【课件】直线与平面垂直判定课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

作业讲评作业讲评作业讲评直线与平面垂直的判定复习引入1.直线和平面的位置关系有哪些?（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）2.线面平行的判定定理的内容是什么?如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.3.线面平行的性质定理的内容是什么?如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.在直线和平面相交的位置关系中,直线与平面垂直特殊而且重要的,这节课我们重点来探究直线与平面垂直。问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

一条直线与一个平面垂直的意义是什么？问题引入新课AαBB1C1CB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．

与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．

直线垂直于平面内的任意一条直线．直线与平面垂直的定义Plα直线平面l的垂面垂足α的垂线

如果直线l

和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直记作：l⊥αl叫做α的垂线,α叫做l的垂面,l与α的唯一公共点P叫做垂足。说明：l⊥α等价于对任意的直线m

⊂α，都有l⊥m.

利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒

.线面垂直的画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？可以发现：

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.点到平面的距离如棱锥的高就是顶点到底面的距离.思考题1

直线l与平面α内的无数条直线a,b,c…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么？答案:D解析:直线l和α相互平行或直线l和α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.探寻直线与平面垂直的条件思考题2

根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线l与平面α内的所有直线都垂直,那么有没有可行的方法？l与平面α内一条直线a垂直肯定不可以，两条呢？探寻直线与平面垂直的条件l与平面α内两条平行直线a、b垂直肯定不可以。

那平面内的两条直线相交时又是什么情况呢？思考题3直线与平面垂直的判定方法

如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：

过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）

当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．即AD垂直BD和CD两条相交线时，AD垂直实验探究直线与平面垂直的判定定理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.Pablα作用：线线垂直线面垂直符号语言：⇒l⊥α.已知：如图，已知a∥b，a⊥α。求证：b⊥α。巩固新知

分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。ab例1

两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.已知：如图，已知a∥b，a⊥α求证：b⊥α巩固新知证明：在平面α内取两条相交直线m、n，ab例1

两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.反思感悟

判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.证明线面垂直的方法例2如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.

∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.变式：若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.反思感悟

直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.

判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.

由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.平面的斜线

如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。PA斜足斜线直线和平面所成的角如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。斜线斜足射影垂足垂线一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角。规定:思考:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?A1B1C1D1ABCD例3如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。（2）直线A1B和平面A1DCB1所成的角。O巩固新知分析:找出直线A1B在平面A1DCB1内的射影,就可以求出A1