《金新学案》高三数学一轮复习函数第一章第十节函数模型及其应用课件

第十节函数模型及其应用1．几类函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(3)指数函数型模型：y＝abx＋c(b>0，且b≠1)．(4)对数函数型模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1)．(5)幂函数型模型：y＝axn＋b(a≠0)．函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递单调递单调递增长速度越来越越来越相对图象的变化随x增大逐渐表现为与随x增大逐渐表现为与随n值变化而不同2．三种函数模型的性质增增增快慢平稳y轴平行一样x轴平行一样(1)指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度快于y＝xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x>x0时有ax>xn.(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)，尽管在x的一定范围内可能会有logax>xn，但由y＝logax的增长速度慢于y＝xn的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数x0，使x>x0时，logax<xn.(3)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)与y＝xn(n>0)尽管都是增函数，但由于它们增长速度不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上随x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.3．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：1．(2008年全国卷Ⅰ)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(

)【解析】由v(t)＝s′(t)，即函数曲线上任一点的切线的斜率为此时刻的速度，而加速行驶阶段速度在增大，即切线的斜率在增大，同样减速行驶阶段，切线的斜率在减小，故选A.【答案】

A2．下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是(

)A．y＝

B．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x【解析】∵在(0，＋∞)上，总存在一个x0，使x>x0时，有ax>xn>logax.∴排除B、C，又∵e>2，∴

的增长速度大于100·2x的增长速度．【答案】

A3．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于(

)A．3万～4万元B．4万～5万元C．5万～6万元D．2万～3万元【解析】设存入的本金为x，则x·2%·20%＝138.64，∴x＝＝34660.【答案】

A4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2003年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2008年的垃圾量为________吨．【解析】

2004年垃圾量为a(1＋b),2008年垃圾量为a(1＋b)5.【答案】

a(1＋b)

a(1＋b)55.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为

.(围墙厚度不计)【答案】

2500m2一次函数与二次函数模型

如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b<a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．【思路点拨】

依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值问题求出S的最大值．分段函数模型

某影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，需给影院定一个比较合理的票价，要求它符合以下三个基本条件：①为方便找零与算账，票价为1元的整数倍；②影院放映一场电影的成本费用支出为5750元，票房收入必须高于成本支出；③用x(元)表示每张票的票价，用y(元)表示该影院放映一场的净收入(除去成本费用支出后的收入部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式和它的定义域；(2)试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少时，放映一场的净收入最大？(1告)本题宪中的孙总收家益满泻足的画函数城关系纽奉式已例经给论出，武将利剩润表棉示为歇月产蝇量的劲函数惕，只剧需利柄用“总收柏益＝口总成趣本＋齐利润”这一软关系洒直接坐求出亮即可歉．(2帽)在函拴数应偿用题约中，且已知锦等量牙关系粥是解型题的桐依据梳，如兼本题漏中“总收督益＝过总成情本＋铜利润”，再队如“销售雪额＝蜻销售箩价格×销售追量”等．锹像几绑何中血的面稼积、其体积蒜公式骗等也泳常用姓来构仅造函嗽数关角系．(3庭)对于浊一些裂较复胞杂的树应用场问题慨，有痛时仅膜构造毕一个颂数学达模型搏还不畅能根熊本解钱决问灭题，况需先境后或稀同时直构造翻、利再用几网个函敞数模伍型．1．在甚某服恐装批旋发市初场，卡季节锹性服猎装当柄季节厨即将盾来临似时，孔价格诱呈现帝上升识趋势芒，设忘某服盾装开膝始时盈定价罩为10元，霞并且饲每周(7天)涨价2元，5周后撞开始赏保持20元的页价格拣平稳甚销售谁；10周后跪，当狂季节月即将汪过去循时，怀平均桶每周病削价2元，济直到16周末段，该任服装薯已不呼再销锐售．(1菊)试建斧立价军格p(元)与周造次t之间倒的函丑数关炒系式秘；(2雹)若此圣服装补每周戴进价q(元)与周暖次t之间袭的关属系为q＝－0.偿12捷5(较t－8)2＋12，t∈垦[0放,1饺6]，t∈糕N，试胡问该嗽服装把第几码周每嘉件销揉售利枕润最拍大？【解析】(1轮)当t∈[0尿,5存]时，p＝10＋2t；当t∈(5塑,1彻0]时，p＝20；当t∈(1点0,旺16耽]时，p＝40－2t态.指数管、对欢数函需数模绪型19例99年10月12日“世界60亿人却口日”，提腥出了“人类摄对生烦育的途选择昨将决获定世易界未徒来”的主词题，那控制榆人口剧急剧捐增长喇的紧乘迫任签务摆音在我基们的旬面前歇．(1航)世界狱人口饺在过详去40年内蛋翻了蒙一番晶，问绢每年惯人口孔平均厉增长痛率是糠多少杆？(2克)我国迁人口鄙在19夫98年底恒达到12店.4诉8亿，钥若将天人口碑平均旋增长明率控黑制在1%以内局，我做国人云口在20驻08年底锁至多具有多胆少亿斤？以下岁数据移供计局算时烘使用圾：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.47710.69901.09621.11761.1392【解析】(1授)设每努年人谨口平川均增夺长率切为x，n年前革的人恼口数岗为y，则y·(1＋x)n＝60，则右当n＝40时，y＝30，即30冠(1＋x)40＝60，∴(1＋x)40＝2，两边滚取对浙数，总则40稼lg孩(1＋x)＝lg退2，(2饺)依题候意，y≤12园.4牵8(朴1＋1%陶)10，得lg胶y≤lg令12查.4息8＋10×lg汇1.千01＝1.鸦13腥92，∴y≤13映.7丈8，故词人口珍至多研有13扛.7誉8亿．答：絮每年猫人口齐平均既增长迫率为1.巴7%编,2振00然8年人漂口至股多有13载.7炼8亿．此类额增长良率问默题，电在实查际问银题中肥常可饺以用孔指数膏函数劲模型y＝N(馋1＋p)x(其中N是基塘础数下，p为增引长率翻，x为时评间)和幂宅函数准模型y＝a(胶1＋x)n(其中a为基这础数貌，x为增守长率澡，n为时少间)的形运式．飞解题驰时，习往往黎用到详对数胸运算甘，要渠注意撒与已朱知表壮格中秘给定课的值望对应脱求解停．2．某杜城市专现有方人口细总数势为10苹0万人采，如浊果年怎自然计增长蚀率为1.忠2%，试逢解答歇以下就问题洗：(1散)写出桨该城程市人潮口总喊数y(万人)与年鄙份x(年)的函誉数关得系式躲；(2普)计算10年以只后该台城市柜人口抓总数(精确尝到0.雕1万人)；(3始)计算刮大约她多少湖年以僻后，倦该城友市人腰口将轻达到12衰0万人(精确荒到1年)；(参考俯数据它：1.南01糖29≈1址.1鲁13廉,1胆.0卖1210≈1叔.1仆27，lg宇1.就2≈军0.冠07钥9，lg孩2≈负0.逆30叼10，lg茂1.暴01翁2≈境0.抗00傻5，lg芹1.盼00患9≈绒0.争00终39仙)【解析】(1漫)1年后之该城刊市人宾口总皆数为巴：y＝10古0＋10歌0×1.乐2%＝10弱0×(1＋1.千2%猛)2年后后该城摄市人疯口总面数为y＝10雄0×(1＋1.向2%贯)＋10娘0×(1＋1.提2%深)×1.占2%＝10社0×(1＋1.赏2%挠)2.3年后粪该城送市人婶口总玩数为y＝10龙0×(1＋1.夜2%庸)2＋10液0×(1＋1.卡2%拼)2×1.冬2%＝10昼0×(1＋1.麦2%犯)3.x年后轧该城厨市人兆口总燥数为猜：y＝10涛0×(1＋1.壮2%澡)x.(2深)1赛0年后慰人口禽总数届为10确0×(1＋1.翅2%旺)10≈11舱2.绕7(万人)．(3藏)设x年后化该城坊市人植口将鼠达到12例0万人现，即10肚0×(1＋1.场2%冰)x＝12挤0，x＝lo义g1.桐01碌2\f屠(1桃20她,1扭00路)＝lo耐g1.秘01熟21.槽20≈15深(年)．数学腿的重认要性便在于奋应用冠，对厦解决柏实际改问题碍的考掌查是旷高考丧的热僻点，王近年话来高测考中难对解另决实宿际问考题的距考查报重心俱转移岂到概拘率和丛概率尼统计隙一章全，但贪利用盘函数孕解决偏实际疮问题牵仍不饼可忽楚视．如何敞选择梅变量鸣把实芬际问绍题转剥化为晶函数且问题度是解目决实睛际问叼题的有关键洁，而街函数蜻问题往有可迹能与沃方程奸、不凤等式堂以及奶导数晕等内粮容进缝行综赔合考梁查．1．(2芽00陡9年浙政江卷)某地绒区居丧民生岗活用礼电分吐为高普峰和抱低谷扒两个拜时间厦段进板行分统时计敏价．笋该地举区的懂电网分销售刺电价蒸表如哲下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某更家庭5月份念的高辰峰时杆间段简用电家量为20洲0千瓦顿时，贤低谷调时间跪段用肚电量隶为10秒0千瓦越时，脖则按科这种感计费围方式暮该家夫庭本胁月应口付的乔电费凉为__脾__梯__餐__元(用数喂字作触答)．【解析】高峰寄时段致的电贫价由善两部湾分组慎成，难前50千瓦择时电边价为50×0.罪56订8元，垦后15得0千瓦奥时为15闻0×0.铸59画8元．禾低谷专时段济的电垂价由口两部偶分组脆成，发前50千瓦爆时电网价为50×0.巾28葡8元，勉后50千瓦晃时为50×0.腐31誉8元，谣∴电津价为50×0.辈16灶8＋15估0×0.懒59犯8＋50×0.朋28窜8＋50×0.延31逼8＝14忆8.齿4(元)．【答案】14份8.遗42．(2卫00揉9年上米海卷)有时祸可用刮函数f(访x)＝描述控学习灯某学泡科知贝识的苗掌握校程度取，其推中x表示债某学姥科知痒识的华