第09讲轴对称中最短路径问题（四种题型）（解析版）

第09讲轴对称中最短路径问题（四种题型）考点考点精讲题型一：两点的所有连线中，线段最短如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)解析：利用两点之间线段最短得出答案．解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．题型二：运用轴对称解决距离最短问题在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点．方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．题型三：最短路径选址问题如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；(2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．题型四：运用轴对称解决距离之差最大问题如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．解析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．巩固巩固提升一．选择题（共7小题）1．（2022春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为（）A．25 B．23 C．5 D．15【分析】点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），连接A′B交x轴于P，则此时，PA+PB＝A′B的值最小，过A′作A′C⊥BC，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵A（1，1），∴点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），连接A′B交x轴于P，则此时，PA+PB＝A′B的值最小，过A′作A′C⊥BC，∴A′B=A'C2∴PA+PB最小值为25，故选A．【点评】此题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．2．（2022春•南岸区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（）A．3 B．23 C．3.5 D．【分析】作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+PN的最小值．【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，∴PN+PM＝PN+PM'，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，∴M'N=12AM'=1∴PM+PN的最小值为3，故选：A．【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．（2021秋•仓山区校级期末）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（）A．3 B．3 C．33 D．2【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF＝12AB＝12×6＝3，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，∵△ABC为等边三角形，边长为6，∴BF=12AB∴CF=BC2∴CE+EF的最小值为33，故选：C．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．4．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（）A．3 B．7 C．3 D．3【分析】作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，于是得到PE+PB的最小值＝BE′，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值＝BE′，∴AE′＝AE＝1，∴CE'＝3﹣1＝2，作E'F⊥BC于F，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∴CF＝1，E'F=3∴BF＝3﹣1＝2，∵AC＝BC＝3，∴BE'=B故选：B．【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．5．（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（）A．5 B．6 C．6013 D．【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，∴AB2＝6.52＝42.25，AD2+BD2＝62+2.52＝42.25，∴AB2＝AD2+BD2，∴∠ADB＝90°，∵D为BC的中点，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，∵S△ABC=12AB•CE=12∴6.5•CE＝5×6，∴CE=60∴PE+PB的最小值为6013故选：C．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．6．（2022春•兴宁区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，P是边BC上一动点，P、D不与C重合，当AE＝13时，求PD+PE的最小值（）A．24 B．25 C．26 D．13【分析】作D关于BC的对称点G，连接GE则PD+PE＝GE，当PD+PE的值最小时，GE最小，当GE⊥AB时，GE最小，即求得GE=3AE＝133【解答】解：作D关于BC的对称点G，连接GE，则PD＝PG，∴PD+PE＝PD+PG＝GE，当PD+PE的值最小时，GE最小，∴当GE⊥AB时，GE最小，∵AE＝13，∠B＝30°∴GE=3AE＝133故选：D．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．7．（2022春•蜀山区校级期中）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的一动点，点P为BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为（）A．3 B．32 C．33 【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，故PE+PC＝AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，根据勾股定理求出AE即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC=12连接AE，交BD于P，∴PA＝PC，∴PE+PC＝PE+PA＝AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，在Rt△ACE中，AE=AC2∴PE+PC的最小值是33．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．二．填空题（共1小题）8．（2022春•武昌区期中）如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC＝5，AC＝12，AB＝13，则CE+EF的最小值为6013【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法12AB⋅CF=12BC⋅AC，求出CF=【解答】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，则CE+EF的最小值为CF．∵BC＝5，AC＝12，AB＝13，∴12∴CF=AC⋅BC即CE+EF的最小值为：6013故答案为：6013【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．三．解答题9．（2022春•海淀区校级期中）请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，求出(2m-【分析】（1）根据等腰三角形的判定证得△ACP和△BDP为等腰直角三角形，利用勾股定理求得PA和PB，从而求得PA+PB；（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；（3）设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA=(2m-2)2+1；设BD＝8﹣2m，PD【解答】解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，∴AC＝CP，∠ACP＝90°，∴∠CAP＝∠CPA＝45°，∴PA=A∵点A关于直线l的对称点为A'，∴PA′＝PA=2∴∠CPA′＝∠CPA＝45°，∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°，∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD，∴BD＝PD＝2，∴PB=PD2∴AP+PB=2+22=（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，则四边形A′EDC是矩形，∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，∵BD＝4﹣AC，∴BD+AC＝BD+DE＝4，即BE＝4，在RT△A′BE中，A′B=3∴AP+BP＝5；（3）如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA=(2m-2设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB=(8-2m∵DE＝AC＝2m﹣2，∴BE＝BD+DE＝6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，∴PA+PB＝A′B=A'E2∴(2m-2)2【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．10．（2020秋•遂宁期末）如图，P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短（不写作法）．【分析】利用轴对称图形的性质，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，则M是所求的点．【解答】解：如图，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，点M是所求的点．【点评】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质．11．（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是α+β＝180°；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是8；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是CE＝BC+CD．【分析】（1）①先证∠CAE＝∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出结论；②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2，根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出结论；②根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，AB=AC?BAD=?CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，当AD⊥BC时，AD最短，即四边形ADCE周长的值最小，∵点A到直线BC的距离是3，∴AD＝AE＝3，∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，故答案为：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC?BAD=?CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案为：CE＝BC+CD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键．12．（2021•旌阳区模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AE平分∠BAC，BD⊥AC于D，E为BC边上一点，AE、BD交于点F，EG∥BD．（1）求证：AB＝AG；（2）当∠BAE＝30°，BE＝2时，在EG上有一动点P，求AP+BP的最小值．【分析】（1）根据平行线的性质得出EG⊥AC，然后根据角平分线的性质即可得出BE＝EG，进而通过证得Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）得出结论；（2）根据题意得出A与C关于EG对称，连接BC，与EG的交点即为P点，此时PA+BP的值最小，最小值为BC的长，解直角三角形求得BC的长即可．【解答】解：（1）∵BD⊥AC于D，EG∥BD，∴EG⊥AC，∵AE平分∠BAC，∠ABC＝90°，∴BE＝EG，在Rt△ABE和Rt△AGE中，BE=GEAE=AE∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴AB＝AG；（2）∵∠BAE＝30°，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝30°，∴AE＝EC，∵EG⊥AC，∴AG＝CG，∴A与C关于EG对称，连接BC与EG的交点即为P点，此时P点与E重合，PA+PB＝BC，值最小，∵BE＝2，∠BAE＝30°，∴AB=3BE＝23在Rt△ABC中，∠C＝30°，∴BC=3AB=∴AP+BP的最小值为6．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键．13．（2020秋•盘龙区期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；（3）四边形BCC1B1的面积为12．【分析】（1）先分别画出A、B、C关于DE的对称点，再连接即可；（2）作C关于DE的对称点C1，连