高中数学人教高中必修第三章函数的概念与性质函数的单调性和最大小值第三课时

思考1：观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫做函数的什么呢？图1ox0xMyyxox0图2M思考2：函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标M与f(x)的大小关系如何？f(x)≤

Mƒ(0)=12、存在0，使得ƒ(0)=1.1、对任意的都有ƒ(x)≤1.1是此函数的最大值O1yx例如函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I得f(x0)=M

.那么我们称

M是函数y=f(x)的最大值（maximum

value）.探究

函数最大（小）值的数的定义请同学们仿此给出函数最小值的定义函数最大值定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数m满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥m;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m.那么我们称

m是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.函数最小值的定义注意：1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I，使得f(x0)=M；并不是满足f(x)=M的函数都有最大值。如函数,虽然对定义域上的任意自变量都有，但不存在自变量使得函数值等于1.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值。练一练：判断正误1.任何函数都有最大值或最小值。2.函数的最大值一定比最小值大。××

典例探究一、图像法求函数的最值例1函数f(x)在区间[-2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A.-2，f(2)B.2，f(2)C.-2，f(5)D.2，f(5)C分析：（1）函数图象如图所示：例2

画出函数的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．（2）由（1）图可知：函数的单调增区间在（-∞，0），[0，+∞）；∴fmin(x)=f(0)=-1．例3

求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函数是区间[2,6]上的减函数.二、利用函数的单调性求最值∴f(x)min=f(6)=,f(x)max=f(2)=2.小结判断函数的最大(小)值的方法

1.利用图象求函数的最大(小)值;

2.利用函数单调性的求函数的最大(小)值.

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则函数y=f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取最小(大)值、最大(小)值；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上是减函数，在区间[b，c]上是增函数，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上是增函数，在区间[b，c]上是减函数，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)。1.求函数在区间[0,2]的最大值和最小值。【提示】证明函数在区间[0,2]上是增函数。【答案】最大值是4，最小值是2.【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一次函数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答。【答案】k=0时，f(x)=2为常值函数；k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2;k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.

对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值2已知函数f(x)=x2-2ax-1.(1)当a=1时，①求f(x)在区间[2,4]上的最值，(2)求f(x)在区间[0,2]上的最小值g(a)的表达式.②求f(x)在区间[0,4]上的最值.③求f(x)在区间[t,t+4]上的最小值.

定轴动区间动轴定区间(Ⅰ)当a＝(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数