二次函数与实际问题

实际问题与二函数一、利用数求图形面的最值问题一

围图形面的值、只二的矩的面最问题例、如1，用长为18米篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（）设形的一边长为米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；（）当x为值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（）矩形的长为x（米）则宽为18-x（米），根据题意，得：

yx

2

x

；又∵＜x1818＞0（）

yx)

2

x

中，a=-1＜，y有最大值，即当

b182a2

时，

max

408144故当x=9米时，苗圃的面积最大最大面积为81平方。、只三的矩的面最例、如2，用长为50米的笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡的面积最大？解：设养鸡场的长为x（），面积为（平方米），则宽为（

502

）（米），根据题意，得：

x

50)2x22

；又∵

,＜x50＞0∵

x

50)2x中a=22

＜，y有大值，即当

xa

)

25

时，

y

02)

x=25米

6252

、围正形的积最例3、将一条长为20cm的丝成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm，么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗若能求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．（）：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为20-x）cm1

由题意得：

20()44

)217

解得：

16,当

16

时，20-x=4；当

4

时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米4米。（）能理由是：设第一个正方形的边长为xcm则第二个正方形的边长为

204

(5)

cm，围成两个正方形的面积为ycm，根据题意，得：

yx

2(5xx2

x

，∵

yx

2(5xx2

x

中，a=2＞，y有小值，即当

x

b52a22

时，

min

4ac24254

=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm.练1如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的方形ABCD的边上，若，正方形EFGH的面为y.(1)求出y与x之间函数关系式；(2)正方形EFGH有有大面积若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.答（）y=2x-2ax+a(2)有当是AB的点时，面积最.二利用二函解抛线建物题例题1如图（）一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角标系，则抛物线的关系式是

=-

12

.图（）

图（）.练1某要建造个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，恰在水面中心，安置在柱子顶端A处喷头向外喷水，水流各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的一面上，物线2

形状如.直坐标系喷的高度平离的系是请回答下列问题：(1)柱子OA的度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？答（1）（）（）．一桥如图，桥下水面宽度AB是20米高CD是4米要高为3米的通过，则其宽度须不超过多少米.

.（）图1，把桥看做是抛物的一部分，建立如图坐标.①求抛物线的解析式；②要使高为3米船通过，则其宽度须不超过多少（）图2，把桥看做是圆的部.①求圆的半径；②要使高为3米船通过，则其宽度须不超过多少米答（1）①

y

x

；②10；（）14.5；47．三利抛线决大润题例1某市府大力扶持学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与售单价x(之间的关系可近似的看做一次函数y＝－10x＋（）李明每月获得利润为w()，销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？6分（）果李明想要每月获得2元的利润，那么销售单价应定为多少元？3分（）价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元如果李明想要每月获得的利润不低于2000元那么他每月的成本最少需要多少元成本＝进价×销售量（）答案：（）35；（2）或40；（）3600.练1某玩具批发商销售每只进价为40元的具，市场调查发现，若以每5元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天少销售．（）均每天的销售量y(只与售价x(元／之间的函数关系式为；（）该批发商平均每天的销售利润W()与销售只元／只之的函数关系式；（）价部门规定每只售价不得高于55元当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元答1）y=-3x+240；(2)w=-3x+360x-9600；定为55元时，以获得最大利润是元，一系“三农”优惠政策，使农民收入大度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本为每3

千克20元，场调查发现，该品每天的销售量y(千克)销售价元千)有如下关系：种产品每天的销售利润为w元（）w与x之间函数关系式；（）产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

.设答1）w润元

（）该产品销售价定为每千克30元，每天销售润最大，最大销利．公司营销A

两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A

种产品所获利润

(万)与所售产品

x

(吨)之间存在二次函数关系2bx

.当

x

时，y

；当

x

时，y

．信息2：销售B种品所获利润y(万元与售产品x(吨之存正比例函数关系y0.3x根据以上信息，解答下列问题求二次函数解析式；

．(2)该公司准备购进AB大利润是多少？

两种产品共10吨请设计一个销方案，使销售A

两种产品获得的利润之和最大，最答二函数解析式为y=-0.1x+1.5x（）购进A产m吨购进B产品（10-m）吨，销售、B两种品获得的利润之和为W元，则W=-0.1m+1.5m+0.3（）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（）+6.6，∵-0.1＜0，∴当时，W有大值6.6，∴购进A产6吨，进B产，销售、B两种品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．．为鼓大学毕业生自主创业，某市政府出了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件元，厂价为每件12元，月销售量

（件）与销售单价

（元）之间的关系近似满足一次函数：x500

．（）明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（）李明获得的利润为

w

（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（）价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元如果李明想要每月获得的利润不低于3000元那么政府为他承担的总差价最少为多少元？答（府个月为他承担的差价为600元售单价定为30元时月获得最大利4000；（）售单价定为25元时，政每个月为他承担的总差价最少为500元.．文具店销售一种进价为元个签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元个，根据以往经验：以12元个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个设销售价为x元个.（）文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式表示）；（）该文具店这种签字笔平均每周的销售利润（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系；（）x取值时，该文具店种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？答（1）（220－10x）；（）w

x2200

（３）当x=14时，该文具店这签字笔平均每4

周的销售利润最大是元．一车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆公司在经营中发现每车的月租金x()每月租出的车辆(y)有如下关系：xy

3000100

320096

350090

400080（）察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆（）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式（）知租出的车每辆每月需要维护费50元，租出的车每辆每月需要维护费5元．含（≥3000）的代数式填表租出的车辆数租出每辆车的月收益

未租出的车辆数所有未租出的车辆每月的维护费（）若是该公司的经理，你将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．．解：（1）由表格数据可知y与x是次函数关系，设其解析式为kx，将（3000，），（，）代入得

3000k3200k96

，解得：

k。∴yx。将（3500，90），（4000，80）入检验，适合。∴与x间函数关系是y（）表如下：

150

x。租出的车辆数

150

x

未租出的车辆数

150

x60租出每辆车的月收益

x150

所有未租出的车辆每月的维护

x费（）租赁公司获得的月收益为W，依题意可得：W

163x24000）

21000当时Wmax=307050，∴当每辆车的月租金为4050元，公司获得最大月收益元四二次函与何形类二函与似角的在问1．(2017·阳边为2的方形在面直角坐标系中的位置如图所示，点是边OA的中点，连接，E在第象限，且DEDCDE＝DC.以直线AB对称轴的抛物线过C，两．(1)求抛物线的解析式；(2)点从C出，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒过点作PF⊥于F当为值时，以点P，，为点的三角形相？5

(3)点为线AB上一点，点为物线上一动点，是否存在点M，，使得以点，，，E为顶的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)过点EEG⊥轴G点抛物线的解析式为=13(2)2+23；(2)：=1或t时以点F，为点的三角形与△相似；(3)存在，四边形MDEN是平行四边形时M1(2,1),1(4,2)四边形MNDE是平行四边形时,M2(2,3),2(0,2)；四边形NDME是平行四边形时,M3(2,13),3(2,23).类2

二函数与行边的在问2．(2018·靖如，抛物线＝ax＋bx＋与坐标轴分别交于A(－，，(1，，(0，3)点，是抛物线顶点，是称轴与x轴交点．(1)求抛物线的解析式；1(2)F是物对称轴上一点，且∠，求到线AF的距；2(3)点是x轴上一个动点P作PQ∥交物线于点否存在以点为点的平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．解（1）抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.（）O到AF的离为65√5.（）在，符合条件的点P有个，即P1（√，）P2（√，0），（-2，）类3

二函数与角角的在问3．图，在平面直角坐标系中抛物＝ax＋＋(a≠与x轴交于两点，与y轴交于点，直线kx＋n(≠0)经B、两，已知A(1，，(0，3)，且＝(1)分别求直线BC和抛线的解析式关系式；(2)在抛物线的对称轴上是否存点P，使得以、、三点顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的标；若不存在，请说明理由．解（）物线解析式为y=34xx+3；(2)存在。P1(52,193),2(52,P3(52,3+26√4(52,3√2).类4

二函数与腰角的在问4．如图，已知抛物线＝

＋＋(≠0)交于于(－，0)，(5，两点，与轴于点(0，2)6

(1)求抛物线的解析式；(2)若点抛物线的顶点，连接、、，△的面积；(3)连接，x轴是否存在点P，使ACP为腰三角形；若存在，请求出点P的标；若不存在，请说明理由．解(1)=2+85+2；(2)eq\o\ac(△,S)=SOBMN−eq\o\ac(△,S)−eq\o\ac(△,S)=12(2+5)×185××12×(185(3)存在P、、3、4四个,它的坐标分别是1(√,0)、1,0)、3(32,0)4(1,0).

2)×2=6；P2(5√−类5

二函数与形积题5．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝轴交于点C.

＋－≠0)与x轴于点A(－2，，(4，0)点，与y(1)求抛物线的解析式；(2)点PA点出发，在线段上以每秒3单位长度的速度向B点动，同时点点发，在线段上以每秒1个单长度的速度向点动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当PBQ存时，求运动多少秒使△的面积最大，最大面积是多少(3)当△的积最大时，在下方的抛物线上存在点，∶＝∶2，求K点坐．eq\o\ac(△,S)CBKeq\o\ac(△,S)PBQ解(1)抛线的解析式为：=382x(2)运动秒使PBQ的积最大,最大面积是910；(3)1(1,278),2(3,158).类6次数最问6．如图，顶点为A的抛物线yax＋－交轴点B(10)，连接射线∥