激光光学课件第二章节

第二章光学中的矩阵方法2.1变换矩阵ABCD定律2.2变换矩阵示例2.3几何光学中的矩阵方法2.4复杂光学系统的菲涅耳数和程函数2.5ABCD矩阵的分解2.6共轴球面腔的约束稳定性2.7光腔的本征方程微扰稳定性2.8多程反射室2.1变换矩阵

ABCD矩阵一、空间近轴光线的变换

图2.1.1空间近轴光线的传输

如图2.1.1所示，空间光线经过任意光学系统变换后的位置和方向用四个量表示。对近轴光线，

都很小，选择适当的坐标系可以使这种变化是线性的，于是可以用一个4Χ4的变换矩阵表示为：（2.1.1）式2.2.1是用几何方法研究空间近轴光线变化的基本方程，变化矩阵一般是4Χ4的，但对于轴对称光学系统，和

经历的变化相同，只需要一个2Χ2矩阵（称为轴对称光学系统的变化矩阵或者ABCD矩阵）如2.1.2来描述这一变化：（2.1.2）（2.1.3）即（2.1.4）式中式（2.1.3），（2.1.4）或（2.1.5）都是近轴光线ABCD定律的数学表示式。对于近轴球面波，曲率半径R等于可简写为

（2.1.5）（2.1.6）（2.1.7）由式（2.1.4）立即可得（2.1.8）或（2.1.9）式（2.1.8），（2.1.9）都称为球面波的ABCD定律。若光纤顺次通过变换矩阵为的光学系统，利用矩阵乘法规则得到（2.1.10）式中（2.1.11）简写为（2.1.12）式（2.1.10）又可写为（2.1.13）二、符号规则（1）对x（光线离轴距离）、θ（光线与光轴夹角）正负号规定如图2.1.2，即光轴上方为正，下方为负，光线出射方向指向光轴上方为正，指向下方为负。图2.1.2x、符号法则示意图（2）反射面曲率半径ρ，对凸面反射镜ρ<0，对凹面反射镜ρ>0.（3）反射面曲率半径ρ，对凸折射面ρ<0，对凹折射面ρ>0.（4）球面波波面曲率半径R，对发散球面波R>0,会聚球面波R<0.（5）光学元件和系统的长度量，如光学系统的基点（基面）位置，物距和像距等，情况比较复杂，将在后面结合具体问题说明。（6）公式中文字符号均表示代数量。

注意：对公式中物理量的正负号或数值运算结果出现正负号问题最好除使用确定的符号规则外，还应当从物理角度加以分析和取舍，才能得出正确的结果。三、变换矩阵的基本性质1.detMABCD矩阵一个重要性质是它的行列式之值detM仅由入射光线和出射光线所在空间折射率决定，即

当入射光线和出射光线位于折射率相同空间时（2.1.14）（2.1.15）2.ABCD矩阵的反向变换矩阵和逆矩阵若规定由左向右光线传输方向为正，当光线由右向左即反向传输时有（2.1.16）式中为的逆矩阵，由矩阵代数知（2.1.17）将式（2.1.17）代入（2.1.16），得到（2.1.18）式中反向变换矩阵为（2.1.19）讨论：（1）detM=1时（2.1.20）（2.1.21）（2）折射率突变平界面由表2.2.1知（2.1.22）则（2.1.23）（2.1.24）四、归一化变换矩阵空间光线在横平面上的位置x，y和方向可用正则坐标、和正则动量、来描述：（2.1.25）式中n为介质折射率。在近轴近似下有（2.1.26）与式（2.1.1）、（2.1.3）相应的变换公式分别为（2.1.27）（2.1.28）且（2.1.29）式中（2.1.30）称为归一化变换矩阵。当入射空间和出射空间折射率和不相等时，使用归一化变换矩阵是比较方便的，证得式（2.1.2）和式（2.1.30）矩阵元间有关系：（2.1.31）第二章光学中的矩阵方法2.1变换矩阵ABCD定律2.2变换矩阵示例2.3几何光学中的矩阵方法2.4复杂光学系统的菲涅耳数和程函数2.5ABCD矩阵的分解2.6共轴球面腔的约束稳定性2.7光腔的本征方程微扰稳定性2.8多程反射室2.2

变换矩阵示例举例说明变换矩阵推导方法（1）光线通过距离

的自由空间（n=1）由图2.2.1可得：图2.2.1自由空间传输图2.2.2球面反射所以（2.2.1）（2.2.2）（2）球面反射如图2.2.2，设球面反射曲率半径为ρ，考虑球面上A点，由反射定律知入射光线与反射光线间有关系（2.2.3）故（2.2.4）因为焦距的薄透镜对近轴光线的折射与曲率半径为ρ凹面镜对同一近轴光线的反射室等效的，所不同的仅仅是传输方向而已，于是得到薄透镜对近轴光线的变换矩阵（2.2.5）（3）调关焦望派远镜佛系统由图2.顿2.位3，利烛用式榆（2.慈2.睬1）、房诚式（2.傲2.需5）（2.蜓2.猴6）式中（2.尽2.踏7）为望而远镜蚊系统炸的放材大镜信，（2.觉2.脊8）为望买远镜惭系统换的两仇透镜负间的罪距离张。（4）薄皇透镜宗序列（i）谢声尔威且斯特筛（Sy逗lv饥es嫁te旗r）定扯理设矩坡阵赵满带足则有（2.任2.食9）（2.桐2.讯10）式中（2.赴2.担11）（ii）薄缎透镜辉序列图2.串2.尖4薄透朽镜序怀列图2.似2.丸4中由m个焦视距为f，间陈隔均埋为L的薄妥透镜津组成书的序夹列，惹其中泥一个捷单程窑的变菠换矩闲阵为（2.栗2.零15）于是由谢怕尔威广斯特纺定理跟得到（2.鲁2.寺16）（2.怪2.血17）式中（2.途2.权18）第二赵章波光学吃中的穗矩阵震方法2.望1变换猾矩阵AB较CD定律2.沙2变换孟矩阵架示例2.石3几何短光学旨中的编矩阵怀方法2.赏4复杂店光学予系统掀的菲赌涅耳仙数和感程函肃数2.套5乡丰AB除CD矩阵酱的分退解2.剪6共轴杆球面绍腔的刑约束斥稳定棵性2.捏7光腔秧的本夸征方厉程抢微含扰稳祖定性2.树8多程隔反射怕室2.象3几何约光学茧中的火矩阵舌方法一、扯几何泡成像壤的AB插CD定律图2.摆3.伐1几何齐成像视系统兵的矩速阵表男示图2.楚3.慕1中，意参考原面高，设脱其变歌换矩援阵为宣，在临折射佣率令的览物空插间中与玩相坝距u的入朵射面录上的聋光线竿经辩该光形学系盘统变指换后凶，在卸折射贪率的像贺空间失中与啦相任距咱处对独应光为线矢梦量为剂，由插总的变换鱼矩阵朝为（2.背3.衬1）（2.腥3.盲2）式（2.掘3.若1）可伟称为迹几何纺成像族的特乒性矩筝阵，宜若B＝0，由竖式（2.且3.章2）知（2.裕3.锤3）这表险示在链物空帮间中姜入射申面上阴，怖在徒近轴减条件专下可绳取任免意值鸭的光藏线，被经该旷光学找系统陪变换召后，削在像纳空间税中会壤聚于艇出射盼面上客的同鼻一点糠处。堡显然畜，B＝0即为跟几何休光学扁意义齿下的升成像讲条件妥，此怠时入卫射面唇和出步射面健构成淘一对规物像渗共轭炉面，u和锄分巧别为爬物距肥和像袖距。在式碍（2.应3.貌1）中句令B＝0，得（2.烘3.息4）这即番几何困成像筝的AB遥CD定律登。二、哄三个边放大屠率公茄式和兔拉格段朗日—亥姆委霍兹采不变麦式1.角放葬大率在式佩（2.显3.眼2）中喊令C＝0，得（2.测3.劳5）按角旬放大客率池定算义，累有（2.讲3.伞6）2.横向堂放大膏率在式舞（2.米3.岗2）中位令B＝0，得（2.碎3.波7）由横涂向放道大率桐定验义，舍有（2.悠3.屑8）3.轴向想放大捎率轴向在放大饶率救通局常是每用导微数定两义的地，即（2.忽3.沃9）由式胃（2.票3.测2）和楼式（2.谅1.石14），踪蝶得（2.恳3.章10）4.拉格馆朗日—亥姆音霍兹址不变泄式由式防（2.偿3.步6）和朋式（2.朋3.难8）（2.逼3.无11）故（2.活3.络12）这即骄几何察光学魄中著伤名的相拉格谢朗日—亥姆础霍兹也不变肠式。三、侦高斯穴光学逼基本鸭参数避的变佳换矩半阵元封表示高斯脊光学直的基愉本参愁数为膊物像导空间剖中共储轭的宽焦点裹、主跃点和敲节点监（基帽点）圣，或拜其所莲在的宵平面答（基读面）犯，即求焦面举、主奔面和刃节面楚，它染们都姜可用孤变换乌矩阵咬元的始形式共简单果表示轰出来气。1、角顽放大机率在式固（2.男3.筛2）中逃令D＝0，得（2.辛3.荡13）说明图物空系间入鄙射面福上蚂，宅取箱任意蛋值的庙近轴菠光线民，经钞变换照矩阵的光抬学系苹统后侨，在醒像空挠间出掩射面扫上成淹为平移行光嫩线。掘显然失，这钩时入窃射面斩为物腾方焦雪面。以排为末参考罗，物畜方焦范面位净置为（2.缎3.布14）在式存（2.妹3.薯2）中说令A=前0，得（2.塑3.叔15）类似逗的推虹理得族知，遭这时楼出射插面为炎像方监焦面狐，以奴为刑参考老，像语方焦越面位职置为（2.厚3.佣16）2、主益面主面著为横鼠向放莫大率圣的箭平面绣（艇称智主面缝、耍常岭称为爆反主垄面。丙对主违面“+”号提常略绵去纤），招由式灶（2.画3.衫1）知换，应刷有（2.愁3.娱17）由此星得物关、物坝方主矛面位烛置（困分别践以顾为圣参考轻）（2.粗3.栏18）3、节桌面节面蛾定义条为角渗放大慨率打的茶平面欺（疏常突称为励反节钉面）课，应械有（2.阳3.通19）于是拨求得挥节面粥位置脉（分辉别以密为方参考慢）（2.地3.维20）4、焦碰距焦距饿是以船主面碰为参矿考计鞋算的尝，由冒式（2.勤3.躬14）、完式（2.荷3.裹16）和狼式（2.荣3.扮18）求笑得物亏、像邮方焦支距分稠别为（2.奇3.码21）图2.苍3.腰2变换订矩阵爪元（1）A=漠0；（2）B=比0；（3）C=岁0；（4）D=详0的物终理意组义四、何薄透端镜设焦具距为f