2016年上海高考数学真题（理科）试卷（解析版）

绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学试卷（理工农医类）

（满分150分，考试时间120分钟）

考生注意

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答

题纸指定位置.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一

律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.设xeH,则不等式上一3|<1的解集为.

2.设z=^0,其中i为虚数单位，则Imz=.

i

3.已知平行直线：2x+y—l=0,/2：2x+y+l=0,则与L的距离是.

4.某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则

，这组数据的中位数是（米）.

5.已知点（3,9）在函数无）=1+4的图像上，则/（x）的反函数/T（X）=.

6.如图，在正四棱柱-中，底面A8QD的边长为3,与底面所成的

角的大小为arctan«,则该正四棱柱的高等于.

3

一8

7.方程3sinX=1+cos2%在区间［0,2兀］上的解为

8.在（五-2）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于

9.己知A43C的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于

0X4-V=1

10.设。＞0力＞0.若关于的方程组4?，无解，则。+〃的取值范围是

x+by=1

11.无穷数列｛%｝由k个不同的数组成，S“为｛%｝的前n项和.若对任意〃eN*,S“w｛2,3）,

则k的最大值为.

12.在平面直角坐标系中，己知4（1,0）,B（0,-1）,P是曲线y=—d上一个动点,

则丽•函的取值范围是.

13.设ee[0,2兀）.若对任意实数x都有2sin13x—=asin（"+c）,则满足条件

的有序实数组（。力,c）的组数为.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，。为正八边形44…4的中心，4（1,0）.任取不同的

两点4，4,点P满足而+就+两=6,则点P落在第一象限的概率是.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.

15.设aeE,贝I」“。＞1”是的（）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（）.

ox

(A)夕=6+5cos8(B)P=6+5sin8

(C)夕=6-5cos6(D)夕=6-5sin6

17.已知无穷等比数列｛a,｝的公比为(7,前〃项和为S“，且limS“=S.下列条件中，使得

/：—>00

2S“<S(〃wN*)恒成立的是().

(A)>0,0.6<q<0.7(B)a[<0,-0.7<q<-0.6

(C)a]>0,0.7<q<0.8(D)a]<0,-0.8<q<-0.7

18.设/(x)、g(x)、〃(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若/(x)+g(x)、

f(x)+h(x),g(x)+/z(x)均是增函数，则/(x)、g(x)、〃(幻中至少有一个增函数；②

若/(x)+g(x)、f(x)+h(x)>g(x)+/?(x)均是以T为周.期的函数，则/(X)、g(x)、.〃(%)

均是以T为周期的函数，下列判断正确的是().

(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题

(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须.在答题纸相应编号的规定区

域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长

为1的正方形(及其内部)绕的。。旋转一周形成圆柱，如图，AC长为三左，

长为；，其中瓦与C在平面例。。的同侧.

(1)求三棱锥C-的体积；

(2)求异面.直线8。与AA所成的角的大小.

20.（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.

于是，菜地分为两个区域S和$2,其中5中的蔬菜运到河边较近，$2中的蔬菜运到E点

较近，而菜地内工和$2的分界线C上的点到河边与到E点的距离相等，现建立平面直角坐

标系，其中原点。为EE的中点，点厂的坐标为（1,0）,如图.

（1）求菜地内的.分界线。的方程；

Q

（2）菜农从蔬菜运量估计出5面积是$2面积的两倍，由此得到5面积的“经验值”为三.

设A7是C上纵坐标为1的点，请计算以E”为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及

五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S,面积的经验值.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

2

双曲线/一方=is>o）的左、右焦点分别为耳、心，直线/过心且与双曲线交于

4B两点、.

71

（1）若/的倾斜角为5，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设6=6，若/的斜率存在，且（用+用）.通=0,求/的斜率.

22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分6分.

已知.aeR,函.数/(x)=log(—+a).

2x

(」)当a=5时，解不等式/(无)>()；

(2)若关于x的方程/(x)-log2[(a-4)龙+2"-5]=0的解集中恰好有一个元素，求。的

取值范围；

(3)设a>0,若对任意函数/(x)在区间+上的最大值与最小值的差不

超过1,求a的取值范围.

23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分.

若无穷数列｛4“｝满足：只要%,="(p,4eN*),必有。.=4+1,则称他“｝具有性质

P.

(1)若｛a“｝具有性质P,且q=1,«2=2,4=3,%=2,%+%+。8=21，求。3；

(2.)若无穷数列｛"｝是等差数列，无穷数列｛c,J是公比为正数的等比数列，bx=c,=\,

々=q=81,an=bn+cn,判断｛6,｝是否具有性质P,并说明理由；

(3)设｛2｝是无穷数冽，已知4+1=包+411%(〃€e).求证：“对任意外,｛q｝都具有性

质P”的充要条件为“他,｝是常数列”.

2016年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1.本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟..

2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非

选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对

后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.设xeR,则不等式卜―,<1的解集为.

【答案】（2,4〉

【解析】试题分析：

由题意得：一l<x—3<1,解得2<x<4.

考点：绝对值不等式的基本解法.

2.设2=药辿，其中i为虚数单位，则Imz=.

i

【答案】-3

【解析】

试题分析：

z=""=2-3z,Imz=-3.

i

考点：1.复数的运算；2.复数的概念.

3.已知平行直线4:2x+y—l=0」2：2x+y+l=0,则/与L的距离是.

【答案】q-

【解析】试题分析：

利用两平行线间的距离公式得d==IzhH=述

7a2+b2V22+l25

考点：两平行线间距离公式.

4.某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,贝U

这组数据的中位数是(米).

【答案】1.76

【解析】试题分析：

将这6位同学的身高按照从低到高排列为：L69J.7U75,1.77,1.7$,L$Q,这六个数的中位数是1.75与1.77

的平均数，显然为L76.学.科.网

考点：中位数的概念.

5.己知点(3,9)在函数/(x)=l+4的图像上，则/(x)的反函数广气)=.

【答案】log2(x-l)

【解析】试题分析：

将点(3,9)代入函数f(x)=l+ax中得a=2,所以f(x)=l+2x,用y表示x得

x=log2(y-l),所以「(x)=log2(x-l).

考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.

6.如图，在正四棱柱A8QD—44G。中，底面A8CO的边长为3,5鼻与底面所成的

2

角的大小为arctan*,则该正四棱柱的高等于.

3

【答案】2夜

【解析】试题.分析：

连结BD,则由题意得tanZDBD,=四=乙="=乙=DD、=2叵.

'BD33723'

考点：线面角

7.方程3sinx=l+cos2x在区间［0,2兀］上的解为.

715兀

【答案】一,一

66

【解析】试题分析:

化简3sinx=l+cos2x得：3sinx=2-2sin*23*x,所以Zsin?x+3sinx-2=0,解得

sinx=；或sinx=—2（舍去），又尤W［（）,2TI］,所以工=弓或充.

考点：二倍角公式及三角函数求值.

8.在（丘-2］的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于

IX）

【答案】112

【解析】试题分析：

由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2",即2n=256,所以n=8,又二项展开

L2---rR4

式的通项为T』=禺（正）5（-*）「=（一2）（333,令2一？r=0,所以r=2,所以

x33

T3=112,即常数项为112.

考点：二项式定理.

9.已知AA3C的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.

【答案】—

3

【解析】试题分析：

O2IC2_721

利用余弦定理可求得最大边7所对.应角的余弦值为土二一-=所以此角的正弦值

2x3x52

为且，由正弦定理得2R=4,所以R=拽.

233

考点：正弦、余弦定理.

V=1

10.设。＞0力＞0.若关于的方程组《CLX+7，无解，则。+力的取值范围是

x^by=\

【答案】Q,+8)

【解析】试题分析：

将方程组中上面的式子化简得y=l-ax,代入下面的式子整理得(1-ab)x=l-b,方程组

无解应该满足1—ab=O且1—bwO,所以ab=l目.b/1,所以由基本不等式得

a+b>2>/ab=2,即。+力的取值范围是(2,+oo).

考点：方程组的思想以及,基本不等式的应用.

11.无穷数列｛4｝由k个不同的数组成，S“为｛4｝的前n项和.若对任意〃eN*,S.e｛2,3｝,

则k的最大值为.

【答案】4

【解析】试题分析：

当〃=1时，q=2或q=3；当打》2时，若黑=2,Sz=2,于是?=0,若S*=3,5『=3,于是凡=0,

从而存在当盛k时，&•二°.所以要涉及最多的不同的项数列&｝可以为：2,1,-1,0,0…，从

而可看出勺打=4.学科.网

考点：数列的项与和.

12.在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=—d上一个动点,

则9•血的取值范围是..

【答案】[0,1+及]

【解析】试题分析：

由题意设尸(c°s%sina),“以0,扪，则丽=(cosa,l+sina),又84=(1])，所以

BP・BA=cosa+sina+1=72sin(a+—)+1G[0,1+41].

4

考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.

13.设wR,cw[(),2兀).若对任意实数x都有2sin(3尤一事)=asin0x+c),则满足条件

的有序实数组(a,Ac)的组数为.

【答案】4

【解析】试题分析:

当a=2时，sin（3x-5）=sin（3x-g+2兀）=sin（3x+胃），（b,c）=（3,牛）,又

sin（3x—三）=sin［兀一（3x—（）］=sin（-3x+y）,（b,c）=（-3,y）,注,意到cG［0,2万）,

所以只有2组：（2,3,费），（2,-3,手）满足题意；当。=一2时，同理可得出满足题意的

（a1,c）也有2组，故共有4组.

考点：三角函数

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，。为正八边形…4的中心，4（1,0）.任取不同的

两点A，点p满足丽+丽+西=6,则点p落在第一象限的概率是.

【答案】—

28

【解析】试题分析：

共有C；=28种基本事件，其中使点P落在第•象限的情况有C；+2=5种，故所求概率为

5

28,

考点：古典概型

三、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.

15.设aeR,贝ij"a>l”是“〃>1”的（）.

（B）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】试题分析：

a>l=">La2>i=a>i或。<一［,所以“。>1”是“/>1,，的充分非必要条件，选

A.

考点：充要条件

17.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是().

(B)/7=6+5COS6(B)/7=6+5sin8

(C)x?=6-5cos。(D)夕=6-5sin。

【答案】D

【解析】试题分析：

依次取6=0,肛红，结合图形可知只有夕=6-5sin。满足，选D.

考点：极坐标方程

18.已知无穷等比数列｛4｝的公比为q,前〃项和为S,,且limS“=S.下列条件中，使得

”一>8

25,,<5("€产)恒成立的是().

(B)tZj>0,0.6<q<0,7(B)ax<0,-0.7<q<-0.6

(C)4>0,0.7<q<0.8(D)%<0,—0.8<<—0.7

【答案】B

【解析】试题分析：

由题意得：_—>所以limS.=上-=5(0<所以2《.^~二<(2厂」一(0<匕|<1)对一切正

\-q1・]_q]-g\-q

整数恒成立，当q>0时，//不恒成立，舍去；当&<0时，=g%L因此选3.学.科掰

考点：1.数列的极限；2.等比数列求和.

18.设/(x)、g(x)、〃(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若/(x)+g(x)、

/(x)+/z(x)、g(x)+/?(x)均是增函数，则/(x)、g(x)、〃(x)中至少有一个增函数；②

若f(x)+g(x)>f(x)+h(x)>g(x)+/z(x)均是以T为周期的函数，则/(x)、g(x)、h(x)

均是以T为周期的函数，下列判断正确的是().

(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题

(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题

【答案】D

【解析】

试题分析：

因为f(x)=+g(x)]+"(X)+((x)]—[g(x)+人(X)]所以

J/(x+T)+g(x+7)]+[/(x+T)+」(x+T)]—[g(x+T)+](x+T)].又/(©।苫(幻、

/(x)+〃(x)、g(x)+〃(x)均是以T为周期的函数,所以

f(x+T)=".)+g(M+"(X)；〃(刈Tg。)+九(x)]=f(x),所以y(X)是周期为T的函数，

同理可得g(x)、/z(x)均是以T为周期的函数，②正确；/(x)、g(x)、〃(x)中至少有一

个增函数包含一个增函数、两个减函数：两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三

个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不

正确.选D.

考点：I.抽象函数；2.函数的单调性：3.函数的周期性.

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区

域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分)本题共.有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.

2

将边长为1的正方形AA«O(及其内部)绕的0Q旋转一周形成圆柱，如图，AC长为§万，

A片长为：，其中B1与C在平面A400的同侧.

(1)求三棱锥C-的体积；

(2)求异面直线gC与A4所成的角的大小.

【答案】（1）；（2）—.

124

【解析】

TT

试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高〃=1,底而半径r=l,ZA.O.B^-,再由三角

1113

形面积公式计算SAO人B后即得.

（2）设过点B1的母线与下底面交于点.B,根据BB"AA1,知NCB|B或其补角为直线B（

ITIE

呵AA1所成的角，再结合题设条件确定NC0B=2,CB=1.得出NCB1B=上即可.

试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高〃=1，底面半径r=l.

7T7E

由的长为上,可知NAQB=」.

1131113

SAO|A|B|=3。八1,O|B|.sin/ARB]=与,

V_lc一也

C-O|A|B,3AOjAjB]]2,

（2）设过点Bi的母线与下底面交于点B,则BB]A%,

所以ZCB,B或其补角为直线B】C与AA]所成的角.

由AC长为三，可知NAOC=e,

33

又NAOB=NAQiB1=三，所以NCOB=：,

33

从而ACOB为等边三角形，得CB=1.

因为B：B一平面AOC,所以B】B_CB.学科也网

在ACB】B中，因为NB】BC=：,CB=1,B:B=1,所以NCB1B=:,

从而直线BChiAA1所成的角的大小为也.

A

CB

考点：1.几何体的体积；2.空间角.

20.（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到尸点或河边运走.

于是，菜地分为两个区域耳和S2,其中3中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到产点

较近，而菜地内5和S2的分界线。上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐

标系，其中原点。为Eb的中点，点尸的坐标为（1,0）,如图.

（3）求菜地内的分界线C的方程；

Q

（4）菜农从蔬菜运量估计出5面积是$2面积的两倍，由此得到5面积的“经验值”为2.

设M是。上纵坐标为1的点，请计算以E”为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及

五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S,面积的经验值.

【答案】（1）y2=4x（0<>-<2）；（2）矩形面枳为2,五边形面积为〃，五边形面积

24

更接近于&面枳的“经验值”.

【解析】

试题分析：（1）由C上的点到直线EH与到点F的距离相等，知C是以F为焦点、以EH为

准线的抛物线在正方形EFGH内的部分.

（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五

边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可.

试题解析：（1）因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以

EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分，其方程为丁=4%（0<y<2）.

（2）依题意，点M的坐标为

所求的矩形面积为工，而所求的五边形面积为□.

24

CQ

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为士-2而五边形面积与“经验值”之差

236

11Q1

的绝时值为一--=一，所以五边形面积更接近于E面积的“经验值”.

考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

双曲线--5=19＞0）的左、右焦点分别为耳、F2,直线/过尸2且与双曲线交于

A、8两点.

7T

（1）若/的倾斜角为5，A耳是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b=6若/的斜率存在，且（卒+耶）•而=0,求/的斜率.

【答案】（1）y=+y/2x；（2）土半.

【解析】

试题分析：（1）设A（XA，%），根据题设条件得到4（1+〃）=3/,从而解得〃的值.

（2）设A（%，x）,B（w，%），直线/：y=Z（x-2）与双曲线方程联立，得到一元二次方

程，根据/与双曲线交于两点，可得左2一3工0,且△=36（1+r）＞0.再设AB的中点为

M（xM,yM）,山（筋+而＞®=0即用］式§=0,从而得到原M-％=T，进而构建

关于左的方程求解即可.

试题解析：（1）设

由题意，F；(c.0)>c-"vl+i*,j；=jc*-1)=6",

因为AF】AB是等边三角形，所以2c=#bj,

即4(1+/)=3/,解得/=2.

故双曲线的渐近线方程为j=±41x.

(2)由已知，耳(一2,0),F2(2,0).学.科.网

设A(演jJ,B(孙/),直线7:y=)(冗一2).显然女工0・

》2上N

由J3，得(炉一3)%2—4攵2%+4公+3=0.

y=^(x-2)

因为/与双曲线交于两点，所以公一370,且A=36(1+/)>0.

设AB的中点为》!(4,%)•

由(EX+E^)3=O即碗.通=0,知F1M'AB,故即M"=­L

.=x.+x,2k2，/c、6Z,3k

而XM=T=E'%=攵'-2)==,4内'

所以3—•k=-L,得％2=3,故/的斜率为±@5.

2k2-355

考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.

22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分6分.

已知awH,函数/(x)=log，d+a).

x

(1)当。=5时，解不等式/(x)〉0；

(2)若关于x的方程/(x)-log2［(a—4)》+2。-5］=0的解集中恰好有一个元素，求。的

取值范围；

(3)设。>0,若对任意fed』］,函数/(x)在区间［1/+1］上的最大值与最小值的差不

超过1,求a的取值范围.

【答案】(1)xe18,—aJU(0,+00)；(2)(1,2]U{3,4}；(3)—,+℃.

【解析】

试题分析：(1)由k)g2q+5)>0,得工+5>1,从而得解.

(2)将其转化为(°-4)幺+(。-5)无一1=(),讨论当。=4、a=3时，以及且aw4

时的情况即可.

(3)讨论/(x)在(0,«»)上的单调性，再确定函数f(x)在区间在J+1]上的最大值与最

小值之差，从而得到a2+(。+1,-120,对任意fWpl成立.

试题解析：(1)由log2((+5)>0”得！+5>1,

解得XG，OO,-：JU(0,+8).

(2)—Fa=(Q—4)x+2a—5,(Q—4)幺+(.—5)x—1=0,

当。=4时，x=—1,经检验，满足题意.

当a=3时，%=々=一1，经检验，满足题意.

当且时，%,=----，x=-l,xx.

a-42i2

再是原方程的解当且仅当，+a>0,即。>2；

王

%是原方程的解当且仅当‘+。〉0，即a>L

于是满足题意的ae(1,2].

综上，a的取值范围为(1,2]U{3,4}.

11,1<1

（3）当0<.演v七时,—+a>—+a.log,—+a,>log；i—+a

再毛\x\Jl毛J

所以/（x-i在（q+x）上单调递减.

函数/（力在区间上t+1］上的最大值与最小值分别为/（?）,fit+D.

对任意

/(r)-/(r+l)=log;^-+a；-log；—+<lBPaf*+(a+l)r-l>0.

re11成立.学科.网

因为a>0,所以函数y=〃2+（a+i,—1在区间1,1上单调递增，『=；时・，y

31312

有最小值一a—,ill—u—20,得。2一.

42423

故。的取值范围为1,+oo^j.

考点：1.对数函数的性质：2.函数与方程；3.二次函数的性质.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分.

若无穷数列｛”“｝满足：只要%,=%（p，4GN"）,必有%,+|=。收，则称他“｝具有性质

P.

（1）若｛a,J具有性质P,且q=1,“2=2,g=3,%=2，a6+a,+=21,求出；

（2）若无穷数列｛包｝是等差数列，无穷数列｛%｝是公比为正数的等比数列，4=q=l，

々=G=81,a.=b“+c”,判断｛〃“｝是否具有性质P,并说明理由；

（3）设｛£｝是无穷数列，已知。，用=，+红11q（〃€?4*）.求证：“对任意％,｛勺｝都具有性

质P”的充要条件为“｛"｝是常数列”.

【答案】（1）16；（2）｛4,｝不具有性质P，理由见解析；（3）见解析.

【解析】

试题分析：(1)根据已知条件，得到4+%+4=%+3+2,结合/+为+4=21求解

即可.

(2)根据｛么｝的公差为20,｛%｝的公比为g,写出通项公式，从而可得

an=bn+cn=20〃-19+3f.

304

通过计算q=%=82,%=48，4=亍，。2工4，即知｛%｝不具有性质P.

(3)从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明.

试题解析：(1)因为。5=。2，所以。6=〃3，%=。4=3，。8=。5=2.

于是。6+%+4=。3+3+2,又因为4+%+/=21,解得用=16.

(2)｛2｝的公差为20,｛c“｝的公比为g,

(1Y-'

所以瓦=1+20(〃-1)=20〃-19,c„=81--=35-".

an=勿+%=20〃-19+35-".

304

q=%=82,但/=48,%=々#4，

所以｛4｝不具有性质P.

[证](3)充分性：

当｛/?„｝为常数列时,4+1=4+sinan.

对任意给定的％,只要玛=%,则由乙+sinap-b｝+sinaq，必有ap+]=%.

充分性得证.

必要性：

用反证法证明.假设｛包｝不是常数列，则存在AeN*,

使得bi=b2=---=bk=b,而4+]Hb.

下面证明存在满足。“+1=2+sina”的｛4｝，使得q=W=~=W+i，但4+2*.

设/(x)=x—sinx-Z?,取加wN*,使得〃讥〉网，则

f(m兀)=m7i-h>0,y(-//zzr)=-irui-b<0,故存在c使得/'(c)=0.

取q=c,因为生_[=6+sin%(1<?7),所以生=6+sinc=c=q,

依此类推，得q=&=…=生-i=c.

但生、=&-i+sin生一]=+sinc06+sinc,艮口生7H.

所以｛4｝不具有性质P,矛盾.

必要性得证.学,科网

综上，“对任意4，｛&｝都具有性质P”的充要条件为“0J是常数列”.

考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.

一.集合与函数

1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情

况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.

2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况

3.你会用补集的思想解决有关问题吗？

4.简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是

什么?如何判断充分与必要条件？

5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函

数的定义域.

9.原函数在区间［-a,a］上单调递增，则一定存在反函数，且反函数

也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法（取值，作差,

判正负）和导数法

11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号

“U”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示.

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;

②解抽象函数不等式;③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用

你掌握了吗？

14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?

（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论

15.三个二次（哪三个二次?）的关系及应用掌握了吗?如何利用二

次函数求最值？

16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范

围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：

当时一，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二

次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形？

二.不等式

18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？

20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式（分式）不

等式的注意事项是什么?

21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为

基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的

解集是……”.

22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合

或区间表示;不能用不等式表示.

23.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同

正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0,a<0.

三微列

24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种

情况进行讨论了吗？

25.在“已知，求”的问题中，你在利用公式时注意到了吗?（时，

应有）需要验证，有些题目通项是分段函数。

26.你知道存在的条件吗?（你理解数列、有穷数列、无穷数列的概

念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无

穷等比数列的所有项的和必定存在？

27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?（数列是

特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。）

28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，

先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。

四.三角函数

29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗？，若角的终边在

坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同

的角和相等的角的区别吗？

30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线（正弦线、余弦线、

正切线）的定义你知道吗？

31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了

吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？

32.你还记得三角化简的通性通法吗?（切割化弦、降嘉公式、用三

角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)

33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是

34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？

35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三

角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形

结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过

怎样的变换得到吗？

36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：

(1)函数的图象的平移为“左+右上+下-"；如函数的图象左移2

个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.

(2)方程表示的图形的平移为“左+右上-下+”；如直线左移2

个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.

(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则.

37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一

个三角函数值，再判定角的范围)

38.形如的周期都是，但的周期为。

39.正弦定理时易忘比值还等于2R.

五.平面向量

40.数0有区别，的模为数0,它不是没有方向，而是方向不定。

可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。

41.数量积与两个实数乘积的区别：

在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，

不能推出.

已知实数，且，则2=(3,但在向量的数量积中没有.

在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的

向量，而右边是与共线的向量.

42.是向量与平行的充分而不必要条件，是向量和向量夹角为钝

角的必要而不充分条件。

六.解析几何

43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在

的情况？

44.用到角公式时，易将直线11、12的斜率kl>k2的顺序弄颠倒。

45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。

46.定比分点的坐标公式是什么?（起点，中点，分点以及值可要搞

清），在利用定比分点解题时，你注意到了吗？

47.对不重合的两条直线

（建议在解题时，讨论后利用斜率和截距）

48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不

要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0,亦为截距相等。

49.解决线性规划问题的基本步骤是什么？请你注意解题格式和

完整的文字表达.（①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③

画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦

应用题一定要有答。）

50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与

双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗？

51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?