人教版高数必修一第3讲函数的相关概念与映射(教师版)

函数的相关概与映射__________________________________________________________________________________1、通丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；2、学用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；3、了构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值一映的念设A、B两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系f，于集合中任意一个元，在集合B中有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合、，及对应关系f）叫做集合到合B的射，记作：f:A

。二、像原的念给定一个集合A到合B的射且，果元素a和素b对，那么我们把元素b叫元素a的像，元素叫元素b原像。特提：、于映射:A

→

来说，则应注意理解以下四点：（）合A

中每一个元素，在集合

中必有唯一的象）集合

中不同元素，在集合B

中可以有相同的象A中元素与集合B中元素的对应关系以一但不能是“一对多许合B中元素没有象；2、集合

、B

及对应法则f

是确定的，是一个系统；3、对应法则f是不同的；三映：

有“方向性强调从集合A到集合对应，它与从BA的应关系一般一般地，设

，

是两个非空的集合，f:A

→B

是集合

到集合

的映射，如果在这个映射下，对于集合

中的不同的元素，在集合

中有不同的象，而且B

中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A

到B

的一一映射。特提：一一映射概念的理解应注意以下两点集合B中每一个元素都有原象，也就是说，集合

中不允许有剩余的元素）于集合

中的不同元素，在集合

中有不同的象，也就是说，不允许“多对一四函的念：设

B

是两个非空的数集按某一确定的对应关系f

,使对于集合A

中的任意一个数

x

,在集合B

中都有唯一确定的数

f

和它对应，那么就称f:

为从集合A

到集合

的一个函1

数

x叫变量，x的值范围A叫做函数f(x)

的定义域与x的值相对应的y

的值叫做函数值，函数值的集合

f()|A叫做函数f(x

的值域。特提：、函数实际上就是集合

到集合

的一个特殊映射，其殊处主在于集合A

,B

为非空的数集；其中定义域，就是指原象的集合，值域

)xA的集合。2、函数符号f(

表“

是

x

的函数解

x

是自变量它关系所施加的对；

是对应关系可以是一个或几个解析式以图像格可以是文字描述

yf

x

仅仅是函数符号，不是表示“等与x的积f(x)

也不一定是解析式，再研究函数时，除用符号f()

外常g),F(x(

等符号来表示判断两个变量之间是否具有函数关系，只要检验）

x

的取值集合是否为空集）据给出的对应关系，自变量

x

在其定义域内的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。五函的：f数

f

的值个值就

这一对应关系来确定；f(x)

与)是不同的，前者表示以

x

为自变量的函数，后者为常数六函的要：我们通常把对应法则f

、定义域A

、值域

x)的要素。由函数的定义可知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定域和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。七区的念记：名称闭区间开区间

定义x｛xa＜x＜b｝

符号数表示左闭右开区间

﹛

x

＜

﹜

,

左开右闭区间

｛

＜

｝

,b

无穷区间

｛

｝

无穷区间

｛

x

＜

｝

无穷区间

｛

｝

无穷区间

｛x＞a｝

特提：写区间记号时：（）完整的区间外围记号，有两个区间端点，且左端点小于右端点）两个端点之间用“隔开）穷大是一个符号，不是一个数；以或“间端时，这一端必是小号。2

八分函有些函数在它的定义域中，对于自变量的不取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。如函数

xxx

x0特提：、分段函数是一个函数，而不是几个函数；、是一类特殊的函数。在求分段函数的值

fx)0

时，一定首先要判断x属于定义域的哪个子集，然后再代应的关系式、分段函0数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。九复函如果

g的复合函数中

为内函数，f

为外函数。类一映的概例：知集合A{1,2,3,4}，＝{5,6,7}，下A到B的四对应关系中，能否构成A到B的映？说明理由．解：(1)(3)A到的映射，都符合映射的定义，即A的每一个元素在中都惟一元素与之对应(2)不是A到B的映，因为中元素4B中没有元素与之对(4)是A到B的映射，因为中元素中两个元素与对应．答：(1)(3)到B映射(2)不是到B的映练1设集合＝x|0≤≤4}，{|0≤≤2}，则下列对应中能构成到B的射的是)1A．：→＝x2C．：→＝

B．：x→＝－D．：x→＝|－答：练2列对应是集合A到集B的映射的是)A．＝，＝，：－3|B．＝平面内的；＝平内的矩}，：每一个圆对应它的内接矩形1C．＝|0≤≤2}，＝|0≤≤6}f：→＝2D．＝{0,1}，＝－1,0,1}f：A中的数开平答：类二映中的与象例2：知集合A＝R，B＝，)|，R}fA是从A到B的映射，fx→(＋，3

3254353254＋1)，求A元素2的和B中元(，)的象24解：x2代对应法则，得其象为2＋，又由

1，解得x.2351∴2的象为2＋1,3)，(，)的象为242351答：2的象为2＋1,3)，，)的象为242练1已知映射f：(，)―→(3x－y＋1,4＋－1)．(1)求－1,2)的；(2)求－1,2)的象．答：－1,2)的象为－6,1)．－1,2)的象为(．练2(2014～学年安宿州市十三校高一上学期期中测)在映射f：→，集合A＝{(，)|、∈，且f(x，)x－，x＋，则中的元(－1,2)在集合A的原象为_______．13答：2类三函的念例：M＝x≤≤2}，N＝y|0≤≤2}出下列4个形，其中能表示集合到集N的函数关系的()A．个B．1个C2D．个解：函数的定义知(1)是，因为集合M中1<≤2，在N中元素与之对应；(3)中＝2对应元素y＝N，所以(3)不是；(4)中＝1时，在N中两个元素与之对应，所(4)是；显然只有2)是，故选B．答：练1判断下列对是否构成集合A到集B的函：(1)A＝，＝y，：x→＝|；(2)A＝，＝，f：→＝＋；答：(1)(2)练2下列关于函与区间的说法正确的()A．函数定义域必不是空集，但域可以是空集4

xB．函数定义域和值域确定后，对应法则也就确定了xC．数集都能用区间表示D．函数中一个函数值可以有多自变量值与之对应答：．类四同函的定例：列各组函数是同一函数的是①(＝－x与()＝－；②(＝xgx＝；1③(＝x()＝；x④(＝x－－1与g()－t－A．①②B．①③C．③．①④解：于①、②，两函数的对应法则都不同，对于③、④，两函数的定义域和对应法则都相同，故选C．答：．练1下列四组函，表示同一函数的(A．()＝x，()xxB．()＝x，(x)＝xC．()＝x－4，(x)＝－2·x＋3D．()＝x，(x)＝答：练2下列函数中个与函数yx是一个函数，把序号填在横线上。①y；②x；③yx2答：②类五函的义例：下列函数的定义域：1(1)y＝－；2(2)y＝2x＋－

11＋；2－x1解：(1)数＝－的义域为R.2(2)要使函数有意义，则>03解得－≤x<2，且x≠0.2∴所求函数的定义域为

，5

22xxx322xxx≤<2，≠03答1）R（）≤x，x≠0练1求下列函数定义域：x－(1)y＝；x－x＋(2)y＝x－＋1－；1(3)y＝＋x－1－|x|答：∈x≠1，且x．－1,1}．(3)(－∞，1)(1＋∞)练2函数y

x＋的定义域是)A．－，∞)C．－，∞)

B．(0，＋∞)D．[－1,0)∪，＋∞答：类六求数1－例：fx＝(≠－1)求(0)(1)，(1－)(≠2)，[f(2)]．1＋1－01－1解：(0)＝＝；(1)＝；1＋01＋11－f(1－)1＋1－f[(2)]＝1＋

－＝(≠2)；－－1－21－1＋2＝＝2.1－1＋1＋答：练1已知函数fx＝－＋，求f(3)，－2)，(＋答：(3)＝；－2)＝＋2；(＋＝＋.1练2已知函数fx)＝＋－求f，()；x1＋－答：(2)，.给下列关于从合A到合B的射的论述，其中正确的_________。①

中任何一个元素在A中必有原象；②A中同元素在中象也不同；③中任何一个元素在

中的象是唯一的；④A

中任何一个元素在B

中可以有不同的象；⑤

中某一元素在A

中的原象可能不止一个合

与B

一定是数集号f:

与:

的含义是一样的．答案：③⑤2.下集合A到合的应中，判断哪些是A到的射?判哪是A到B的一一映射(1)

ANZ

，对应法则:yy

；6

yx,(2)A，B，yx,

f:

1x

，x，yB

；答案：(1)是映射，不是一一映，(2)是映射，是一一映射．下各式能否确是x的数？（）

x

2

y

2

）

x

2

y0

）

答案）能2）能）能。4.已f则f

；

f

；

f

；f

；

f

。答案：；；

2

a；4a

2

。5．下列各组函数中，把表示同函数组的序号填在横线上。①②yx③y

xx

；④yy

⑤

yxy

答案：⑤_________________________________________________________________________________基巩1．下列对应是从集合A到集的映的是（）A、Bf:xB、

AN,,AfC、且x,Af:x

2

D、

QBQxf:x

x答案：2.已x表示从

到Q

的函数的）A、f:x

3xBf:xyCf:x2

x

D、:y

x答案：3.函fx＝2－＋x－的义域为___________．答案：4.

f:AB是到B的射Rx,),Rf:x(x

，则

中元素

的象是；

中元素(2,2)

的原象。1答案：(25.己知集合a4,ayx和中的元素对，则=，k=。

，且

B

元