第部分-任意角的三角函数优秀文档

任意角的三角函数任意角的三角函数理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三第1章三角函数(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．1．准确理解三角函数的定义[思路点拨]由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a，而a的条件为a≠0，所以必须对a进行分类讨论．三角函数值在各象限内的符号，如图所示：圆心在，半径等于的圆．[一点通]利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．∴式子符号为负．2．确定三角函数的符号3．三角函数线的应用规定了方向(即规定了和)的线段．(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段就是角α的正切线，即AT＝.问题2：tanα在什么情况下为负数？问题2：tanα在什么情况下为负数？[思路点拨]作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；[例1]已知角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．如图，直角△ABC.问题1：如何表示角A的正弦、余弦、正切值？问题2：如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，作PM⊥x轴，如何用图中的数据表示sinα，cosα，tanα？圆心在，半径等于的圆．(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．三角函数值在各象限内的符号，如图所示：[一点通]利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．(2)三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．三角函数线的应用[精解详析](1)∵108°是第二象限角，∴tan108°<0.从而tan108°·cos305°<0，从而tan108°·cos305°<0，[思路点拨]作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；(3)正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．3．三角函数线的应用解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较[思路点拨]作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；答案：(1)>(2)>1．已知角α的终边经过点(－1,2)，则cosα＋tanα＝_______.[一点通]对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．问题1：由三角函数的定义知sinα在什么条件下函数值为正？提示：α的终边在第一、二象限或y轴正半轴．问题2：tanα在什么情况下为负数？三角函数值在各象限内的符号，如图所示：

提示：不一定，可能等于PM的长，也可能等于PM长的相反数，把MP看成有向线段即可．1．有向线段规定了方向(即规定了

和

)的线段．

2．有向线段数量根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上

和

，这样得的数叫做有向线段的数量．

3．单位圆圆心在

，半径等于

的圆．起点终点正号负号原点单位长度4．三角函数线设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.(1)则有向线段

、

就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝sinα，OM＝cosα；

(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段

就是角α的正切线，即AT＝

.MPOMATtanα(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．

(2)三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

(3)正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．[例1]

已知角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．

[思路点拨]由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a，而a的条件为a≠0，所以必须对a进行分类讨论．

[一点通]已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．1．已知角α的终边经过点(－1,2)，则cosα＋tanα＝_______.3．已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路点拨]角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．

[精解详析]

(1)∵108°是第二象限角，∴tan108°<0.∵305°是第四象限角，∴cos305°>0.从而tan108°·cos305°<0，∴式子符号为负．[思路点拨]作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；正切值则是纵坐标y、横坐标x同号时为正，异号时为负．[思路点拨]由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a，而a的条件为a≠0，所以必须对a进行分类讨论．根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上和，这样得的数叫做有向线段的数量．2．确定三角函数的符号问题2：如图，锐角α的顶点与原[精解详析](1)∵108°是第二象限角，∴tan108°<0.[一点通]利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．[一点通]已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．6．sin1，，三者的大小关系是________．6．sin1，，三者的大小关系是________．[思路点拨]作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；问题2：如图，锐角α的顶点与原[一点通]对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．答案：(1)>

(2)>5．已知sinα·tanα>0，则α是第几象限角？[思路点拨]

作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时依据三角函数线的长度和正负．[一点通]

利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．6．sin1，，三者的大小关系是________．解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得．答案：sin1.5>sin1.2>sin11．准确理解三角函数的定义根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．