高中数学总复习课件：圆与方程

121.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的方程（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.3（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为

半径当D2+E2-4F=0时，只表示一个点（-D2,-E2）；当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形.43.点与圆的位置关系圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心C（a,b），半径r，若点M（x0,y0）在圆C上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2;若点M（x0,y0）在圆C外，则（x0-a）2+（y0-b）2>r2;若点M（x0,y0）在圆C内，则（x0-a）2+（y0-b）2<r2.54.对称问题圆（x-a）2+（y-b）2=r2关于直线x=0的对称圆的方程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关于直线y=0的对称圆的方程为（x-a）2+（y+b）2=r2；关于直线y=x的对称圆的方程为（x-b）2+（y-a）2=r2；关于直线y=-x的对称圆的方程为（x+b）2+（y+a）2=r2.5.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.若AB为圆O的弦，圆心O到弦AB的距离为d，圆半径为r,则6

1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆的标准方程为（

）

A.(x+8)2+(y-3)2=5

B.(x-8)2+(y+3)2=5

C.(x+8)2+(y-3)2=25

D.(x-8)2+(y+3)2=25

半径

所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.选D.D72.方程y=

对应的曲线是（

）

原曲线方程可化为x2+y2=4（y≤0），表示下半圆,选A.A83.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切，则圆的方程为（

）A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0B9

设圆心为（0，b），由题意，则圆的方程为x2+（y-b）2=b2.因为半径为5.所以

=5,b=±5.故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.选B.

易错点：圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴.104.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为

.

设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，

对称圆的半径不变，为1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有，解得：a=2b=-2.11

5.若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a=

.

依题意直线x-y+1=0，过已知圆的圆心所以解得a=3或a=-1，当a=-1时，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圆，所以只能取a=3.填3.易错点：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在D2+E2-4F＞0时才表示圆，因此需检验不等式是否成立.312

重点突破：圆的方程

（Ⅰ）求过两点A（1,4）,B（3,2）,且圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点P（2,4）与圆的位置关系.（Ⅱ）求过A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心C坐标.13

（Ⅰ）解法1：（待定系数法）设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因为圆心在y=0上,故b=0，所以圆的方程为（x-a）2+y2=r2又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点,则

（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得a=-1，r2=20.14

（Ⅰ）欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系.（Ⅱ）设出圆的方程，解方程组即可.15解法介2：（直毅接求稍出圆舟心坐坏标和须半径捡）因徒为圆眯过A（1具,4甜）,B（3项,2乖）两误点，所以呼圆心棍必在呈线段AB的中摘垂线l上,挖又因鸦为kAB==-醉1,巨故l的斜惨率为搜1,又AB的中尽点为个（2络，3桨）,耐故线巾段AB的中么垂线l的方拔程为x-y+1嚼=0绝.16又知煤圆心漠在直粥线y=0上,故圆费心为C(-愿1，0)，所以涌半径蜻故子所求款圆的状方程贡为(x+1建)2+y2=2纲0.又点P(2刻,4装)到圆容心(-活1，0)的距辟离为所以尝点P在圆粘外.17(Ⅱ碰)设圆惠的方扣程为x2呜+y访2+民Dx恩+E赴y+推F=渔0，因为芦三点A(歌4,毅1)，B(肿6，-3冷)，C(绳-3磁,0摆)都在绞圆上陡，所以仓它们角的坐芬标都赵是方葬程的租解，防将它请们的颈坐标宾代入泼方程霉得，42+12+4D+E+F=062+(说-3础)2+6D-3E+F=0(-智3)2+02-3D+0翻·E+F=0，解梨得D=-竞2E=6F=-稼15珍.18所以碎圆的租方程夕为x2+y2-2x+6y-1鸟5=我0，即（x-1稀）2+（y+3些）2=2纤5，所以渴圆心准坐标异为（跌1，要-3示），造半径逝为r=5扣.“待本定系熄数法耻”是森求圆数的方蒜程的马常用委方法减.一者般的格，在腊选用际圆的让方程题形式妇时，圾若问筐题涉港及圆谱心和揉半径快，则养选用兽标准非方程球比较五简便疗，否键则选波用一利般方疼程方抄便些睡.19根据浩下列盟条件灭求圆校的方总程.（Ⅰ）圆过P（4,龟-2）,Q（-1晴,3）两夜点，骄且在y轴上浓截得素的线蹲段长镜为4.（Ⅱ）已知支圆的狮半径掌为边，鸽圆心监在直洁线y=2x上，睡圆被粪直线x-y=0截得要的弦重长为4址.20(Ⅰ)设圆责的方屯程为x2+y2+Dx+Ey+F=0术.①4D-2E+F=-即20D-3E-F=1滩0，令x=0允,由屯①得y2+Ey+F=0俭.②由已府知其中y1,y2是方属程②妖的两华根，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=4判8，联立搜方程辱解得D=-抓2,E=0民,F=-死12侍或D=-蚁10吨,E=-渡8,F=4沾，故所甚求的矛圆的惠方程鸭为x2+y2-2x-1访2=镇0或x2+y2-1剃0x-8y+4直=0跑.将P,Q点的皂坐标葬代入处①式捕得21(Ⅱ)解法箱1：设圆每的方肾程为(x-a)2+(y-b)2=1毙0，由圆孩心在的直线y=2x上，衔得b=2a，①由圆赚在直宫线x-y=0土截得锈的弦青长为辨4，将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=1记0.整理亦得2x2-2(a+b)x+a2+b2-1吹0=时0.由弦搞长公锡式得化简教得a-b=±吼2.②解①英②得a=2料,b=4悦或a=-玩2,b=-讽4,所以酱所求苏圆方外程为(x-2)2+(y-4)2=1送0或(x+2)2+(y+4)2=1滤0.22解法2：根据迅图形话的几虫何性节质：贯半径草，弦缘瑞长的耕一半秧，弦剧心距锐构成众直角双三角稳形，罩由勾件股定协理，可得扭弦心丘距因为假弦心孩距等膜于圆结心（a,b）到构直线x-y=0的距吩离，所以研又已轨知b=2a，解得a=2挠,b=4或a=-驴2,b=-纵4.所以席所求叛圆方婆程为坐（x-2）2+（y-4）2=1蜓0或（x+2）2+（y+4）2=1劳0.23重点恼突破址：与葡圆有堡关的插最值材问题已知期实数x,y满足怪方程x2+y2-4x+1博=0（Ⅰ）求y-x的最弄大值挖和最州小值,（Ⅱ）求x2+y2的最租大值叹和最串小值.根据罩代数服式的僵几何绸意义妹，借滨助于鸭平面挂几何志知识反，数薄形结轿合求便解.24方程x2+y2-4x+1丑=0变形接为(x-2改)2+y2=3，所缸表示昏的图股形是门圆.(Ⅰ按)y-x看作蚕是直恰线y=x+b在y轴上句的截眼距，扮当直筒线y=x+b与圆吐相切犁时，纵截止距b取得巨最大阔值和锯最小因值，肤此时解得b=-淡2±粒,所以y-x的最肥大值供为-2套+，最颈小值牢为-2扣-芬.25（Ⅱ渠）x2+y2表示捞圆上际一点响与原凉点距西离的券平方胀，由轰平面顽几何烈知识袍知，疏在原采点与流圆心隙连线报和圆衡的两仙个交请点处程取得扭最大非值和香最小航值.又圆携心到浇原点踪蝶的距桂离为所以x2+y2的最于大值街是(2+)2=7钳+4;最矿小值樱是(2-)2=7换-4.涉及筑与圆拍有关回的最障值，榆可以铜借助题圆的阴几何奖性质筋，依免照数细形结旅合思樱想进拍行求支解；李联想畅过两欠点的同直线拨的斜旗率公键式，对两点蹈间距拜离公愚式，烧过定别点的呜直线珠系或慌平行籍线系糊等知眨识的秃应用.26已知竭实数x,y满足未方程x2+y2-4x+迎1=终0，粱求的最震大值斗与最前小值瞧.设=k，即y=kx，当闲直线y=kx与圆甚相切详时，签斜率k取得杯最大盛值和岛最小从值.延因为垃圆心筹（2授,0腰）到抱直线y=kx的距派离为，所燥以得k=±.所以27重点析突破材：直旱线与百圆的按方程获的应饲用图中乓是某斤圆拱圆桥的购一孔士圆拱氧的示阶意图微，该绘圆拱洪跨度AB=2螺0撞m，拱倒高OP=4凶m，在寄建造良时每勉隔4绿m需用尼一个扒支柱恨支撑浙，求列支柱A2P2的高冷度（帮精确半到0.束01）.先建旋立直含角坐初标系泳，只牵需求勒出P2的纵际坐标游，就斩可得重支柱A2P2的高压度.28建立尼如图贯所示罩的直扑角坐帽标系,设圆违心坐悄标是(0妖,b),圆的乔半径谜是r,则圆各的方洗程是x2+(y-b)2=r2，下吊面确把定b和r的值.因为P，B都在于圆上骄，所战以它壁们的捷坐标(0锦,4月),剧(1普0,距0)都满显足方摊程x2+(y-b)2=r2，02+(图4-压b)2=r2102+(魔0-汪b)2=r2，解得纲：b=-裁10述.5时,r2=1建4.窑52.于是争得到刷方程粒组29所以汽圆的尊方程揭为x2+（y+1冲0.形5）2=1贝4.刺52把点P2的横案坐标x=-际2代入耗圆的康方程茎，得（-2）2+（y+1抚0.勇5）2=1纵4.并52.因为y>0,所以-1编0.爷5≈烛14兴.3亦6-嚼10邪.5后=3青.8创6也m答：腾支柱A2P2的长姑度约稳为3.霞86侄m妇.30直线塔与圆奔的方腔程在押实际菜生活遥以及拘平面益几何配中有堪着广平泛的牲应用边，用姻坐标肯方法望解决暴几何筝问题者时，缸先用册坐标拉和方宽程表盗示相逐应的欺几何朗元素通：点训、直炉线、竞圆，烟将几烤何问妇题转阿化为锐代数声问题数；然坡后通茅过代幸数运萍算解笼决代干数问纠题；敬最后沸解释键代数做运算煤的结替果的趋几何已含义医，得粱到几括何问堆题的付结论.31一艘疑轮船柴在沿钱直线丧返回最港口厅的途半中，袖接到何气象蒸台的宵台风赢预报惩：台避风中翁心O位于玩轮船A正西70要k惜m处，甲受影现响的物范围镜是半停径为30宰k失m的圆乱形区得域.已知忌港口B位于搂台风贿中心娇正北40葡k葡m处，端如果叠这艘抓轮船略不改惨变航昆线，抱那么因它是恶否会愤受到讲台风控的影费响？32以台锈风中采心为克原点O，东立西方惨向为x轴，罗建立嚼如图荷所示捆的直竿角坐逃标系箩，其艘中，帐取10割k饼m为单缺位长旗度.则受歪台风充影响痒的圆却形区券域对应的怀圆心胡为O的圆违的方倒程为x2+y2=9；轮资船航鞭线所到在直重线l的方惯程为4x+7y-2厌8=贿0；因存为圆沫心O到直拜线的秧距离赔所轰以这申艘轮撑船不航改变航府线，欠不会定受到朱台风蝴的影余响.33已知狗圆x2+y2+x-6y+m=0钟和直喉线x+2y-3吸=0眯交于P，Q两点邻，且OP⊥OQ（O为坐城标原浅点）尼，求湾该圆吃的圆香心坐堵标及爪半径堪.利用OP⊥OQ得到O点在河以PQ为直拿径的俭圆上日，在捡利用撞勾股摆定理泊求解刊.34设已过知圆虎的圆溉心为C，弦PQ中点勒为M，因为CM⊥PQ,所挠以kCM=2佛，所以CM所在漫直线昨的方渡程为即：y=2x+4烧.y=2x+4x+2y-3司=0吧,解得M的坐洒标为筛（-辨1，剑2）嫁.由方密程组35则以PQ为直笋径的小圆可鲁设为(x+1著)2+(y-2母)2=r2，因为OP⊥OQ所以顾点O在以PQ为直赴径的声圆上.所以(0符+1尊)2+(塔0-役2)2=r2，即r2=5，MQ2=5银.在Rt开△CM里Q中，铅因为CQ2=C叉M2+MQ2，所以所以m=3宣.所以们半径批为柴，圆驻心为(-，3)规.在解记决与择圆有蛇关的陈问题册中.借助是与圆常的几洞何性弃质，握往往气会使辰得思稿路简鲜洁明江了，翻简化仆运算.361.求圆验的方困程常女用待塔定系胳数法圈，步腐骤大滴致是桐：①根据殃题意爸，选望择标今准方忆程或盖一般揉方程；②根据删条件枣列出镇关于a,b,r或D,E,F的方锦程组；③解出a,b,r或D,E,F代入数标准羽方程份或一素般方申程.372.研究平与圆游有关后的最牧值问追题时牧，可沿借助场图形陈的性垒质，饺利用决数形麻结合州求解与，一蕉般地①形如形式暮的最倡值问席题，杠可转拼化为爆动直逃线的来斜率档的最鸭值问伏题；②形如t=ax+by形式劣的最布值问姐题，崇可转哲化为帜动直唉线的垃截距云的最庙值问驻题；③形如v=（x-a）2+（y-罗b）2形式鲁的最亿值问湾题，语可转拿化为鬼动点衣到定贷点的栏最值叼问题价.383.点与然圆的猛位置逆关系膨可