2022高中数学第2章归纳总结同步导学案北师大版必修5

第二章概括总结知识构造知识梳理深入对正、余弦定理的理解正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理解两个定理及其变形1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：在△ABC中，a＝b＝sinAsinBcsinC正弦定理有以下三种变形形式：a=2RinA,b=2RinB,c=2RinC;Aa，b，c②in=sinBsinC2R2R2R其中R是△ABC外接圆的半径a：b：c=inA：inB：inC余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即：a2=b2c2-2bccoA,b2=a2c2-2accoB,c2=a2b2-2abcoC余弦定理的推论：coA=b2c2a2,2bccoB=a2c2b2,2accoC=a2b2c22ab解析斜三角形的种类与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（起码要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解对于斜三角形的解法，根据已知条件及合用的定理，能够概括为以下四种种类（设三角形为△ABC,A,B,C所对的边分别为a,b,c）:已知条件应用定理一般解法一边和两角（如a,∠B,∠C）正弦定理由∠A∠B∠C=180°,求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解两边和夹角（如a,b,∠C）余弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出一正弦定理边所对的角；再由∠A∠B∠C=180°求出另一角，在有解时只有一解三边（a,b,c）余弦定理由余弦定理求出角；再利用∠∠∠A、BABC=180°,求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角（如正弦定理由正弦定理求出角B；由∠A＋∠B∠a,b,∠A）余弦定理C=180°,求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c,可有两解、一解或无解解三角形常用的边角关系及公式总结（1）三角形内角和等于180°两边之和大于第三边，两边之差小于第三边三角形中大边对大角，小边对小角三角函数的恒等变形：inAB=inC,coAB=-coC,inABC，ABC2222三角恒等变换公式，如和、差角公式，倍角公式的正用与逆用等解读判断三角形形状的两种方法判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解：（1）利用正弦定理化边为角，经过三角运算判断三角形的形状利用余弦定理化角为边，经过代数运算判断三角形的形状注意：根据余弦定理判断三角形的形状时，当222,22>2,c2a2>2中有一个关系式建即刻，并不能得abcbcab出该三角形为锐角三角形的结论常用三角形面积公式总结（1）S△ABC=1a·ha=1b·hb=1c·hcha,hb,hc分别为a,b,c边上的高222（2）S△ABC=1abinC=1bcinA=1acinB＝abcR为△ABC的外接圆半径2224R3S△=ABC

ppapbpc11AC73ACBAC7B71ABC，ABCk12222222222223coscos2sin222222b2c2a21OBOBOBABAB2bc3sinOQBsinOABsinOABsin60192sin6019331923433ACsinACD2193319sin120sinCAD1919219sinCDA3223sinC1cosC1acac2Ca2b2c2a2c2b2a2c2b2a2b2c222222ab2ac2ac2aba2b2c2a2c2b224a4abc22C2Ccos的海面/h的速度向西偏4a24a2sinAsinBsinC210北45°的方向移动台风侵袭的范围为圆形地区，目前半径为60m，并以10m/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭［解析］此题需要解决两个问题：一是th后台风侵袭的半径大小；二是th后城市到台风中心Q的距离，若t时该城市受到侵袭，则此时OQ的大小应不大于台风侵袭的半径［解析］设th台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形地区半径为（10t60）m,若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t60由余弦定理，知222OQ=PQPO-2·PQ·PO·co∠OPQ，由于PO=300，PQ=20t，co∠OPQ=coθ-45°=coθco45°inθin45°22224=2＋12=1010252222∴OQ=20t-9600t300，因此202t2-9600t3002≤10t602,即t2-36t288≤0,解得12≤t≤24答：12h后该城市开始受到台风的侵袭［说明］该题是典型的台风损坏性问题的数学模型，拥有较强的实际应用性，此题波及三角函数、余弦定理、不等式等知识，是一道综合的解三角形实际应用问题变式应用4如图，测量河对岸的塔高AB时，能够选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得∠BCD=α,∠=β,=,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB