ch离散数学第十一章群和环习题答案

设σ,τ是5元置换,且

(1)将置换表示成循换的积

σ=(12)(345)

τ=(13524)(2)计算στ,τσ,σ-1,τ-1,σ-1τσ

设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。复数加法在G上封闭,有结合律,单位元为0=0+0i,a+bi的逆元为-a-bi.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：

f1(x)=x,

f2(x)=x-1,

f3(x)=1-x,

f4(x)=(1-x)-1,

f5(x)=(x-1)x-1,

f6(x)=x(x-1)-1

令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。

(1)给出运算的运算表。

(2)验证<F,>是一个群。

解：（2）易见封闭性满足，函数合成满足结合律,单位元是f1,

f1-1=f1,f2-1=f2,f3-1=f3,f4-1=f5,f5-1=f4,f6-1=f6.设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。证明：任取G中元素a,b,由于a,b为二阶元(周期为2)，a=a-1,b=b-1,从而

ab=a-1b-1=(ba)-1=ba证明4阶群必含2阶元。证明：设G为4阶群，若G中含有4阶元a,那么a2是2阶元；若G中不含4阶元，根据拉格朗日定理，G中元素的阶只能是2或1，而G不是平凡群，必有非单位元存在，这些非单位元就是2阶元。设f是群G1到G2的同构,证明f-1是G2到G1的同构。证明：易见f-1为G2到G1的双射函数。

任取G2中的元素x,y,存在G1中元素a,b使得f(a)=x,f(b)=y.因此，

f-1(xy)=f-1(f(a)f(b))=f-1(f(ab))=ab=f-1(x)f-1(y)

从而证明了f-1为同构。

设G=(a)是15阶循环群。

(1)求出G的所有的生成元。

(2)求出G的所有子群。

（1）生成元:a,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14

（2）子群:(a),(a3)={e,a3,a6,a9,a12},(a5)={e,a5,a10},G判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域A={a+bi|a,b∈Q},其中i2=-1,运算为复数加法和乘法。

是环，是整环，也是域。A={2z+1|z∈Z},运算为实数加法和乘法。不是环，因为关于加法不封闭。A={2z|z∈Z},运算为实数加法和乘法。是环，不是整环和域，因为乘法没有么元。A={x|x≥0∧x∈Z},运算为实数加法和乘法。不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，因此A关于加法不构成群。A={a+b|a,b∈Q},运算为实数加法和乘法。不是环，因为关于乘法不封闭。判断下面偏序集哪些是格。(1),(3),(6)是格。(2)中的{e,d}没有最大下界。(4)中的{d,e}没有最大下界。(5)中的{a,b}没有最大下界。如果(1)(3)(6)格是有补格，求每个元素的补元。（1）a与d互补；b,c没有补元。

（3）a与f互补；b的补元为c,d；c的补元为b,e；d的补元为b,e；e的补元为c,d.

(6)a与f互补；b的补元为e；c和d没有补元；e的补元为b.说明(1)(3)(6)格是不是分配格、有补格。（1）是分配格，不是有补格。

（3）不是分配格，不是布尔格

(6)是分配格，不是有补格。下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。

(1)L={1,2,3,4,5}

(2)L={1,2,3,6,12}

(3)L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}

(4)L={1,2,22,...,2n},n∈Z+(1)不是格,其他都是。对以下各小题给定的集合和运算，判断它们是哪一类代数系统(半群,含幺半群,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。

(1)S1={0，1,-1}，运算为普通加法和乘法。不是代数系统，对于加法不封闭。

对以下各小题给定的集合和运算，判断它们是哪一类代数系统(半群,含幺半群,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。

(2)S={a1,a2,...,an},ai,aj∈S,ai*aj=ai.这里的n是给定的正整数,且n≥2.

半群，运算封闭，有结合律，没有单位元。

对以下各小题给定的集合和运算，判断它们是哪一类代数系统(半群,含幺半群,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。

(3)S3={0,1},*为普通乘法。

半群与含幺半群，乘法封闭，有结合律，单位元是1，但是0没有逆元。

对以不下各娇小题笛给定显的集激合和粱运算纹，判胀断它缝们是研哪一泽类代福数系程统(半群,含幺岔半群,群,环,域,格,布尔坛代数),并说节明理食由。(4役)栗S4={扒1,台2,习5,捆7,凉10缓,1湾4,益35壁,7于0}房诚,静lc林m和gc应d分别惜表示服求最荡小公姨倍数暮和最垒大公揭约数贝运算俘。格与凉布尔疤代数捧。对以客下各她小题曲给定锈的集法合和慕运算府，判乘断它诞们是驴哪一巡寿类代暴数系疾统(半群,含幺间半群,群,环,域,格,布尔渗代数),并说辫明理帆由。(5锁)S5={零0,马1,沟2}粘,驶+为模3加法,贡*为模3乘法体。环与抵域，{0均,1季,2碌}关于婶模3加构疯成交赤换群粥、{1盐,2拨}关于亦模3乘构赔成交闹换群叔，模3乘关晴于模3加有踢分配音律。设B是布荡尔代铃数,B中的屋表达呀式f是(a充∧b武)∨坦(a痛∧b语∧c暂)∨墓(b灾∧c初)(1日)化简f.解：(a∧b讨)∨北(a汉∧b猴∧c敢)∨挣(b踏∧c杜)=秧(a翼∧b茎)∨纵(b你∧c器)(2啊)求f的对跑偶式f*。解：f*=(交a∨袜b)梁∧(钥b∨轮c)对于n=擦1,龟..脾.,坡5,给出丘所有旧不同喜构的n元格,并说拨明哪党些是透分配惰格、舅有补华格和浩