龙驭球《结构力学Ⅰ》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解（中册）

目录

内容简介

目录

第5章静定结构位移计算的虚力法

5.1复习笔记

5.2课后习题详解

5.3名校考研真题详解

第6章力法

6.1复习笔记

6.2课后习题详解

6.3名校考研真题详解

第7章位移法

7.1复习笔记

7.2课后习题详解

73名校考研真题详解

第5章静定结构位移计算的虚力法

5.1复习笔记

本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位

移进行求解。遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论

,在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位

荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更

加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等

定理。

一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）

表5-1-1虚力法求刚体体系的位移

要点主要内容

化整为零、?4零为整：先将整体变形拆解为局部变形，再将局部

基本思路

变形公式彘力口得出整体变形公式

计算结构位①验算结构的刚度，进而蛤算结构的挠度；

移的目的②为分析超静定结构的内力做准备

结构位移计算①荷载作用；

产生位移的

②温度变化和材料胀缩；

原因

③支座沉降或制造误差

用有支座移动的结构来阐述单位荷载法。设支座4

已知条件

向上移动ci,求B点竖向位移△

①沿拟求位移A方向虚设一单位荷载；

②根据受力平衡求解支座反力：FRI=fa;

单位荷载法

③列虚功方程：AXl+c后尸0,解得

（见图5-1-1）

计算步骤

=b

△A=-=

a

④判断符号方向：求出位移为正值，说明虚设单位

荷载与实际位移方向一致

(a)

(b)

图5-1-1

二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）

要点主要内容

基于化整为零、积零为整的原则，结构位移的计算从局部变形入手，通

过已经介绍过的单位荷载法推导其拉伸、翦切、弯曲变形公式，再对这

基本思路

些局部变形公式进行彝加，得到整体变形公式，最后将结构位移广义化，

可以求解两点之间的广义位移

微段轴向位移出.二£出

微段分项位移微段剪切位移助二加出

局部变形微段转角位移d0=dsR=xds

局部位移公式

dA—Md^+FNdz+FQdi/—(MX+FN£+FQ]O)ds

推导依据外力虚功犷=内力虚功密

无支座位移

整体变形A=£((X1X+FN£+FQN)ds

有支座位移CK

△=Zf(MK+FNE+FQ7O)ds—XFRATX

拟求位移△可以引申理解为广义位移，但需要根据广

定义义位移的性质虚设广义单位荷载。广义位移、广义单

广义位移

位荷载和外力虚功三者之间满足：彳=1・A

广义位移分类见表5-1-3

注：£为微段轴线伸长应变；7为微段平均切应变；K为微段轴线曲率，而、乐、

FQ分别为虚设单位荷载在截面引起的弯矩、轴力、剪力。

表5-1-2虚力法求静定结构的位移

表5-1-3广义位移分类

三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）

主要内容

要点

原理手段作用

虚力法借功求未知力虚设单位位移用于力系的平衡分析

用于位移、变形的几

虚位移法借功求未知位移虚设单位荷载

何分析

表5-1-4两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力

四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）

表5-1-5荷载作用时静定结构的弹性位移计算

要点主要内容

监

弯曲应变K=―-代入

EI

荷载引A=Xf（疏+齐N£+FQYO）ds

起位移

轴向应变£=T得

的计算EA

公式A=2j3由+2隹殳由+2/匪殳由

3EI乙JE4乙JG4

翦切应变y°=k—

GA

△=2]—心

梁和刚架:位移主要由弯矩引起

乙JEI

A=y|区&"ds

桁架:位移主要由杆件轴力引起

各类结乙JEA

构的位

yfWpy^Ap!

移公式桁架组合结构:位移主要由杆件A=ds+

弯矩和轴力引起乙JEI乙EA

A=，|•陛+国

拱:位移主要由弯矩和轴力引起

乙JEIEA

1rSy,

平均切应变7。公式/=--dA

/o0/Lb

截面平

均应变a

系数2

五、图乘法（见表5-1-6）

表5-1-6图乘法

要点主要内容

一直杆段有两个弯矩图，其中有一个直线图则

产MM,11,

―:~-dr=—MiMrdx

LEIEIiA

1例

=—Jxtan（XMKdr

1a

二屈tan工队也

公式推导

1,

=—tanaAxQ

=—Ay

EI0o

式中，M为直线弯矩图；/为越段内此图的面积；a为M图

直线的倾角；X?是Mr图形心到y轴的距离；州是与Mk图形心

对应的酩图纵坐标

①杆段为等截面直杆；

前提条件②结构满足小变形条件；

③至少有一个直线弯矩图用以选取竖距州

正负号规定面积且与竖标a在杆的同一侧时A、vo取正,否则取负号

①若两个弯矩图中有一个图形是由几段直线组成的折线（包括标

距为零的线段），则应分段图乘，然后进行囊加；

具体问题②若其中一个弯矩图比较复杂，则可以将其切割成多个规则图形

（如一个梯形切分成两个三角形），分开图乘，然后进行会加；

③使用图乘法时，几种常见图形的面积和形心位置见图5-1-2

图5-1-2

六、温度改变时静定结构位移计算（见表5-1-7）

要点主要内容

4=2叫&^+工筌［血

计算公式

式中，a为材料睇戋即账系数，“为杆件轴线温度1加为杆

件上、下边缘的温差1%为杆件敲面高度

⑪的为以拉伸为正，S以温度升高为正；

正负号规则

②当专矩*和温差&使杆件的同一边产生拉伸时，&­M

取正值，否则取负值

表5-1-7温度改变时静定结构位移计算

七、互等定理（见表5-1-8）

定理公式公式含义

对于任意线性变形体系，状态I的外力在状态n的位移上作的功

功的互等定理卯12=g1

队:与状态口的外力在状态I的位移上作的功取】相等

对于任意名戋性变形体系，荷载FT.引起的对应于荷载尸m的位移影

位移互等定理021=012

响系数Ri等于趣Ec引起的对应于荷载尸m的位移影响系数6n

（仅适用于超静定结构）对于任意线性变形体系，位移G引起的

反力互等定理对应于位移C：的反力影响系数E等于位移6引起的对应于位移

G的反力影响系数F

对于任意线性变形体系，位移J引起的对应于荷载尸四的位移影

位移反力互等

on--n/响系数6匕在大小上等于荷载尸餐引起的对应于位移C：的反力影

定理

响系数nf,但符号相反

表5-1-8互等定理

5.2课后习题详解

5-1试用刚体体系虚力原理求图5-2/所示结构D点的水平位移:

(a)设支座A向左移动1cm。

(b)设支座A下沉1cm。

(c)设支座B下沉1cm。

图5-2-1

解：静定结构在外部荷载作用下不产生位移和变形、仅产生内力，在外部位移作用下不产

生内力和变形、仅产生位移。图5-2-

1所示结构为静定结构，支座移动下不产生内力，虚功方程中没有内力所做虚功。

(a)画出求解的内力图，如图5-2-2所示。

虚设力状态图1

图5-2-2

虚设力的方向同位移方向相同，运用刚体虚功方程得

=

ADHX1-1x1=0,ADH1cm(<—)

(b)画出求解的内力图,如图5・2・3所示。

虚设力状态图2

图5-2-3

根据比例关系，算出D的水平位移，列出刚体虚功方程

ADHXI—lx(1/4)=0,AnH=l/4cm(<—)

(c)画出求解的内力图，如图5-2-4所示。

虚设力状态图3

图5-2-4

列虚功方程ADHXI—[lx(—1/4)]=0,ADH=—l/4cm(―*)

5-2设图5-2-

5所示支座A有给定位移A、&、A,o试求K点的竖向位移A、，、水平位移和转角0。

解：给定位移，结构状态如图5-2-6所示。

图526

(I)求竖向位移Av

图5-2-7

施加一个竖向力，虚设力状态如图5-2-7所示，对应开始时的位移状态，列虚功方程

Avx1—[Ayx(—1)]—Awx3a—0

Av=—Av+3aA,p(1)

(2)求水平位移AH

施加一个水平力，虚设力状态如图5-2-8所示，列虚功方程

AHX1—Axx1—△⑴xa=()

△ii=Ax+a△⑴(<—)

I

K

M-a

图5-2-8

K

A

A7=-I

（3）求转角0

图5-2-9

虚设力状态如图5-2-9所示，列虚力方程

X

01—[A9X（—1）]=0

e=—4（逆时针）

5-3设图5-2-

10所示三校拱支座B向右位移单位距离。试求C点的竖向位移A、水平位移&和两个半拱

的相对转角&。

c

解：图5-2-11所示拱为静定结构，支座移动下不产生内力，虚功方程中没有内力所做虚功。

图5211

(1)求竖向位移A

在C点施加一个竖向虚力，结构虚设力状态如图5-2-

11所示，支座位移和力的方向相反，则列虚功方程

Aixl-lxl/(4f)=0=>&=1/(4f)(|)

(2)求水平位移4

施加水平方向的单位力，虚设力状态如图5-2-12所示，列虚功方程

A2xl-lx(1/2)=0=>A2=l/2(一)

1

c

AB

FR2=T

@5-2-12

（3）求相对转角4

两端施加单位力偶，虚设力状态如图5-2-13所示，列虚功方程

7

A^xl-lx(1/f)=O=A=l/f(/、)

图5-2-13

5-4设图52

14所示三钱拱中的拉杆AB在D点装有花篮螺栓。如果拧紧螺栓，使截面Di与D?彼此靠近

的距离为3试求C点的竖向位移"

c

图5214

解：两截面相互靠近，可知AB上有相对的位移，可用虚功方程求解。

在C点施加一个竖向的虚设力，AB杆的轴力如图5-2-15所示，列虚功方程

1

"N=(拉)

Ax1+^x1/(4f)=()=△=—彳.1/(4f)⑴

图5-2-15

5-5设图5-2-16所示柱AB由于材料收缩，产生应变一试求B点的水平位移A。

图5-2-16

解：虚设力状态如图5-2-17所示。

1B

图5-2-17

则运用虚功原理，歹IJ方程Axl—&x2ax2=0=>A=4a&(<—)

5-6设由于温度升高，图5-2-

18所示杆AC伸长膜c=1mm,杆CB伸长&B=1.2mm。试求C点的竖向位移A。

D

图5-2-18

解：温度变化对结构有两种影响方式，一种是通过改变杆件的轴向变形来产生轴力，一种

是通过改变杆件的内外侧温差来产生弯矩。本题结构为静定三角桁架，温度变化下不产生

变形，仅考虑由杆件轴向变形产生的位移影响。在C点施加竖向虚设力，虚设力状态如图

5-2-19所示。

图5219

运用虚功原理列方程：Axl-X,xl/2-X2xl/2=0,则C点的竖向位移公为公=[1乂(1/2)+1.

2x(1/2)]mm=1.1mm(J)

5-7试用积分法求图5-2-

q

ACEI

⑶

I

8

/

2

20所示悬臂梁A端和跨中C点的竖向位移和转角(忽略剪切变形的影响)。

图5220

解：(a)①A端的竖向位移

在A端施加一个竖向虚设力，则梁上产生的弯矩为：M(_)=x；外力均布荷载产生的弯矩

为：Mp=qx?/2<)

所以位移为

q工

②A端的转角

在A端施加一个虚设弯矩，则梁上产生的弯矩为：M(_)=l;外力均布荷载产生的弯矩为

：Mp=qx2/2。

7

竺X1;

-.......dr=(逆时针)

=10EI6EI

则位移为

③c点的竖向位移

在C点施加一个竖向虚设力，则在梁上产生的弯矩：M(_)=x(坐标原点放到C点)；均

布荷载产生的弯矩为：MP=ql78+qxV2+qlx/2o

4+Q+如

17”

_22一曲=(,)

。EI384EZ

则位移为

④c点的转角

在C点施加一个虚设弯矩，则在梁上的产生的弯矩为：M(_)=l(坐标原点放到C点)；

均布荷载产生的弯矩为：MP=ql78+qx72+qlx/2o

=汕(逆时针)

%=

48£7

则位移为

(b)因为外力集中荷载在C左边不产生作用，因此为了方便起见，把坐标原点放到C点。

①A点的竖向位移

/(5+工)"工5K/3

=..-------dx=----(J)

J。EI48£Z

则位移为

M(_)=l/2+x,MP=FPx,

②A点的转角

e-:^±=里(逆时针)

J。EI8EI

则位移为

M(_)=l,MP=FPx,

③C点的竖向位移

则位移为

Mp=FPx,M(_)=x,

④C点的转角

2

FXXIFl

1Pdv=——(逆时针)

EI8£7

Mp=FpX,M(_)=l,则位移为

5-8试用积分法求图5-2-21所示梁的跨中挠度(忽略剪切变形的影响)。

q

卜

图5-2-21

解：(a)在跨中施加一个竖向虚设力，梁弯矩为：M(_)=x/2(左半边弯矩)；外力荷

0.竺I1

77X—X,

oEI384£/

载作用下弯矩为：MP=qlx/2—qx2/2,结构左右对称，因此求位移

(b)在跨中施加一个竖向虚设力，梁弯矩为：M(_)=x/2(只考虑左半边)；外力荷载

作用下弯矩为：MP=FPX/2,结构左右对称，因此位移为

1

XX—x

------dr=(J)

EI48EZ

5-9试求图5-2-

22所示简支梁中点C的竖向位移△,并将剪力和弯矩对位移的影响加以比较。设截面为矩

q

CA

、、、\「J7

L一£、---十-----2——)

r2T2

形，h为截面高度,G=3E/8,k=1.2,形=1/10。

图5-2-22

解：(1)求位移(积分法)

在C点施加一个竖向虚设力，则产生弯矩M(_)=x/2,轴力F(_)N=O,剪力F(_)Q=1/2(

只考虑左半边)；外力荷载在结构上，产生弯矩Mp=qlx/2—qx2/2,轴力FM>=0,剪力RP

=ql/2-qx,且结构左右对称。

2X

qx1

X—X

5q产

―dr=N)

~ET384£/

①弯矩对位移的影响

②剪力对位移的影响

1

X一,)

△中Q=2k2

0GA8G4GA

故总位移为A中=5qP/(384EI)+0.15ql-/(GA)(J)。

(2)比较剪力和弯矩对位移的影响

4。_0.15/2/5q/4_11.52EZ

XT-GA/384EZ-GA12

求二者比值

将题中所给的G=3E/8,h/l=l/10代入上式，则比值为2.56%。

可以看出剪力对位移的影响仅仅是弯矩的2.56%,因此在某些情况下可以不用考虑剪力的

影响。

5-10试求图5-2-23所示结点C的竖向位移Ac,设各杆的EA相等。

图5-2-23

解：在C点施加一个竖向的虚设力，则结构各杆内力反应如图5-2-

11

△c=一[Fx-x2dx2+)x(--)xx2+(~F)x(-1)x2d]

EA?22P

6.8285日(])

EA

24所示；外力作用下，各杆的内力反应也如图5-2-24所示。则C点竖向位移为

图5-2-24

5-11试求图5-2-25所示结构结点C的水平位移&,设各杆的EA相等。

图5-2-25

解：在C点施加一个水平虚设力。

结构的虚设力状态图和荷载轴力图，如图5-2-26所示。

图5-2-26

△C江卷心&

=—[y/2F?xy/2xy[2a+(-Fp)x(-l)xa]

EA

二W(2V5+i)(f)

EA

求位移得

5-12试求图5・2-27所示结构结点C的水平位移设各杆的EA相等。

图5-2-27

解：首先在C点施加一个水平虚设力，注意到桁架C点以上都为零杆，因此只考虑C点以

下结构受力。虚设力状态图、荷载的轴力图如图5-2-28所示。

图5-2-28

JEA

=J-(4+4+10+272+272)^

EA

=23.657色(->)

EA

则结点c的水平位移为

5-13试求图5-2-

29所示等截面圆弧曲杆A点的竖向位移Av和水平位移AH。设圆弧AB为1/4个圆周，半径为

R,EI为常数。

FP

图5-2-29

解：（1）A点的竖向位移Av

在A点施加一个竖向的虚设力，虚设力状态和外荷载作用下的应力状态，如图5-2-30所示。

虚设力状态图实际状态图

图5-2-30

2（一为Ksin<9）（-Asin（9）

EI

求解得到M(__)K=-RsinO,MPK=-FPRsin9,则A点的竖向位移为

(2)A点的水平位移以

虚设力状态如图5-2-31所示:

虚设力状态图

图5-2-31

二f3Wsin0[-(^-^cos0]x口皿二骂.)

J。EI2EI

图中M(—)K=—(R-RCOS0),外力荷载同上，则A点的水平位移为

5-14试求图5-2-32所示曲梁B点的水平位移以，已知曲梁轴线为抛物线，方程为

y=4fx(1—x)/I2

EI为常数，承受均布荷载q。计算时可只考虑弯曲变形。设拱比较平，可取ds=dx。

q

图5-2-32

解：在B点施加水平虚设力，则任意点的弯矩为

M(_)=lxy=y

外力荷载作用下，梁任意点的弯矩为

Mp=qlx/2—qx:/2

q/qx

A—X---）xV

=---------=-------QX

0EI

生-当[孝心切

=[-.........=-----------------dx

J。EI

=纪（一）

15EI

则B点的水平位移为

5-15试用图乘法解习题5-7。

解：(a)外力荷载下的弯矩图如图5-2-33所示。

图5233

①A点的竖向位移

A点施加竖向虚设力，则弯矩图如图5-2-34所示。

图5-2-34

与MP图乘：A,=l/3xlxqp/2=qP/6,对应的形心y°=31/4,所以位移为

△AV=(1/EI)x(ql'/6)x(31/4)=qlV(8EI)(；)

②A点的转角

A点施加虚设单位弯矩，则弯矩图如图5-2-35所示。

M图

图5-2-35

与Mp图乘：Al相同，对应的形心y0=l,所以位移为

0A=1/(EI)xqp/6xl=qp/(6EI)(逆时针)

③C点的竖向位移

/

-

2

M图

虚设力的弯矩图如图5-2-36所示。

图5-2-36

2

〃

2

图

对应外力荷载的弯矩图为如图5-2-37所示。

图5237

图乘时，把Mp图看成一个梯形A3面积和Az面积的合成，其中

A2=2/3xl/2x[q(1/2)-]/8=qlV96

2

A3=(qP/8+ql/2)xl/2xl/2=5qlV32

C点竖直位移为

Acv=(1/2)/(6EI)x(2xqp/8xO+2xqF/2xl/2xqp/8xl/2+qP/2xO)-1/(EI)xqlV96xl/4

=17qW(384EI)(p

注：用到了两个梯形图乘的公式，如图5-2-38所示。

图5-2-38

上图中两个图形的图乘结果为△=1(2ac+2bd+ad+bc)/(6EI)

④C点的转角

虚设力的弯矩图如图5-2-39所示。

图5-2-39

图乘结果为Oc=l/(EI)x5qP/32xl-l/(EI)xqp/96xl=7ql3/(48EI)(逆时针)

(b)弯矩图如图5-2-40所示。

图5-2-40

分别与MP图图乘可得

AA=1/(EI)xl/2xl/2xFPl/2x(1/3X1/2+21/3)=5FP1V48EI⑴

0A=1/(EI)xl/2xl/2xFPl/2xl=FPP/(8EI)(逆时针)

Ac=l/(EI)xl/2xl/2xl/2x(2/3xFPl/2)=FP1V(24EI)(；)

Oc=l/(EI)X1/2X]/2XFP1/2X1=FPP/(8EI)(逆时针)

5-16试用图乘法解习题5-8。

解：（a）作虚设力弯矩图和外荷载弯矩图，如图5-2-41所示。

Mp图

图5241

MP图分解为Ai+A?两个图形，其中

A1=qP/8xV2xl/2=qP/32

A2=2/3xl/2x[qx(1/2)=]/8=qlV96

图乘求其跨中挠度为Av=l/(EI)(qP/32x2/3xl/4+qlV96xl/8)x2=5qP/(384EI)(；)

(b)作虚设力弯矩图和外荷载弯矩图，如图5-2-42所示。

图5-2-42

左右两半分段图乘，得出跨中挠度

Av=l/(EI)(FP1/4X1/2X1/2X2/3X]/4)X2=FP1V(48EI)(1)

5-17试用图乘法求图5-2-43所示梁的最大挠度fm

图5243

/图

图

解：作出虚设力和外荷载的弯矩图，如图5-2-44所示。

图5-2-44

对两个图进行图乘即可求出梁的最大挠度（以两个B作用点划分为三段分别图乘:左右两

：2

23FpP

(J)

648E7

段为两个三角弯矩图图乘，中间段为单位弯矩图的面积与MP图的y。图乘）

5-18试求图5-2-

45所示梁在截面C和E的挠度。已知E=2.OxlO5MPa,L=6560cm",L=12430cm%

图5245

解：（1）C点的挠度

60kN•m

M,图

虚设力和外荷载的弯矩图如图5-2-46所示。

图5246

则可以求得C点的挠度为4=1/(EL)[(1.5x2)72x2/3x60+(0.5x2/2)x2/3x60]+l/(EI

2)[(1.5+0.5)x4x1/2x60]=80/(EL)+240/(Eh)=1.58cm(j)

(2)E点的挠度

虚设力弯矩图如图5-2-47所示，外荷载MP图与(1)中图5-2-46的MP图相同。

而图

图5-2-47

则E点的挠度为

△E=1/(Ell)f(1X2)/2x2/3x60]x2+1/(EL)[(1+2)x2xl/2x60]x2=80/(EL)+360/

(EL)=2.06cm(j)

5-19试求图5-2-

48所示梁C点挠度，已知FP=9000N,q=15000N/m,梁为18号工字钢，1=1660cm”,h=l

q

DC

0.9m

5

8cm,E=2.1xl0MPao

图5-2-48

解：将单位分别换作标准单位：Fp=9kN、q=15kN/m、1=1.66x10-

E=2.1xlOMPa、h=().18m。分别作虚设力和外荷载下的弯矩图，如图5-2-49所示。

图5-2-49

将MP分解为只有均布荷载作用下的弯矩图和只有FP作用下的弯矩图，然后分别与虚设力

弯矩图做图乘，得C点挠度为

△c=io(2x2/3x1.5x16.875x0.75x5/8-1/2x0.75x1.5x8.1)/(EI)=(11.264x1(?)/(166

0x2.1x109=0.323cm(1)

20kN/m40kN20kN/m40kN

c

h(--2-m---I-------4-m--------।----4-m-------)--2--m-H)

5-20试求图5-2-50所示梁C点挠度。已知EI=2xI0%N-cm%

图5-2-50

解：将EI换作标准单位：EI=2xl0^kNm^o作虚设力和外荷载的弯矩图，如图5-2-51所示。

图5-2-51

两个图进行图乘，得到C点的挠度

A..=4(2x40x0-2x8()x1+80x0+40x1)/(6EI)+(-2/3x4x40x1/2)/(EI)+4(-2

x80xl+2x120x2-80x2+120x1)/(6EI)+(120x2x1/2x2/3x2)/(EI)+(-2/3x2xl

()x1)/(EI)=l.(X)cm(p

%

8

5-21试求图5-2-52所示梁B端的挠度。

图5-2-52

解：为了计算简便，本题采用“修补法

先将AB整体看做一个刚度为EL的杆件，求出其端部位移

ABI=1/(EL)X1/2X1X1X2/3XFP1=FP1V(3EL)

再对端部的长度为a的一部分就行修补，把这一段看成一个刚度为(EL—EL)的杆件，求

端部位移

AB2=[1/(EL)-1/(EL)]xl/2xaxax2/3xFpa=[l/(EL)-1/(EL)]xFPaV3

将两个位移相加，得到B点的挠度

AB=ABI+AB2=FP(P-aO/(3EL)+FPaV(3EL)(J)

5-22试求图52

53所示刚架A点和D点的竖向位移。已知梁的惯性矩为21,柱的惯性矩为I。

图5-2-53

解：注意梁和柱的刚度不同，因此图乘的时候要分开计算。

(1)A点的竖向位移

作虚设力和外荷载的弯矩图，如图5-2-54所示。

M图

图5-2-54

两个图进行图乘，得到A点的竖向位移

△A=1/(2EI)(l/2x8qx4x2/3x4-2/3x2qx4x4/2)+1/EI(8qx3x4)=112q/(EI)(j)

(2)D点的竖向位移

作虚设力的弯矩图如下图5-2-55所示，MP图与（1）相同。

图5255

两个图进行图乘，得到D点的竖向位移

AD=1/(2EI)xl/2x2x2x(l/3x2q+2/3x8q)+1/(EI)x3x8qx2—1/(2EI)x2/3x2xq/8x2

2Xl/2x2=161q/(3EI)=53.67q/(EI)(J)

5-23试求图5-2-56所示三较刚架E点的水平位移和截面B的转角。设各杆EI为常数。

图5-2-56

解：（1）E点的水平位移

作虚设力和外荷载的弯矩图，如图5-2-57所示。

图5257

对两个图进行图乘，得到E点的水平位移

AE=(9qx6xl/2x2/3x3)/(EI)x4+(2/3x6x4.5qxl.5)/(EI)=243q/(EI)(一)

（2）B点的转角

虚设力如图5-2-58所示，外荷载的弯矩图MP图与（1）中相同。

图5258

对两个图进行图乘，得到B点的转角

OB=1/(EI)x[l/2x6x9qx2/3xl/2+2/3x6x9q/2xl/2xl/2+2xl/2x9qx2/3xl/2+l/2x6x9qx(1

73x1+2/3x1/2)]=49.5q/(EI)(/)

5-24试求图5-2-59所示结构B点的水平位移。

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