二次函数y=axh^的图像与性质3

二次函数y=a(x-h)2的图象和性质知识回顾y=ax2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(0,k)(0,k)y轴y轴当x<0时，y随着x的增大而减小。当x>0时，y随着x的增大而增大。

当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时，y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.本节课学习目标掌握二次函数y=a(x-h)2

的图像与性质，理解二次函数图像的左右平移。画出函数y=2x2y=2(x-1)2y=2(x+1)2的图象。

xy

o－1y=2x2y=2(x+1)2y=2(x-1)2图象的位置有什么关系?自学检测：函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h）2(a≠0)的图象形状

，只是位置不同；当h>0时，函数y=a(x-h）2的图象可由y=ax2的图象向

平移

个单位得到，当h〈0时，函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向

平移

个单位得到。图象向左移还是向右移,移多少个单位长度,有什么规律吗?左加右减相同右h左|h|

xy

o－1y=2x2y=2(x+1)2y=2(x-1)2自学检测：观察图象,回答问题(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？

图象是轴对称图形对称轴是平行于y轴的直线:x=1.顶点坐标是点(1,0).二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1个单位函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?二次项系数相同a>0,开口都向上.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?

在对称轴(直线:x=1)左侧(即x<1时),函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少,.顶点是最低点,函数有最小值.当x=1时,最小值是0..二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的增减性类似.(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在对称轴(直线:x=1)左侧(即x>1时),函数y=3(x-1)2的值随x的增大而增大,.想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?

真知从实践走来1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？

在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象．完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质x-4-3-2-1012342712303122727123031227

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图象是轴对称图形.对称轴是平行于y轴的直线:x=-1.顶点坐标是点(-1,0).二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1个单位.1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?二次项系数相同a>0,开口都向上.想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?在对称轴(直线:x=-1)左侧(即x<-1时),函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少,.顶点是最低点,函数有最小值.当x=-1时,最小值是0..二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的增减性类似.2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？在对称轴(直线:x=-1)右侧(即x>-1时),函数y=3(x+1)2的值随x的增大而增大,.猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.

2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.y3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x<1时,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=1)右侧,当x>1时,y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x<-1时,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=-1)右侧,当x>-1时,y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.X=-1X=11.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).二次函数y=a(x-h)2的性质2.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a<0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.X=hX=h4.越大,开口越小,

越小,开口越大.二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=ax2整体沿x轴平移了个单位(当h>0时,向右移个单位;当h<0时,向左移个单位)得到的.y＝a(x-ｈ)2a>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)小结3.抛物舒线y=羽ax2+k有如押下特询点:当a>周0时,开口忆向上;当a<碑0时,开口苏向上.(2争)对称投轴是y轴;(3扯)顶点崭是(0臂,k歪).抛物作线y=a(航x－h)2有如牲下特侮点:(1金)当a>锯0时,开口地向上,当a<毙0时,开口备向上;(2极)对称夜轴是x=邻h;(3馋)顶点鹅是(h塞,0疫).2.抛物陕线y=帅ax2+k可以淡由抛元物线y=仅ax2向上磁或向照下平精移|k碰|得到.抛物纳线y=a(锅x－h)2可以绒由抛叮物线y=细ax2向左威或向鼓右平形移|h私|得到.(k蚂>0钻,向上吼平移;k索<0向下杰平移.)(h纱>0乔,向右斥平移;h径<0向左槽平移.)1.抛物迅线y=盛ax2+k、抛姐物线y=a(滑x－h)2和抛众物线y=化ax2的形骂状完陵全相持同,开口针方向漏一致;(1免)当a>袄0时,开口捧向上,当a<闹0时,开口扣向下;1、抛防物线y=天4（x-陆3）2的开太口方抛向，对反称轴拌是，顶利点坐黑标是，抛键物线盈是最点，当x=时，y有最值，穴其值趋为。抛物础线与x轴交辞点坐衔标，与y轴交至点坐乳标。向上直线x=羞3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）2、按懒下列压要求求求出嚼二次住函数但的解荐析式蝇：（1）已风知抛立物线y=焦a(图x-探h)2经过涂点（-3，2）（-1，0）求假该抛鸽物线蓬线的勤解析航式。（2）形桨状与y=找-2扰(x稳+3质)2的图灯象形瓜状相尘同，蝇但开碎口方萝向不误同，掌顶点法坐标他是（1，0）的羡抛物复线解稍析式宿。（3）已尽知二元次函帆数图域像的书顶点纵在x轴上疼，且绑图像朗经过童点（2，-2）与休（-1，-8）。洪求此暂函数误解析气式。抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y=-4(x-3)2向上直线x=-亿3(睡-3佩,堆0垂)直线x=1直线x=3向下向下(为1沈,榜0显)(环3,井0突)知识鉴巩固2.用配秘方法阻把下织列函靠数化劈燕成y=弦a（x-币h）2的形梢式，他并说级出开克口方抬向，造顶点字坐标枯和对储称轴堪。y=壁ax2y=沈a(妨x-散h)2y=衔ax2+ky=昼ax2k>挪0k<撑0上移下移h>蝴0右移h<联0左移说出割平移娱方式舅，并督指出钢其顶郊点与钥对称山轴。顶点x轴上顶点y轴上问题:顶点劝不在刊坐标继轴上予的二恰次函呜数又挡如何挪呢？试一全试填空庙题（1）二么次函伶数y=想2（x+容5）2的图砌像是，开水口，对另称轴花是，当x=时，y有最值，撕是.（2）二标次函挪数y=侨-3（x-诊4）2的图牵像是系由抛忍物线y=庭-浪3x2向平移个单纺位得湿到的亿；开宣口，对塔称轴楚是，当x=时，y有最值，器是.抛物仔线向上直线x=片-努5-5小0右4向下直线x=盛44大0（3）将较二次注函数y=功2x2的图捉像向滴右平锯移3个单做位后忌得到园函数的图统像，绞其对诸称轴无是，顶辛点是，当x时，y随x的增昨大而驼增大舌；当x时，y随x的增辅大而凉减小.（4）将和二次勿函数y=赶-右3（x-菠2）2的图氧像向垂左平炒移3个单突位后换得到唇函数的图洒像，折其顶乞点坐庆标是，对如称轴捡是，当x=时，y有最值，孩是.y=灰2（x-你3）2直线x=调3（3，0）＞3＜3y=姨-茂3（x+傍1）2（-1，0）直线x=爷-1-1大0试一赖试（5）将银函数y=租3（x－4）2的图旱象沿x轴对暮折后各得到傻的函结数解谈析式愤是；将征函数y=您3（x－4）2的图柏象沿y轴对敏折后能得到经的函另数解室析式枪是；y=－3（x－4）2y=环3（x+辣4）2（6）把贱抛