全等三角形的性质与判定-2020-2021学年八年级数学上学期高频考点专题突破（人教版）（解析版）

考点01、全等三角形的性质与判定

知识框架

'全等形的概念及性质

全等三角形的定义和表示方法

基础知识点，全等三角形的性质与拓展

全等变换的保形性

.［全等三角形判定条件

'全等三角形的判定

示皿上昨利全等三角形性质与判定的应用

重难点题型全等三角形中的动态问题

全等三角形的压轴题

基础知识点

知识点1-1全等形的概念及性质

1）全等形：能够完全重合的两个图形

2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同

注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。对称

图形要求更苛刻些。

②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等）

1.（2020•全国初一课时练习）下列说法正确的是（）.

A.所有正方形都是全等图形B.面积相等的两个三角形是全等图形

C.所有半径相等的圆都是全等图形D.所有长方形都是全等图形

【答案】C

【解析】根据全等图形的定义进行判断.A、所有正方形不一定是全等图形，故此选项错误；B、面积相等的

两三角形不一定全等，故此选项错误；C、所有半径相等的圆都是全等图形，故此选项正确；D、所有长方

形不一定是全等图形，故此选项错误.故选C.

考点：全等图形.

2.（2020•河北泊头初二期中）如图所示的图形是全等图形的是（）

A.B.C.D.口

【答案】B

【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案.

【解析】解：如图所示的图形是全等图形的是B,故选B.

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的定义.

3.（2020,全国初一课时练习）如图（1）〜（12）中全等的图形是和；和

和；和；和；和；（填图形的序号）

【答案】见解析

【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答.

【解析】全等图形是（1）和（11）;（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和(7)；(5)和(8)；(9)和(12).

【点睛】本题考查了全等图形，掌握概念并准确识别各图形的形状是解题的关键.

4.（2020•福建石狮初一期末）如图，四边形ABCD四四边形AB'C。'，则NA的大小是

【分析】由全等形四边形的性质，得到NO=ND=130°，由四边形的内角和即可求出NA的度数.

【解析】解：•.•四边形ABQDg四边形A'3'C'。'，•'.NO=NZ）'=130°，

/.ZA=360°-130°-75°-60°=95°；故答案为：95°.

【点睛】本题考查了全等四边形的性质，解题的关键是掌握全等图形中对应角相等.

知识点1-2全等三角形的定义和表示方法

1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）

2）表示方法:@AABC^ADEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF）

②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）

③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：

a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点；

b./A与ND为对应角，NB与/E为对应角，/C与NF为对应角；

c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。

3）找对应角对应边的方法

①图形特征法；②字母顺序确定法

知识点1-3全等三角形的性质与拓展

1）全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形

a对应边、对应角相等

b周长、面积相等

c对应边上的中线、角平分线、高相等

1.（2020•贵州紫云初二期末）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③

全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等.其中正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.

【解析】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；

②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；

③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；

④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.

【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、

面积周长均相等.

2.（2020•山东东平东原实验学校初一月考）下列说法错误的是（）

A.全等三角形的对应边相等B.全等三角形的角相等

C.全等三角形的周长相等D.全等三角形的面积相等

【答案】B

【分析】根据全等三角形的性质对各选项分析判断利用排除法求解.

【解析】解：A、全等三角形的对•应边相等，正确，不符合题意；

B、应为全等三角形的对应角相等，符合题意；

c、全等三角形的周长相等，正确，不符合题意；

D、全等三角形的面积相等，正确，不符合题意.故选B.

3.（2019•江苏江都初二月考）下列命题中正确的是（）

A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等

C.全等三角形的垂直平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等

【答案】D

【解析】因为全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应边的垂直平分线、对应角的平分线相等，A、

B、C项没有“对应”，所以错误，而D项有“对应”，D是正确的.故选D.

【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、

面积周长等均相等.

4.（2020•四川雅安初一期末）如图，在口45。中，D、E分别是AC,A3上的点，若AADE咨ABDE

出△BDC,则ZD8C的度数为.

【答案】300

【分析】根据口4）石乌口3£>E，可得NA=NDBE,ZDEA=ZDEB=90°,又因为口3。石丝43口。可得

ZDBE=ZDBC,ZDEB=ZC=90°,故NA=NDBE=NDBC,所以可求出NDBC的度数.

【解析】解：VQADE^QBDEAZA=ZDBE,ZDEA=ZDEB

DEA+DEB=180°DEA=DEB=90°

TOBDE^ABDCAZDBE=ZDBC,ZDEB=ZC=90°

AZA=ZDBE=ZDBC.\NDBC=90o+3=30。故答案为：30°.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练全等三角形对应边对应角相等是解决本题的关键.

5.（2020•陕西扶风初一期末）如图，AAOB^ACOD,4和C,8和。是对应顶点，若BO=6,AO=3,AB=5,

则CD的长为（）

o

RD

A.5B.8C.10D.不能确定

【答案】A

【分析】由UAOBCOD,A和C,B和D是对应顶点可得到：AB=CD、AO=CO、BO=DO,已知AB

=5即可得CD的长.

【解析】口lAOB口匚COD,A和C,B•和D是对应顶点，E2AB=CD、AO=CO、BO=DO,

匚AB=5,DCD=5.即CD的长为5.故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练找出两个全等三角形的对应边是解此题的关键.

6.（2020•广东揭阳初一期末）如图□己知A/IBC丝□下列结论中不正确的是（）

A.ACVSCEB.ZBACUZECDC.ZACBUZECDD.ZBUZD

【答案】C

【分析】全等三角形的对应边相等，对应角也相等.

【解析】解由全等三角形的性质可知ALBD均正确，BLACBL]GCED故C错误.故选择C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，注意其对应关系不要搞错.

7.（2020•吉林宽城？初一期末）如图，AACF四4DBE,其中点A、B、C、D在一条直线上.

（1）若BE_LAD,ZF=62°,求/A的大小.（2）若AD=9cm,BC=5cm,求AB的长.

【分析】（1）根据全等三角形的性质得到NFCA=NEBD=90。，根据直角三角形的性质计算即可;

（2）根据全等三角形的性质得到CA=BD,结合图形得到AB=CD,计算即可.

【解析】（1）'：BE1AD,:./EBD=90°.

△ACF98DBE,：.ZFCA=ZEBD=90°.：.ZF+ZA=900'：ZF=62°,ZJ=28°.

（2）♦:/XACF-DBE,：.CA=BD.：.CA-CB=BD-CB.BPAB=CD.

\9AD=9cm,BC=5cm,.\AB+CD=9-5=4cm..\AB=CD=2cm.

【点睛】考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键.

知识点1-4全等变换的保形性

1）只改变图形的位置，不改变图形形状、大小，则变形后的图形与原来图形全等，叫作图形全等变换。

注：①平移、翻折、旋转都是全等变换；②缩放不是全等变换

1.（2019•山东济阳初二期中）如图，RtllABC沿直线边BC所在的直线向右平移得到口DEF，下列结论中

A.NDEF=90°B.BE=CFC.CE=CFD.Srai4JgABEH=S|nJii^DHCF

【答案】C

【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案.

【解析】•/RtFlABC沿直线边BC所在的直线向右平移得到DDEF

/DEF=/ABC=90°BC=EFSABC=SDEF

-1•BC—EC=EF—ECSABC—SHEC=SDEF—SHEC

BE=CFS四边形ABEH=S四边形DHCF但不能得出CE=CF故选C

【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线

段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

3.（2020•全国初二课时练习）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C处，折痕

为EF,若AB=1,BC=2,则匚ABE和DBCF的周长之和为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

分析：由折叠特性可得CD=BC，=AB,FCZB=EAB=90°,EBO-ABC=90。，推出ABE=C'BF,所以

BAEiJLiBC'F,根据ABE和：BCT的周长=2「ABE的周长求解.

【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C，处，折痕为EF,

由折叠特性可得，CD=BC=AB,UFC'B=lEAB=90°,EBC'=LABC=90°,

ABE+EBF=」C'BF+EBF=90°ABE=CBF

'/FC'B=ZEAB

在EIBAE和DBCF中，,BC，=ABDOBAEBCT（ASA）,

ZABE=ZCZBF

ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3,

ABE和！BCF的周长=21ABE的周长=2x3=6.故选C.

点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不

变，如本题中折叠前后角边相等.

3.（2020•丰宁满族自治县黄旗中学初二月考）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F

点处，ZBAF=60°,那么NDAE等于（口

A.45°B.30°C.15°D.60°

【答案】C

【分析】先根据矩形的性质得到NDAF=30°,再根据折叠的性质即可得到结果.

【解析】解：；ABCD是长方形，.,.ZBAD=90°,VZBAF=60°,AZDAF=30°,

•长方形ABCD沿AE折叠，.-.△ADE^AAFE,/.ZDAE=ZEAF=-ZDAF=15°.故选C.

2

【点睛】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全

等三角形，重合的部分就是对应量.

知识点1-5全等三角形判定条件

三角形全等判定总结：

①SSS②SAS③ASA©AAS⑤HL斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为HL）

1.（2020•陕西雁塔初一月考）下列判断正确的个数是（）

（1）能够完全重合的两个图形全等；（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等；

（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等；（4）全等三角形对应边相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

分析：分别利用全等图形的概念以及全等三角形的判定方法进而判断得出即可.

【解析】（1）能够完全重合的两个图形全等，正确；

（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等，必须是SAS才可以得出全等，错误；

（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等，是一角的对边或两角的夹边对应相等，正确；

（4）全等三角形对应边相等，正确.所以有3个判断正确.故选C.

点睛：此题主要考查了全等图形的概念与性质，正确掌握判定两三角形全等的方法是解题关键.

2.（2020•云南昆明三中初一期末）如图，AABC在平面直角坐标系中，点A（0,1）,B（4,1）C（1,3）,如

果要使AABD与AABC全等，那么点D的坐标可以是

【分析】根据题意画出符合条件的图形，根据图形结合A、B、C的坐标即可得出答案.

【解析】解：如图，•.'△ABD与£ABC全等，共有3种情况，Di（3,3）,D2（-1,-1）,D3（3,-1）,

故答案为：（3,3）或（1,-1）或（3,-1）.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，坐标与图形性质，注意要进行分类讨论，能求出符合条件的所

有情况是解此题的关键.

3.（2020•湖北枣阳?初二期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的

点A与PRQ的顶点R重合，调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上，过点A,C画一条射线AE,

AE就是1PRQ的平分线.此角平分仪,的画图原理是：根据仪器结构，可得这样就有

LQAE=JPAE.则说明这两个三角形全等的依据是（）

【答案】D

AD=AB

【解析】在^ADC和AABC中，＜OC=8CADCABCSSS

AC=AC

CiDAC=QBAC.即/QAERPAEL故选DD

【点睛】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解题的关键.

4.（2020•全国初二课时练习）如图，点A,E,B,F在一条直线上，在aABC和aFED中，AC=FD,BC=DE,

要利用“S$S”来判定AABC丝Z\FED时，下面4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；@BF=BE；可

利用的是（）

A.①或②B.②或③C.③或①D.①或④

【答案】A

【解析】由题意可得，要用SSS进行△月8c和△尸口）全等的判定，需要AB=FE

若添加①力则可得力E+BE=F8+8£,即故①可以；

若添加则可直接证明两三角形的全等，故②可以，

若添加或BF=BE,均不能得出/8=/区不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以.

故选A.

【点睛】本题考查/三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解题的关键.

5.（2019•山西浑源初二期中）如图，在△/BC中，4B=AC.点、B,D,E在同一直线上，点。在△/8C内、

点£在448。外，且若4%C=NZXE=5O°,贝U8EC的度数为（）

A.50°B.55°C.60°D.80°

【答案】A

【分析】如图，由4L4C=ND4E可得4AD=NC4E,进而可根据SAS证明△力8。g△4CE,于是得

NABE=NACE,再根据三角形的内角和定理即得N8EC=/8/C,从而可得答案.

【解析】解：如图，•••44C=NZME,N8AO=NC4E，

又。；AB=AC,AD=4E,：.^ABD^/\ACE(SAS),:./ABE=NACE,

■:NAOB=NCOE,:.NBEC=ZBAC=50°.故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述知

识是解题的关键.

7.（2019•广西田东初二期末）如图，△/8C的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他

所用定理是（）

A.SASB.SSSC.ASAD.HL

【答案】C

【分析】根据现有的边和角利用全等三角形的判定方法即可得到答案.

【解析】根据题意可知，NA,AB,N5都是已知的，所以利用ASA可以得到△/8C的全等三角形，从而就

可画出跟原来一样的图形.故选：C.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

•全国初二课时练习）如图，已知三条平行直线两条平行线间的距离为

7.（2020h/2,%，4，42,12,

4两条平行线间的距离为4,将一等腰直角三角形如图放置，过/,8分别向直线&作垂线，垂足分别为，

【分析】首先根据同角的余角相等得出NC4O=NBCE,再根据等腰三角形性质和一线三等角证出

OACD^CBE（AAS）,所以AD=CE=2+4=6,8=8£=4.即。石=。七+8,从而求解.

【解析】：AOJ_13于点。，BEJ.匕于点、E,：.NADC=NCEB=90°.

•.•NAC8=90°,:.ZACD+ZBCE^90°.•.•NAC£>+NZMC=90。，;.NCAD=/BCE.

ZADC=NCEB

在AACD和ACBE中，<NCA。=/BCE,

AC=CB

:QACD^CBE（AAS）,AD=CE=2+4=6，CD=BE=4.：DE=CE+CD,

.-.£>£=6+4=10.故答案为：10.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等根据同角的余

角相等和一线三等角证明三角形全等是解题关键.

8.（2020•全国初二课时练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的

长度DF相等，两个滑梯的倾斜角NABC和N0EE之间的关系是（）

A.ZABC=NDFEB.ZABC>ZDFEC.ZABC+ZDFE100°D.ZABC+NDFE=90。

【答案】D

【分析】根据HL定理判定RtLABC也RtUDEF（HL）,即可得到结果；

【解析】由题意可知3C=EE,AC=DF，ACLAB,DEIDF-

[BC=EF

「口ABC与口。石尸为直角三角形.，在R/CABC与町△DEF中，〈“一八.，

AC=DF

:.R1DABC^R^]DEF（HL）,:.ZACB=ZDFE.

ZABC+ZACB=90°.ZABC+ADFE=90°.故选D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，准确理解是解题的关键.

重难点题型

题型1全等三角形的判定

方法：5种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）

解题技巧：

1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形；2）寻找边角相等的3组条件。

3）往往有2个条件比较好找，第3个条件需要推理

寻找第3个条件思路：

原则

1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找

2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边

全等三角形证明思路：

.找夹角->SAS

已知两边<找第三边fSSS

找直角->HL

'边为角的对边T找任一角tA4S

主角左4工n於[找夹角的另一边fSAS

《重已知一边和一角404+4山口4

边为A角的邻L边｛找夹角的另一角->ASA

找边的对角fAAS

找夹角fAS4

已知两角<

找期中一角的对边fA4S

r：sss证全等

1.（2020•山东中区济南外国语学校初一期末）如图，点4D、C、F在同一条直线上，AD=CF,AB=DE,

BC=EF.(1)求证：AABC0ADEF；(2)若NN=60。，ZS=80°,求/尸的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）ZF=400.

【分析】（1）因为AD=CF,故AD+CD=CD+CF,即AC=DF,运用SSS可证UABCgUDEF；

（2）由（1）可得NF=/ACB,根据三角形内角和180。，可求NACB的度数，即NF可求.

【解析】解：（1）VAD=CF,/.AD+CD=CD+CF,即AC=DF,

AB=DE

在UABC和UDEF中，\BC=EF/.UABC^UDEF（SSS）；

AC=DF

（2）由（1）可得UABC丝UDEF,.,.ZF=ZACB,

根据三角形内角和180。，ZA=60°,ZB=80°,/.ZACB=180o-600-80o=40°,.*.ZF=40o.

【点睛】本题主要考察了三角形全等的判定方法及应用、三角形内角和为180。,能够根据AD=CF得出AC=DF

是解题的关键.

2.（2020•渠县崇德实验学校初一期末）“三月三，放风筝”如图是小颖制作的风筝，他根据AD=BD,AC

=BC,不用度量，就知道IDAC=UDBC,请你运用所学的知识，给予说明.

【分析】可证明4ACD与4BCD全等，题中给出两条边相等，又有一公共边，所以两三角形全等，可得对

应角相等.

AD=BD

【解析】解：如图：连接CD,在4ACD与4BCD中，,AC=3C,

CD=CD

：.AACD^ABCD(SSS),AZDAC=ZDBC.

【点睛】本题考查了全等三角形的应用；熟练掌握全等三角形的性质及判定，会求解一些简单的应用问题,

学会把应用问题转化为数学问题来求解.

3.(2018,高邮市汪曾祺学校初二月考)雨伞的中截面如图，伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=-AB,

3

AF=)AC,当。沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，/BAD与NCAD有何关系？说明理由.

【答案】相等一

【分析】ZBAD-ZCAD,根据已知条件利用SSS证明AAEO四△AFO,据全等三角形的性质即可得结论.

【解析】解：ZBAD=ZCAD.

理由如下：VAE=-AB,AF=-AC,AB=AC,/.AE=AE

33

在AAEO和AAFO中，AE=AF,AO=AO,OE=OF,

.,.△AEO^AAFO(SSS.).AZEAO=ZFAO,即NBAD=NCAD.

【点睛】本题考查全等三角形的应用.在实际生活中，常常通过两个全等三角形，得出对应角相等.

2°：SAS证全等

1.(2020•甘肃平川区四中初一期末)如图，A，8两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，

3之间的距离，但无法用绳子直接测量.爷爷帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达点A

和点3的点C,连接AC并延长到点。，使CD=AC；连接8C并延长到点E，使CE=CB；连接OE

并测量出。£=8相，这样就可以得到的长.请说一说爷爷的方法对吗？AB的长是多少？

【答案】爷爷的方法对，AB的长为8m

【分析】由题意知AC=DC,BC=EC,根据NACB=NDCE即可证明口。£）石笛0石，即可得AB=DE,即

可解题.

【解析】解：爷爷的方法对.

CD=CA

在△CDE和△C4B中，＜NDCE=NACB：DCDE^JCAB（SAS）;,DE=AB

CE=CB

♦.•OE=8m，A8=8m,即AB的长为8m.

【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证

□CDE出C45是解题的关键.

2.（2020•山东邺城初一期末）如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且AC〃DF.求

证：ZB=ZE.

【答案】见解析

【分析】先证出BC=EF,NACB=NDFE,再证明△ACBgADFE,得出对应角相等即可.

【解析】证明：；BF=CE,；.BC=EF,VAC//DF,AZACB=ZDFE,

BC=EF

在AACB和ADFE中，iZACB=ZDFE,.\AACB^ADFE（SAS）,/.ZB=ZE.

AC=DF

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，证出三

角形全等是解题的关键.

3.（2020•河南太康初二期末）如图，AB=AD,8C=OC,点£在/C上.（1）求证：4c平分N8/。；（2）

求证：BE=DE.

A

BD

【答案】（1）证明过程见解析：（2）证明过程见解析：

【分析】（1）由题中条件易知:AABC丝ZXADC,可得AC平分NBAD；（2）利用（I）的结论，可得ABAE出ZiDAE,

得出BE=DE.

AB=AD

【解析】（1）在AABC与AADC中，,AC=AC：/.△ABC丝△ADC（SSS）

BC=DC

，/BAC=NDAC即AC平分/BAD；

BA=DA

（2）由（1）ZBAE=ZDAE在ABAE与ADAE中，得＜NBAE=NDAE：

AE=AE

/.△BAE^ADAE（SAS）.*.BE=DE

【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键.

4.（2020•全国初二课时练习）（1）作图发现

如图1,已知AABC,小涵同学以AB、AC为边向^ABC外作等边AABD和等边AACE.连接BE,CD.这

时他发现BE与CD的数量关系是—.

（2）拓展探究

如图2.已知^ABC,小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,试判

断BE与CD之间的数量关系，并说明理由.

3图］0.图2c

【答案】（1）BE=CD：（2）BE=CD,理由见解析.

【分析】（D根据等边三角形的性质可得到：AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,再通过角的等

量代换可证出/CAD=/EAB,因此ACAD也AEAB,即可求解.

（2）根据正方形的性质可得到：AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=90°,再通过角的等量代换可证出

ZCAD=ZEAB,因此ACAD好aEAB,即可求解.

【解析】解：（1）1•△ABD和AACE都是等•边三角形，

/.AD=AB,AC=AE,/BAD=NCAE=60°,

ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即ZCAD=ZEAB,

AD=AB

在ACAD和AEAB中，V<ZCAD=ZEAB,

AC=AE

/.△CAD^AEAB(SAS),.,.BE=CD,

(2)BE=CD,理由同(1),

:四边形ABFD和ACGE均为正方形，；.AD=AB,AC=AE,/BAD=/CAE=90。，

/.ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即NCAD=NEAB,

AD=AB

•.•在£人口和^^8中，-ZCAD=ZEAB,.,.△CAD^AEAB(SAS),；.BE=CD.

AC=AE

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三

角形的判定与性质是解题的关键.

3°：ASA证全等

1.(2020•全国初二课时练习)如图，小颖站在堤岸边的A处，正对她的S点停有一艘游艇.她想知道这艘

游艇距离她有多远，于是她沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点.然后她向左直

行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时她位于D点.那么C,D两点间的距离就是在A点

处小颖与游艇间的距离.请你用所学的数学知识解释其中的道理.

【答案】见解析

【分析】先根据题目条件证明丝△OBC(ASA),再由全等三角形的性质即可得到答案;

【解析】根据题意，可知：ZA=ZC=90°.AB=CB,ZSBA=ZDBC.

NA=NC

在A5BA和ADBC中，<AB=CB所以AsSBA/△OBC(ASA).

NSBA=NDBC

所以64=。。(全等三角形对应边相等).即两点间的距离就是在A点处小颖与游艇间的距离.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定、全等三角形对应边相等

的性质是解题的关键.

2.(2020•湖南雨花初二期末)如图，DABC中，点D在AC边上，AEOBC,连接ED并延长ED交BC于

点F,若AD=CD,求证：ED=FD.

【答案】见解析

【分析】由平行可得内错角相等，再利用ASA即可判定4ADE丝4CDF,所以ED=FD.

【解析】证明：；AE〃BC：./EAD=/C

ZEAD=ZC

在4ADE和4CDF中，\AD^CD.,.AADE^ACDF(ASA).\ED=FD

ZADE=Z.CDF

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，比较简单，找到全等条件即可.

3.(2020•湖北阳新初三三模)如图，及AABC和HrAADE中，NC=NE=90°,ZCAD^ZEAB,

AC=AE,AB，OE相交于点尸，AD,BC相交于点G.

(1)求证：AABC=AADE；(2)若43=11,AG=6,求。G的长.

【答案】⑴详见解析;(2)5.

【分析】(1)先得出NC4B=NE4。，再由ASA证明两个三角形全等；

(2)由全等得出AB=AD,DG=AD-AG=AB-AG的结果.

【解析】(1)证明：•.•NC4Z)=NE4B..•.NC4D+ZfiAD=NE4B+NmB,即NC45=N£AD.

又AC=AE,NC=ZE=90°，.•.MBCMMDE(ASA).

(2)解：vAABC=AADE,:,AB=AD

=.•.AD=11.又AG=6,.•.£)0=11—6=5

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正确掌握全等的判定方法是关键.

4°：AAS证全等

1.（2020・四川巴州初一期末）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间

的地面上选了一点C,使B,C,D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的

夹角为90°,若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度.

E

田

田

田

BCD

【答案】52米

【分析】先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90。以及AB=CD可以推出AABC

注ACDE,从而得到匹=3。，进而计算出即可.

【解析】解：由题意可知：NB=NCDE=ZACE=90°,.-.ZACB+ZDCE=180°-90°=90°,

ZACB+ZBAC=90°,：.ZACB+ZDCE=ZACB+ABAC,:.ZDCE=ABAC,

ABAC=ZDCE

在AABC和中，＜NB=/CDE,:.MBC*CDE,:.ED=BC,

AB^CD

又；CD=12米，BD=64米，:.BC=BD—CD=64—12=52米,:.ED=52米,

答：该居民楼ED的高度为52米.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明AABC丝ACDE是解题的关键.

2.（2020•广西防城港初二期末）如图，四边形AFDC是正方形，NCE4和NAB/都是直角，且点

三点共线，CE=5,求AB的长.

【答案】5

【分析】根据题意推出NBAF=/ECA,进而利用AAS证明△ABFgACEA,从而得出AB=CE=5.

【解析】解：•••四边形AFDC是正方形，，CA=AF,ZCAF=90°；

•.,点E,A,B三点共线，AZEAC+ZBAF=180°-ZCAF=90°；

又：ZCEA=ZABF=90°,ZEAC+ZECA=90°,；.ZBAF=ZECA,

/.AABFACEA（AAS）,/.AB=CE=5.

【点，睛】本题考查全等三角形的判定与性质的应用.熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

3.（2020•山西朔州初二期末）综合与实践

阅读以下材料：

定义：两边分别相等且夹角互补的两个三角形叫做“互补三角形”.

用符号语言表示为：如图①，在AABC与4DEF中，如果AC=DE,ZC+ZE=180°,BC=EF,那么AABC

与4DEF是互补三角形.

反之，“如果AABC与aDEF是互补三角形，那么有AC=DE,ZC+ZE=180°,BC=EF”也是成立的.

自主探究

利用上面所学知识以及全等三角形的相关知识解决问题：

（1）性质：互补三角形的面积相等

如图②，已知aABC与4DEF是互补三角形.

求证：Z\ABC与4DEF的面积相等.

证明：分别作AABC与4DEF的边BC,EF上的高线，则NAGC=/DHE=90。.

……（将剩余证明过程补充完整）

（2）互补三角形一定不全等，请你判断该说法是否正确，并说明理由，如果不正确，请举出一个反例，画

出示意图.

图②

【答案】（1）见解析；（2）不正确，理由见解析

（分析］（1）已知AABC与ADEF是互补三角形，可得/ACB+/E=180。,AC=DE,BC=EF,证得/ACG=NE,

证明AAGC丝Z\DHE,得到AG=DH,所以工BC•AG='EE•，即4ABC与ADEF的面积相等.

22

（2）不正确.先画出反例图，证明4ABC丝ZXDEF,AABC与ADEF是互补三角形.互补三角形一定不全

等的说法错误.

【解析】（1）'.•△ABC与ZJDEF是互补三角形,/.ZACB+ZE=180°,AC=DE,BC=EF.

XVZACB+ZACG=180°,AZACG=ZE,

ZAGC=ZDHE=90°

在AAGC与ADHE中，＜ZACG=ZEAAAGC^ADHE(AAS)

AC=DE

.\AG=DH./.-BCAG=-EFDH,即△ABC与△DEF的面积相等.

22

AB=DE

(2)不正确,反例如解图，在AABC和△DEF中，＜NABC=N。E尸=90°.•.△ABC丝△DEF(SAS),

BC=EF

.♦.△ABC与ADEF是互补三角形....互补三角形一定不全等的说法错误.

A〃

【点睛】本题考查「全等三角形的判定及性质定理，利用AAS和SAS证明三角形全等，已知两个三角形全

等，可得到对应边相等.

5°：HL证全等

1.（2019•江苏鼓楼南京市第二十九中学初二期中）用三角尺可以按下面的方法画NAO5的平分线：在

04、OB上分别取点E、工使OE=O/；再分别过点E、尸画04、03的垂线，这两条垂线相交于点C；

画射线0C（如图）.试说明射线0C平分NAO3的道理.

【答案】见解析

【分析】由作图过程可得0E=0F,CE10A,CF10B,进而证明Rt^OEC-RjOFC,即可得射线0C为

NA0B的角平分线.

【解析】证明：：OE±CE,OFLCF,_­."EC=ZOFC=90°.

[OC=OC/、

在放口OCE和R/OOCF中，\Rt[：OCE^RtUOCF（HL],

OE=CF

・•.ZEOC=ZFOC,・•・OC平分ZAOB.

【点睛】本题考查/作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

2.(2018•新沂市王楼中学初二期中)如图，NA=ND=90o「AC=DBACHDB相交于点O.求证：OB=OCJ

【答案】证明见解析.

分析：因为NA=ND=90°,AC=BD,BC=BC,知RtZ\BAC丝Rt^CDB(HL),所以/ACB=NDBC,故0B=0C.

BD=CA

【解析】证明：在Rt^ABC和RtZ\DCB中〈，

BC=CB

ARtAABC^RtADCB(HL),AZ0BC=Z0CB,/.B0=C0.

点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等

的重要工具.

3.(2020•湖南常德初二期末)如图，已知8,。在线段4c上，且Z£>=C8,BF=DE,NAED=NCFB=

90°求证：(1)LAED迫ACFB；(2)BE//DF.

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.

【分析】(1)根据HL证明RtaAEDgRtaCFB得出结论；

(2)证明△DBE-ZIiBDF,则NDBE=/BDF,可得出结论.

【解析】(1)：NAED=/CFB=90。，

AD=BC

在Rt^AED和Rt^CFB中，《，.,.RtAAED^RtACFB(HL)；

DE=BF

(2)VAAED^ACFB,/BDE=/DBF,

DE=BF

在ADBE和4BDF中，=,.,.ADBE^ABDF(SAS),

BD=DB

.,.ZDBE=ZBDF,；.BE〃DF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决

问题的关键.

题型2.全等三角形性质与判定的应用

解题技巧：熟练掌握全等三角形的性质和判定及其他板块的知识，根据实际情况分析即可。

1.(2020•全国初二课时练习)如图，点8和点C是对应顶点，ZO=ZADC=90°,

记NQ4£>=a,ZABO=JS.当3C//Q4时，试探究。与夕之间的数量关系.

【答案】a=2B

【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB=AC,全等三角形对应角相等可得NBAO=NCAD,然后求出

ZBAC=a,再根据等腰三角形两底角相等求出NABC,然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出NOBC,

整理即可.

【解析】：.AB^AC,ZBAO^ZCAD,

：.ZABC^ZACB,ZBAC^ZOAD^a，AZABC=^(180°-ZBAC)=1(180°-a).

BC//OA,:.ZOBC=180°-NO=180°-90°=90°.

又•.•ZABO=£,.•./?+g(180°—a)=90°,.•.a=2£.

【点睛】本题考查了全等