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思考1:观察这两个函数图象,图中有个最高点,那么这个最高点的纵坐标叫做函数的什么呢?图1ox0xMyyxox0图2M思考2:函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标M与f(x)的大小关系如何?f(x)≤
Mƒ(0)=12、存在0,使得ƒ(0)=1.1、对任意的都有ƒ(x)≤1.1是此函数的最大值O1yx例如函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I得f(x0)=M
.那么我们称
M是函数y=f(x)的最大值(maximum
value).探究
函数最大(小)值的数的定义请同学们仿此给出函数最小值的定义函数最大值定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果实数m满足:(1)对于任意的的x∈I,都有f(x)≥m;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=m.那么我们称
m是函数y=f(x)的最小值(minimunvalue).函数最小值的定义注意:1.函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M;并不是满足f(x)=M的函数都有最大值。如函数,虽然对定义域上的任意自变量都有,但不存在自变量使得函数值等于1.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质,即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值。练一练:判断正误1.任何函数都有最大值或最小值。2.函数的最大值一定比最小值大。××
典例探究一、图像法求函数的最值例1函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是()A.-2,f(2)B.2,f(2)C.-2,f(5)D.2,f(5)C分析:(1)函数图象如图所示:例2
画出函数的图象,并写出函数的单调区间,函数的最小值.(2)由(1)图可知:函数的单调增区间在(-∞,0),[0,+∞);∴fmin(x)=f(0)=-1.例3
求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以,函数是区间[2,6]上的减函数.二、利用函数的单调性求最值∴f(x)min=f(6)=,f(x)max=f(2)=2.小结判断函数的最大(小)值的方法
1.利用图象求函数的最大(小)值;
2.利用函数单调性的求函数的最大(小)值.
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]的左、右端点处分别取最小(大)值、最大(小)值;
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是减函数,在区间[b,c]上是增函数,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数,在区间[b,c]上是减函数,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)。1.求函数在区间[0,2]的最大值和最小值。【提示】证明函数在区间[0,2]上是增函数。【答案】最大值是4,最小值是2.【提示】当k=0时,函数是常数函数;当k≠0时函数是一次函数,再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答。【答案】k=0时,f(x)=2为常值函数;k>0时,函数的最小值是2,最大值是2k+2;k<0时,函数的最小值是2k+2,最大值是2.
对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等,今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值2已知函数f(x)=x2-2ax-1.(1)当a=1时,①求f(x)在区间[2,4]上的最值,(2)求f(x)在区间[0,2]上的最小值g(a)的表达式.②求f(x)在区间[0,4]上的最值.③求f(x)在区间[t,t+4]上的最小值.
定轴动区间动轴定区间(Ⅰ)当a=(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数
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