数学建模中的图论方法

数学建模中的图论方法湖南文理学院张莉茜数学建模中的图论方法1.引言2.图论的基础知识4.图论的几个实用算法5.其他问题3.综合例题数学建模中的图论方法----引言1.引言图论是离散数学的重要组成部分，它对于自然科学、工程技术、经济管理和社会现象等诸多问题，能够提供有力的数学模型加以解决，特别在国内外大学生数学建模竞赛当中，有不少问题可以应用图论模型解决。我们在此有针对性地把图论的骨干概念和结论以及相关的有效算法做一简要介绍，愿听者增强图论建模的意识和能力。数学建模中的图论方法----引言图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸连结起来（如图）。问题是：要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。问题转化为：从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。数学建模中的图论方法----引言

注：图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物及其关系的一个数学系统。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。数学建模中的图论方法----图论的基础知识2.图的基础知识图G是由非空结点集以及边集所组成，记作。它的结点数称为阶。根据边有无方向，图分为有向图和无向图。有向图的边去掉方向后所得的图称为原有向图的基础图(或底图)。没有自环或多重边的图称简单图。有些实际问题抽象出来的图，边上往往带有信息，在边上附加一些数字来刻划此边，称权，此时该图称加权图。无向图中与结点v相关联的边数称为v的度数，记，有向图中以v为起点或终点的边数分别称为v的出度和入度，记。握手定理：（1）无向图中所有结点的度数之和等于边数的两倍。（2）有向图中所有结点的出度(入度)之和等于边数。推论：任何图的奇结点必为偶数个。例如，一群人中，有奇数个朋友的人必为偶数个。数学建模中的图论方法----图论的基础知识如果简单无向图的任两个结点均邻接，称之为完全图，n阶完全图记为，它的每个结点的度数等于,边数等于。一个边的序列(或点的序列)称路径，封闭的路径称回路。边不重复的路径称简单路径，点不重复的路径称基本路径。路径所含边的条数称为路径的长度。如果存在从结点u到v的路径，则称从u到v可达。如果u到v可达，则从u到v的路径中长度最短的路径称为短程线（或测地线），它的长度称为从u到v的距离,记为；如果u到v不可达，则记。如果无向图G的任两个结点都可达，则称G为连通图。数学建模中的图论方法----图论的基础知识设n阶图的结点集，则n阶方阵称为G的邻接矩阵，其中

表示以为起点、

为终点的边的数目。

一个图的邻接矩阵完整地刻划了图中各结点间的邻接关系。，如图1，它们的邻接矩阵分别为：v1v2v3v4数学建模中的图论方法----图论的基础知识，连通无回路图称为树。每个连通分支都是树的无向图称为森林．在结点数确定的情况下，树是连通图中边数最少的图，也是无回路图中边数最多的图．每个连通图G至少有一个生成子图是一棵树，称之为G的生成树。显然每个连通图都有生成树，而一般来说生成树不唯一(而边数是确定的)。如果G是一个加权连通图，我们希望找一棵权之和最小的生成树，称为最小生成树。定理：若树的结点数为n，边数为m，则m=n-1。数学建模中的图论方法----图论的基础知识例设有6个城市，它们之间有输油管道连通，其布置图如图(a)所示．战争期间，为了保卫油管不被破坏，需派部队看守，看守一段油管需一连士兵．为保证各城市间输油畅通，最少需派几连士兵？他们应驻于那些油管处？解：此问题即为寻找图(a)的生成树问题．由图知，结点数为6，故其生成树的边数为5，即最少需派5连士兵看守．其看守地段可见图(b)、(c)、(d)所画之线段．数学建模中的图论方法----图论的基础知识

如果图G中具有一条经过所有边的简单回路,称欧拉回路,含欧拉回路的图称为欧拉图；如果图G中具有一条经过所有边的简单(非回路)路径,称欧拉路。定理:(1)连通无向图G是欧拉图的充要条件是G的每个结点均为偶结点; (2)连通无向图G含有欧拉路的充要条件是G恰有两个奇结点,且欧拉路必始于一个奇结点而终止于另一个奇结点.数学建模中的图论方法----图论的基础知识图1的所有结点均为偶结点，故为欧拉图，一条欧拉回路为：。图2有2个奇结点，故不是欧拉图，但有欧拉路：。（1）（2）数学建模中的图论方法----图论的基础知识如左图是某街道图形。洒水车从A点出发执行洒水任务。试问是否存在一条洒水路线，使洒水车通过所有街道且不重复而最后回到车库B？（蚂蚁比赛问题）如右图所示，甲、乙两只蚂蚁分别位于结点处，并设图中的边长度相等。甲、乙进行比赛：从它们所在的结点出发，走过图中的所有边最后到达结点处。如果他们的速度相同，问谁先到达目的地？数学建模中的图论方法----图论的基础知识哈密尔顿回路，起源于一个名叫“周游世界”的游戏，它是由英国数学家哈密尔顿（Hamilton）于1859年提出的。他用一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市（图(a)），这个正十二面体同构于一个平面图（图(b)）。要求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到出发点。这个游戏曾风靡一时，它有若干个解。图(b)给出了一个解。（a）（b）数学建模中的图论方法----图论的基础知识如果图G中具有一条经过所有结点的基本回路（称哈密尔顿回路），则称为哈密尔顿图。虽然哈密尔顿图判定问题与欧拉图判定问题同样有意义，但遗憾的是至今为止还没有找到一个判别它的充分必要条件，这是图论中尚未解决的主要问题之一。数学衣建模央中的睛图论傅方法--闯--图论亮的基瓜础知始识设无向图，如果存在的一个分划，使得G的每一条边的两个端点分属

和

，则称G为二部图(或偶图)。

和

称为互补结点子集，此时可将G记为。设是二部图，若，且M中任何两条边均不相邻，则称M是G的一个匹配；具有最大边数的匹配称为最大匹配；若最大匹配M满足，则称M是G的一个完备匹配，此时若，则称M为V1到V2的一个完备匹配；若，则称M是G的一个完美匹配．数学榜建模天中的撒图论渣方法--阁--综合生例题例1证明恭任意舞六个鲁人的招集会兔上，必总会健有三饭人互赛相认用识或雾者不体认识久．证明这是19斩47年匈且牙利谨数学巡寿竞赛酿出的匆一道轰试题砖，因输为它茧很有别趣且执很重肉要，晒后来系曾收匀录到《美国更数学案月刊》及其改它数壤学刊秆物上璃。这旨类问裕题可维以转骡化为渣图论桨中的插完全袖图染责色问落题．把参族加集宗会的雁人看碎作结怀点，阔作一广个完完全图械，如按果两阴个人蓄认识诵，则储两结守点间柱的连裤线涂猜上红配色，络否则解涂上邀蓝色汤．问振题转跑化为悉：无扫论怎恰样涂烧色，袜总可欢以找伴到红来或蓝筝．3.综合脑例题数学光建模冰中的撞图论扁方法--咐--综合委例题例1证明孝任意孕六个变人的暑集会谅上，故总会歪有三皮人互咸相认挖识或鞠者不忍认识仰．证明设六个结点为。从引出的边有五条，而颜色只有红蓝两种，由抽屉原理，至少有三条边同色，不失一般性，假定有三条边为红色。（1）如果结点之间至少有一条红边，比如是红边，则得到红色的三角形；（2）如果结点之间的边全是蓝色的，则得到蓝色的三角形。关于问题中的结点数，对任何，命题都成立．但当时，命题便不成立了。这说明：不同的六个点是保证用两色涂染其边，存在同色三角形的最少点数。数学店建模申中的仓图论霞方法--困--综合甲例题例2出席骄某次急国际材学术蒸会议语的有腿六个家成员a,b,c,d,e,f，其粗中：a会讲法汉语菠、法饱语和纤日语续；b会讲挎德语炎、日妹语和逃俄语谎；c会讲监英语耀和法雕语；d会讲妥汉语简和西某班牙饥语；e会讲毁英语括和德孤语；f会讲宽俄语估和西免班牙平语．呢如将这此六睬人分臂成两笔组，谊是否弯会发絮生同音一组蝴内的棋任意渗两人头不能墨互相郊直接旋交谈恐的情弄况？abdfec图18解用结点表示成员，两成员间如有共同语言，则用边相连，可得下图．由于图中的回路长度均为偶数，故此图为二部图．设，，当六位代表如此分组时，则同一组内的任意两个人都不能直接交谈．数学跃建模脂中的南图论顽方法--他--综合雁例题例3某中魄学有3个课械外小单组：畏英语肆组(A)、物诊理组(B)和生踩物组(C)，有5名学颜生a,b,c,d,e，(1边)已知a,b为A组成毛员，a,c,d为B组成袍员，c,d,e为C组成缝员；(2抚)已知a为A组成虾员，b,c,d为B组成夸员，b,c,d,e为C组成日员；(3耕)已知a为A组成慎员，a又为B组成脂员，b,c,d,e为C组成佛员．问在们以上知三种争情况营下，言能否株各选揉出3名不寺兼职馅的组贿长？解：根据运三种睡已知后情况道，分小别画拍出二迁部图齐，如号图所纽奉示．记或，数学蜡建模绞中的榆图论逢方法--茫--图论摧中的搏几个幸实用兽算法4.图论勤中的惊几个求实用椒算法1．加扩权图滚中的夕最短晃路径披的Di尸jk程st呜ra算法最短苗路径裁问题标：给堡定连衡接若惊干城轨市的赵铁路逐网，膀寻找既从指灭定城宰市到积各城集市去卡的最皆短路准线。数学模型：设是一个加权图，边的权记为，路径P的长度定义为路径中边的权之和，记为。两结点u和v之间的距离定义为

问题：在溪加权器的简示单连便通无驾向图G(V,E,W)中，酬求一任结点a(源点)到其百它结既点x的距串离——称单源蛛问题。Dijkstra算法的基本思想是：若是从

到

的最短路径，则也必然是从

到的最短路径。数学阀建模精中的攻图论品方法--检--图论合中的律几个宗实用偏算法2．求由最小厕生成愧树的Kr乒us想ka叉l算法数学知模型瞒：在第一个隶连通右加权锣图上予求权闹最小向的连军通生酒成子勇图，挺显然婆，即柄求权汗最小名的生奖成树颤，称最小辫生成貌树。筑路选线问题：欲修筑连接n个城市的铁路，已知i城与j城之间的铁路造价为

，设计一个线路图，使总造价最低。Kruskal算法（避圈法）1956年设G为由n个顶点、m条边构成的加权连通图。先将G中所有的边按权的大小次序进行排列，不妨设，ⅰ；ⅱ

若导出的子图不含回路，则；ⅲ

若A中已有n-1条边，则stop；否则，转ⅱ。

数学旱建模絮中的壶图论院方法--乱--图论延中的欲几个漂实用伪算法例：数求图(a毙)中加已权图繁的最块小生川成树饺．解：用Kr以us朗ca最l算法贿可以咱求得点最小盐生成唤树如靠图(b捉)．数学具建模鞋中的据图论乞方法--挎--图论罩中的床几个隐实用刘算法3.中国扣邮路回问题中国北邮路许问题狮：邮酷递员深传送耳报纸渣和信仓件，幻玉都要闭从邮艇局出宏发，座经过型他所露管辖好的每佩一条臭街道鹅，最伍后回悠到邮伏局，氧要求米最短刻的传除送路捧线．数学民模型使：在环加权别图上么找一狭条经嫩过所狼有边骑至少厕一次沸的回浑路，唉使它饥的权凉数最广小。如果读是欧站拉图,则所饿求回信路必临为欧狐拉回谈路。伸下面标给出恼在欧丛拉图朱上求从取欧竹拉回魂路的Fl槽eu毁ry算法张。数学听建模悄中的肢图论步方法--艘--图论德中的码几个须实用灶算法(1便)F折le骨ur沾y算法(3蛇)重复肿步骤(2即),直至白不能鲁进行慨下去暖为止旺。(1)任取起始结点,令；(2)设路径已选定,则从中选一边,使得:(ⅰ)与相连(共端)；(ⅱ)除非已无选择余地,不要选的桥(断边),即仍连通；数学怠建模中中的本图论陪方法--风--图论软中的贴几个谷实用搏算法(2肉)Ed宽mo净nd核s-齿Jo着hn催so混n算法如果G不是壶欧拉拆图，缎即存机在奇侮结点固，这阅时某刷些边然必被黑重复尝走过侵，我避们称鹅这样辆的边懂为重复欣边。考松虑到司奇结仔点必贼为偶荐数个束，我芒们可愤以把项奇结甩点划坟分成锅若干牙对，璃每对占之间想在G中有瓶相应兆的最炮短路芳，将吐这些眉最短改路的蜜边以早原来临的权耻作为离重复亿边叠增加在雹原图携上形羡成一裳个多脚重图G*，则G*是一介个欧租拉图里，可会用Fl闲eu恼ry算法币求出浴欧拉示回路胶。问突题是小当G的奇挤结点角较多恰时，滤可能县有很夺多的殃配对坝方法茫，应捐怎样泉选择属配对盐，使栗相应头的欧蹦拉回照路的娱权最部小呢毛？19悟73年，Ed巩mo执nd星s和Jo绵hn远so扮n给出虾下面荣的算作法：数学揉建模鸣中的唇图论淹方法--熔--图论尝中的阴几个购实用无算法(2许)Ed练mo鸣nd驳s-切Jo庭hn乳so窄n算法设G是连通加权图,(1)求出G的奇结点集；(2)用Dijkstra算法求得V0中每对结点的距离；(3)构作加权完全图:以为结点集,以为边的权；(4)求中权之和最小的完备匹配M；(5)用Dijkstra算法求M中边的端点之间在G中的最短路径；(6)在(5)中求得的每条最短路径上每条边添加一条同权的新边,即得所求之欧拉图G*；(7)在G*上用Fleury算法求一条欧拉回路,即为问题的解。数学公建模迅中的棵图论陈方法--历--图论皮中的柔几个南实用戴算法4.迷宫降和DF详S算法迷宫皮问题杨：一壳座迷抄宫，钳游人经事先矿未知有其结讲构，究如何申搜索性前进快，保培证万以无一丹失地黑通过喉每一歉通道暖再从远入口芦退出姐？纵深辞搜索铺原则现：任所选一兔条未浊曾走刻过的年通道拍就尽亮可能城远地两走下已去，遵直至睬无未写曾走拥过的竭路可肆走时彼，沿编未逆绣行过歌的最宇晚来耐路返班回，饶发现冲有未桃走过序的路悦，则敞沿它轻尽可肉能远港地走金下去脂，依头次运虾行至院重返匆入口驰止。19海73年，Ho欠pc偏ro营ft和Ta浆rj鞠an把上川述纵伸深搜悲索原饭则编篇写成DF测S(灶De晕pt隐hFi炕rs愧t习Se榜ar鼻ch效)算法.例如材，在供地图少是未胃知的站情形凳下，割双车庆道单垫车扫高雪车委，按购右侧画通行衡交通元规则种，依DF样S算法肠的过立程安些排扫茶雪工无作程请序即铃可。数学错建模核中的烫图论泳方法--喊--图论求中的叉几个矿实用勿算法5.我TS拌P(货郎雀担问械题)及“越最邻走近算祝法”一个萄与哈击密尔刮顿图萝有密竹切关态系的箭问题诵是所营谓“献货郎瓜担”继问题盗或“零旅行钳商”倦问题(Tr肆av砌el华li谣ngSa桶le春sm烦an塘P掠ro氧bl桌em啊)：货光郎为全了销绑售物赢品，凉要去脊访问旅若干灾个村溜、镇倒，然帜后回发到自造己所氧住的凯地方芬。假予设每贫个村冶镇间远都有书路，裂那么斤他应赶该怎窄样设饭计所染走的截路线塞，使腰得能想对每慢个村纲镇恰终好访姻问一邻次且仪走的碗路程介最短颠？用醋图论纺的话件来讲蜓就是劳：在世一个赛加权醋的完挤全无疫向图惹中，挽如何蔑寻找概一条甲最短贤的哈扫密尔繁顿回披路？迄今窄为止垮还没瓦有找猴到一哈个解导决“洽货郎茂担”载问题掉的有纠效算才法（逆多项乌式算衫法）港。一专般来哗讲，身这个枯问题锈比哈部密尔肯顿问踪蝶题更颗加困吼难些恭。下泳面介滚绍一精个近凶似解券法—“最邻奔近方河法”（佩或称页“贪陪婪算甜法”提），乎这是怒实际叶工作待中经眠常采山用的厉方法蹈：数学俗建模箭中的士图论稠方法--顷--图论汇中的缎几个扁实用哭算法最邻要近算床法ⅰ选任遍意点形作为袖始点怨，找张出一耽个与签始点打最近胞的点尸，形卡成一撞条边动的初腔始路欢径。成然后桐用ⅱ逐点守扩充旗这条闷路径屈。ⅱ设x表示遮最新鞠加到昆这条帮路径钱上的帝点，乌从不爱在路泥径上县的所馋有点临中，嫂选一篮个与x最邻僚近的短点，巡寿把连快接x与此橡点的甜边加筝到这筝条路棉径中笋。重顺复这陡一步红，直株到G中所烛有顶私点包刺含在缸路径杨中。ⅲ把始宿点和侮最后和加入建的顶罚点之果间的遮边放游入，超这样杰就得领到一剖个回寻路。数学送建模坑中的版图论珠方法--慢--图论驱中的湿几个叔实用抵算法例引对叔加权订完全拉无向虑图K5如图(a被)，如品果从v1出发饺，使蹦用“该最邻费近方柄法”属得到鲜的哈恭密尔免顿回摸路如赏图(b断)，总涂距离拔为40；最锣小哈佛密尔短顿回离路的壮总距楚离为37（如滤图(c司)）。(a可)(b岭)(c今)数学氏建模众中的想图论货方法--协--图论驱中的识几个帝实用蚕算法6.匈牙沸利算妥法分工问题：工作人员去做n件作，每人适合做其中的一项或几项，问能否每人都有一份适合的工作？如果不能，最多几人可以有适合的工作？数学模型：G是二分图,结点集划分为,,,当且仅当适合做工作时,,求G中的最大匹配.解决这个问题可以用1965年Edmonds提出的匈牙利算法.数学惯建模兼中的译图论委方法--坝--图论胆中的愁几个告实用树算法最佳油分工谨问题磁：在君分工林问题喝中，建工作聪人员折适合耕做的膜各项荣工作蕉当中祸，效归益未参必一因致，定我们碑需要京制定愤一个技方案随，使场公司回总效婶益最尖大。

数学模型：在分工问题的模型中，图G的每边加了权表示做工作的效益，求加权图G上的权最大的完备匹配。解决掩这个矛问题路可以颠用Ku坐hn厘-Mu浩nk逮ra忧s算法俯。数学掏建模旷中的听图论载方法--撤--其他万问题5.其他榜问题1.地图着色问题把无环图G的结点皆染上颜色，且使相邻的结点颜色不同，又所用的颜色最少，称这个颜色数为G的色数，记为。定理设G为无环图，则，其中是G中结点的最大度数。1976年，Appel和Haken用计算机证明了下面的四色定理若G是平面图，则。数学顷建模叉中的巷图论碧方法--田--其他迹问题(1)考试日程问题:选修课考试安排时,要避免任何一位学生所选不同课程在同一天考,问最少几天才能完成?数学模型:以每门课程为结点,仅当两门课程被同一位学生选修时,在这两个结点之间连上一条边,构作一个图G,求取即为所求。(2)存储安全问题:某公司生产若干种化学制品,其中有些制品如果放在一起可能发生化学反应,引起危险.因此公司必须把仓库分成相互隔离的若干区.问至少要划分多少小区,才可安全存放?数学模型:以每种货物为结点,仅当两种货物放在一起不够安全时,在这两个结点之间连上一条边,如此得到的图G的色数即为所求。数学友建模拴中的巴图论涌方法--究--其他救问题(3)频率分配问题:地面上有若干无线电发射台,对每台分配一个频率供其使用,频率用自然数从1起编号,称为信道号码,为排除同信道的干扰,要求使用同信道的发射台相距必须大于指定的正数d,问至少要几个信道?数学模型:以为半径,以发射台为圆心作圆,仅当两圆有公共点时,在两个圆心之间加一边,以圆心为结点,得到图G(圆盘图),即为所求。数学生建模湾中的训图论监方法--笼--其他列问题2.网络践流的菠最大膊流问仆题把商尿品由骡产地辈运往舰市场养，交成通网抓上每浑个路懂段运溉输能弃力给库定的预条件疮下，棒设计干一个多运输姻方案骑，使需得运济输最称快。19送56年，Fo麦rd和Fu渴lk萝so扣n给出惩求最贫大流敢的2F算法针。3.规划透审核境技术伤与关巧键轨愈道方烈法规划青审核晕技术PE木RT吐(P准ro必gr愉amev邪al两ua贸ti细on吵a普nd奸r河ev息ie技w局te纽奉ch羊ni症qu能e)与关雕键轨块道方帮法CP境M(勺Cr融it蜓ic吓alpa膊th摩m尘et甜ho但d)是典伞