万学海文数学教研中心

高等数学上授课框架和教案【课程导入】接下来的几个月的复习安排，79月份我们可以进行强化阶段的复习；10月份以后可以开始遗忘的，要提前把书翻一翻.在我们强化班学习的时候注意记笔记，因为我们的强化讲义暑假复习：辅导书，讲义【展示授课内容】第一天第一讲函数、极限和连续性第二讲一元函数微分学(上)(下)第三天第三讲一元函数积分学第一讲函数、极限与连性质410连续性和间断点4一、极限(一)limanAlimf(x x

f(x)Axx

f(x)xx

f(x)A 【板书】 ,limex, ,limx要计算左右极限 (二)极限的性

x limf(xa[或limf(xa,fxx0的某去心邻域(xM0)内有界x

fx在[abf(x在[abf(x在(abf(a0)和f(b0存在f(x在(ab1.1f(xf(x)a(0x

f(x)a0,则存在x0的某去心邻域(或xM0)

f(x)f(x0)(xx)2

D02，则存在,当xU(x0,)时 0(A)f(x)f(x0(C)f(x)f(x0(三)计算(函数极限

(B)f(x)(D)f(x)

f(x0f(x00

,0,,1,0,等价无穷小替sinx∼xxsinx∼1600(1)罗法1）xaxf(xF(x都趋于零（或无穷大在点af(xF(xF(x0flim xaF limf(x)limf(x)xaF xaF(2) (x (xf(x)f(x)f(x)(xx)" 0(xx)no((xx)n)

ABxsinxx(x1x3o(x36o(x2o(x3)o(x2kx3o(x2)o(x5o(x2o(x3)o(x51.4［1.5］已知极限

axbx2cxln(1x)sinx

1abasinxx x［例1.8］设fx 问a为何值时，limfx存在12sinxxsint2dt,x ［例1.9］确定a,b,c值，使 axsin cc0 xln1t3 axsin xln1t3【解析】由

ln

t3

cc0可得lim

dt0tx x

x0ln1t3又t

0,x0，从而b

所以原极限 axsin limacosxlimacosxc0，从x0xln1t3 x0ln1x3 1cos limacosx0,a1.所以原极限lim ,c (1)法则；(2)消去无穷大因子；(3)抓大头（擒贼先擒王0 变分式，化成 41(1)通分；(2)倒代换x t cos2x［例1.7］求极限lim x0sin ［1.10］设0,0limx2xx2，求常数x 【分析】型，考虑提一个无穷大因子出来limx2x1x2limx2

1

limx21

limx2

0, , 0，所以2,214(5)1,0,

或型后再使用法则， limu limvlimu lim

limevxlnux计算 型极限的最简单方法是使用如 limlimuxvxlim[1u(x1]elim[ux1]vx,式中limux1limvx 1［例1.6］求极限lim x x(四)无穷小的比较【板书】无穷小量的比较：在自变量同一变化过程下(x

(x)高阶：若

0，记为(x[低阶：若

同阶：若

C0,记为(xO[特别地，若C1，称x),x是等价无穷小，记为(x无穷小量的阶:若

[

C0，称x(xkxx0，

0,［1.11］fx

1cos

sin(t2)dt,g(x)

x5

，则x0fxgx（ ［1.12］x0exax2bx1)x2高阶的无穷小，则（（Ａ）a1,b2（Ｃ）a1,b2

（Ｂ）a1,b（Ｄ）a1,b【例1.13】把 时的无穷小量xcost2【例1.13】把

,,

,, xcost

2

,【解析】法一：limlim cos lim1x000tanx0sin

2xtan

2x x0

lim4xx0

xcost

x012

2

x limlim cos x0 0

xsin x012

x所以正确的排列次序是,,.选法二：x0,cosx21,2xtanx∼2x2, 2(一)连续x

f(x)f(x0x

f(x0xf(x00fxx00x0

f(x)f(x0fxx00x0

f(x)f(x0f(xx0f(x连续fx［1.14］fx

(cosx)x2,x

在x0连续，则a x（二）间断点右极限的间断点.

xx0f(x)xx0fx1.15f(x

sinxf(x的间断点，并判断其类型lnlnx2x0x1f(xlnx2limf(x)lnx2

ln

x x

x0x

x0则x0为可去间断点

x1lnx2limlnx2x x

sinxlimlnxsinxlimx1sinxx2x2

xx1 sinxlimln(x)sinxlimx1sinx1

lnx2lnx2

x xx1

x

x2

x12x

1 x 三、数列极限 【板书】若存在N，当nN时，ynxnzn，且limynlimzn limxan2单调有界准则；【板书】an单调，且有界，则limana存在 k1 i 当f(x)连续时，有 f fxdx 4xnf(n，则limxnlimf(nlimf 【1.17】设数列xn满足0x1xn1sinxn(n1nn nxn(2)1【解析】（1）由0x1xn1sinxn可知，0xn1sinxnxn，即xn是单调asinaa0，从而limxnxn1

sinxn

sinx（2）lim x2lim x2.为此我们考虑lim 2nxn n x0

sin

sinxxsinxx sinxsinx

lim

1

lim x0 x0

ex0 x

e6

故limn1ne6nxn【练习】求极限 (,1［1.20］（I）xx2xn1n1(,12（II)记（I）x，证明limx存在，并求此极限 n第二讲一元函数微【课程导入】【展示主要内容和频率统计】应一、概念1．导数定义：f(x

f(x0x)f(x0

=

f(x)f(x0；

x

x【授课思路】讲解导数的一般等价定义(或其它的变化形式)，强调无穷小量(x)必须是括0和0两种趋势，如果只有一种趋势，只是相应的单侧导数f'(x f[x0(x)]f(x0) f[x0f'(x [x(x)] [x(h)] f(x)limf(x0x)f(x0) f(x)limf(x0x)f(x0) 左右导数都存在且相等．2．微分定义【板书】若yf(x0xf(x0Ax(xf(xx0 x

f(x0)xf(x0)dx．dyf(x)dxf(x0ktanyf(x上的点(x0y0yy0f(x0)(xx00 法线方程：yy (xx)(f(x)0)0 f(x0【例2．1】设f(x)在x0的邻域内有定义,且f00,则f(x)在x0可导的充分必要条件为( lim1f2hfh存在 (B)limf(1cosh)存在h0h h0ln2(1(C)lim1f1eh存在 (D)lim1fhtanh存在h0f'(x

h00 f[x(h)]f0 自变量不能随着hf(x0.在具体的求解中需要用到等价无)h0

1,x

，那么lim

f2hfh00,xf(xx0点不连续，当然不可导

h0h limf(1cosh)limf(1cosh)1limf(1cosh)h0ln2(1 2 1cos(h1cosh00点的右导数存在，错误lim1f1ehlimf1eh存在,(h1eh00，正确h01

1 fhtan hfhtanlim fhtanh=lim()

=lim(

h0

h 3

htan

fhtanhtan选择f(xxx点可导limf(x0xf(x0xf(x limf(x0xf(x0x)

f(xx

点可导

xarctan1,xx【2.2fxx0,x

则fx在x0处 不连续连续，但不可导可导fxx0处不连续可导fxx0处连续xarctanx推导，先验证函数在xarctanxx【解析】f0 f(x)x【解析】f0 f(x)f x f0limarctan1limarctan1;f0limarctan1 fxx0f02arctan1 ,x 1

fx x limf(x)lim 2 22arctan1

,x

x0 1 1limf(x)limarctan1 ;limf(x)limf(x) x0 1x2 2 fxx0处连续f1sinx3f1sinx8xx，其中xx0x高阶的无穷fxx1处可导，求曲yfx在6,f6处的切线方程（1）fxtanx1)(tanx2)"x100100)f1 （2）fxabxabx，其中xxa处可导f0【例2.5】函数fxx2x2|x3x|不可导点的个数是 yxaxayxaxaxa点可导【解析fxx2x2|x3x|x2x1xx

x选择【评注yxakxak0yxa点可导xcosx,x［例2.6］设fx

，其中x具有二阶 x01,00确定afxx0fxx0处的连续性f(xy)exfyeyf(x),f(0)ef(xxy0f(0)2f(0)f(0)0，f(x)

f(xx)f(x)

exf(x)exf(x)f

lim

f(0x)f

exf

f(0)

f(x

(x)

f

ex1f(xedx(Cex1edxdxex(Cexf(00f(x)xex1f(xf(x的关系式二、计算(自恋型)复合函数的求导法则：设u(xyf(u)在对应的uxyf[(xxf[(x)]}f(u) 即dydydu du dyyf(u),u(x),即yux，那

dudx

f[(x的含义，与f[(x)]df[(x区别［2.9］Fxsinx21ftsinx2dtdF 1d y

, y (y)3【授课思路】推导出来反函数的求导【加例】xyyfx的反函数fx可导fxex2x1f0331

d2［2.10］yy(xy

1所确

|x0的值已知条件x的值，解出相对应的y值，再解出相应的一阶导数值，最后把这两个值都代入二阶［2.11］yy(x

dx

的值x x

解，而隐函数求导数、法则、分部积分法等中往往都可以出现求导数.(四)由参数方程所确定的函数的导数(数一、二yyy(x是由参数方程x(tty 1、若(t)和(t都可导，且(t)0dy 2、若(t)和(t二阶可导，且(t)0 (t)(t)(t)x

dx

3 d2 【板书】y ,(t)yy(x), h(t), 2 y xxcost22

dyd2 2

dx在t 的值u tcostu

1 cos［2.13］由方程组

0a1yx的函

d2ydx2【板书】(一)单调性若在[abf(x)0(0),f(x在[ab上单调递增(减xIf(x0,f(x0f(xxI（二）极值与最值极DxU(x0,f(x)f(x0f(xf(x0f(xxx0xx0f(x00(驻点f(xx0连续,f(xx0两侧变号,f(xx0f(x00,f(x00,f(x)x0处取得极值，且f(x00,f(x0)为极小值；最

f(x0f(x在[ab（三）曲线的凹凸性与拐点凹凸(2）If(x0(0),yf(xI上是凹(凸)拐定义：连续曲线凹凸性发生改变的点(x0f(x0称为拐点拐点的必要条件：若(x0,f(x0f(xf(x0f(x00拐点的第一充分条件:f(xxx0两端异号,则(x0,f(x0点．拐点的第二充分条件:f(x00,f(x00,则(x0,f(x0为拐（四）渐近线【板书】1．水平渐近线若limf(x)Alimf(xAlimf(xA),yA垂直渐近

f(x)

f(x,xayf(x斜渐近线若

fx

a0,limf(xaxb

fx

a0,limf(xaxbyaxbyf(x［例2.14］设fx在二阶连续导数且f00，limfx1，则 f0不是fx的极值0,f0也不是曲yfxf0fx的极小0,f0是曲线的拐点f0fx的极大【2.15】f(xxa处连续，又

fx

1，则 xafxxafx(a,f(ayf(xxafx(a,f(ay

f(xfxxa处连续，可知limf(x据lim(xa0f(a0xaf(x的驻点

f(a，而

f(x)1xlimf(x)f(a)

f(a)10,xa是fx)的极大值点，而(a,f(a))

xyf(x的拐点【加例】f(t连续,f(t)0,f(t)a

f(t.F(x)a|xt|fyFx在[aa

axFxf(aa21,f(t

xx

x2x1(x1)(x2)

x【解析】由于lim x

x2x1(x1)(x2)

0,y0x lim x

x2x1(x1)(x

x0 limlim

ex

x （不存在x x (x1)(x四、理（一）闭区间连续函数的性质f(x)在[abf(x在[ab上可取到介于它在[abfx在[abf(af(b)0,则必(abf()0xa

f(a)xb

则必(abf()0(二)尔定fx)在[ab连续,在(ab内可导，且f(a)f(b,那么至少ab)f()0【授课思路】利用PPT展示定理的内容，解释尔定理的几何意义，说明尔定理可命题(三)日中值定fx在[ab连续,在(ab可导,那么至少存在一个abf(b)f(a)f()b【加例】0b1，为函数f(x)arcsinx在区间[0,b]上应用日中值定理得到 b03【解析 3推论Ⅰf(x0x[abf(x)Cx[ab推论Ⅱf(x)g(xx[abf(x)g(xCx[ab【授课思路】利用PPT展示定理的内容，解释日定理的几何意义，说明日中(四)中值定f(xg(x在[ab上连续,在(abg(x)0ab

f(b)f(a)g(b)

.g(（五)积分中值定理f(x在[a,babf(xdxf()(baabbaf(x)db(b

f(x在[a,b【板书】方法提示：对f(x)或f(x)使用尔定理(abGf(),f(),"0(1)将xG[x,f(x),f(x0恒等变形,积分,F[x,f(xC(2)f(xP(xf(x0,F(x经验常用的凑的形式，如exf(xf(x)exf(x)xk1xf(xkf(x)xkf(x)xf(xf(x)f(x等

f(x)eP(x)dx12.20】f(x在区间[0,1上连续，在(0,1f(1)33e1x2f(x)dx0证明存在(0,1)，使得f()2f(原函数，这个式子并不是直接能凑成某一个函数的导数的，这样同乘以某一个函数之后□f(x)2x,f(x)ex2，容易 出来ex2f(x2xex2f(x)ex2f(x)，如果把它辅助函数并不能做出来，还需要去验证) 才凑的形式很相似，如果同乘以e1x2，可以凑成e1x2f(x2xe1x2f(xe1x2f(x) F(xe1x2f(x F(xe1xf(xf(1)33e1xf(x)dx0 1

f(1)33

f(x)dx

f(F(F(1f(1显然，F(x)在区间[,1]上连续，在(,1)上可导，由尔定理可知：(,1)，使F(0F(xe1x2f(x2xe1x2f(xe1x2f(x2xf(x)，故存在(0,1)，使得f()2f(.【评注】其它构造辅助函数的方法：（1）利用 验法，被积函数往往就是辅助函数F(x)f(x)e1x2.【例2.21】设函数fx在区间0,1上连续，在0,1内可导2f0f10,f12 试证：（1）1,1f （2）对任意实数，必存在0,，使得ff用尔定理.本题中没有出现其原函数F(x)的函数值的情况，利用零点定理.(2)利用(1)的结论，已知条件还没有用到f(0)，选择尔定理证明，先化简f1f0，转化为fx1fxx，容易看出辅助函数【解析】（1）F(xf(xxF1f1110F(1)f(1)110 由零点定理知2

f()（2）令(x)f(xx)ex(0)0，()0，由尔定理知:(0,)，使()0，从而有f(1]f(0,f(f(1.证明存在两个点,ab，使得Gf(),f(),"(1)证明在(a,b)内存在,满足某种关系式题的程序在欲证的等式中，将和分离开来，即把包含的函数和包含的函数分别放在等式的选择等式的一端应用一次中值定理或介值定理得到理或介值定理得到(2)证明在(a,b)内存在,且满足某种关系式题关键是通过零点定理、介值定理或其他条件，找出符合题意的分界点cab)在(ac和(cb【2.22fx在[0,1上连续，在(0,1f(0)0,f(1)1a和b至少存在一点c0,1，使f(c)在(0,1)内必存在，使

b

.abf(

ff(xf(x利用介值定理(Ⅱ)两个中值，一般是对同一个函数在两个不同区间上利用两次中值定理，通过恒等 f(0)0

a

1f由介值定理知c0,1)f(caaf(c)f(0)cf(1)f(c)1

f

(0,从而有 cc(ab)1f

f 11f

(1c)(aba a

abf【板书】方法提示： 日中值定理；【2.23】若函数(x具有二阶导数，且满足(2)(1)，(2)3(x)dx2在一点(1,3)，使得(3【分析】已知条件中出现函数(x)在1,2点的函数值的大小关系，且(2) (x)dx，23据积分中值定理(2)2(x)dx()，分别在两个区间上利用 33【解析】由(22(x)dx()(23)，对函数(x)分别在[12和[2,上利用12),(2,，有((2)(1)0，3 2()()(2)0，再对函数(x)在区间[,]上利 日中值定理可得 (,，有((2(1)0 (六 定

2f(xI上(n1)x0I，那么xI,至少存在一个f(x f(n)(xf(x)f(x)f(x)(xx) 0(xx)2" 0(xx)nR

f(n1)((n

(xx0

n

x0x之间5.证明存在f(n(k0【2.24fx在[ab上连续，在(ab内二阶连续可导，则至少存在一点a (b(a,b)，使得f(b)2f )f(a)

f()【解析】函数f(x)的ab ab ab af(x)f f2x

2

，x2 ab ab ab f() ab af(a)f f a 1a ab ab ab f() ab af(b)f f b 2b ，2介于b和 f(a)

f(b)2

ab(ba)2

f

f (2) a (b故至少存在一点(a,b)，使得f(b)2f )f(a)

f()【加例】f(x在[0,1上具有二阶导数，且fxa,fxb,c是(0,1内任一点，fc2ab2 3.日中值定理【例2.17】证明：当x0时，ln11 x【解析】令t1，欲证ln1t x

ln1tt01141 32设f(t) ln(1t)t(t0)，那么f(t) 1,f(t)1141 32当t0f(tf(0)0f(t在t0f(tf(0)044【2.18】设eabe2ln2bln2aba【分析】欲证ln2bln2a4，通过左端构造f(x)ln2x，区间[a,b]，利 b 【解析】令f(x)ln2x，显然在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由日中值定理ab

ln2bln2ab

f()

2ln

g(x)

，那么当xeg(x1lnx0g(xxe上单调减少，那么ee2 2ln 2ln ln2bln2 故 ，即ln2bln2a ba. b （八）方程根个数的讨论零点定(2)尔定理［2.19］就kyx2cosxyxsinxk的交点个数第三讲一元函数积一、概念（一）不定积分的概念原函数F(xf(xxIF(xf(x的一个原函数,F(xCf(x的原函数（其中C为任意常数）,且f(x)的任意两个原函数只差一个常数.不定积分I上,f(xf(xI不定积分,记作f(x)dxF(xf(xI上的一个原函数,F(xCf(x的不定积分,f(x)dxF(x)C【例3.1】若f(x)的导函数是excosx,则f(x)的一个原函数为 （A）excos（C）excos（二）定积分的概念及性质

exsinxexsin k可积性（一切能碰到的函数都可积f(xb定积分af(x)dxyb

f(xxa，xbx【授课思路】上老师要画图解释一下,分两种类型：f(x)0和f(x)0afxdxbfxdx.（可以不用讲 aafxdx0.（可以不用讲 ak1f1xk2f2xdxk1af1xdxk2af2xdx.（可以不用讲bfxdxcfxdxbfxdxcab（可以不用讲 abmfxMaxb,则（可以不用讲bmbaafxdxMbb 不等式：1)若当axb时,f(xg(x),则af(xdxag(xd 2)af(x)dxa|f(x)|d ,f(x)faf(x)dx20f(x)dx,f(x)f f(xT)f(xa

f(x)dx

f(x)dx 2f(x)dx2【3.4M

sin1

xdx,N

x

P2

x2sin3xcos4xdx,则有 （A）NPM.（B）MPN.（C）NMP.（D）PMsinxcos4x是奇函数,N

sin3xcos4xdx=2cos4xdx0 P

x2sin3xcos4xdx2cos4xdx PMN.选 2x 1f(x)dxx2ln(x 【3.1(2)f(xx

1

f(x(三)反常积无限区间反常积分

f

f(x)dx b Fxfx,

f(x)dxlimFbFaF

abb(2)Fxfx,

fxdxFxb若a f(x)dx和f(x)dx都收敛,则称f(x)dx收敛.设Fxfx,则fxdxFx．

dxP1P1时发散(a0)

ex2dx 函数的反常积分 f(x在(abaf(xaf(x)dxlimaf(x设Fxf bfxdxFblimFxFxb f(x在[abbf(xFxfbfxdxlimFxFaFxb f(x在[ac(cbc(abf(x的瑕点af(x)dxcf(x)dxb称af(x)dxb af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

a(x

dxP1P1（一）不定积分若f(uduF(uC则f[(x)](xdxF[(xCfaxnbxn1dx

faxnbdaxn

a0,nfsinxcosxdxfsinxdsinxflnxdxflnxdlnxxfx 2fxdxxfcosxsinxdxfcosxdcos(6)f1dx f1d1 f(x)dxx(t)f注：(1)

(t)](t)dtF(t)CF[1(x)]Ca2xxasin a2a2xxatana2x x2axasecxtax2幂代换t udvuvvdudxsinaxdcosarcsinarctanekxsin(axb)dx，ekxcos(axb)dxu(x)，dv(x)可任意选取【例3.6】求下列不arctan （1） e2 【分析】(1)被积函数中含有arctanex,考虑分部积分法【解析】(1)原式1arctanex212 e= 2

arctane21e2x2 = 2

arctane2e2x(1e2x=1[e2xarctanexexarctanex]2（2）xtantdxsec2tdtcos 原式1sin2t1sin2tarctan(sint)Carctan C （二）定积分的计算1.f(x在[ab连续,F(x)f(xx[ab],baf(x)dxF(b)Fb设fxab上连续,若变量替xt(1)t,,)上连续(2)abtatbfbfxdxttf 设ux,vx在a,b buxvxdxuxvxbb buxdvxuxvxbba

n1n31 2sinnxdx2cosnxdx n 2 n1n32 n x【例3．3】函数Fxx2esintsintdt x为正 （D）不是常数 利用函数的周期性得 【解析F(xesin(x2sin(x2exsinxF(x)c也可由esintsint2 F(x) x2esintsintdt 2esintsintdt 又F(0) 2esintsint0=2esintdcos0=esintcost22esintcos2t =2esintcos2tdt0,选0

1e2x

x 令（2）含根式,令x=t,再用分部积分法2【解析】令1e2x=ux1ln1u22原式

2du uu

du 1 ln2 30x（2）x

1t

01 x xdx02tcostdt2tsint004tsin4tcostcostdt4 3［3.8］1|xx2|dx3（三）反常积分 sin3xsin5xdx

sin2xcosxdx2sin250

01d 1 1dxarctanxdx 2 b若mfxM，则mbaafxdxMbab 【【例3.10】计xe(1exdx0 xe 【解析】0(1ex)2dx (1ex)2dx0xd1

e0 0

1ex

1ex

1exdxlnx积分上限函数F(xaf(tdxxf(x)在[ab上可积,则af(tdt在[a,bxf(x)在[a,b上连续,则af(tdt在[a,bx(xf(t)dt)fa(注：(1) f(t)dt,则(x)f[(x)](x)f[(x)] (设(x) f(t)g(x)dt,(

((x)(

f(t)dt]

f(t)dtg(x)f设(x) f(xt)dt,令xtx奇偶性：1）f(x为奇函数,则0f(t)dtx2）f(x为偶函数,则0f(t)dtx【例3.5】设fx为连续函数,Fx是fx的原函数,则 当fx是奇函数时,Fx必为偶函数；当fx是偶函数时,Fx必为奇函数；当fx是周期函数时,Fx当fx是单调增函数时,Fx【解析】方法fx)cosx,F(x)sinx3f(x)的原函数,f(x是偶函数,Fx不是奇函数.B.(C)fxcosx1,F(xsinxxfx的原函数,fx)是周期函数,Fx不是周期函数.故不选C.(D)令f(x)xF(x)1x22

fx)的原函数虽然f(x)是单调递增函数但是Fx在整个定义域内不是单调递增函数.故不选D.所以,通过排除法,答案应选设fx)是奇函数则fx)中至少有一个原函数Fx是偶函数如变限积分函数xxxsin 3.9fx0tdt,0fxdxfxxsintdtfxsinx,对于fxdx用分部积分法计算0 解法1

f(x)dx=xf(x)

xsin 0sintdtxsin0 =0sinxdx

20f(x)dx0f(x)d(x(x)f(x)(x)sin =0sinxdx xsin30f(x)dx0dx0tdtsintdxsinxdx t 定积分等式与不等式的证明baf(x)dxbx,b【例3.11fxgx在区间aaa0上连续gx为偶函数,fx满足fxfxA（A为常数 （1）证明afxgxdxA0gxdx （2）能利用（1）的结论计算2

sinxarctanexdx（2）利用（1）的结论,gxsinx,f(xarctanex,fxfxA即可 【解（1）afxgxdxaf(x)gxdx0f(x)g u 又af(x)g(x)dxaf(u)g(u)du0f(u)g(u)du0f所以aafxgxdxaf(x)gxdxaf(x)gxdxaf(xf(x)g aA0gxdxa

（2）取a ，g(x)sinx是偶函数.取f(x)arctan2

,x

2因为arctanexarctanex

1e2

e1e2

0所以arctanexarctanex x0arctanearctane2 2sinxarctanexdx 2sinxdx2sinxdx2

2 2 【3.12】设函Sx0xcostdtn为正整数,nxn1时,2nSx2n1

S.x被积函数大于cosx0,nxn1), 0cosxdx

cosxdx

cosx cosx具有周期,在长度为 cosxdx0cosxdx 从 0cosxdx0cosxdxcosxdx"(n1)cosx cosxdxn(2cosxdxcosxdx)n(sinx2sinx) 2cos0x

2(n所以2n

cosxdx2(n12nS(x2(n（2）由(1)有对nxn1) S 2(nn取极限

(n

2(11 2,lim2(n1) n由定理,

n(n n(11n

limS(x)2

4tannxdx,n1（1）证明anan2n1n11

2(n1)

2(nn求极限limann

4(tannxtann2x)dx 4tann2x(tan2x1)dx

n（2）由于数列{an}2aa 1,a n 2(n 2ananan2n12(n1)an2(n1)（3）极限liman a20【例3.14】设fx在0,a上连续,且f00.证明：fxdx 0M

ff(x)f(0)f()x,(0f(00,f(xf()x,Mmax|f(x0所 |f(x)||f()|xMx将两边从0ax的定积分有 0|f(x)|dxM0xdx 由定积分的基本性质可知|0f(x)dx|0|f(x)|dx - -xf(t)dt0从 |f(x)|x|f(t)|dt0

f(x)f(0)f af(x)dxaf(x)d(xa)[f(x)(xa)]aa(ax)f [f(a)(aa)f(0)(0a)]a(ax)f(x)dxa(ax)f 所 af(x)dx a(ax)f(x)dxa(ax)f(x)dxMa(a Max x2

［3.15］fx在区间aaa0上具有二阶连续导数，f00写出fx的 日余项的一阶麦克劳 证明：在a,a上至少存在一点，使a3f fxdx四、定积分的应用（一）几何应用的最好给学生推导一下，后面的弧长、侧面积等可以直接给.讲解过程中,要配上图形.平面图形的面积1)xaxbyy1xyy2x,bAay2(x)y1(x)dxb2）ycydxx1yxx2y,dAcx2(y)x1(y)dydxx(x(ox xryr

A1r2()d2）由,rr1(rr2),r1(r2所围成的图形的面A1[r2()r2()]d2 yryrr2orr1(5- 体bb VaS(x)dxbb

bf2(x)dxa

Vy

axf(x)dx［例3.16］由曲线ylnx与两直线ye1x及y0围成平面图形的面积S 【例3.17】下列可表示双纽线x2y22x2y2围成平面区域的面积是 （A）24cos2d （B）44cos2d 1（C）2 cos2d 4cos22d 2象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程复杂而极坐标方程较为简单：r2cos2显然,在第一象限部分的变化范围是[041

4 4rd24cos22 应选【例3.18】曲线yxx12x与x轴所围成图形的面积可表为 0（A）2xx120 1xx12xdx