离散数学耿素云第3

1第6章特殊的图6.1二部图6.2欧拉图6.3哈密顿图6.4平面图26.1二部图

二部图完全二部图匹配极大匹配,最大匹配,完美匹配,完备匹配Hall定理

3二部图

定义设无向图G=<V,E>,若能将V划分成V1和V2(V1V2=V,V1V2=),使得G中的每条边的两个端点都一个属于V1,另一个属于V2,则称G为二部图,记为<V1,V2,E>,称V1和V2为互补顶点子集.又若G是简单图,且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻,则称G为完全二部图,记为Kr,s,其中r=|V1|,s=|V2|.

注意:n阶零图为二部图.4二部图(续)

例下述各图是否是二部图?

定理无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈

不是5匹配

设G=<V,E>,匹配(边独立集):任2条边均不相邻的边子集极大匹配:添加任一条边后都不再是匹配的匹配最大匹配:边数最多的匹配匹配数:最大匹配中的边数,记为1

例极大匹配最大匹配

1=36匹配(续)设M为G中一个匹配vi与vj被M匹配:(vi,vj)Mv为M饱和点:M中有边与v关联v为M非饱和点:M中没有边与v关联M为完美匹配:G的每个顶点都是M饱和点例关于M1,a,b,e,d是饱和点

f,c是非饱和点

M1不是完美匹配

M2是完美匹配M1M27二部图中的匹配

定义设G=<V1,V2,E>为二部图,|V1||V2|,M是G中最大匹配,若V1中顶点全是M饱和点,则称M为G中V1到V2的完备匹配.当|V1|=|V2|时,完备匹配变成完美匹配.例完备,不完美不完备完美8Hall定理

定理(Hall定理)设二部图G=<V1,V2,E>中，|V1||V2|.G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k个顶点至少与V2中的k个顶点相邻(k=1,2,…,|V1|).相异性条件由Hall定理,上一页第2个图没有完备匹配.定理

设二部图G=<V1,V2,E>中,如果存在t1,使得V1中每个顶点至少关联t条边,而V2中每个顶点至多关联t条边，则G中存在V1到V2的完备匹配.t条件证

V1中任意k个顶点至少关联kt条边,这kt条边至少关联V2中的k个顶点,即V1中任意k个顶点至少邻接V2中的k个顶点.由Hall定理,G中存在V1到V2的完备匹配.9一个应用实例例某课题组要从a,b,c,d,e5人中派3人分别到上海、广州、香港去开会.已知a只想去上海，b只想去广州，c,d,e都表示想去广州或香港.问该课题组在满足个人要求的条件下，共有几种派遣方案？解令G=<V1,V2,E>,其中V1={s,g,x},V2={a,b,c,d,e},

E={(u,v)|uV1,vV2,v想去u},其中s,g,x分别表示上海、广州和香港.G满足相异性条件，红边是一个完备匹配,对应的派遣方案:a上海,b广州,d香港106.2欧拉图欧拉通路与欧拉回路存在欧拉通路和欧拉回路的充分必要条件11哥尼斯堡七桥问题

要求边不重复地一笔画出整个图12欧拉图

欧拉通路:图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路.欧拉回路:图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路.欧拉图:有欧拉回路的图.半欧拉图:有欧拉通路回路,但无欧拉回路的图.几点说明：上述定义对无向图和有向图都适用.规定平凡图为欧拉图.欧拉通路是简单通路,欧拉回路是简单回路.环不影响图的欧拉性.13欧拉图实例例是否是欧拉图或半欧拉图?欧拉图欧拉图半欧拉图半欧拉图不是不是14欧拉图的判别法

定理无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点.G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点.定理有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的入度都等于出度.D是半欧拉图当且仅当D连通且恰有两个奇度顶点,其中一个入度比出度大1,另一个出度比入度大1,其余顶点的入度等于出度.15实例例1哥尼斯堡七桥问题4个奇度顶点,不存在

欧拉通路,更不存在欧拉回路,例2下面两个图都是欧拉图.从A点出发,如何一次成功地走出一条欧拉回路来？应用厅实例例设旋庙转磁才鼓分打成8个扇领区,每个滔扇区宾标记视一个0或1,有3个探漠测器护能够晶读出等连续缓的3个扇颜区的响标记.如何罗赋给脱扇区凳标记,使得横能够挑根据命探测瓦器的祝读数话确定工磁鼓窑的位吊置.为了性能够仍根据错读数架确定承磁鼓捎的位熊置,必须仙构造丛一个休由8个0和1组成怪的圆析环,使得扔圆环伸上连址续3个数葬字的型序列率都不哨相同.16应用逗实例(续)构造苗一个4阶有担向图,恼8条边的标喷记是域不同徐的,图中付存在一条钓欧拉尸回路:0酸00里,划00挤1,边0凝11南,11牺1,持1帅10棒,休10痕1,福0猫10会,扫10胳0.在这条回见路上收连续3条边层的标岩记的第粘一位庭恰好核与第大一条饺边的标记谨相同.顺着往这条俩回路随取每一袄条边合标记岸的第们一位财得到00顿01馆11袖01新,按照临这个罢顺序筋标记磁鼓考的扇醒区.1700011011000001011010100101110111186.栽3哈密售顿图哈密蚕顿通椅路和绣哈密般顿回假路存在执哈密株顿通柏路和闸哈密都顿回露路的恐充分馋条件昆与必狗要条梯件格雷梁码19哈密努顿周舍游世景界问过题每个融顶点愤是一飞个城洁市,有20个城则市,要求蠢从一伯个城市仗出发,恰好岗经过挪每一姻个城筒市一多次,回到换出发点.20哈密瓦顿图渔的定看义哈密报顿通源路:经过义图中返所有搂顶点些一次李且仅佩一次情的通越路.哈密裹顿回省路:经过医图中没所有拜顶点惨一次蜂且仅欣一次怒的回圾路.哈密滥顿图:具有限哈密堤顿回索路的求图.半哈勿密顿讲图:具有动哈密盖顿通皇路而歪无哈遥密顿掏回路必的图.几点红说明勒：平凡撑图是渔哈密肃顿图.哈密扬顿通慈路是窑初级王通路崇，哈淋密顿惜回路茫是初草级回绳路.环与恋平行风边不覆影响闹图的幻玉哈密未顿性.21实例例处是否歌是哈柳密顿瞒图,半哈赖密顿罪图?哈密诞顿图哈密饥顿图半哈忧密顿阿图不是22无向柜哈密舟顿图录的一圈个必棒要条齐件定理设无催向图G=<V,E>是哈眨密顿窗图,则对嚼于任辈意V1V且V1乞,均有p(GV1)|V1|.证阶设C为G中一慎条哈绕密顿从回路,有p(CV1)|V1|.又因边为CG,故p(GV1)p(CV1)|V1|.几点饶说明定理振中的竭条件擦是哈生密顿西图的股必要符条件,但不馅是充库分条佣件.可利络用该层定理浩判断愈某些泄图不梦是哈邮密顿待图.由定幼理可质知,Kr,s当sr+1时不解是哈逝密顿鹿图.当r2时,Kr,r是哈非密顿饼图,而Kr,r+1是半总哈密催顿图.23实例例亦设G为n阶无劣向连窃通简悬单图,若G中有陕割点章或桥,则G不是盏哈密茶顿图.证(1浆)设v为割具点,则p(Gv)2>握|{v}|技=1持.根据功定理,G不是弃哈密巩顿图.(2药)若G是K2(K2有桥),它显绩然不踢是哈巧密顿橡图.除K2外,其他志的有糊桥连饭通图校均有丈割点.由(1鞭),得证G不是哈密袋顿图.24无向栽哈密馒顿图洪的一毅个充猴分条逆件定理设G是n阶无坦向简屑单图,若任苏意两订个不户相邻卖的顶点棵的度钻数之烈和大忧于等突于n1,则G中存睛在哈堂密顿忆通路.当n3时,若任啄意两电个不胸相邻抢的顶接点的抓度数旬之和大于骂等于n,则G中存横在哈小密顿妙回路.由定号理,当n3时,Kn均为淋哈密免顿图.定理益中的母条件缸是充胡分条泛件,但不没是必汉要条横件.例如,n(6)个顶钻点的滩路径碌存在丘哈密址顿通恨路,但不啦满足条索件.n(5)个顶游点的励圈是舌哈密症顿图,不满瓣足条狐件.25判断肢是否促是哈炼密顿苹图的可阴行方障法观察稻出一赏条哈筒密顿垫回路例如医右迹图(周游鸽世界滥问题)中红边给引出一韵条哈迷密顿锋回路,故它是哈风密顿寸图.满足羽充分春条件例如朴当n3时,Kn中任亮何两朗个不花同的正顶点u,v,均有d(u)+d(v)语=何2(n1)n,所以Kn为哈渡密顿间图.26判断滨是否认是哈趣密掉顿图的可右行方年法(续)例44国际威象棋运盘上悄的跳厨马问题:马是款否能臂恰好寻经过济每一似个方格真一次撞后回挠到原涛处?解存每个右方格播看作终一个婚顶点,卧2个顶点庆之间闸有边油当且答仅当刮马可堂以从一坊个方胸格跳顾到另与一个裙方格,得到16阶图G,如左哀图红菌边所挺示.取V1={a,b,c,d},则p(GV1)=促6剖>|V1|,见右遗图.由定漂理,图中椅无哈饰密顿渠回路,故问锡题无夕解.在88国际订象棋宰盘上,跳马现问题巡寿是否众有解?不满季足必筐要条撒件判断逮是否良为哈调密顿露图是NP完全电的27应用蛇实例例宗某次大国际城会议8人参瞎加，俊已知顷每人政至少漫与其悬余7人中样的4人有倾共同蛇语言悄，问参服务趴员能脏否将灰他们朵安排在强同一别张圆横桌就含座，汤使得桌每个悔人都喉能与栏两边者的人交冷谈？解点作无捡向图G=<V,E>,其中V={v|v为与矩会者}，E={缝(u,v)啦|u,vV,忌u与v有共读同语绵言,且uv}.G为简虫单图.根据塑条件,vV,d(v)4.于是填，u,vV,有d(u)+d(v)8.由定贤理可宝知G为哈控密顿离图.服务栽员在G中找播一条毅哈密臂顿回苍路C，按C中相漏邻关系安亮排座陕位即驴可.竞赛洋图竞赛汪图:任意稀两个蒜顶点杜之间浸恰好宽有一疗条有眉向边.在循掩环赛刺中,n个参微赛队妥中的罩任意两胆个队槐比赛绞一次,假设嫩没有平局,用有卧向图稠描述稳比赛塔结果:顶点县表示皇参赛梦队,抖A到B有一秤条边当森且仅算当A队胜B队.28ABCD竞赛娃图(续)定理在n(n≥2)阶有章向图D中,如果吵所有躺有向梁边均耻用无向边锡代替,所得豪无向备图中续含生货成子拌图Kn,则有唐向图D中存危在哈意密顿哑通路.根据沈定理,竞赛家图中腊一定辞有哈士密顿羡通路,当然恶也可纸能有哈概密顿扰回路.当没交有哈午密顿当回路服时,通常栗只有筛一条哈密京顿通艘路,这条细通路惯给出奥参赛颂队的丽惟一唇名次.例如,者CA狂BD是一昌条哈骆密顿冰通路,它没奇有哈瓜密顿粥回路,比赛牢结果傅是C第一,房诚A第二B,喘C第三,五D第四.29格雷故码(g孔ra埋y抱co姿de