DE课件-数学物理方程

偏微分方程2010-2011第二学期理科班李亚纯第一章绪论偏微分方程（PartialDifferentialEquations）指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导数的方程悠久的历史广泛的应用数学的发展悠久的历史：著名的弦振动方程1727:JohnBernoulli,离散质量情形

d’Alembert(研究弦振动方程的先驱)1746：《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》特殊的偏微分方程最早出现在1734年Euler的著作中，并于1743年出现在d’Alembert的《论动力学》中。广泛的应用：传统学科流体力学：Navier-Stokes方程组(粘性流体)

Euler方程组(无粘流体)弹性力学：Saint-Venant方程组电动力学：Maxwell方程组(电磁场)量子力学：Schrödinger方程Dirac方程(微观粒子)广义相对论：Einstein方程(引力场)规范场：Yang-Mills方程磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学……交叉学科生物数学：生物种群动力学传染病动力学

DNA分子动力学金融数学：随机微分方程经济学社会科学……数学的发展：偏微分方程推动数学其他分支的发展：函数论变分法级数展开常微分方程代数微分几何……参考书Courant-Hilbert:

MethodofMathematicalPhysicsFritzJohn:

PartialDifferentialEquationsWalterStrauss:

PartialDifferentialEquations,AnIntroductionLawrenceC.Evans:

PartialDifferentialEquations李大潜，秦铁虎：

物理学与偏微分方程§1偏微分方程的基本概念与研究内容§2典型方程的数学模型§3二阶线性偏微分方程简介1.什么是偏微分方程？物理量(如位移、温度等)----时间、空间位置

---------------物理量的变化规律(偏微分方程)§1偏微分方程的基本概念与研究内容一般形式：自变量未知函数一般形式：例子：可验证:均满足弦振动方程满足热传导方程均为解可验证:2.相关基本概念阶数(Order)：未知函数偏导数的最高阶数；维数(Dimension)：空间变量的个数；（对发展型方程：维数=自变量个数－1；对非发展型方程：维数=自变量个数）解(Solution)：（求解区域）在内足够光滑，且处处满足偏微分方程（*）称为偏微分方程（*）的经典解：自由专项：方程瓶中与愁未知铃函数阀无关论的项齐次厘方程(Ho湾mo诱ge乱ne虹ou筹s)：不含舅非零钢自由越项非齐娱次方呈程(No档nh钻om柜og陶en摊eo籍us)：含有仿非零岔自由卸项线性(Li牢ne挥ar)方程老：否则旅称为非线地性(No货nl包in摔ea冶r)方程半线告性(Se亲mi袭-L根in悠ea皱r)：主部(含最堵高阶浸导数春的部载分)线性拟线稿性(Qu界as库i-脑Li伐ne绵ar)：最高敲阶导票数本跃身是厕线性惕的完全荷非线估性(Fu灿ll普y役No德nl柱in勒ea粒r)：最高篮阶导净数是厨非线味性的线性(L捧in芹ea轻r)：多重做指标柴（Mu订lt锄i-蜡in案de尿x）例子至：二阶叼线性绕齐次一阶排线性孤非齐诱次一阶父半线雾性非轰齐次一阶兴拟线值性齐伪次一阶毫完全震非线篮性非批齐次二阶俗线性郑齐次四阶廊线性倡齐次二阶怀半线用性齐狸次三阶星半线五性齐捷次二阶泛拟线尸性齐绞次3.研究肯内容织：一般僵规律+定解岛条件(初始臭条件怒、边滴界条喝件)定解俗问题定解扣问题淘的适师定性衔：存在赤性（Ex鸟is原te文nc户e）唯一甜性（Un去iq危ue奸ne差ss）稳定什性（St肯ab养il魂it达y）+附加有条件方程§2典型员方程爱的数壁学模袜型§2蚁.1波动选方程状的定乎解问宜题§2楼.2热传华导方着程的窑定解家问题§2腊.3调和棚方程浊的定伸解问撇题§2晒.4一阶急方程晚（组刻）的消例子§2洋.5其他朋方程锻的例疲子§2次.1波动钥方程熟的定彩解问盗题波动法方程寨是描述锯振动贝与波明的传秀播现错象的粱一种发展茧方程弦的础横振粱动（天弦振蝇动方捆程）杆的柜纵振夹动一维讯非线狠性弹耻性振浓动电报否方程膜的蕉横振锡动声波喘方程电磁带波方蛋程1.弦振鲜动方娃程的盈导出考虑馆一根探张紧胀的均匀虾柔软的细抱弦，敞受垂阔直于隙弦的外力作用古，在平衡弦位置附近冤作微小的横振岸动平衡条位置垄：弦静骄止时佳的位防置，痛通常其设为X轴；均匀饼：弦的额线密础度(单位享长度箱的质荣量)ρ为常常数；柔软林：张紧酷的弦怜在离毫开平虎衡位洋置时暑，其啦上的情每一奸点均恨不抗辱拒弯曲，很从而圣弦的棵张力优方向没沿着膛其切贤线方搁向；绿弦的缩慧形变上伸长与张堪力满坦足Ho丧ok蛾e定理横振疮动：振动连发生养在同驾一平山面内迈，且据弦上税各点公的位亿移与仔平衡折位置垂直荐；外力大：外力钩密度(单位恰长度持受到湖的外方力)为F；微小军：振幅航相对廊于弦屿长很且小微元蜜分析迈法：在物灵体中殃任取接一个箱微小额的立坏方体(微元)，在烦其上斩建立细相应边的物圾理量愈的平浊衡关阴系式蜻，再涉令微腐元的腿直径拐趋向睡于零受力秧情况珍：水平显方向乓：垂直骑方向掘：（强赖迫弦严振动律方程倦）没有网外力贯作用访时：有外举力作断用时强：（自朝由弦窃振动孕方程绿）2.定解凶条件音的导观出A.初始宋条件B.边界绝条件A.初始乔条件例1在d处将葱弦拉肤升至h后静半止,然后闸放手称让其枯自由集振动0例2弦静板止于稻平衡百位置梯，经贤敲击病后开枣始振枕动例1例2弦的懂端点荒自由权滑动迅：即译弦的套端点推不受命垂直赌方向帆力的劳作用抵，也绕即张蜻力在冒垂直皇方向室的分税量为坚零B.边界吓条件例3弦的帐端点朽固定产在弹先性支傍承上注：两端盘点可绘以取丑不同陷类型员的边歌界条肉件边界资条件搏一般导可分午为三或类：第一窃类边件界条投件(D帆ir眠ic丘hl驼et房诚)：第二遵类边届界条谷件(N狂eu卖ma猾nn栋)：第三瓣类边耍界条攀件(R沟ob办in件)：3.其他砖模型桐的例常子杆上毯点遮在过时刻困的纵哗向位鼓移均匀屿杆的绿纵振败动一维石非线卸性弹赖性振盆动对弹祝性弦悦的横窄振动伞或弹琴性杆温的纵行振动磨，若勇作用租力与形踪蝶变不分满足Ho驱ok海e定律倚时，唐即有非线骆性函吼数电阻问，线困间电灾漏，版电容钞，电字感，予电流考密度电报鲁方程张紧坚的柔正软均社匀膜搏在垂信直于取平衡殿位置篮平面菠方向胳的微妹小横鹅振动膜在住点汽时舟刻离阿开平虫衡位容置的烂横向汗位移面密剑度张力膜的你横振抽动（La胖pl原ac喊e算子冈）声波腊方程气体章的振堡动是敞微小膊的：叔略去零高阶彩无穷垫小量设空及气处资于平丸衡状袭态时埋的密安度和控压强纹为理想键气体将动力过学方阴程组声学境方程单组设空宵气是凤无旋域的：组即,存在孩标量课函数牧使声速速度,速度胶势电磁蹈波方幅程真空调中电隆磁场衰的Ma僻xw闯el荣l方程舱组电场逆强度,磁感模应强喊度,介电浆常数,磁导依率自由突电磁切波：电荷策密度,电流各密度,光速4.波动现方程尼的一任般形牧式及休其定蜂解问细题模型:中的接惯性必力+通过舱作用清在悼上啄的力=移0(C贵on纤ta敏ct倚F姐or遇ce辣)弹性沉体:小形抄变(浴)D’线Al温em翼be山rt算子定解飞问题葵：初值绘问题(Ca撑uc占hy问题)2.混合当初边蕉值问晒题边界淋条件纷分三末类：热传辈导方艰程热传揉导方查程描述低物体柳内的泪热传牺导现缩慧象，顷即由监于温扒度分纷布不斗均匀垦而引控起的足热量虏从温雨度高屠的地热方向穴温度浓低的创地方隆流动宴的现送象.扩散絮方程扩散菜方程描述简物体狼内的赔扩散额现象颠，即吼由于蔑浓度齿分布罚不均羞匀而猴引起拨的物玩质从橡浓度镜大的朽地方规向浓待度小景的地蜘方转常移的墙现象.§2畅.2热传圆导方细程的慌定解僵问题1.热传给导方晴程的门导出Fo限ur如ie昨r实验水定律热流佣方向当物腰体内踏部无丝式热源旗时，当物达体内树部有吴热源翻时，考虑筝均匀轨薄板(上下桨底绝迅热)：二维热传宾导方该程；均匀淘细杆(侧面尤绝热钩，同盟一截勇面上疤温度槐相同)：一维热传岂导方融程一般捐地,扩散捕方程筹的导鹿出Fi唯ck实验洋定律扩散跪流强蠢度，问即单吓位时蒜间内维通过柔单位茄面积纲的粒纹子数笛（或岸质量白）浓度狐，即石单位顽体积惭中的促粒子友数（扭或质巧量）扩散等系数粒子件数（蜡或质柳量）棒守恒鞋：特例残：扩盯散源值强度疤与浓授度成木正比边，特例瘦：放躬射性量衰变敌现象洁：均匀肤：扩散指源强锯度半衰架期2.定解狼条件害的导住出A.初始苦条件B.边界铁条件A.初始如条件B.边界张条件3.定解宋问题A.初值造问题(Ca遇uc滚hy问题)B.混合圆初边蓄值问浊题复分摧析：鸡解析轻函数平衡四态问宫题：企膜、该浓度见、温坦度等位势啊理论油：引效力场沫，静晒电场流体混力学稠：无趁旋定腾常流随机炼场：己布朗型运动§2伐.3调和步方程蹦的定言解问狮题1.方程淘的导腿出解析指函数平衡微态问垄题弹性府膜平尿衡态属：外译力不灾随时搬间变枝化稳定卵浓度讯分布尊：扩盒散源田不随短时间透变化稳定竖温度泪分布仅：热丈源不她随时贝间变和化（Po胸is肾so圣n方程赞）无源变：（La箩pl嗓ac鸟e方程/调和岸方程疏）位势险理论额（引触力场去、静霸电场奋）引力顽场万有胃引力扛定律停：引力恐位势上连艳续分填布（登密度价）的川质量挽产生卷的引街力场旗的位冈势在秩外：在数内：沈（黎满足蛾一定顶的正视则性祥条件异）静电姿场Co畜ul尚om柴b定律以：Ga骑us蛛s定理订：无旋挎：卵电量势无源最：不可旦压缩陪流体修的无澡旋定眨常运愧动质量纯守恒绢方程不可椅压缩站：无旋庄流体帖：密度半速度速度烘势定常大：送均与障时间中无关无源誓：布朗肚运动假设隔：质忍点运辛动到游边界仆上即六终止以谨为夫起点添运动,终止仅在竖上的胞概率2.定解浓问题秧：边猾值问南题边界倾条件料：,有界,第一测类(Di尘ri朝ch律le饶t):第二井类(Ne止um扒an绵n):第三手类(Ro乐bi云n):的单袜位外绝法线究方向.A.内问筝题A.内问芹题B.外问锯题B.外问售题与外鞠问题股类似C.无界番区域社的边滚值问脏题D.等值秤面边晓值问肝题人口昆模型追赶母问题交通剖流模既型流体舰力学思方程研组与绞声学撕方程久组电动雕力学Ma嫂xw谱el悦l方程陶组§2愤.4一阶乞方程皂（组请）的赞例子1.人口鸭模型人口牺在时钞刻藏按年侍龄旗的分并布密涌度,即时刻拣年龄汉在季的隐人口捐数=时刻抵的人程口总性数=不考著虑死胳亡因看素:考虑丙死亡利因素:死亡易率,即年在龄在春中的巩人口欲在时段鸡中的纯死亡下数为定解通条件初始辟条件初始梦人口认分布础密度边界院条件出生冬的婴印儿数出生罚率,即年岭龄在远中的浴人口神在时段流中出旧生的票婴儿刷数为,因此时段隔中出糠生的演婴儿烛总数==年龄距在童中谎的人迫数2.追赶渠问题各种事不同塑身高晌的人茧在一搁直线(设为桥轴)上前役进假设挤人的寸数目调较多,从而倚可以浸采用州连续虚模型时刻卵处镰的人田的身钟高所有答人以暖同一究常速托度落沿税轴正套方向寸运动:在任兰意直鬼线炼上,取常梯数值(对应拔于同撇一人),即速度:每个铺人的榆运动疲规律同样望有速度与身舒高有测关:如(B堡ur痛ge足r’朽s方程)一阶险拟线花性方呈程更一席般地鉴：3.交通能流模湿型高速戏公路为上行梢使的薄交通狮车辆待的流胜动问席题轴正悔方向漆表示激车辆草前进嘉的方页向时刻鹊车辆僻按疑方玩向分悲布的稼密度(单位破长度疤的车谦辆数恋目)车辆吼通过猾点的狂流通澡率(单位华时间率流过但的车镰辆数绞目)即,时刻砍在蒜中的牢车辆何数=中在宣内料增加远的车娇辆数=车辆剧数守目恒:即,在时萝段忽中通骡过踩点的睡车辆型数目=中通优过决点的萍车辆罗数-通过秧点的眨车辆负数结构磨方程,如(G字re舅en量sh私ie腾ld模型)(守恒雁律方庸程)4.流体检力学唯方程钞组与换声学圆方程磨组：密南度：内廊能：压撇强：速晋度一维柄：可压队流体Eu眼le键r方程台组（璃无粘迹性、往热传欺导）一阶古拟线耍性方匀程组声学拍方程共组：气体研的微是小振个动在等甚熵方狠程组翻中忽结略速涌度、橡速度阔梯度啊、密鬼度梯负度的战高阶论项声速速度胞势一阶吓线性费方程逆组不可蹦压粘院性流耗体的Na怀vi零er翅-S港to加ke南s方程凭组粘性劝流体徒力学伞方程孕组不可罗压：二阶捐拟线勤性方半程组5.电动枪力学Ma奖xw元el伪l方程润组真空给中的Ma顿xw毫el舒l方程米组各向显同性德媒质启中的Ma根xw毙el反l方程使组电荷狐守恒佣律方蒜程§2泥.5其他呢方程伪的例姓子§3二阶酿线性剂偏微叶分方玩程简捉介§3袍.1两个智自变肤量情役形的寄分类盐与化躺简§3怨.2进一缩慧步化滴简§3叛.3详细狱分类§3随.4多个萝自变馅量情仔形的粥分类§3傻.5特征旁理论3.竭1两个帜自变蛇量情诉形的豪分类例与化念简例如咳：化简--患-各类恰方程乳的标演准型目标:通过凭自变所量变问换,使方才程的争形式肿简化,有时强甚至姨可以悬求出他其通撑解自变晴量变图换可逆:至少材在某轰个在不鸦引起景误解地的情吸况下蹄仍然魄用,而不应用方程翠类型隔不变:注意:或或反之催亦然折。（称母（*惭*）族为特征绒方程，其坊积分葬曲线盟为特征尖线）下面方以常喜系数慕情形镰为例特征供线为看直线谎：特征拼线为苹直线捆：这样候可以页得到屑双曲纯型方寺程的越第一俊标准腾型：若再锻令则有这样浮可以志得到洗双曲认型方跪程的供第二调标准舅型：例1特征洪线为粉直线绘：这样妇可以便得到是抛物层型方授程的抛标准切型：例2引入风实变羡量：这样击可以轿得到责椭圆首型方蠢程的辨标准交型：例3例1特征度线还可语以求耍出通赛解：例2特征居线例3几个特变系裕数的握例子例4特征练线例5特征符线例6例7上半悔平面剧椭圆下半斑平面汪双曲横轴幼上抛驼物3.送2进一优步化瞒简三类功标准咏型：双曲抛物椭圆（1）（1*）（2）（3）目标锐：引煌入未扣知函均数变百换来吸消去馋一阶泼项（概以常皆系数五情形绕为例赢）以（1）为例双曲松型和近椭圆潮型方迈程可失进一讯步化籍简为策标准宾型：双曲椭圆3.屑3详细女分类（考菌察整混个求恋解区粱域敏）1.双曲翠型：2.抛物希型：3.椭圆碍型：4.混合侨型：5.退化捞双曲挽型：6.退化税椭圆浓型：3.泡4多个级自变剩量的霞二阶愉线性派偏微祸分方会程的凝分类Re裤ca恢ll掌:两个费自变消量的丢情形特征辫值多个也自变仪量的蔬情形几种乞类型钻（不息包含锦所有傻）：1.双曲畏型：2.抛物贸型：3.椭圆校型：4.超双则曲型尺：5.超抛壶物型启：注：渗对矩飞阵缺或二掌次型严而言削：双曲什：抛物膨：椭圆散：例1椭圆例2双曲例3抛物例4超双府曲例5超抛射物3.勇5特征