曲线曲面表示

第九章曲线曲面表示曲线曲面的表示是计算机图形学的重要内容。它是描述物体外形、建立物体数学模型的有力工具。在计算机图形学中，曲线曲面都是采用分段或分片参数多项式的形式。采用分段参数方式有很多好处：曲线曲面形状不依赖坐标系的选取；有直观简便的人机交互手段；容易离散生成；造型灵活、易于拼接。本章介绍一些常用曲线曲面的算法和性质。显式、隐式和参数表示曲线（面）的显式表示：y=f(x)曲线（面）的隐式表示：f(x，y)=0曲线（面）的参数表示：x=x(t),y=y(t)显式表示特点：每一个x值只能对应一个y值；不能表示封闭或多值曲线，例如圆。隐式表示特点：可以表示封闭或多值曲线。非参数表示（显、隐）特点：与坐标轴相关；会出现斜率无穷大情况；非平面曲线（面）难以常系数函数表示；不便于计算和编程。参数表示点的每一个坐标都表示成参数变量的函数参数整个变化范围对应整条曲线，但往往只对某一部分感兴趣，通过规格化使参数的变化范围限制在[0，1]中。参数方程的优越性有更大的自由度来控制曲线（面）的形状。如一条二维三次曲线显性表示：y=ax3+bx2+cx+d，只有四个系数可用来控制曲线（面）形状，非参数方程表示的曲线（面）变换时必须对每个型值点进行变换；参数方程表示的曲线（面）变换时可直接对参数方程进行几何变换，节省计算量便于处理斜率为无穷大的问题，不会因此中断计算规格化参数变量变化范围为[0，1]，不必为参数定义边界易于用矢量和矩阵表达，简化了计算参数曲线定义一条三维曲线的参数形式：x=x(t),y=y(t),z=z(t),0≤t≤1曲线上任意一点可用矢量p(t)=[x(t),y(t),z(t)]表示。起始点在t=0处，即p(0)，终点p(1)在t=1处曲线上任意一点切矢量表示了曲线上该点的切线方向，可以表示曲线在该点处的走向。切矢量表示为：p’(t)=[x’(t),y’(t),z’(t)]。起始点t=0处切矢量，为p’(0)，p’(1)表示在终点t=1处切矢量。Bezier曲线在空间给定n+1个点P0,P1,…,Pn，称下列参数曲线为n次Bezier曲线：其中，Ji,n(t)是Bernstein基函数：称折线为P0P1…Pn为P(t)的控制多边形；称点P0,P1,…,Pn为P(t)的控制顶点。控制多边形P0P1…Pn为P(t)的大致形状的勾画，P(t)是对P0P1…Pn的逼近。（9-1）（9-2）Bezier曲线的性质(1)端点的位置 P0和Pn是曲线P(t)的两个端点。 由式(9-1),(9-2)可得：p(0)=P0,p(1)=Pn端点的切线 P(t)在起点处与P0P1相切，在终点处与Pn-1Pn相切P0PnP1Pn-1由式(9-1),(9-2)可得：P’(0)=n(P1-P0),p’(1)=n(Pn-Pn-1)Bezier曲线的性质(2)凸包性 P(t)位于控制顶点 P0,P1,…,Pn的凸包内几何不变性 曲线的形状仅由控制点的位置决定，与所选用的坐标系无关。交互能力 控制点的位置决定了曲线的形状，变换控制点位置，就可以改变曲线的形状。为人机交互确定曲线形状提供了手段。P0PnP1Pn-1Bezier曲线的拼接（1）一段Bezier曲线常常不足以表现复杂的曲线。为了构造复杂的曲线，常用曲线拼接的方法，即用一段段的曲线首尾相连起来。不同的问题在连接点对曲线连续性有不同的要求：零阶几何连续：首位连在一起即可。不光滑。一阶几何连续：在连接点处曲线方向相同。光滑，但变化趋势不同二阶几何连续：两段曲线在连接处，不仅光滑连接，曲率也相同。零阶几何连续一阶几何连续二阶几何连续Bezier曲线的拼接（2）设两段Bezier曲线P(t),Q(t)首尾相接零阶几何连续就是要求：P(1)=Q(0)。 由Bezier曲线的Q(0)=Q0,P(1)=Pn,所以要使两段两段Bezier实现零阶几何连续拼接，就要求Pn=Q0,即前一段曲线的最后一个控制点和后一段曲线的第一个控制点重合。Bezier曲线的拼接（3）一阶几何连续就是要求：P’(1)=Q’(0)。 由式(9-1),(9-2)可得： P’(1)=n(Pn-Pn-1),Q’(0)=m(Q1-Q0)Pn-1Pn(Q0)

Q1Pn-Pn-1Q1-Qn几何意义就是要求：Pn-1,Pn(Q0),Q1点在同一条直线上，且Pn-1,Q1分别在Pn(Q0)两边Bezier曲线的拼接（4）二阶几何连续就是要求：P”(1)=Q”(0)。 由式(9-1),(9-2)可得：

P”(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2)=n(n-1)(Pn-Pn-1+Pn-2-Pn-1)

Q”(0)=m(m-1)(Q2-2Q1+Q0)=m(m-1)(Q2-Q1+Q0-Q1)Pn-Pn-1Pn-2-Pn-1Q0-Q1Q2-Q1几何意义：除了对Pn-1,Pn(Q0),Q1控制点的位置有要求外，还对Pn-2,Q2控制点的位置有要求。它们的位置必须使两个红色的矢量相等Bezier曲线的生成(1)在实际应用Bezier曲线段绘制曲线时，常运用3次曲线，即n=3。这是因为：一次曲线是直线，二次曲线是抛物线，它们表现复杂曲线的变化能力稍差；而三次曲线在一个小的局部，足够了。次数太大，数学计算量大，且容易产生累积误差，影响精度。次数太大，一段曲线的控制点太多，不利于人机交互调整曲线形状。Bezier曲线的生成(2)下面来推导3次Bezier曲线的计算公式n=3由式（9-1），（9-2）可得：用矩阵表示如下：（9-3）（9-4）Bezier曲线的生成(3)P(t)是空间点，用坐标形式表示为[x(t),y(t),z(t)]由式（9-3）可知，实际坐标值可用下式分别计算：只要在[0,1]计算若干个t值，如t=0,0.1,0.2,…,1,求出相应的坐标，用直线将这些点连接起来，就构成了曲线。若要画二维曲线，只要计算[x(t),y(t)]。（9-5）P(t)的三个分量Be秒zi押er曲线递的手刻工生企成(1隶)Be阻zi枪er曲线盘上的搞点可弹以根泰据控购制点纯精确蚀得到P0P1P2P3P0’P1’P2’P0“P1“P0“’P0P1P2P3P0’P1’P2’P0“P1“P0“’Be降zi滩er曲线浓的手测工生旧成(2罚)P0”’是曲育线上业的点P(科1/们2)如果灿每次冲取得利不是爱中点活，而率是1/及3点，号最终阵得到锯的点当是P(旅1/所3)如果符每次哨取得断不是卧中点锈，而期是1/折n点，盒最终矮得到坦的点必是P(设1/博n)P0”’将一寨段曲蜂线分依成两躁段，芽每一毁段成欢为一挖段新寸的Be示zi焰er曲线六，其拥新的足控制欠点如粘图所滥示在新猎的Be焦zi舱er曲线淡上可区以继疯续精喝确取竖点P0P1P2P3P0’P1’P2’P0“P1“P0“’反算Be立zi喷er曲线膨控制右点给定n+秧1个型雪值点Qi(i=0什,1适,…法,n耻)，要发求构妹成的Be妄zi肯er曲线捉通过描这些衰点。取参丸数ti=i/哗n与Qi相对朵应根据董式9-狗1，Be延zi会er曲线六方程外为解n+序1个方蔽程，仍得到P0退,P1…土…Pn曲线馅控制街点Be地zi矿er曲线拼升阶增加斑控制杠点，格提高锅对曲光线的墨灵活胶控制累。升阶炕前后勒，曲绍线形兔状不教发生想变化毒。通过顾公式黄变换显，找棉出升胶阶前赠后控拿制点较之间唐的关技系。升阶响前：升阶拆后：两者聚曲线报相同茅：左式违乘以(t侮+(扮1-哄t)算)：Be崖zi残er曲线摊升阶比较酱两边芳同类吨项的透系数局得：化简洗得：例：蒙一段3次曲已线，鸟控制抖点为P0,P1,P2,P3，升盼阶为4次曲尿线控糠制点源为Q0,Q1,Q2,Q3,Q4，两罗者关毅系为Q0=P0，Q1=1讯/4辰P0+3敢/4遵P1，Q2=2昌/4抬P1+2施/4贯P2Q3=3费/4纤P2+1器/4淹P3，Q4=P3。Be栋zi沟er曲线茶升阶新的吉控制惠点是趁对老从的控烫制多牧边形黄在参堆数i/傻(n努+1恐)处进以行线林性插买值的谅结果升阶渔后的雕新控笨制多削边形欺在老蛮控制材多边骂形凸论包中升阶罗后的引新控茎制多菠边形奸比老井控制恐多边绸形更屠接近Be稀zi丑er曲线B样条刻曲线B样条酷曲线蒙定义止：设P1,P2,…浑,Pn(n>=跌k)为给走定空浅间的n个点俩，称很下列铃参数芦曲线为k阶或k-箱1次的糊样条钞曲线类。折搭线P1,P2,…腔,Pn为P(榴t)的控限制多禾边形絮，这n个点士为P(扫t)的控授制顶乐点。B样条纳曲线户定义垒式与Be语zi丧er曲线滩形式我类似狸，不菜同之帮处在虑于，嚼其基针函数铸由Be梨rn范st站ei扶n基函孟数变感成了B样条欣基函谎数Bi,握k(t亮)（9-题6）B样条选基函煤数B样条夕基函侍数是汽由参疾数k的递掉推关怠系所并定义索的其中吩，T=伤{ti},罗i苏=0报,尝±1拦,竟±2搜,…示…是对椅参数抬轴t的一怠个划冤分。如果宝划分移是等数距离躁的，植即对慕于任拆意i,转ti+胞1-ti=(交i+侧1)柜-i搬=1，形成级的是栽均匀B样条取曲线涌。我刮们只倚讨论驻均匀B样条震曲线0，其它ti-1titi+1B样条河基函潜数分虚析B样条是基函锻数是抽递推痰定义块：B样条维基函继数的哑次数兴：k=假1时，Bi,槽k(t闷)为常应数1,呢0次；k=字2时，Bi,沈k(t影)为1次；k=样3时，Bi,杯k(t惭)为二解次函零数；k=州4时，Bi,多k(t需)为三依次函舟数。B样条扁基函回数分巴析局部文性Bi,默1(t并)的定顷义域城为[ti,ti+物1)Bi,轨2(t阴)由两缘瑞段Bi,欢1(t乐)，Bi+妈1,搭1(t文)组成怖，定念义域慈为[ti,ti+恐1)闷∪轨[ti+喘1,ti+垃2)算=郑[ti,ti+劫2)Bi,基3(t呆)的定闯义域见为[ti,ti+怠3)Bi,且4(t校)的定扑义域锦为[ti,ti+回4)这意肿味着阀一个吓控制先点Pi对整由个曲青线的短影响浊只局炕限在k个分搂割区惑域[ti,ti+量k)中B样条在基函招数分童析反之拨，一榜段定婚义在江区间[ti,ti+华1)上的B样条次曲线Pi(t匠)只由k个控号制点义决定Pi-姓k,…伸,Pi-拉1,Pi,。整个B样条慎曲线股就是焦这样悼一段翼一段己绘制瓦完成维的只要传能解璃决一且段定离义在拣区间[ti,ti+稍1)上的B样条障曲线Pi(t钢)的绘神制就杠能绘羞制整应段曲歼线。Piti-1titi+1Pi-1Pi-2B样条雄曲线屯段的赤绘制以最记简单农的k=呢2情况界为例肥，说洁明如钩何由戒定义证式推直出曲失线段纵的计遵算公雨式：k=眯2，一段柔曲线Pi,警2(t阴)只有马两个辰控制矩点。谈由式朝（9-乓6）可淹得：其中因为B样条转曲线笨段的榆绘制所以同理在t2≦t<乖t3中因为段：ti=i令t俗’=闷t-历t20≦获t’殊<1在定晓义域荐范围张内B样条拌曲线口段的福绘制参数醉仍用t表示躬，可决得k=客2时：同样喇，k=丸3、4时可逆以得茶到第i段曲咬线的逗矩阵捷表示野：（9-顽7）（9-宴8）（9-杰9）B样条丑曲线馒段的歼绘制对于n个控解制点矛的构弯成的货整个k阶曲植线，填整个希曲线荒表示恶如下倒：整个损曲线楚共由n-柿k+担1个曲意线段吨组成林；第一姥个曲扶线段燥为疲，覆最后浓一个全曲线剃段为曲线膏段妙其形魂状由k个控笨制点Pi-免k+象1,Pi-庄k+嫁2,…怖,Pi的位雁置确饰定。只要政绘制梨出每获一个妥曲线团段，头就能蜡绘制谜出整禾个阶若曲线您。B样条皂曲线揉的性肠质以一含段3次曲厌线(k乌=4宣)为例你，说私明B样条汽曲线题的性筝质。P(傅t)的控赔制点魂为P1,P2,P3,P4。1、端点评：P(葡t)的起剪点为P(卖0)，终点选为P(闻1)。由式主（9-啊9）P(同0)轻=办1/沿6(兄P1+4链P2+P3)鼻,P蝇(1绸)贿=1挥/6件(P2+4兄P3+P4)先看窜起点隔，P(陶0)穿=遣P2+1体/3充(彩1/摩2(液P1+P3)敞-P2)一个教空间油点可唤以看高成是丝式一个渡空间傻矢量轮。以惑平面择上的票点和疾平面痒矢量煌为例涨，回圈顾矢逝量加轰减法B样条王曲线牵的性慢质OP3P1P2P2P2P3=P1+P2P1=P3-P2P4=1/2(P1+P2)P4P1P2P3P4点：½(P1+P3)红色矢量：½(P1+P3)-P2蓝色矢量：1/3(½(P1+P3)-P2)点：P2+1/3(½(P1+P3)-P2)P(0)P(1)B样条姜曲线详的性都质2、端北点的姻切线:P工’(搏0)，P’糠(1碍)我们途讨论书切线屯，只蚀是想垄了解吵曲线稠的方门向。甜由式请（9-择9）P’贼(0数)=盒1/掉2(禽P3-P1),僵P削’(隆1)误=1吵/2组(P4-P2),P(0)P(1)P1P2P3P4B样条竖曲线话的性午质3、凸兆包性拆：曲喊线段裁在控桂制点却所围浇成的气凸包颜内p1p2p3p44、连息续性苹：第胡一个屿曲线倡段的身控制挠点为P1纳,P典2,捏P3且,P事4,第二江个曲照线段疯的控窜制点斥为P2帽,P装3,聋P4肢,P看5,相邻榴的两招个曲蜓线段涛有三涌个共倘同的研控制题点。B样条杜曲线施的性所质决定劣第一歉段终播点的耽控制羡点与沟决定两第二获段起牢点的佳控制碑点完弓全一聋样。熟那么差，第颤一段户终点怨的位艇置和税方向师与第谈二段礼起点按的位订置和军方向圈完全谜一致备，因评此相形邻的属曲线潮段自饭动连突接。阳可以能证明然，曲秤线在胀连接瓣处具慢有k-术1阶连惊续。这是B样条题曲线糟优于Be锻zi鼻er曲线但的地杜方，腰即不店必为鞋了在肥连接庭处保猜持一兰定的衣平滑与度，西而处委心积裕虑地俩安排桶、调量整控半制点乒位置泼。它等能自宜动地陪平滑锅连接梅。三次He葛rm效it都e曲线一条胀三次义参数姜曲线虽的代炎数形犬式是总：P(心t)杏=a3t3+a2t2+a1t+年a0,抖t[0漠,1稠]四个灭系数a3、a2、a1、a0唯一总地确阴定了未曲线扬的形巴状和处位置嫂。四个别系数蒙需要来四个篇已知滑条件花来确苏定，印这种起根据矛四个垂已知菜条件坐来确妻定的树一条屈三次王参数券曲线杂称为览三次He默rm寄it厅e曲线原。（9-肥10）三次He众rm失it胜e曲线在实驻际应钳用中瞧，常每用的夕条件淹是：补两个而端点P(脾0)、P(怜1)和对幻玉应的毁切矢扰量P’嫩(0火)、P’卵(1姑)。另一醉个常狗用的旺条件挡是：宅曲线替上均辞匀分昆布的脚四个熄点P(驳0)、P(尊1/还3)、P(伤2/段3)、P(纯1)。这种番情况圆是我惧们要割介绍权的。下面雀我们曾推导醒出由水曲线不上均弊匀分奴布的震四个醒点P(吗0)、P(广1/缎3)、P(愁2/贝3)、P(接1)决定栏的曲劳线。三次He纲rm翅it爬e曲线由（9-搜10）知歇：P(呀0)蹈=a0P(岗1/源3)化=1捞/2拔7a3+1获/9狱a2+1颗/3闭a1+a0P(姿2/观3)苏=8驳/2骆7a3+4筝/9居a2+1搅/3碰a1+a0P(绑1)壤=修a3+a2+a1+a0解得手：a3=伐-鞠9/文2P辩(0穗)+印27娃/2巾P(鸭1/伟3)浴-2根7/拜2P胃(2秒/3旧)+谣9/素2P税(1急)a2=肯9P岔(0貌)-揭45途/2赏P(榆1/多3)猫+1虑8P匙(2坛/3德)-撞9/求2P良(1抓)a1=个-1简1/鹊2P敞(0宫)+微9P么(1梳/3冒)-寺9/兼2P撑(2寒/3蜻)+奇P(描1)a0=示P(改0)（9-特11）三次He父rm般it指e曲线由(9旁-1躬0)替,(役9-纤11盛)可得抓：(9-12)由(9诱-1季2)可以廊计算歇出一犁系列睬的曲躬线上板的点龄，进搭而画港出曲苗线。He笔rm复it姿e曲线来的性虚质He孙rm伙it红e曲线渡的控狗制点浅直接州位于盆曲线币之上障，这裕种控顿制点之称为笔型值租点，户对于滥确定但曲线畜的位野置十凳分有柿利。三次He跃rm扯it测e曲线叫的起去点和客终点排分别喇位于盐第一泼和第飞四个瞎控制雁点上我。对于远一系冒列控抽制点震所形犹成的牛三次He净rm陶it纪e曲线右，控抓制点确应该此分成共每四当个一凶组，怠每一冷组形碑成一怒段曲气线。强为了泉使每帽个曲欧线段藏连接摔起来兆，相缝邻两染组的暂控制妇点应却有一级个控航制点辫是重虏复的玩，即龙前一头组的知最后搞一个溜控制床点同扛时也隐是后底一组尽的第骗一个沿控制舰点。曲线梢段相桶接处银可能所不光甚滑，养可以浩通过南调整怕控制豪点位乖置，杆使曲恳线段赤相接录处光揭滑起疤来。曲面曲面壤和曲广线一他样，耐也是货用参拣数的狼形式订表示管。不丛同的蒜是，漏曲面野参数棍是二慌维的宪，用(u绘,v旷)表示曲面库和曲绕线类溉似，仗是用橡分片魂表示肉的。喉整个灶曲面粒是由帅一系建列的苗分片防拼接要而成律的。P(u,v)Be善zi壮er曲面一个得三次Be禁zi肯er曲面警片的只控制裳点有4x胸4个一个孔三次Be恐zi端er曲面益片的袭代数俗形式庆是相应携的矩青阵形谋式是B样条标曲面一个嚼三次B样条足曲面纱片的唉控制协点有4x鼓4个一个位三次B样条互曲面按片的埋代数比形式挑是相应喉的矩菊阵形雕式是He恼rm冷it接e曲面一个归三次He非rm庸it吨e曲面鼓片的役控制铲点有4x再4个一个陆三次He卷rm凭it贡e曲面贼片的陈代数跑形式绸是相应副的矩母阵形篇式是曲面曲面P(吴u,秃v)上的疮任意狸点可墓以通柔过给那定参球数u,塑v尽(0祝<=洪u,目v<输=1默)、计算P(钻u,椅v)来得城到。一个便曲面羽常用村几条缺曲面犁上的混曲线宋来表樱示。曲面P(减u,乏v)上的欠曲线搜可以五通过始固定u或v得到已