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文档简介
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
数学试卷(理工农医类)
(满分150分,考试时间120分钟)
考生注意
1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.
2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.设xeH,则不等式上一3|<1的解集为.
2.设z=^0,其中i为虚数单位,则Imz=.
i
3.已知平行直线:2x+y—l=0,/2:2x+y+l=0,则与L的距离是.
4.某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则
,这组数据的中位数是(米).
5.已知点(3,9)在函数无)=1+4的图像上,则/(x)的反函数/T(X)=.
6.如图,在正四棱柱-中,底面A8QD的边长为3,与底面所成的
角的大小为arctan«,则该正四棱柱的高等于.
3
一8
7.方程3sinX=1+cos2%在区间[0,2兀]上的解为
8.在(五-2)的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于
9.己知A43C的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于
0X4-V=1
10.设。>0力>0.若关于的方程组4?,无解,则。+〃的取值范围是
x+by=1
11.无穷数列{%}由k个不同的数组成,S“为{%}的前n项和.若对任意〃eN*,S“w{2,3),
则k的最大值为.
12.在平面直角坐标系中,己知4(1,0),B(0,-1),P是曲线y=—d上一个动点,
则丽•函的取值范围是.
13.设ee[0,2兀).若对任意实数x都有2sin13x—=asin("+c),则满足条件
的有序实数组(。力,c)的组数为.
14.如图,在平面直角坐标系xOy中,。为正八边形44…4的中心,4(1,0).任取不同的
两点4,4,点P满足而+就+两=6,则点P落在第一象限的概率是.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸
的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得五分,否则一律得零分.
15.设aeE,贝I」“。>1”是的()
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件
16.下列极坐标方程中,对应的曲线为如图的是().
ox
(A)夕=6+5cos8(B)P=6+5sin8
(C)夕=6-5cos6(D)夕=6-5sin6
17.已知无穷等比数列{a,}的公比为(7,前〃项和为S“,且limS“=S.下列条件中,使得
/:—>00
2S“<S(〃wN*)恒成立的是().
(A)>0,0.6<q<0.7(B)a[<0,-0.7<q<-0.6
(C)a]>0,0.7<q<0.8(D)a]<0,-0.8<q<-0.7
18.设/(x)、g(x)、〃(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:①若/(x)+g(x)、
f(x)+h(x),g(x)+/z(x)均是增函数,则/(x)、g(x)、〃(幻中至少有一个增函数;②
若/(x)+g(x)、f(x)+h(x)>g(x)+/?(x)均是以T为周.期的函数,则/(X)、g(x)、.〃(%)
均是以T为周期的函数,下列判断正确的是().
(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题
(C)①为真命题,②为假命题(D)①为假命题,②为真命题
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须.在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第一小题满分6分,第二小题满分6分.将边长
为1的正方形(及其内部)绕的。。旋转一周形成圆柱,如图,AC长为三左,
长为;,其中瓦与C在平面例。。的同侧.
(1)求三棱锥C-的体积;
(2)求异面.直线8。与AA所成的角的大小.
20.(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.
于是,菜地分为两个区域S和$2,其中5中的蔬菜运到河边较近,$2中的蔬菜运到E点
较近,而菜地内工和$2的分界线C上的点到河边与到E点的距离相等,现建立平面直角坐
标系,其中原点。为EE的中点,点厂的坐标为(1,0),如图.
(1)求菜地内的.分界线。的方程;
Q
(2)菜农从蔬菜运量估计出5面积是$2面积的两倍,由此得到5面积的“经验值”为三.
设A7是C上纵坐标为1的点,请计算以E”为一边、另有一边过点M的矩形的面积,及
五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S,面积的经验值.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
2
双曲线/一方=is>o)的左、右焦点分别为耳、心,直线/过心且与双曲线交于
4B两点、.
71
(1)若/的倾斜角为5,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设6=6,若/的斜率存在,且(用+用).通=0,求/的斜率.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小
题满分6分.
已知.aeR,函.数/(x)=log(—+a).
2x
(」)当a=5时,解不等式/(无)>();
(2)若关于x的方程/(x)-log2[(a-4)龙+2"-5]=0的解集中恰好有一个元素,求。的
取值范围;
(3)设a>0,若对任意函数/(x)在区间+上的最大值与最小值的差不
超过1,求a的取值范围.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小
题满分8分.
若无穷数列{4“}满足:只要%,="(p,4eN*),必有。.=4+1,则称他“}具有性质
P.
(1)若{a“}具有性质P,且q=1,«2=2,4=3,%=2,%+%+。8=21,求。3;
(2.)若无穷数列{"}是等差数列,无穷数列{c,J是公比为正数的等比数列,bx=c,=\,
々=q=81,an=bn+cn,判断{6,}是否具有性质P,并说明理由;
(3)设{2}是无穷数冽,已知4+1=包+411%(〃€e).求证:“对任意外,{q}都具有性
质P”的充要条件为“他,}是常数列”.
2016年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷(理工农医类)
考生注意:
1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟..
2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非
选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对
后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.设xeR,则不等式卜―,<1的解集为.
【答案】(2,4〉
【解析】试题分析:
由题意得:一l<x—3<1,解得2<x<4.
考点:绝对值不等式的基本解法.
2.设2=药辿,其中i为虚数单位,则Imz=.
i
【答案】-3
【解析】
试题分析:
z=""=2-3z,Imz=-3.
i
考点:1.复数的运算;2.复数的概念.
3.已知平行直线4:2x+y—l=0」2:2x+y+l=0,则/与L的距离是.
【答案】q-
【解析】试题分析:
利用两平行线间的距离公式得d==IzhH=述
7a2+b2V22+l25
考点:两平行线间距离公式.
4.某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,贝U
这组数据的中位数是(米).
【答案】1.76
【解析】试题分析:
将这6位同学的身高按照从低到高排列为:L69J.7U75,1.77,1.7$,L$Q,这六个数的中位数是1.75与1.77
的平均数,显然为L76.学.科.网
考点:中位数的概念.
5.己知点(3,9)在函数/(x)=l+4的图像上,则/(x)的反函数广气)=.
【答案】log2(x-l)
【解析】试题分析:
将点(3,9)代入函数f(x)=l+ax中得a=2,所以f(x)=l+2x,用y表示x得
x=log2(y-l),所以「(x)=log2(x-l).
考点:反函数的概念以及指、对数式的转化.
6.如图,在正四棱柱A8QD—44G。中,底面A8CO的边长为3,5鼻与底面所成的
2
角的大小为arctan*,则该正四棱柱的高等于.
3
【答案】2夜
【解析】试题.分析:
连结BD,则由题意得tanZDBD,=四=乙="=乙=DD、=2叵.
'BD33723'
考点:线面角
7.方程3sinx=l+cos2x在区间[0,2兀]上的解为.
715兀
【答案】一,一
66
【解析】试题分析:
化简3sinx=l+cos2x得:3sinx=2-2sin*23*x,所以Zsin?x+3sinx-2=0,解得
sinx=;或sinx=—2(舍去),又尤W[(),2TI],所以工=弓或充.
考点:二倍角公式及三角函数求值.
8.在(丘-2]的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于
IX)
【答案】112
【解析】试题分析:
由二项式定理得:所有项的二项式系数之和为2",即2n=256,所以n=8,又二项展开
L2---rR4
式的通项为T』=禺(正)5(-*)「=(一2)(333,令2一?r=0,所以r=2,所以
x33
T3=112,即常数项为112.
考点:二项式定理.
9.已知AA3C的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.
【答案】—
3
【解析】试题分析:
O2IC2_721
利用余弦定理可求得最大边7所对.应角的余弦值为土二一-=所以此角的正弦值
2x3x52
为且,由正弦定理得2R=4,所以R=拽.
233
考点:正弦、余弦定理.
V=1
10.设。>0力>0.若关于的方程组《CLX+7,无解,则。+力的取值范围是
x^by=\
【答案】Q,+8)
【解析】试题分析:
将方程组中上面的式子化简得y=l-ax,代入下面的式子整理得(1-ab)x=l-b,方程组
无解应该满足1—ab=O且1—bwO,所以ab=l目.b/1,所以由基本不等式得
a+b>2>/ab=2,即。+力的取值范围是(2,+oo).
考点:方程组的思想以及,基本不等式的应用.
11.无穷数列{4}由k个不同的数组成,S“为{4}的前n项和.若对任意〃eN*,S.e{2,3},
则k的最大值为.
【答案】4
【解析】试题分析:
当〃=1时,q=2或q=3;当打》2时,若黑=2,Sz=2,于是?=0,若S*=3,5『=3,于是凡=0,
从而存在当盛k时,&•二°.所以要涉及最多的不同的项数列&}可以为:2,1,-1,0,0…,从
而可看出勺打=4.学科.网
考点:数列的项与和.
12.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=—d上一个动点,
则9•血的取值范围是..
【答案】[0,1+及]
【解析】试题分析:
由题意设尸(c°s%sina),“以0,扪,则丽=(cosa,l+sina),又84=(1]),所以
BP・BA=cosa+sina+1=72sin(a+—)+1G[0,1+41].
4
考点:1.数量积的运算;2.数形结合的思想.
13.设wR,cw[(),2兀).若对任意实数x都有2sin(3尤一事)=asin0x+c),则满足条件
的有序实数组(a,Ac)的组数为.
【答案】4
【解析】试题分析:
当a=2时,sin(3x-5)=sin(3x-g+2兀)=sin(3x+胃),(b,c)=(3,牛),又
sin(3x—三)=sin[兀一(3x—()]=sin(-3x+y),(b,c)=(-3,y),注,意到cG[0,2万),
所以只有2组:(2,3,费),(2,-3,手)满足题意;当。=一2时,同理可得出满足题意的
(a1,c)也有2组,故共有4组.
考点:三角函数
14.如图,在平面直角坐标系xOy中,。为正八边形…4的中心,4(1,0).任取不同的
两点A,点p满足丽+丽+西=6,则点p落在第一象限的概率是.
【答案】—
28
【解析】试题分析:
共有C;=28种基本事件,其中使点P落在第•象限的情况有C;+2=5种,故所求概率为
5
28,
考点:古典概型
三、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸
的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得五分,否则一律得零分.
15.设aeR,贝ij"a>l”是“〃>1”的().
(B)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】试题分析:
a>l=">La2>i=a>i或。<一[,所以“。>1”是“/>1,,的充分非必要条件,选
A.
考点:充要条件
17.下列极坐标方程中,对应的曲线为如图的是().
(B)/7=6+5COS6(B)/7=6+5sin8
(C)x?=6-5cos。(D)夕=6-5sin。
【答案】D
【解析】试题分析:
依次取6=0,肛红,结合图形可知只有夕=6-5sin。满足,选D.
考点:极坐标方程
18.已知无穷等比数列{4}的公比为q,前〃项和为S,,且limS“=S.下列条件中,使得
”一>8
25,,<5("€产)恒成立的是().
(B)tZj>0,0.6<q<0,7(B)ax<0,-0.7<q<-0.6
(C)4>0,0.7<q<0.8(D)%<0,—0.8<<—0.7
【答案】B
【解析】试题分析:
由题意得:_—>所以limS.=上-=5(0<所以2《.^~二<(2厂」一(0<匕|<1)对一切正
\-q1・]_q]-g\-q
整数恒成立,当q>0时,//不恒成立,舍去;当&<0时,=g%L因此选3.学.科掰
考点:1.数列的极限;2.等比数列求和.
18.设/(x)、g(x)、〃(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:①若/(x)+g(x)、
/(x)+/z(x)、g(x)+/?(x)均是增函数,则/(x)、g(x)、〃(x)中至少有一个增函数;②
若f(x)+g(x)>f(x)+h(x)>g(x)+/z(x)均是以T为周期的函数,则/(x)、g(x)、h(x)
均是以T为周期的函数,下列判断正确的是().
(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题
(C)①为真命题,②为假命题(D)①为假命题,②为真命题
【答案】D
【解析】
试题分析:
因为f(x)=+g(x)]+"(X)+((x)]—[g(x)+人(X)]所以
J/(x+T)+g(x+7)]+[/(x+T)+」(x+T)]—[g(x+T)+](x+T)].又/(©।苫(幻、
/(x)+〃(x)、g(x)+〃(x)均是以T为周期的函数,所以
f(x+T)=".)+g(M+"(X);〃(刈Tg。)+九(x)]=f(x),所以y(X)是周期为T的函数,
同理可得g(x)、/z(x)均是以T为周期的函数,②正确;/(x)、g(x)、〃(x)中至少有一
个增函数包含一个增函数、两个减函数:两个增函数、一个减函数;三个增函数,其中当三
个函数中一个为增函数、另两个为减函数时,由于减函数加减函数一定为减函数,所以①不
正确.选D.
考点:I.抽象函数;2.函数的单调性:3.函数的周期性.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共.有2个小题,第一小题满分6分,第二小题满分6分.
2
将边长为1的正方形AA«O(及其内部)绕的0Q旋转一周形成圆柱,如图,AC长为§万,
A片长为:,其中B1与C在平面A400的同侧.
(1)求三棱锥C-的体积;
(2)求异面直线gC与A4所成的角的大小.
【答案】(1);(2)—.
124
【解析】
TT
试题分析:(1)由题意可知,圆柱的高〃=1,底而半径r=l,ZA.O.B^-,再由三角
1113
形面积公式计算SAO人B后即得.
(2)设过点B1的母线与下底面交于点.B,根据BB"AA1,知NCB|B或其补角为直线B(
ITIE
呵AA1所成的角,再结合题设条件确定NC0B=2,CB=1.得出NCB1B=上即可.
试题解析:(1)由题意可知,圆柱的高〃=1,底面半径r=l.
7T7E
由的长为上,可知NAQB=」.
1131113
SAO|A|B|=3。八1,O|B|.sin/ARB]=与,
V_lc一也
C-O|A|B,3AOjAjB]]2,
(2)设过点Bi的母线与下底面交于点B,则BB]A%,
所以ZCB,B或其补角为直线B】C与AA]所成的角.
由AC长为三,可知NAOC=e,
33
又NAOB=NAQiB1=三,所以NCOB=:,
33
从而ACOB为等边三角形,得CB=1.
因为B:B一平面AOC,所以B】B_CB.学科也网
在ACB】B中,因为NB】BC=:,CB=1,B:B=1,所以NCB1B=:,
从而直线BChiAA1所成的角的大小为也.
A
CB
考点:1.几何体的体积;2.空间角.
20.(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到尸点或河边运走.
于是,菜地分为两个区域耳和S2,其中3中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到产点
较近,而菜地内5和S2的分界线。上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐
标系,其中原点。为Eb的中点,点尸的坐标为(1,0),如图.
(3)求菜地内的分界线C的方程;
Q
(4)菜农从蔬菜运量估计出5面积是$2面积的两倍,由此得到5面积的“经验值”为2.
设M是。上纵坐标为1的点,请计算以E”为一边、另有一边过点M的矩形的面积,及
五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S,面积的经验值.
【答案】(1)y2=4x(0<>-<2);(2)矩形面枳为2,五边形面积为〃,五边形面积
24
更接近于&面枳的“经验值”.
【解析】
试题分析:(1)由C上的点到直线EH与到点F的距离相等,知C是以F为焦点、以EH为
准线的抛物线在正方形EFGH内的部分.
(2)通过计算矩形面积,五边形面积,以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值,五
边形面积与“经验值”之差的绝对值,比较二者大小即可.
试题解析:(1)因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等,所以C是以F为焦点、以
EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分,其方程为丁=4%(0<y<2).
(2)依题意,点M的坐标为
所求的矩形面积为工,而所求的五边形面积为□.
24
CQ
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为士-2而五边形面积与“经验值”之差
236
11Q1
的绝时值为一--=一,所以五边形面积更接近于E面积的“经验值”.
考点:1.抛物线的定义及其标准方程;2.面积计算.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
双曲线--5=19>0)的左、右焦点分别为耳、F2,直线/过尸2且与双曲线交于
A、8两点.
7T
(1)若/的倾斜角为5,A耳是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设b=6若/的斜率存在,且(卒+耶)•而=0,求/的斜率.
【答案】(1)y=+y/2x;(2)土半.
【解析】
试题分析:(1)设A(XA,%),根据题设条件得到4(1+〃)=3/,从而解得〃的值.
(2)设A(%,x),B(w,%),直线/:y=Z(x-2)与双曲线方程联立,得到一元二次方
程,根据/与双曲线交于两点,可得左2一3工0,且△=36(1+r)>0.再设AB的中点为
M(xM,yM),山(筋+而>®=0即用]式§=0,从而得到原M-%=T,进而构建
关于左的方程求解即可.
试题解析:(1)设
由题意,F;(c.0)>c-"vl+i*,j;=jc*-1)=6",
因为AF】AB是等边三角形,所以2c=#bj,
即4(1+/)=3/,解得/=2.
故双曲线的渐近线方程为j=±41x.
(2)由已知,耳(一2,0),F2(2,0).学.科.网
设A(演jJ,B(孙/),直线7:y=)(冗一2).显然女工0・
》2上N
由J3,得(炉一3)%2—4攵2%+4公+3=0.
y=^(x-2)
因为/与双曲线交于两点,所以公一370,且A=36(1+/)>0.
设AB的中点为》!(4,%)•
由(EX+E^)3=O即碗.通=0,知F1M'AB,故即M"=L
.=x.+x,2k2,/c、6Z,3k
而XM=T=E'%=攵'-2)==,4内'
所以3—•k=-L,得%2=3,故/的斜率为±@5.
2k2-355
考点:1.双曲线的几何性质;2.直线与双曲线的位置关系;3.平面向量的数量积.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小
题满分6分.
已知awH,函数/(x)=log,d+a).
x
(1)当。=5时,解不等式/(x)〉0;
(2)若关于x的方程/(x)-log2[(a—4)》+2。-5]=0的解集中恰好有一个元素,求。的
取值范围;
(3)设。>0,若对任意fed』],函数/(x)在区间[1/+1]上的最大值与最小值的差不
超过1,求a的取值范围.
【答案】(1)xe18,—aJU(0,+00);(2)(1,2]U{3,4};(3)—,+℃.
【解析】
试题分析:(1)由k)g2q+5)>0,得工+5>1,从而得解.
(2)将其转化为(°-4)幺+(。-5)无一1=(),讨论当。=4、a=3时,以及且aw4
时的情况即可.
(3)讨论/(x)在(0,«»)上的单调性,再确定函数f(x)在区间在J+1]上的最大值与最
小值之差,从而得到a2+(。+1,-120,对任意fWpl成立.
试题解析:(1)由log2((+5)>0”得!+5>1,
解得XG,OO,-:JU(0,+8).
(2)—Fa=(Q—4)x+2a—5,(Q—4)幺+(.—5)x—1=0,
当。=4时,x=—1,经检验,满足题意.
当a=3时,%=々=一1,经检验,满足题意.
当且时,%,=----,x=-l,xx.
a-42i2
再是原方程的解当且仅当,+a>0,即。>2;
王
%是原方程的解当且仅当‘+。〉0,即a>L
于是满足题意的ae(1,2].
综上,a的取值范围为(1,2]U{3,4}.
11,1<1
(3)当0<.演v七时,—+a>—+a.log,—+a,>log;i—+a
再毛\x\Jl毛J
所以/(x-i在(q+x)上单调递减.
函数/(力在区间上t+1]上的最大值与最小值分别为/(?),fit+D.
对任意
/(r)-/(r+l)=log;^-+a;-log;—+<lBPaf*+(a+l)r-l>0.
re11成立.学科.网
因为a>0,所以函数y=〃2+(a+i,—1在区间1,1上单调递增,『=;时・,y
31312
有最小值一a—,ill—u—20,得。2一.
42423
故。的取值范围为1,+oo^j.
考点:1.对数函数的性质:2.函数与方程;3.二次函数的性质.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小
题满分8分.
若无穷数列{”“}满足:只要%,=%(p,4GN"),必有%,+|=。收,则称他“}具有性质
P.
(1)若{a,J具有性质P,且q=1,“2=2,g=3,%=2,a6+a,+=21,求出;
(2)若无穷数列{包}是等差数列,无穷数列{%}是公比为正数的等比数列,4=q=l,
々=G=81,a.=b“+c”,判断{〃“}是否具有性质P,并说明理由;
(3)设{£}是无穷数列,已知。,用=,+红11q(〃€?4*).求证:“对任意%,{勺}都具有性
质P”的充要条件为“{"}是常数列”.
【答案】(1)16;(2){4,}不具有性质P,理由见解析;(3)见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据已知条件,得到4+%+4=%+3+2,结合/+为+4=21求解
即可.
(2)根据{么}的公差为20,{%}的公比为g,写出通项公式,从而可得
an=bn+cn=20〃-19+3f.
304
通过计算q=%=82,%=48,4=亍,。2工4,即知{%}不具有性质P.
(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明.
试题解析:(1)因为。5=。2,所以。6=〃3,%=。4=3,。8=。5=2.
于是。6+%+4=。3+3+2,又因为4+%+/=21,解得用=16.
(2){2}的公差为20,{c“}的公比为g,
(1Y-'
所以瓦=1+20(〃-1)=20〃-19,c„=81--=35-".
an=勿+%=20〃-19+35-".
304
q=%=82,但/=48,%=々#4,
所以{4}不具有性质P.
[证](3)充分性:
当{/?„}为常数列时,4+1=4+sinan.
对任意给定的%,只要玛=%,则由乙+sinap-b}+sinaq,必有ap+]=%.
充分性得证.
必要性:
用反证法证明.假设{包}不是常数列,则存在AeN*,
使得bi=b2=---=bk=b,而4+]Hb.
下面证明存在满足。“+1=2+sina”的{4},使得q=W=~=W+i,但4+2*.
设/(x)=x—sinx-Z?,取加wN*,使得〃讥〉网,则
f(m兀)=m7i-h>0,y(-//zzr)=-irui-b<0,故存在c使得/'(c)=0.
取q=c,因为生_[=6+sin%(1<?7),所以生=6+sinc=c=q,
依此类推,得q=&=…=生-i=c.
但生、=&-i+sin生一]=+sinc06+sinc,艮口生7H.
所以{4}不具有性质P,矛盾.
必要性得证.学,科网
综上,“对任意4,{&}都具有性质P”的充要条件为“0J是常数列”.
考点:1.等差数列、等比数列的通项公式;2.充要条件的证明;3.反证法.
一.集合与函数
1.进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情
况,不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.
2.在应用条件时,易A忽略是空集的情况
3.你会用补集的思想解决有关问题吗?
4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是
什么?如何判断充分与必要条件?
5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.
6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.
7.判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.
8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,易忽略标注该函
数的定义域.
9.原函数在区间[-a,a]上单调递增,则一定存在反函数,且反函数
也单调递增;但一个函数存在反函数,此函数不一定单调.例如:.
10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,
判正负)和导数法
11.求函数单调性时,易错误地在多个单调区间之间添加符号
“U”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.
12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;
②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用
你掌握了吗?
14.解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?
(真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论
15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二
次函数求最值?
16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性,易忽略参数的范
围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时,你是否注意到:
当时一,“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程,二
次函数或二次不等式,你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?
二.不等式
18.利用均值不等式求最值时,你是否注意到:“一正;二定;三等”.
19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?
20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不
等式的注意事项是什么?
21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提,函数的单调性为
基础,分类讨论是关键”,注意解完之后要写上:“综上,原不等式的
解集是……”.
22.在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集合
或区间表示;不能用不等式表示.
23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同
正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0,a<0.
三微列
24.解决一些等比数列的前项和问题,你注意到要对公比及两种
情况进行讨论了吗?
25.在“已知,求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时,
应有)需要验证,有些题目通项是分段函数。
26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概
念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无
穷等比数列的所有项的和必定存在?
27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是
特殊函数,但其定义域中的值不是连续的。)
28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全,二要注意从到过程中,
先假设时成立,再结合一些数学方法用来证明时也成立。
四.三角函数
29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?,若角的终边在
坐标轴上,那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同
的角和相等的角的区别吗?
30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、
正切线)的定义你知道吗?
31.在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了
吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?
32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降嘉公式、用三
角公式转化出现特殊角.异角化同角,异名化同名,高次化低次)
33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?
35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三
角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形
结合与书写规范,可别忘了),你是否清楚函数的图象可以由函数经过
怎样的变换得到吗?
36.函数的图象的平移,方程的平移以及点的平移公式易混:
(1)函数的图象的平移为“左+右上+下-";如函数的图象左移2
个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为,即.
(2)方程表示的图形的平移为“左+右上-下+”;如直线左移2
个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为,即.
(3)点的平移公式:点按向量平移到点,则.
37.在三角函数中求一个角时,注意考虑两方面了吗?(先求出某一
个三角函数值,再判定角的范围)
38.形如的周期都是,但的周期为。
39.正弦定理时易忘比值还等于2R.
五.平面向量
40.数0有区别,的模为数0,它不是没有方向,而是方向不定。
可以看成与任意向量平行,但与任意向量都不垂直。
41.数量积与两个实数乘积的区别:
在实数中:若,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中,若,且,
不能推出.
已知实数,且,则2=(3,但在向量的数量积中没有.
在实数中有,但是在向量的数量积中,这是因为左边是与共线的
向量,而右边是与共线的向量.
42.是向量与平行的充分而不必要条件,是向量和向量夹角为钝
角的必要而不充分条件。
六.解析几何
43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时,你是否注意到不存在
的情况?
44.用到角公式时,易将直线11、12的斜率kl>k2的顺序弄颠倒。
45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。
46.定比分点的坐标公式是什么?(起点,中点,分点以及值可要搞
清),在利用定比分点解题时,你注意到了吗?
47.对不重合的两条直线
(建议在解题时,讨论后利用斜率和截距)
48.直线在两坐标轴上的截距相等,直线方程可以理解为,但不
要忘记当时,直线在两坐标轴上的截距都是0,亦为截距相等。
49.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和
完整的文字表达.(①设出变量,写出目标函数②写出线性约束条件③
画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线,找到并求出最优解⑦
应用题一定要有答。)
50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质,椭圆与
双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?
51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?
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