天津市八校2023-2024学年高三年级下册联合模拟考试数学试题（二）（含答案解析）

天津市八校2023-2024学年高三下学期联合模拟考试数学试题

（二）

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.设集合A={-3,2,5},B={0,l,6},C={-l,4,5},贝|(AC)B=(

A.{5,6}B.{-3,0,1,5}C.{6,0,1,5}D.{0,2,4)

2.已知a,6eR,贝!|“。=》=。”是"|。+a=0”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

设。=2叫"JJ

3.c=log32,则a,b,c的大小关系为（

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4.已知函数y=/（x）的部分图象如图所示，则〃力的解析式可能为（）.

x

C.〃x)=D.f(x)=

5.已知数列｛%｝为不单调的等比数歹!j,A，数列也｝满足么则数列

。29

4lo

也｝的最大项为（）.

1D-i

B-I

6.有人通过调查统计发现，儿子成年时的身高与父亲的身高呈线性相关，且儿子成年时的

身高y（单位：cm）与父亲的身高x（单位：cm）的经验回归方程为£=0.839x+28.957,

根据以上信息，下列判断正确的为（）.

A.儿子成年时的身高与父亲的身高的样本相关系数r=Q839

B.父亲的身高为170cm,儿子成年时的身高一定在171cm到172cm之间

C.父亲的身高每增加1cm,儿子成年时的身高平均增加Q839cm

D.儿子在成年时的身高一般会比父亲高

7.已知正方体A3CQ-A耳6。的外接球的体积为36兀，点E为棱A3的中点，则三棱锥

6-4血的体积为（）.

A.1B.2有C.迪D.165/3

33

8.将函数〃尤）=8$2二$向8$犬-1的图象向左平移弓个单位长度得到函数？（力的图象，

2o

下列结论正确的是（）.

A.g（x）是最小正周期为兀的偶函数B.点g，o1是g（x）的对称中心

C.g（x）在区间后片上的最大值为3D.g（x）在区间上单调递减

9.已知抛物线y2=2px（p>。）的焦点为尸，抛物线上的点M（4,%）到下的距离为6,双曲

22

线二-当=1e>0,人>0）的左焦点£在抛物线的准线上，过点耳向双曲线的渐近线作垂线,

ab

垂足为则目与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（）.

A.2B.73C.75D.3

二、填空题

10.i为虚数单位，则3=_________.

1-21

11.在X3-J-的展开式中，V的系数为____________.

IY尤J

12.己知直线y=2x+l与圆尤?+/+2依+2丁+1=。（4片0）交于A8两点，直线

尔+产2=0垂直平分弦42,则。的值为.

13.两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率

为;若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6,若来自不同的家庭，

游戏成功的概率为0.3,则游戏成功的概率为.

14.在四边形A3CD中，/A=120,AC=1,AB=2DC,M为中点.记A£>=a,AB=b,

试卷第2页，共4页

用a,6表示BM=_________________;若AN=1DC,则ND-的最大值

4

为.

2|%+臼x<0

15.设aeR,函数〃力=七],若函数y=/(x)-阿恰有4个零点，贝I]实数

|%-5x+4|,x>0-।।

a的取值范围为.

三、解答题

16.在锐角ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c.已知〃=3,6=20,ABC的面

积为3.

⑴求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(23—C)的值.

17.如图，在直三棱柱ABC-4耳£中，ACLBC,AC=BC=2,CC1=3,歹为8c的中点，

点、D,E分别在棱A4和棱CG上，且短)=1,CE=2.

⑴求证：4尸〃平面

⑵求平面ACGA与平面BDE夹角的余弦值；

⑶求点A到平面BDE的距离.

22

18.已知椭圆+当=1(。>6>0)的左、右焦点分别为入鸟，点尸的坐标为(ab),且线

ab

段。尸的长是长轴长的史.

(1)求椭圆的离心率e；

⑵若直线P8交椭圆于M,N两点(M在N的上方)，过尸2作PN的垂线/交》轴于点

若线段0”延长线上的一个点"满足的面积为半,.

①证明四边形。尸”N是菱形;

②若口与|=g,求椭圆的方程.

19.已知｛%｝为等差数列,｛9｝是公比为2的等比数列.q=1,且%-4=1,a^-bx=b3-a6.

⑴求数列｛%｝和加“｝的通项公式;

ak---\bk,左为奇数,

Iak)

⑵若q=

(1

打“+一，左为偶数•

\a2n+l-k

①当左为奇数，求，+。2“+-；

In

②求

k=l

20.已知/(x)=x+arlnx(«eR),

⑴当4=2时，求“X)在点(e,〃e))处的切线方程;

⑵讨论/(x)的单调性;

(3)若函数存在极大值，且极大值为1,求证：/(x)<e-x+x2.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】利用交集与并集的概念计算即可.

【详解】易知AC={5},所以（AC）B={6,0,l,5}.

故选：C

2.A

【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.

【详解】若4=6=0,则|。+4=0,即充分性成立；

若卜+4=0,例如〃=1,6=-1,满足条件，但。=6=0不成立，即必要性不成立；

综上所述："。=6=0”是“|。+4=0”的充分不必要条件.

故选：A.

3.B

【分析】由指数函数的单调性可得lv，v〉v2,由对数函数的单调性可得0<c<l,即可得

到结果.

【详解】M=20-5,且2°<2°」<2口5<2|，

即lvav〃v2,X0=log31<log32<log33=1,

即0<C<l,所以6>4>C.

故选：B

4.D

【分析】根据/'（0）=0排除A,根据定义域排除B,根据奇偶性排除C,进而可得答案.

【详解】对于A,"》）=」_|_1在％=0处无意义，故A错误;

ex-l

对于B：〃x）=M的定义域为R'故B错误;

对于C：的定义域为{x|xw±l},

2

讨'一（T）'_尤2

且3舟丁「=/（x）,则/（X）为偶函数，故C错误;

答案第1页，共14页

X

对于D,满足图中要求，故D正确.

故选：D.

5.C

【分析】根据等比数列的概念求公比及通项公式，再利用指数函数的单调性求最大项即可.

2a4111

【详解】由题意可知一寸『“=5或"二,

又｛《｝为不单调的等比数列，所以q=一;，则%

故年=1一%包

若要求｛2｝的最大项，需”为偶数，则2=1+&「'，

根据指数函数的单调性可知当〃=2时，仇=£为他,｝的最大项.

O

故选：C

6.C

【分析】根据题意，由线性回归方程的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

£（%-可（y-9）£（%-可（%-方

1=1

【详解】因为r=且J-----------

£”）2

£（一）2

Vi=li=li=l

即「与6不一定相等，故A错误;

当父亲身高为170cm时，孩子身高可能在171cm到172cm之间，

而不是一定，故B错误；

因为亍=0.839X+28.957,即父亲的身高每增加1cm,

儿子成年时的身高平均增加0.839cm,故C正确；

由回归方程可知，是否比父亲高还得取决于父亲身高，因此判断不了儿子成年时一般比父亲

高，故D错误；

故选：C

7.B

【分析】由正方体的特征及球的体积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计算

答案第2页，共14页

即可.

【详解】由题意可知正方体的外接球直径为正方体的体对角线,

4

所以V=-7lX=36兀=>AB=2A/3,

3

所以VcAED=-xC1Cx-xADxAE=-x2^x2y/3xy/3=2y/3.

,326

故选：B

8.D

【分析】先由二倍角余弦公式和辅助角公式化简再平移得到g(x)=-?sin2x,由正弦函数

的奇偶性得到A错误；代入得到B错误；由正弦函数的单调性得到C错误,D正确.

.、*即、\21cos2x+l1._1v2f_兀)

【洋用牛】/x=cosx-sinxcosx——=-----------sin2x——=——cos2x+—,

v722222^4)

向左平移方个单位长度得到函数g(x),则g(x)=*cos[2[无+/]+£=-亨sin2x,

对于A：由以上解析可得雇元)为奇函数，故A错误；

对于B：当x=9时，g(x)=-交sin(2x']=-变，故B错误；

4s'，214)2

7r3

对于C：因为函数g(x)的递增区间为2E+342XV2E+5兀,％eZ,即

713

fai+—<x<fai+—7i,^eZ,

44

jrjr

同理得函数g(x)的递减区间为kn--,kn+-,ksZ

■jr

所以一五,0是g(x)的一个递减区间，

JT

又当xe0,-时，g(x)<0,

所以g(Hmax=g(_f1)=一,Sin(一《)=亨，故C错误；

TT兀

D：由C的解析可知，所以减区间为hi--,k7i+-,kwZ,

L44J

所以当k=0时可得，g(x)在区间上单调递减，故D正确；

故选：D.

答案第3页，共14页

9.A

【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求P、F、片，再由双曲线的性质，基本不等式

计算即可.

【详解】设双曲线右焦点F?，易知尸［券，o］，MF=4+^=6np=4,

即尸（2,0）,大（一2,0）,乙（2,0）,而双曲线的一条渐近线为y尤，

易知忸储+>2=02=4所以|OH|=a,

yja+b

由双曲线的性质可知Sg%=2SHFfi=ab,

由基本不等式可知MW=2,当且仅当a=b=亚时取得等号.

故选：A

74

10.-+-i

55

【分析】利用复数的乘、除法运算计算即可.

3-2i(3-2i)(l+2i)7+4i74.

【详解】由------------——--------------------------------=--------------=11

l-2i(l-2i)(l+2i)1+455,

74

故答案为：j+—i

11.224

【分析】根据二项式定理通项公式可得结果.

【详解】因为通项公式为4+1=C；（x3广［-胃［=卜0）'。/々,

6333

当24-：r=3nr=6时，TM=（-^）Cfx=8x28x=224x,

所以/的系数为224,

故答案为：224.

12.2

【分析】利用圆的性质，两直线位置关系计算即可.

【详解】由题意可知（x+ay+（y+l）2=a2,即圆心C（一a,—l）,

又直线如+y+2=0垂直平分弦A8,所以nu+y+2=0过圆心,

答案第4页，共14页

1

-ma-1+2=0m=—

所以2.

2m-1x1=0

a=2

故答案为：2

221

13.-/0.40.42/—

550

【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概

率公式计算即可得第二空.

2C2

【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为片=记=不

C1C13

而来自不同家庭的概率为6

2321

贝惭戏成功的概率为尸=0.6x1+0.3x1=丁=0.42.

2

故答案为：—;0.42

o1一33

14.—a—b——

216

【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出利用数量积的运算律及定义，余

弦定理、基本不等式求出最大值即得.

【详解】由M是AD中点，AD=a,AB=b,得=AM-43=5a-。；

在四边形ABC。中，令AD=m,DC=n,由AB=2DC,^AB//CD,AB=2nf

由NB4O=120,得NADC=60，在△ADC中，由余弦定理得,

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC,BP1=m2+n2-mn>mn,当且仅当m=n时取等号,

由⑷^AN=-b,ND=AD-AN=a--b,

488

13jtbND-BM=(a--b)•(—a-b)=—+—b--a-b=—m2+—n2---m-2ncosl20

8228162216

117125,12533

=—(m2+n2)Hmn=--\----mn<—H=一

21621621616

33

所以的最大值为

16

答案第5页，共14页

irr33

故答案为：~a~^;7-

216

15.一1<〃<0或lva<2

【分析】对实数。的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况的/(%)的函数图象，函数

y=-阿恰有4个零点，说明的图象与尸画的图象有四个交点，通过尸网斜

率的变化即可确定实数。的取值范围.

【详解】因为函数y=〃尤)-阿恰有4个零点，

所以y=〃x)的图象与y=H的图象有四个交点，

当a=0时，如图所示，

\/

/y=/(x)的图象与尸网=0的图象仅有两个交点，与题意不

-3-2-'1|012345X

符；

当〃<0时，如图所示，

由图可知，当a<-2时，,=画与y=/(x)在(-8,0)有一个交点，在(0,+8)有两个交点，

与题意不符，

在xe[l,4]上，当/("=一%2+5%-4与y=px相切时，

丫=一+5犬一4

，得一f+5%+ar-4=0,

)y=—ax

贝必=(5+a)2-16=0,得Q=-1(舍去a=-9),

所以当-2<av-l时，丁=画与y=/(x)在(-8,0)有无交点，在(。,+e)有两个交点，与题

答案第6页，共14页

意不符,

当(7=-1时，>=网与y=/(x)在(T,0)有无交点，在(0,+8)有三个交点，与题意不符,

当-l<a<0时，产网与y=/(x)在(-8,0)有无交点，在(0,+8)有四个交点，符合题意;

y——%+5%一4

联立《，得—炉+5元—⑪―4=0,

[y=ax

贝必=(5--16=0,得。=1(舍去a=9),

由图可知，当0<“<1时，丁=画与y=在(-8,0)有两个交点，在(0,+oo)有四个交点，

与题意不符，

当4=1时，、=附与y=/(x)在(-8,0)有两个交点，在(0,+8)有三个交点，与题意不符,

当I<a<2时，,=画与y=/(x)在(-8,0)有两个交点，在(0,+8)有两个交点，符合题意,

当a22时，、=网与y=/(x)在(-8,0)有一个交点，在(。,+8)有两个交点，与题意不符.

综上所述，-l<a<0或l<a<2.

故答案为：—1<。<0或

【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的应用，关键在于数形结合与分类讨论的思想,

需要通过讨论。取值范围的不同，结合x范围的限制，判断交点个数，然后推出。的范围即

可.

16.⑴石

⑵亭

⑶逑

10

答案第7页，共14页

【分析】(1)利用三角形面积公式s=；帅sinC可得角C,再用余弦定理求C；

hc

(2)根据正弦定理号=-^即得;

smBsinC

(3)先用二倍角公式求出sinZB.cosZB,然后再用两角差的正弦公式求值.

【详解】(1)SAM=，QbsinC='x3x2A/5sinC=3^sinC=3,

22

二sinC=正，又ABC是锐角三角形，

2

7T

-C=~,又由三角形余弦定理得：

4

c2=a2+b2—labcosC=9+8—2x3x2A/2COS—=5,

4

c—•

b

(2)由三角形正弦定理得:即氤-",

sinBsinC

272x叵

T_275.

/.sinB=------；='

V55

⑶又Bel0,^1,/.cosB=Vl-sin2B_5,

~5

/.sin2B=2sinBcosB=2x-x,

555

43

cos2B=COS2B-sin2B=—

555J

又

c三

4V2f3^1A/275/2

.-.sin(2B-C)=sin28cosc-cos2BsinC=—X---------------------X-----------=-----------

52I210

17.(1)证明见解析

(3)l

【分析】(1)取BE的中点G,证明AF//DG即可;

答案第8页，共14页

(2)建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值;

(3)向量法求点到平面的距离.

【详解】(1)证明：取BE的中点G,连接fU,DG,则FG//CG/M4,

且网=审=2,...BG〃4。且FG=4。，

则四边形AOG尸为平行四边形，，4尸//。6.

又A^cz平面及定，OGu平面3DE,

二A尸〃平面&5及

(2)解：直三棱柱ABC-A与G中，AC1BC.以C为原点，以。;CBCG的方向为》轴、

y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则3(020),£(0,0,2),0(2,04),:.BE=(0,-2,2),BD=(2,-2,1),

n-BE=-2y+2z=0,

设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z),则

n•BD=2x—2y+z=0,

即令y=l,则z=l,x=g,得到平面3DE的一个法向量〃=

易知平面AC£A的一个法向量为根=(0,1,0).

设平面ACCM与平面mE的夹角为

-x0+lxl+lx0

|m-n|22

贝Ucos8=|cosm,n|

1^1Ini3

-+1+1

4

7

.•・平面ACGA与平面BZ汨夹角的余弦值为;.

答案第9页，共14页

(3)解:4(2,0,3),^D=(O,O,-2),

|-2l4

d=

•••点4到平面BDE的距离=|,;|^~=3.

2

18.⑴

42

⑵①证明见解析；②3-+2vL=i.

164

【分析】（1）利用条件中线段长关系可构造齐次式求离心率；

（2）①根据上问结论化简椭圆方程，分别求直线DH、PN的方程，根据面积求出

\DF2\^\F2H\,再求出N坐标，可判定|明|=优尸|,从而证明结论；②直接由口用=（解方

程即可.

【详解】（1）由已知得长轴长为2a,则也=aS=YZn3/=4b2,；.a2=4c2,£=e=L

2a2a4a2

22

（2）①证明：由（1）知。2=4。2,〃=3。2,所以椭圆方程为》+9=1,

易知尸（2c,疯?），工（c,0）,

所以k==6，

PF，

2"C

故直线DH的方程为y=T（x—c）,直线PN的方程为y=c）,

令x=0,则丁=4。，|。周二2yc,

易知|P闾=2c,

=lx2cx^l=^l2

:.SPDFccPDH\DF.\=\F2H\,

r2332'DHI4II4I

y=6（x-c）

22

联立方程组|yvnl5f-24cx=0,

'命+密之

Qr

解得X]=0,尤2=5，

M在N的上方，.•・N（0,-&）,|NK|=2c,

即质|=国尸|,

答案第10页，共14页

由上得，四边形。尸"N的对角线互相垂直且平分，故四边形。PHN是菱形.

②解：由叱仁孚=g，c=孚，从而"胃涉=2，

19.(1)«„=«>"=2"

⑵①公*；②胄+3$22向

【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式列方程求解;

（2）①利用条件直接求解；②求出当上为偶数时，+。2“+—，然后利用倒序相加以及错位相

减法求和即可.

【详解】（1）设数列｛%｝的公差为％也｝的公比为2,%=1,

1+2d-4=1

由已知可得得a=2,d=l,

1+31_4=的_(1+51)，

a

••n="〃=2"；

(2)①，k为奇数,，2几十l—k为偶数.

1]1

,•/+。2〃+1-左=ak%+a2n+\-(2n+\-k)'^2n+l-(2n+l-k)

\ak71”2〃+1-(2〃+1-&))

k+1

ak+—jbk=2akbk=2k-2=k-2^；

ak)

②当k为偶数,2〃+l-左为奇数，

Ck+C2n+\-k=a2n+\-k4〃+l-k+a2n+l-kp2n+l-jt=2aZn+l-Mzn+l-k

\a2n+\-k7Va2n+l-k7

答案第11页，共14页

=2(2n+l-k\2rn+1-k=(2n+l-k)-^n+2-k

2n

令邑”=£康，

k=\

SC

2n=Cj+C2++Cln-1+2n，

SCC

即2„=1n+2„-l++C2+Ct,

2s2"=(。+C2n)+(C2+C2«-l)+++。2)+(。2“+G),

CC+C+C+C

2s2"=(q+C2n)+(c3+C2n_2)+++C?)+(。2+2,>-1)+(42n-3)+(2nl)

=1X22+3X24++(2H-1)-22Z!+(2n-1)-22"+(2H-3)-22^2++lx22

所以S?"=1x2+3x23++(2n-1)-22n-1+(2/i-1)-Z2"-1+(2/i-3)-22n-3++1x2

所以4s2“=1x23+3x25++(2n-1)-22n+1+(-1)-22n+1+(2«-3)-22"-1++lx23

所以

352112M+12n+I2-12n-33

-3S2„=2+2(2+2++2T)-(2n-1)-2-(2M-1)-2+2(2"+2++2)+2

,3_o2n-l403_n2n-lA

=2+2x--=---------(2H-1)-22"+1-(2H-1)-22"+1+2X-------------+2

1-4v7v71-4

20,10-12”i+i

33

所以5「曰+巨?Wx”.

20.(l)y=5x-2e

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)利用导数，求切点处切线的方程；

(2)利用导数，分类讨论函数的单调性；

(3)由极大值，求出。的值，通过构造函数求最值的方法证明不等式.

【详解】(1)当a=2时，f(x)=x+2xlwc,贝|〃e)=e+2e=3e,

又r(x)=3+21nx,则切线的斜率左=/'(e)=5,

所求切线方程为y-3e=5(x-e),即