《数据结构A》第章黄刚

数据结构DataStructuresinC++南京邮电大学计算机学院第5章树南京邮电大学计算机学院5.1

树的基本概念5.2

二叉树5.3

二叉树的遍历5.5

树和森林5.6

堆和优先权队列5.7

哈夫曼树和哈夫曼编码5.8

并查集和等价关系南京邮电大学计算机学院5.1树的基本概念南京邮电大学计算机学院树形结构是元素之间有着分层关系的结构，它类似于自然界中的树。这是一类很重要的非线性数据结构。一方面，计算机应用中，常常出现嵌套的数据，树结构提供了对该类数据的自然表示。另一方面利用树结构，我们可以有效地解决一些算法问题。南京邮电大学计算机学院图5-1西欧语言谱系图原始印欧语古意大利语日耳曼语西日耳曼语拉丁语西班牙语法语意大利语希腊语北日耳曼语冰岛语瑞典语挪威语英语荷兰语德语古希腊语南京邮电大学计算机学院5.1.1树的定义定义5.1树是包括n个结点的有限非空集合D，R是D中元素的序偶的集合，R满足以下特性：（1）有且仅有一个结点rD，不存在任何结点vD，vr，使得<v,r>R，称r为树的根；（2）除根r以外的所有结点uD，都有且仅有一个结点vD，vu，使得<v,u>R。这样定义的树也称有根树，简称树。

南京邮电大学计算机学院定义5.2树是包括n个结点的有限非空集合T，其中，一个特定的结点r称为根，其余结点T-{r}划分成m（m0）个互不相交的子集T1,T2,,Tm，其中，每个子集都是树，被称为树根r的子树。

南京邮电大学计算机学院南京邮电大学计算机学院双亲(parent)：若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的双亲。A、F、B的双亲是E。C、D的双亲是F。孩子(child)：某接点子树的根是该结点的孩子。E有三个孩子：A、F、B。D有一个孩子：J。兄弟(sibling)：有相同双亲的结点互为兄弟。A、F、B互为兄弟，C和D互为兄弟。结点G和C互为兄弟否？EAFGBCDLJMN南京邮电大学计算机学院结点的度(degree)：结点拥有的子树数。结点E的度为3，结点F的度为2，结点A的度为1，结点G的度为0。叶子(leaf)：度为零的结点。B、G、J、M、N均为叶子结点。EAFGBCDLJMN分支结点(branch)：度不为零的结点。E、A、F、C等为分支结点。树的度：树中结点的最大的度。该树的度为3。南京邮电大学计算机学院AG无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。下列是同一棵无序树：将左边树中所有结点的子树互换次序就是右边的树。EAFGBCDLJMNEFBCDLJNM南京邮电大学计算机学院有序树：如果树中结点的各棵子树看成是从左到右有次序的，则称该树为有序树。有序树的各子树从左到右为第一棵子树、第二棵，…下列是二棵有序树：AGEAFGBCDLJMNEFBCDLJNM南京邮电大学计算机学院森林：是树的集合。0个或多个不相交的树组成森林。果园或有序森林：有序树的有序集合。若将树中的根去掉，则得到根的子树组成的森林。

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若增加一个结点，将森林中各树的根作为新增结点的孩子，则森林即成为树。南京邮电大学计算机学院5.2二叉树南京邮电大学计算机学院方法珍二：削改进稳结构滴，组作织成妻树形苦结构府。比发较次元数不听会超督过树躬高，浙提高趣了效范率。二叉赖树是听非常留重要越的树潜形数忠据结大构,很多钻从实肢际问府题中寒抽象站出来卡的数斯据是惑二叉馋树形冰的。二叉认树应汤用例放子。未设有慎序表伤为（21，25，28，33，36，45），还现在正要在守表中躺查找乏元素33。282136253345方法营一：芽顺序狱搜索薪。效挥率低韵，平芒均比胀较一辅半的努元素稍。（21，25，28，33，36，45）比较赴了4次！比较绘了3次！3333南京任邮电磨大学江计算码机学艺院5.厦2.矿1二叉稀树的苏定义定义5.干3二叉召树是结咏点的家有限船集合盘，该这集合暑或者极为空南集，促或者茄是由新一个颜根和呢两棵绳互不喊相交呀的，膛称为盖该根宿的左艘子树郑和右帐子树暗的二与叉树桂组成视。南京酬邮电递大学姥计算发机学葛院二叉语树的疾五种耕基本丛形态二叉崭树与启树的欠区别二叉攻树可毁以为短空二责叉树二叉内树结鹿点的曾子树态分为饺左、仍右子魂树南京延邮电眠大学穷计算殃机学捎院5.端2.劣2二叉晃树的穴性质性质5.仙1二叉乒树的刘第i(准i1)层上酬至多财有2i-失1个结洒点。证明炮：当i=河1时，属二叉羽树只渗有一护个结命点，爬结论可成立冻。净设矩当i=裂k时结闯论成宝立，超则当i=若k+勺1时，悦因为新每个刷结点等最多康只有逮两个荣孩子夏，所融以，咸第k+死1层上台至多河有2*娃2k-冷1=2k个结点脏，性亡质成卖立。南京暖邮电受大学滤计算尽机学顽院性质5.抗2高度闯为h的二丛叉树片上至义多有2h–1个结河点。证明冰：当h=征0时，颤二叉骨树为脚空二拼叉树脉。当h>泥0时，狠利用亏性质5－1，高摄度为h的二卡叉树死中结向点的扎总数源最多寇为：南京宁邮电疫大学政计算倾机学昆院性质1、2的图变形解羊释南京聚邮电伶大学奔计算闭机学许院性质5.墨3包含n个元仗素的免二叉嗽树的还高度倦至少欣为lo位g2(n诵+1档)证明：由插性质2，高版度为h的二狮叉树储最多泡有2h–1个结孩点，参因而n2h–1塑,则有hlo统g2(n袖+1览)。因h是整皆数，记所以hlo找g2(n现+1敏)。南京化邮电架大学替计算知机学榜院性质5.违4任意伙一棵过二叉贺树中伤，若颠叶结锹点的昆个数霉为n0，度为2的结尘点的勾个数棕为n2，则必童有n0=n2+1。证明塔：设二容叉树困的度免为1的结诊点数熟为n1，树中匠结点这总数唤为n，则n=泽n0甘+n袜1+罚n2乡丰…祝…①（∵二叉披树中勾只有鸭度为0、1、2三种押类型胜的结油点）设分看支数复为B，n个结掌点的诵二叉铅树，犁除了昼根结惯点外萄，每炸个结嚼点都任有一榴个分解支进散入，熊则B=虑n-朱1；分支俗是由絮度为1或者喜度为2的射晕出的鲁，又剥有B=找2n兄2+毁n1；则有俱：n-戒1=救2n伪2+穗n1n路=2此n2昨+n员1+粗1…缠…②由①驳②可得减到：n0凭+n川1+典n2岸=2朱n2挡+n阶1+晌1趁n0监+n队2=扬2n斧2突+1即n2汪=n么0-酱1。南京急邮电召大学素计算洗机学螺院定义5.丸4高度旬为h的二贡叉树竞恰好竹有2h–1个结戴点时司称为蛋满二服叉树。定义5.指5一棵滑二叉易树中拴，只央有最才下面刺两层计结点极的度肌可以参小于2，并飞且最毅下一享层的混叶结唱点集孔中在府靠左例的若翁干位维置上往，这魂样的涂二叉值树称脾为完纤全二络叉树。定义5.说6扩充圣二叉蕉树浅也称2－树，扩充莲二叉史树中晨除叶赢子结返点外拌，其纹余结猜点都朴必须耀有两分个孩严子。南京景邮电殊大学奥计算寻机学好院南京绣邮电遭大学营计算延机学甩院性质5.新5具有n个结津点的完全阵二叉巡寿树的高谎度为lo啊g2(n和+1脚)。证明更：设完免全二盈叉树笛的高棕度为h，则除脉最下冤层外删，前h-岔1层形蒸成满丘二叉贵树，奸总共伤有2h-辽11个结纷点；勉而最立下层还，即丧第h层的粱结点滨个数磁最多海不超奋过2h-代1个。冷因此创有2h-烟11<捷n2h1移项应得2h-臂1<n亭+12h取对删数h-拒1<徐lo请g2(n汪+1可)hlo负g2(n元+1郊)h<机lo棍g2(n掠+1陵)+逐1所以，h则=lo默g2(n伞+1烧)南京冰邮电词大学弄计算气机学补院性质5.队6假定赴对一赴棵有n个结凤点的浪完全迅二叉览树中译的结疯点，窝按从葱上到码下、纽奉从左仗到右位的顺锤序，经从0到n-愤1编号指，设末树中亏某个给结点糖的序述号为i，0i<鸦n，则有原以下河关系印成立螺：（1）当i=搏0时，浩该结岔点为掩二叉垦树的萍根；（2)若i>呀0，则该酷结点势的双济亲的曲序号驾为(i滚-1苗)/帜2；（3）若2i绸+1川<n，则该皇结点恋的左忽孩子桂的序变号为2i巧+1，否则收该结隔点无瞒左孩章子；(4绘)若2i焰+2蔑<n，则该偶结点洗的右塔孩子患的序已号为2i悼+2，否则寻该结描点无姨右孩违子。南京姐邮电率大学抓计算泡机学枯院5.由2.驾3二叉玻树AD卵TAD喊TBT防re背e{数据续：二叉物树是灶结点外的有向限集馒合，那它或钢者为往空集灶合，徒或翁者潮由一误个根苍结点托和两牛棵互困不相描交的游左、术右子华二叉税树组益成。运算娇：Cr诱ea收te始()佩;构造帮一棵悔空二屋叉树量。De陡st谢ro袋y(搁)：撤消抄一棵暑二叉陪树。Is无Em灭pt县y()皱:若二魄叉树圾为空捆，则督返回tr送ue，否则盒返回fa行ls竟e。Cl熟ea本r(狡):移去培所有缴结点赏，成赶为空话二叉怀树。南京芝邮电祥大学插计算愁机学充院Ro层ot随(x顽):若二否叉树漏非空荒，则x有根附的值智，并臭返回tr车ue，否则夏返回fa浩ls蚁e。Ma戴ke袜Tr羊ee(x灶,略le军ft照,冲ri诉gh崭t)握:构造丽一棵致二叉剧树：宰根的鸣值为x，以le漠ft和ri奴gh唉t为左交右子罗树。Br哑ea付kT男re煌e(x侨,组le起ft子,停ri宝gh接t)勾:拆分调二叉痛树为惜三部纸分：x为根泥的值烈，le产ft和ri魄gh插t分别皱为原育树的乱左、法右子赴树南京灾邮电倦大学乐计算器机学隆院Pr歼eO衫rd教er(V毙is弄it凤):使用鲁函数Vi旺si塑t访问没结点,先序堤遍历令二叉遗树。In赖Or番de叶r(V桐is帽it侵):使用宗函数Vi恒si惑t访问什结点,中序夺遍历施二叉亏树。Po洗st献Or仿de并r(V被is炎it甘):使用荐函数Vi谱si滔t访问慌结点,后序妇遍历杏二叉震树。}南京来邮电茧大学燃计算心机学龟院5.锡2.腥4二叉节树的希存储利表示完全席二叉维树的谜顺序格表示南京娱邮电板大学恢计算葱机学置院二叉留树的怨链接为表示(二叉姓链表)lChildelementrChild共有n-柏1个指照针域香非空,恰有n+生1个空今指针傍域。南京悠邮电躬大学胳计算帖机学斑院5.夏2.协5二叉惨树类程序5.雀1二叉征树结另点类te纳mp帐la街te凤<c著la场ss馅T首>st隆ru旋ctBT欧No胁de{BT公No巡寿de()污{lC捞hi童ld=rC土hi鲜ld=N敞UL老L;诵}BT圆No迷de(c则on协st饶T访&偏x){el庄em龄en天t=幕x;lC燥hi村ld=rC萄hi腊ld=N娃UL件L;}南京篮邮电喊大学炸计算兆机学停院BT戏No振de(c殊on吧st睡T余&朗x,BT丽No慌de<T积>*抬l党,BT迁No悠de<T辞>*监r恒){el彩em访en腹t=芝x;lC愁hi播ld=l糖;rC键hi芒ld=r变;}南京诵邮电甩大学鸭计算痒机学胁院T快el尿em截en臣t;BT漠No邪de<T匀>*lC布hi谨ld,续*rC壤hi馆ld;};lChildelementrChild南京脱邮电购大学腐计算必机学顶院程序5.耗2二叉烧树类te拳mp赠la夫te穗<c魔la秤ss菠T疫>cl友as砌sBi勺na夜ry解Tr挽ee{pu岁bl登ic该:Bi店na蝇ry次Tr候ee()翅{r歪oo胳t=卧NU详LL烛;}~Bi脆na愤ry吊Tr虫ee()侨{C稠le乔ar绢()待;}bo泰olIs个Em须pt的y()辛co眼ns园t;vo奸id简C霜le芹ar熄()架;南京将邮电忧大学莲计算棉机学罩院bo轧olRo蜘ot乓(T筒&抹x)掉co监ns泪t;vo钢idMa都ke保Tr潜ee(c振on挠st圈T范&屑e咬,Bi巾na鸦ry咽Tr色ee<T录>&嚼le单ft更,Bi撕na箩ry智Tr敞ee<T闪>&真r寻ig鞠ht辱);vo裤idBr条ea得kT喊re谎e(T炎&次e秒,Bi妹na割ry洒Tr财ee<T乏>&劫le墙ft剃,Bi苦na贞ry用Tr愁ee<T外>&俩r罗ig毙ht径);vo狗idPr少eO垒rd松er(v灵oi倾d声(*岁Vi格si暴t)网(T父&倒x)衰);vo僻idIn帆Or助de线r(v惜oi愤d堆(*妹Vi码si脆t)米(T圈&般x)桨);vo的idPo框st恢Or友de象r(v负oi剖d尼(*狸Vi从si悟t)吓(T耳&燃x)僚);南京边邮电扰大学鸡计算给机学元院pr是ot赖ec气te爬d:BT奖No姜de<T扰>*ro焰ot应;pr腾iv披at敲e:vo轿id才C亲le谣ar奇(BT寄No俘de<T柱>*值t坛);vo慢idPr赵eO毫rd保er(v此oi朋d彩(*框Vi差si溜t)饺(T陈&晃x)扣,BT楚No食de<T骗>*齐t)列;vo怠idIn挽Or陡de它r(v维oi碧d谜(*茅Vi绝si考t)慰(T论&侍x)暴,BT告No禽de<T黄>*杰t)扶;vo换idPo直st竹Or深de纳r(v需oi散d踪蝶(*幻玉Vi尾si祖t)搜(T期&你x)纲,BT贪No哄de<T赤>*景t)刷;};南京枪邮电暮大学布计算扫机学喉院5.桃2.想6实现占二叉慢树基泽本运早算程序5.伯3部分踩二叉仆树运切算te屋mp诉la绍te欣<宵cl皂as拣s艳T>bo茅olBi深na澡ry掀Tr菠ee<T蜘>:花:R弯oo岗t(辛T顽&x易)c刃on给st{if吴(r历oo我t)促{x=部ro赞ot吉->忘el厌em抗en吵t;re倘tu务rn犬t捕ru卸e;}el逝se陡r怀et典ur驻n为fa皇ls羊e;}南京山邮电伍大学困计算睛机学某院建立唐二叉送树南京熔邮电惭大学瞒计算称机学劳院南京熄邮电榴大学嫂计算预机学暑院te桥mp五la头te辫<c对la雷ss喷T倍>vo伙idBi舒na胞ry言Tr蝇ee<T寒>:击:Br构ea测kT百re垂e(T雄&狸x,Bi烟na画ry多Tr拉ee<T带>&尊le炭ft巡寿,Bi编na倾ry跨Tr晕ee<T傻>&厦ri恨gh先t){倦if详(!霞ro修ot腹||名&l夏ef茫t=舞=&亡ro扒ot亡||妄le舱ft廉.r痰oo海t|赔|r岂ig岭ht遣.r吐oo缓t)re虹tu振rn址;x振=洒ro锅ot济->学el刘em便en墨t;le芦ft棋.r惊oo艇t支=挂ro亲ot刃->lC黎hi柔ld;ri久gh仓t.蓝ro凭ot逮=抛r姻oo怒t-永>rC生hi伸ld;de奶le仇te犹r黑oo达t;ro鲜ot疏=厘N稠UL妄L;}DCEFAle喘ft绳.r狮oo脸t→←r还ig液ht达.r必oo剖troot=∧root南京魂邮电逼大学扶计算杏机学口院in伤tma矛in轨(v壶oi殿d){Bi宇na狱ry膏Tr缺ee<c要ha狱r>狸a,西b薪,舞x,汉y付,峡z;y.Ma救ke上Tr格ee('盼E'阴,袖a,僚b卷);z.Ma番ke剃Tr己ee('揉F'镇,絮a,坛b高);x.Ma督ke坚Tr汗ee('语C'垄,穴y,恐z瞎);y.Ma府ke影Tr浇ee('器D'软,言a,地b后);z.Ma露ke稍Tr零ee('齐B'坏,背y,捆x纱);z.Br具ea授kT朱re伶e(e橡,理y,泰x拔);re毯tu致rn矛0厕;}abxyzEyCxFz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