型3(焰R,资[k哀k敢])选%产生狱每个争小正截方形走落入博的个蹄数ni=su茄m(南n')凯;nj=su仔m(象n);ni插j=ni'*nj;n_谦su帽m=s撒um酷(s欣um慌(n木.^州2.款/n饶ij巡寿))确-1ch破i2钉_2缴=N丘*n_荒su岂mch之i2开_p遭=c贵hi鸡2c权df渣((弊k-橡1)铸^2货,c竞hi牵2_古2)版;if鸟c德hi咸2_粉p<握0.花95ch妹i2抹_s业tr诉='镰pa遥ss钢';el央sech棒i2催_s向tr浩='锯*'望;en今dch豪i2鸟_s宾tr计算瞒结果滔：pa限ss4)组合姨规律粪检验该检佛验用霉于对站数据退（4.找6.轧3）的陶组合悔规律换进行屡检验意，按奋随机覆数先桶后出含现的展顺序闹，根宇据一著定的趴规则群把这椅些随呈机数核组合肌起来侦，检蜜验他汤们的洗组合英规律律的样脆本性债质与氧理论贪性质所的差辽异，旗并进味行判唇断。（1）扑克锻（颜弄色）菊检验将（4.偿6.贫3）的款数据政按顺修序分喂为8个随鸦机数户一组塔，记果组数延为L，对每沫组的春随机盒数取鞭其小母数点桥后第宅一位姜，并拣以八兽进制邀来表耻示。例如聪：如斜下一忙组数1近2护3隙4帮5涂6煤7阁8(0锣.0著01煮,庆0选.6砖15确,怨0送.5净16伟,蜻0妨.3饺16术,沉0猜.8奇15贿,腊0掩.9眼5,扶0.帐11匪,停0翻.2口16伞)小数吃点后骗面第逐一位错用8进制女表示尸，我牺们有（0,域6西,糊5河,狡3,邪0常,惊1诱,绑1,偷2）一般铅地，包我们炼们记飞为显然刺有当中有k种相气同数罪字时渴，称预该序吓列为k色向察量，骑例如:（1，1，3，4，4，6，7，0）府为6色（5，5，5，5，5，5，5，5）蜂为1色（0，2，5，4，7，6，1，3）直为8色将向沾量按永颜色场的不影同分累为8类。从爆理论属上我争们有俊以下帝频率炼。记建为社落入轰第k组向候量的跨个数辞，为理萌论频烂数，偏则我扩们可诊以构筐造统扮计量纺如下默：(4绒.6佣.1败3)例4.察7.舒5对10影00个随夺机数元进行资扑克月牌检柜验。解题全思路叛：1）对10赴00个随朗机数迁按顺尼序每8个一铃组，极共分12棍5组。2）分母别对亮每组拌元素恶小数的点后龙第一笨位进舍行模催为8的运全算。3）计详算每飞组的鹿颜色凶数，俩并放虚入数岭组cc4）构谦造自至由度驰为4的卡梳方分鞭布统狭计量成进行纹检验溉。%扑克非牌检补验，20古05禽.1矩0.网24cl收ea窃r,屑cl弄cR=倒ra梳nd宫(1敞,1能00牙0)耕;%总po铅ke秩t要es府tn=le纲ng佣th瓶(R锁);竿kk=8套;jj=1胸;%求12辩5组数槽据的胳颜色压数，隶并放园入矩恼阵cc中。fo凶r蜘ii骗=1箱:k羞k:埋n%对每越组数窗小数尾点后杯第一揪位取宪模为8运算rr=1说0*问R(味ii急:i毯i+坡7)研;pk=m掀od冬(f馆ix盯(r漫r)射,8骨);%计算稻每组着的颜怠色数pk=so鄙rt尾(p布k);j=趋1;fo抹r跃i=絮1:怪7ifpk润(i)~充=p汗k(沾i+分1)但;j=巨j+始1;en兆den尤dcc松(j副j)=酿j现+1邪;j倚j=期jj荡+1墓;范%将颜浆色数怨输入萌到数尊组cc中en罢d%构造失自由掀度为4的卡合方分罗布，蛮并进晕行检方验。nn毙(1秒)=鹊su系m(种n_忽pk歌(1豆:3表))刚;nn富(2胖:4栏)=兄n_齿pk摩(4堆:6腹);nn谨(5顽)=萝su寒m(板n_饥pk殃(7销:8变))销;m=逃[0初.0醉2视0.齐17森0系.4窝20盈5博0.薪31暗95孤0拐.0贵69程7]个*n签;ch倘i_填4=质su帆m(华(m亡-n兽n)遗.^安2.殃/m江);雅%构造冷统计伸量p=性ch对i2劲cd弃f(爪4,跨ch验i_每4)诵;if挂p先<0匙.9哈5st准r_叔pk='刻pa励ss徐';el醉sest币r_搞pk='印*'盖;en陶dst捏r_笔pk(2皇)连（ru恒n）检验把随划机数(4搅.6纠.3症)按一贺定规或则进序行分叉类，酬如分劫为两盈类，污分别件记为a,袄b仓,得到岭形如aabb竿baa盖aa论aa孙aabb……由两阵类元撞素a,烂b组成舅的序只列，少我们孟把位柜于异牢类元帆素之嫁间的捡同类旦元素绍，如ab铺bb泰ba中的bb序b类元支素称术为一缺个连交，连锻中包未含同暖类元赏素的晶个数是称为宝连长轿，显贱然连株长是毅一个屿随机境变量测。在御随机廊数序探列中规，出网现连盟长为i的连砍数记六为快。递总连置数记情为，构成海进行兔检验漆的统拜计量温。因割此，室随机帖数的纷连检晓验是显按照变随机亿数出滨现的疑先后春顺序路，重落点检渴验它碑的连贱贯现访象是号否异破常的太一种花方法。l正负刚连检萝验把随捧机数继序列(4生.5炎.3冰)变换续为{ri－1/错2}按正励负分疫为两熄类，类这时a边=集-1，b=哀1组成款正负昆两类浙连，额根据畜均匀糕性，皆独立艺性假剪设，描出现a,疮b的概之率都欧是0.河5且有E（l）=N漆/2公+1，D（l）=（N-摸1）/隆4，P{墨1=卵k}碎=2-k（k=熔1，……），则可闻按（4.妙5.把1），嚷（4.轮5.板2）构奖造统定计量U，和卡窃方统插计量公进行挪检验节。l升降秃连检尘验把随乖机序旁列（4.艺5.数3）按驴生序浪或降垃序规残律分雀为两嚷类，危表示净随机阔数的滚增减蚂及其霸长度世的变缴化规孟律，昌组成甘升降腊两类们连，露这时易有E(l)=秘(2术N—4)种/3，D(1)壮=迅(1朋6N廊-2赔9)射/9停0从而隆我们傅又可拣以按(4守.5恶.1捐)，(4助.5把.2共)构造U，和卡米方统父计量丝式进行枝检验仿了。例4.翼7.蓝6对10状00个随亡机数耍进行从升降唇连检辫验。解题满思路锦：1）对10逗00个随泊机数棋按升帮降连团产生啄连长宴随机类数。2）分桌别构佩造标症准正法态分部布统贼计量手和卡仔方统调计量鸟。3）对尊两个投统计赖量进券行统满计检味验。fu员nc廊ti套on军[域st昏ri词ud液_u栏,s掠tr绳iu丑d_哲ch功i2奖]=ru拿n_娱ud偶_t狮es丑t(续R);%升降质连检虾验，城包括寒正态私和卡毕方检肤验m1虑=[识0.疲62腿5梦0.私27铃5涛0.豆07瞎91谷67尚0况.0雀20暗83搏3]诞;n=康le文ng谷th缝(R强);脚R1卵=di历ff尖(R);AN体=[盆0湾0宰0慎0]娃;%搜索纳并计辱算总瓜连长k=用1;侮j=弯1;熄i=姑1;纱mk孔(1纳)=痕1;wh恳il雹e邀i<途=n当-2if顿R钱1(斑i)柏*R苍1(炸i+航1)宪<0mk交(j碗+1顿)=必i+仿1;排j=蜻j+长1;en淡di=疮i+所1;en筛d[mk响ma护x,闸mk以i]=ma宴x(轨mk);mk=m前k(斗1:毕mk停i)络;mk=di锣ff沿(m东k);nn=h姓is郑t(描mk偿,5蛇);n1露=[过nn朱(1傲:3玻)鸽su络m(唱nn尼(4朵:5骗))批];Ru谊n_沿to嗓l=s红um访(n池n)夺;m篮1=双m1选*Ru杯n_加to嗓l;%计算翅正态赠和卡良方检北验检比验u=完(3魂*R聚un图_t貌ol进-2胁*n泪+4罚)/笑sq长rt昏(1仓.6疏*n橡-2缸.9雾);ch扇i_愚3=灶su杠m(跃(n旱1-丢m1墓).亮^2懒./拦m1油);%检验ifab门s(肃u)<和1.挥96st他ri请ud恶_u='伴pa业ss攻';el岔sest蠢ri闭ud贞_u='纪*'敲;en乱d5、检念验随搅机序值列性票质的款其它兔一些报统计辫量除了燃上面踪蝶介绍骄的方羽法外货，事晴实上装还有狮其他源很多池常用桶的统阶计量祖如，故最小牙值MI善NM专UN、即MI皱NI桑MU律N=蓝MI料N{骂X1玻,育X2叛,墓……腊XN象}。最宜大值MA百XI抬MU追N，即MA你XI絮MU初N=鸟M叉AX炕{X朋1,会X湿2,帆…避…X佩N}。极飞差RA杯NG肃=M仓AX混IM份UN祥-百M孟IN膜IM确UN等。扑我们岁可以激用上疼面的颠方法钞构造章统计道量对稿它们缎进行丑检验牙。if理c么hi掏2c科df荒(3拾,c文hi欺_3颤)哲<卡0.垄95st齿ri唯ud蓝_c捉hi故2=骡'p才as挎s'英;el滨sest氧ri趟ud筝_c伐hi院2=休'*音';en订dl模（MO茶DE）这是等一种志中心乖趋势培的度迷量，祖类似奔与均拔值。宿如对极一个肢随机灾变量X抽了需六个肢样6，10，10，4，4，10。则这层个样岭本的蓝模是10，即秀出现抄次数散最多绒的那锈个数舰，对石一个降大样选本来仇讲，第如果衰有N个数筐都出钢现同家样的姨最多绩数，芬则取歉其中乖值为藏最小阁的那步个。l中位押数（ME榜DI其AN）这也劣是中殿心趋葡势的驳一种糕度量泰，将含样本X1，X2，……详XN从小恭到大肚排列乞。记永为X（1），X（2），……，X（N），其最宁中间盈的那繁个数果为中苹位数绸。l偏度SK别EW米NE偶SS前面麻的统烫计量丹是反壁映序冒列的爽中心脖离差夹趋，摩而偏纠度则粗是衡溉量X的密奴度是碑否偏势向一泉边，堵即不败对称发的一扮种度唤量，挺在正已态情怒况下顶，模杆，均创值，海中位遣数应支近乎吼于重反叠于闲一点刚，当会这三调点不拜重合句时，任则产布生了魔偏度疾，当纽奉中位鸣数在贝模的怀右边精时，蝴这时尊右尾屠长于迈左尾教，这双称为廊负偏脖，见捞图偏度瓶有时索称三调阶距能，当蹦偏度雷为0时，惩曲线党对称嗽，当拳偏度吃为正撇时，害样本腥密集喜于均悬值左楼边，缠当偏爆度为绝负时裹，样极本密叉集于汪均值伶右边奶。偏弱度公闪式：SK谅WN毛ES终S=