精选有限元法基础线性代数方程组的解法讲义

（优选）有限元法基础线性代数方程组的解法目前一页\总数六十八页\编于十一点7.线性代数方程组的解法

本章要点Gauss消去法和三角分解法的原理和算法步骤二维等带宽存储和一维变带宽存储的特点分块解法的原理和实施方案几种迭代解法

有限元法基础目前二页\总数六十八页\编于十一点7.线性代数方程组的解法

关键概念高斯循环消去法三角分解法二维等带宽存储一维变带宽存储分块解法迭代解法超松弛迭代法梯度法

共轭梯度法预条件共轭梯度法

有限元法基础目前三页\总数六十八页\编于十一点7.线性代数方程组的解法

弹性力学的有限元方程为对于弹性（本构关系线性）小变形（几何方程线性）问题K与q无关，为常数矩阵，方程组为线性代数方程组。求解是有限元方程分析中费时最多的步骤。

有限元法基础目前四页\总数六十八页\编于十一点7.线性代数方程组的解法

线性代数方程组的解法分为两大类，即直接解法和迭代法。

直接法的特点是，事先可按规定的算法步骤计算出它所需要的算术运算操作数，直接给出最后的结果。

迭代法的特点是，首先假定初始解，然后按一定的算法进行迭代，在每次的迭代过程检查解的误差，通过多次迭代直至满足解的精度要求。

有限元法基础目前五页\总数六十八页\编于十一点7.线性代数方程组的解法

有限元法基础直接解法以高斯消去法为基础，求解效率高，适用于小于一定阶数的方程组，根据计算机和软件的不同有所不同，比如1万～10万阶方程组。迭代解法当方程组阶数过高时，由于计算机有效位数的限制，直接解法中舍入误差的积累影响精度，采用迭代解法。目前六页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础一.高斯循序消去法对于n阶线性方程组1.消元目前七页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础对于n阶线性方程组，共需进行n-1次消元：第m次消元：以第m-1次消元结果为基础第m行元素为消元行，为主元仅对m+1

n行元素进

行元，并将m列元素中

m+1

n消为0

目前八页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础对i行m列（i>m）消元,将m列从m+1列的元素消为0

称为高斯消去因子目前九页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础因此消元过程可以写为

最终的为上三角阵。其中目前十页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础因此

因为K(0)为对称矩阵，所以

三角分解法的基础目前十一页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础特点原系数矩阵是对称的，则每次消元后矩阵依然是对称的，只需存储一半的矩阵消元结果中，和中的第i行就是（i-1)次消元的结果

目前十二页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础载荷列阵消元用到的元素都是矩阵中的元素，因此，的消元过程随时可进行，对于多载荷工况，可以利用消元后的矩阵进行消元和回代求解。这样可大量节省求解所需的计算时间。

这是直接法相对迭代法的一个优点。

目前十三页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础2.回代－－求解回代公式

目前十四页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础例:用高斯消元法求下列矩阵的解目前十五页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础回代求解得：目前十六页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础二.三角分解法由高斯消去法能得到对的三角分解设下三角阵对角阵上三角阵目前十七页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础由代数方程可分解为高斯消元法相当于令单位下三角阵上三角阵P在消元后的结果目前十八页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础三角分解后的代数方程求解步骤目前十九页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础三角分解的递推公式

K中任意元素

目前二十页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础按行分解

i=1i=2

目前二十一页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础

i=3,4,…,n

目前二十二页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础

按行分解存储情况目前二十三页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础按列分解

j=1j=2,3,…,n

目前二十四页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础

按列分解存储情况目前二十五页\总数六十八页\编于十一点7.1高斯消去法及其变化形式

有限元法基础

关于三角分解法称为改进Choleski法，经典方法比高斯消去法效率更高只是改变了高斯消去法的循环循序和存储

按行三角分解

Do15i=1,nDo15j=1,nDo15m=1,i-1K(i,j)=K(i,j)–K(m,i)*K(m,j)/K(m,m)15continue高斯循环消去法

Do15m=1,n-1Do15i=m+1,nDo15j=i,nK(i,j)=K(i,j)–K(m,i)*K(m,j)/K(m,m)15continue目前二十六页\总数六十八页\编于十一点7.2带状系数矩阵的直接法

有限元法基础

系数矩阵在计算机中的存储方法等带宽存储K的特点：对称、带状、稀疏目前二十七页\总数六十八页\编于十一点7.2带状系数矩阵的直接法

有限元法基础

二维等带宽存储(n×ND)目前二十八页\总数六十八页\编于十一点7.2带状系数矩阵的直接法

有限元法基础

相关节点：所有与节点i共单元的节点称为节点i的相关节点如果节点j是节点i的相关节点则如果不是相关节点则目前二十九页\总数六十八页\编于十一点7.2带状系数矩阵的直接法

有限元法基础

一维变列高存储主对角线位置M：[1，2，4，6，10，12，16，18，22]j列上最上面非零元素行号在一维存储中得位置目前三十页\总数六十八页\编于十一点7.2带状系数矩阵的直接法

有限元法基础

两种存储方式比较二维等带宽存储一维变带宽存储占内存较多乘除法计算量相对较多编程简单寻址时间较少占内存较少乘除法计算量相对较少程序编制复杂寻址时间较多变列高找元素目前三十一页\总数六十八页\编于十一点7.2带状系数矩阵的直接法

有限元法基础

二.二维等带宽的高斯消去法工作三角形由于系数矩阵呈带状每次消元只涉及包括主元在内的一个三角形内的元素，称为工作三角形。目前三十二页\总数六十八页\编于十一点7.2带状系数矩阵的直接法

有限元法基础

二维等带宽高斯消去法公式目前三十三页\总数六十八页\编于十一点7.2带状系数矩阵的直接法

二维等带宽存储(n×ND)采用按行分解I=i,J=j-i+1新的循环界：r=max(j-ND+1,i-1)有限元法基础

二维等带宽三角分解目前三十四页\总数六十八页\编于十一点7.2带状系数矩阵的直接法

有限元法基础

三.一维变列高存储高斯消去法采用按列分解目前三十五页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

主要解决计算机内存不足的问题，充分利用外存保存分解后的系数矩阵与未分解的系数矩阵，以达到小内存算大问题的目的。目前三十六页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

一.高斯消去法的特点1）第m次消元过程中，所涉及的元素仅在三角形工作区内消元行元素目前三十七页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

2）在m次消元过程中，前面的元素不再参加消元，后面的元素尚未参加消元。3）在整个消元过程中，工作区自上向下运动。

为分块解法奠定基础目前三十八页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

二.分块解法设允许使用内存为NA

在每一分块，NQ－ND行集成完毕，可进行消元修正，最后的ND行进入到下一块系数矩阵一起集成，消元修正。目前三十九页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

分块解法的特点在每一分块中，系数矩阵的元素是先集成后消元修正从求解的全过程看，系数矩阵的集成和消元修正是交替进行目前四十页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

分块解法简单框图目前四十一页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

三.波前法（FrontMethod）

高斯循序消去法和三角分解法的求解规模与带宽ND有关。有些情况下带宽会很大，占用内存很大，限制了计算机的求解能力。

波前法和分块解法基本思想都是基于对高斯消去法的再分析，由先集成后消元修正，发展到集成和消元修正交替进行。

目前四十二页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

三.波前法（FrontMethod）

高斯循序消去法和三角分解法的求解规模与带宽ND有关。有些情况下带宽会很大，占用内存很大，限制了计算机的求解能力。

波前法和分块解法基本思想都是基于对高斯消去法的再分析，由先集成后消元修正，发展到集成和消元修正交替进行。

目前四十三页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

波前法的特点1）刚度矩阵K和载荷矩阵P不按自然编号进入内存，而是按计算时参加运算的顺序排列2）在内存中保留尽可能少的一部分K和P中的元素3）完成消元修正的行保存在外存

求解的自然编号是节点顺序

参加运算的顺序是单元顺序目前四十四页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

内存≥最大工作三角块（波前区）三角形直角边为波前数W最大波前数W≤ND需要存储大量信息，以用于恢复完成集成，消元的自由度号

目前四十五页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

波前法的计算过程1）按单元顺序扫描计算单元刚度矩阵，并送入内存进行集成2）检查那些DOF已完成集成，将集成完毕的DOF作为主元，对其他行、列进行消元修正3）完成消元修正后，将主DOF行有关的K和P中的元素移到外存4）重复1～3步，将全部单元扫描完毕5）按消元顺序，由后向前依次回代求解

目前四十六页\总数六十八页\编于十一点7.3利用计算机外存的直接法

有限元法基础

波前法一度是有限元研究者广泛采用的方法与分块解法相比，波前法利用内存更少由于频繁使用内外存交换求解效率低编程复杂，以效率换取求解规模随着计算机硬件的发展，目前已较少应用

目前四十七页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

一.雅克比迭代法方程组为方程组非奇异，且

目前四十八页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

方程组可改写为雅克比迭代法

设初始解

迭代方程

目前四十九页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

为了便于编程，方程组可改写为精度检查准则

为允许误差当系数矩阵为严格对角优势矩阵时，方法收敛

目前五十页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

例1：用雅克比迭代法求解方程组Ax=b,其中相对误差控制为初始解取为精确解为经过30次迭代可达到精度要求。

目前五十一页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

例2：用雅克比迭代法求解方程组Ax=b,其中相对误差控制为初始解取为精确解为雅克比迭代法不收敛。原因：不满足严格对角优势。

目前五十二页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

二.高斯－赛德尔(Gauss(Gauss--Seidel)迭代法雅克比迭代式在计算时，为已知量，将迭代式修改为

目前五十三页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

三.超松弛迭代法逐次超松弛迭代是G-C迭代的一种加速收敛算法，引入松弛因子

G-C迭代法低松弛迭代法超松弛迭代法目前五十四页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

三.超松弛迭代法逐次超松弛迭代是G-C迭代的一种加速收敛算法，引入松弛因子

G-C迭代法低松弛迭代法超松弛迭代法目前五十五页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

例3：松弛因子迭代法求解例1

其余条件与例1相同，考察松弛因子对收敛性的影响。

目前五十六页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

例4：松弛因子迭代法求解例2

其余条件与例2相同，考察松弛因子对收敛性的影响。可见，当系数矩阵不是严格的对角优势，算法也收敛。通常取。

目前五十七页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

四.共轭梯度法

共轭梯度法由Hestenes和Stiefel提出，可以看作是称为最速下降法的梯度法发展而来，简称CG法（ConjugateGradientMethod）。

目前五十八页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

1.梯度法

对与很多数学物理问题，如果方程是自伴随的，可等效为求解对应的二次泛函的极值问题。线性方程组对应的二次泛函在xk处的梯度为记负梯度方向

目前五十九页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

设xk为的一个近似解，利用最速下降法改善近似值：在的方向移动xk，即再选择使取得极小值，即令

目前六十页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

迭代公式初始解x0可任意选取。实际计算中发现收敛速度不高。目前六十一页\总数六十八页\编于十一点7.4迭代法

有限元法基础

2.共轭梯度