2020版高考数学一轮复习第七章立体几何第四节直线、平面垂直的判定与性质讲义

第节直、面直判与质突破点一直与平面垂直的判与性质[基本知识]1．直线和平面垂直的定义直线与面α内任意一条直线都垂直，就说直线与面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理性质定理判定定理

文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

图形语言

符号语言a，αa∩＝l⊥l⊥

l⊥α性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

a⊥b⊥

∥b3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．π(2)线面角θ的围：

.[基本能力]一、判断题对的打“√”，错的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则lα.()(2)若直线a平面，线α，直线与b直．)(3)直线aα，α，a∥.()答案：(1)×(2)√(3)√二、填空题1．过一点有_条线与已知平面垂直．答案：一2．在三棱锥P中，点P在平面中的射为点，①若PAPBPC则点O是ABC的_______心．②若PAPBPBPC，⊥，则点O是△________心．答案：外垂

PACPABCeq\o\ac(△,S)PACeq\o\ac(△,S)ABCPACPABCeq\o\ac(△,S)PACeq\o\ac(△,S)ABC3如图已∠BAC＝90°⊥面则△，△PAC的边所在的直线中，与PC直的直线；垂直的直线有_______．解析：因为⊥面，所以PC垂于直线AB，，.因为ABACABPC，∩，所以AB平面，又因为平面，所以ABAP与AP垂直的直线是AB.答案：，，[典例](2019·郑州一)如，在三棱锥ABC中平面PAB⊥平面6＝3＝6为段AB上点＝DB，⊥AC(1)求证：⊥面ABCπ(2)若∠PAB，求点到面的距离．4[解](1)证：连接，据题知AD＝，＝AC＋BC＝，233∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝，63∴＝＋3)－2×2×23cos∠＝，∴＝2，＋＝AC，则CDAB∵平面PAB⊥平面，∴⊥平面PABCD⊥，∵⊥，∩CD＝，∴⊥平面ABCπ(2)由(1)得PD⊥，∵PAB＝，4∴＝＝，＝2，在eq\o\ac(△,Rt)PCD中，PCPD＋CD＝6，∴△PAC是等腰三角形，∴可求＝82.eq\o\ac(△,S)PAC设点到面的离为d11由＝，得×＝×，33

eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC∴＝

×＝3.eq\o\ac(△,S)PAC故点到面的离为3.[方法技巧证明直线与平面垂直的方法(1)定义法：若一条直线垂直于个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面不用；(2)判定定理(常用方法)；(3)若条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面客观常用；(4)若一条直线垂直于两个平行面中的一个平面必垂直于另一个平(客观题常用；(5)若两平面垂直一平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平(常用方法);(6)若两相交平面同时垂直于第个平面两平面的交线垂直于第三个平(客观题常用．[针对训练(2019·贵州模拟)如图，在直棱ABCD中，底面为平行四边形，且＝＝，AA＝

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，∠＝60°.(1)求证：⊥；(2)求四面体DAB的积解(1)证连BD与交点O因为四边形为行四边形，且AB＝，所以四边形ABCD为菱形，所以ACBD在直四棱柱A中⊥平面可BB⊥AC则⊥平面BB，又平BB，AC⊥.(2)＝V－VCABCB

－V

－V－＝VABDCBDABD111111

－4

＝

36×－2213624×××＝.3424突破点二平与平面垂直的判与性质[基本知识]1．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义两平面相交，如它们所成的二面角是直二面角说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理性质定理：判定定理性质定理

文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

图形语言

符号语言βα⊥β⊥αα⊥βlβl⊥α∩β＝l⊥α2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角二角上的任一点两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角α的围：[0，.[基本能力]一、判断题对的打“√”，错的打“×”)(1)若α⊥，βaα.()(2)若平面α内一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥.()(3)如果平面α⊥面β，那么平面内所有直线都垂直于平面β.()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空题1．，为线α，β为平面，若m⊥α，，β，则与β的置关系为．答案：垂直2．α，为两个不同的平面，直线α，“⊥β”是“α⊥β”立的____________条．答案：充分不必要3．已知PD垂直正方形所的平面，连PC，，则一定互相垂直的平面________对

eq\o\ac(△,S)ACDABCBADCeq\o\ac(△,S)ACDeq\o\ac(△,S)ACDABCBADCeq\o\ac(△,S)ACD解析：由于PD⊥平面，平面⊥平面ABCD，平面⊥平面ABCD，平面⊥平面，面PDA⊥面PDC，平面PAC平面，平面PAB平面平PBC⊥平面PDC，7对答案：[典例](2019·开封定位考)图，在三棱锥DABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝60°AD＝6，3，平面ADC⊥平面.(1)证明：平面⊥面ADC(2)求三棱锥D的体积．[解](1)证：在△中由余弦定理可得，BC＝

＋

－AB··cosBAC＝

14＋1－2×2×1×＝3，2∴＋AC＝，∴BCAC∵平面ADC⊥平面，平面ADC平面ABCAC，∴⊥平面ADC又BC平BDC∴平面BDC⊥平面ADC2(2)由余弦定理可得cos∠＝，3∴sin∠ACD＝

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，15∴＝···sin∠＝，22115则＝＝··＝.36[方法技巧面面垂直判定的两种方法与一个转化两种方法一个转化

(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(⊥，αα⊥β)在已知两个平面垂直时一般要性质定理进行转化一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直[针对训练(2019·洛阳一)如，在四棱锥E中，△EAD为边三

2EBDEBCDeq\o\ac(△,S)EBDeq\o\ac(△,S)BCD22EBDEBCDeq\o\ac(△,S)EBDeq\o\ac(△,S)BCD21角形，底面为等腰梯形，满足∥，＝＝AB且AE⊥.2(1)证明：平面⊥面EAD(2)若△的面积为3，求点C到平面的离．解：(1)证明：如图，取AB的中，连接DM，则由题意可知四边形BCDM为平四边形，1∴＝＝＝AB，即点D在以线段AB为直径的圆上，2∴⊥，又AE⊥BD且∩＝，∴⊥平面EAD∵平EBD∴平面EBD⊥平面EAD.(2)∵⊥面EAD且平ABCD，∴平面ABCD⊥平面EAD∵等边△的面积为3，∴＝＝＝，取AD的点O，连接EO，则⊥，＝3，∵平面EAD⊥平面，面EAD平面ABCD＝AD，∴⊥平面ABCD由1)知△ABD△都是直角三角形，∴＝AB－AD＝，1＝ED·＝3，eq\o\ac(△,S)EBD设点到面的离为h11由＝，得·＝·，331又＝BC·CD120°＝3eq\o\ac(△,S)BCD∴＝

3.∴点到面的距离为.22突破点三平与垂直的综合问1．平行关系之间的转化在证明线面面面平行时一般循从“低维”到“高维”的转化从线线平行”

到“线面平行”到面面平”在用性质定理时顺序恰好相反也注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．2．垂直关系之间的转化在证明线面垂直面直时定要注意判定定理成立的条件时住线线面面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时般从有的直线中寻找平面的垂线这的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[典例](2018·北京高)如，在四棱锥PABCD中底面为矩形，平面⊥平面，⊥，＝，F分为AD，的中点．(1)求证：⊥；(2)求证：平面⊥面PCD(3)求证：∥面.[证明](1)因PA＝PD，为的点，所以PEAD因为底面为矩形，所以BCAD所以PE⊥.(2)因为底面为形，所以AB⊥.又因为平面PAD⊥面，平面∩平面＝，平ABCD，所以AB平面，因为PD平PAD，以ABPD又因为PA⊥，∩＝A，所以PD平面.因为PD平PCD，以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取的点，接FG，DG.1因为，分为PB，的中点，所以∥，＝BC.2因为四边形ABCD为矩，且E为的中点，

1所以DEBCDE.2所以DEFGDEFG所以四边形DEFG为平四边形．所以EF∥DG又因为EF平面，平面，所以EF平面.[方法技巧平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．[针对训练(2019·北京西城区期末如，多面体ABCDEF中，面是边长为的正形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，＝，，分是CE的中点．(1)求证：⊥面；(2)求证：平面BDGH