《量子力学》试卷

一、判题共10分，每2）．在量子力学中，粒子在某一点的能量等于动能与势能之和。

()．若

，则

的本征函数必定也是

的本征函数。

()．力学量算符

，，

和

必相互对易。

()．若力学量算符

不显含时间，则力学量

必为运动恒量。

()．在任意态中，力学量和

必定满足下述关系式。。

()得分评卷人二、填题共10分，每2）．德布罗意关系式是

和。．称

等固有性质

的微观粒子为全同粒子。．量，电荷，自；全相同．下列算符①；②；；；是线性算符的是。U()有势场为如图所示当子处于束缚态时的取值范围为。

．

E

．已知体系的哈密顿算符为①x；②y；③；；；⑥；⑦/

，下列算符；⑧

与

对易的有。得分评卷人三、说题（共8分）试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。得分评卷人四、证题共24分，每8）、、是厄密算符

的本征函数们属的本征值

、、都不相等，试证当．已知

时，有，试证：

。。．设为符属本征值

的本征函数，且

，，证

是算符属于本征值

的本征函数。得分评卷人五、计题共48分，每题12）．一粒子在一维势场方程。．设氢原子处于状态

中运动，其中，束缚态能级所满足的，求氢原子能量、角动量平方及角动量分量的可能取值及其相应的几，并求这些力学量的平均值。．转动惯量为I电矩为

的平面转子处在均匀电场中电场是在转子运动的平面上，用微扰法求转子能量至二级修正。．两个电子在弹性辏力场中运动每个电子的势能是/

，如果电子之间

ˆ，ˆˆˆˆ，ˆˆˆ[,]L,iL]ˆˆˆˆ的库仑能和

相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。《量子力学》试卷答案一一、判断题每题分，共分每题后的括号内对的打√的“×．×

．×

．×

4．×

．二、填空题每题分，共分．

h

，

k．质量，电荷，自旋；完全相同．

E

三、说明题每题分，共8粒子：共同点：颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体不同点：经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动；（4分波：共同点：遵循波动规律，具有相干迭加性不同点：经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。（4分四、证明题每题分，共分．FFkklll

，

*Fklll

，

（3分）∵

klklkl

，（3分∴当

l

k

时，kl

。（）．ˆˆˆ2ˆˆxyL2L][L2,]xy

（4分/

BBBBBBBBu222，∴，∴，∴=。．ˆˆˆˆˆˆˆ∴是属于本征值本征函数。五、计算题每题12分共48分．

（4分）。（6分（2分∵是束缚态，∴（1分区列方程

0

，

0222

d2Id2IId2III

IIEIIIII

III

IIIIII-a（分）2

I

(0I

，II2

II

，III2

(00III

；（2求通解令

2

(u)

，

k

2

，∴

I

e12

，sinII

，

III

e1

e2

；（3利用波函数的标准条件①有限性当

I

0

，∴

e2I1

，当x，

III

1

III

2

；

（4分②连续性/

IIIIIIIIˆL(r，，IIIIIIIIˆL(r，，即IIIdxdx

∴

e(1)Bk(2)xIIIIIdxdx

∴

BeBk

(4)（1）÷2）得：

(

k

（5（3）÷4）得：

(ka

k

（6由（）得：

k

，

n0,1由（）得：

k

，

n2

0,

两式相加：

(n)22

12

实际上只有两组独立的解，分别对应：①当时

k

；②当

2

时，

ctgka

k

；这就是束缚态能级所满足的方程。．

（4分对于氢原子定态波函数

nlm

R(r(nllm

，有EL(l2nlmˆz

nlm

，其中

E

e2n2

，

（2分题中给定的

已按

nlm

展开了，且有

C211

，显然

C

211

2

C

2

(r

末归一化。/

(r2222ˆˆˆˆˆˆˆ0ˆH2ˆ(r2222ˆˆˆˆˆˆˆ0ˆH2ˆ2经归一化

14，

34

（1分∴当氢原子处于状态能量的可能取值为相应几率为平均值为

时，Esa，0，Ea0

，

（3分角动量平方的可能取值为

L

2

2

，相应几率为

，平均值为

L22

，

（3分角动量z分的可能取值为

，

，13相应几率为

4

，

4

，平均值为

z

14

34

2

。

（3分．在均匀电场中，平面转子体系的哈密顿算符为LI

0

，其中

H

cos

，

LzI

，的征值和本征函数分别E

(0)

mI

，

(0)

2

im

，

0,

，

（3分∵

H

不显含时间，属于定态微扰，H

(0)*

(

cos

d

D2

(0)*(ei

d

D2

(0)*mn

d

d

/

m,n的2个简并态222222222m,n的2个简并态222222222、

DD22

m

Dm2n

，（分）由上式可见，对于能级

E

(0)m

和

，'的所有矩阵元均为0即Hmm

H,

Hm

0

，∴本题可按非简并态微扰论处理，精确到二级修正的能量值为（分）(0)m

n2D

Hmn(0)(0)mn

D

2

442I(mm(I2I2IIImI(4。

2

2

（3分．这个一个两电子体系，属于费米子系统。在不考虑电子之间库仑相互作用的情况下，(rr)s1

(r(r)r(r)n1m

，(rr)12

(r(r)(r(r)112

，（2分其中

(r)(r)n

分别为谐振子第m、能量本征函数。（1当m=，由这两电子组成的体系波函数为

(r(r)m1m2

(ss)1z

；（3分）（2当m时由这两电子组成的体系波函数为(r,r)(s,)12zz(ss)1z(rr(ss)2s1(ssz2

单重态三重态（5分其中